当前位置:首页 >> 数学 >>

高三数学一轮复习课件——立体几何


4.三垂线定理: 正射影
自一点P向平面 ? 引垂 线,垂足Q叫做点P在平 面 ? 上的正射影.(简称 射影)

P

?
F

Q

如果图形F上的所有点在一平 面内的射影构成图形F1,则F1叫 做图形F在这个平面内的射影.

三垂线定理
在平面内

的一条直线,如果它和 这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直 .
PO ? ? , a ? ? ? ? ? a ? PA OA ? ? , a ? OA?

?

F1

P

a
?
O A

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果它和 这个平面的一条斜线垂直, 那么 它也和这条斜线的射影垂直 .

P

a
?
O A

PO ? ? , a ? ? ? ? ? a ? OA OA ? ? , a ? PA?
P
练 习 1.如图 ABCD 为矩形, PD ? 面ABCD 由三垂线定理可得到哪些线是垂直 的?
A
D

C
B

(2) 二面角的平面角

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的大小用它的平面角来度量

注意:二面角的平面角必须满足:
1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内 3)角的边都要垂直于二面角的棱 0 0 4)二面角的范围是 0 ? 180 平面角是直角的二面角叫做直二面角 (3) 两个平面垂直的定义:

?
?

l

如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就称这两个平 面互相垂直.

(4) 二面角的平面角的作法 1.利用定义. 3.作棱的垂面.

?
?

l

?
?
B

A A

2.利用三垂线定理及其逆定理.

O

l

? P
? A
10

?
B

A Bl

l

? P

练习:作出下列各图中的二面角的平面角:
D1 A1 D A B B1 O C B E C1

A

A

F
O
D C

B

E

二面角B—B1C—A

二面角A--BC--D

C D 四棱锥中 AD ? CE 二面角C--AD--E

例 1 .如图,三棱锥 P-ABC的顶点 P在底面 ABC 上的射影 是 底 面 Rt△ABC 斜 边 AC 的 中 点 O , 若 PB=AB=1 , BC= 2,求二面角P-AB-C的正切值。

解:取AB 的中点为E,连PE,OE



P

∴ OE⊥AB , 由三垂线定理知 PE⊥AB ∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角

∵O为 AC 中点, ∠ABC=90? 1 ∴OE∥BC且 OE ? 2 BC


A
E B O

1 3 在Rt△PBE中,BE ? 2,PB=1,PE ? 2
1 2 ? ? 2 ,PO 2

在Rt△POE中, OE 2 tan ? PEO ? ∴ 求 2 ∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为



C

P



2 2

E

O

考题剖析

例 13、 (2008 山东卷)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面
ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正
? ? ABC ? 60 (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ,可得 △ ABC

6 切值为 2 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值.

为正三角形.因为 E 为 BC 的中点,所以 AE ? BC . 又 BC ∥ AD ,因此 AE ? AD . 因为 PA ? 平面 ABCD, AE ? 平面 ABCD ,所以 PA ? AE . 而 PA ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD 且 PA ? AD ? A , 所以 AE ? 平面 PAD .又 PD ? 平面 PAD ,所以 AE ? PD .

(Ⅱ)解:设 AB ? 2 , H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH . 由(Ⅰ)知 AE ? 平面 PAD , 则 ?EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角.在 Rt△EAH 中, AE ? 3 , 所以当 AH 最短时, ?EHA 最大, 即当 AH ? PD 时, ?EHA 最大. 此时 tan ?EHA ? AH ? AH ?
AE 3 6 , 2

因此 AH ? 2 .又 AD ? 2 ,所以 ?ADH ? 45? ,所以 PA ? 2 . 由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的 空间直角坐标系, 又 E,F 分别为 BC,PC 的中点,所以
0,, 2) E ( 3, 0,, 0) F ? A(0, 0,, 0) B( 3, ?1 ,, 0) C( 31 , ,, 0) D(0, 2, 0) , P(0, ? ? 3 1 ? ,, 1? ?, 2 2 ? ?

??? ? ??? ? ? 3 1 ? 0,, 0) AF ? ? , 1? 所以 AE ? ( 3, ? 2 , ?. 2 ? ?


相关文章:
高中数学第一轮复习立体几何
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...高中数学第一轮复习立体几何_数学_高中教育_教育专区。高三数学一轮复习—空间...
高三一轮复习立体几何学案
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学高三一轮复习立体几何学案_数学_高中教育_教育专区...
2013届高三数学第一轮复习《立体几何》专题资料
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...2013届高三数学一轮复习立体几何》专题资料_高三数学_数学_高中教育_教育专区...
2016高三数学一轮复习立体几何
搜试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...2016高三数学一轮复习立体几何_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 高三文科...
高中文科数学一轮复习——立体几何
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高中文科数学一轮复习——立体几何_数学_高中教育_...B组 1.(2009 年高考安徽卷)对于四面体 ABCD,下列...
第一轮复习自己整理绝对经典2016立体几何文科--第一轮
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 高中...第一轮复习自己整理绝对经典2016立体几何文科--第一轮_高三数学_数学_高中教育_...
2016高考数学一轮复习立体几何知识点
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 资格考试/认证...2016高考数学一轮复习立体几何知识点_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。数学...
高三数学一轮复习 立体几何
高三数学一轮复习课件——... 71页 1财富值 高三数学一轮复习教案立体... 6页 1财富值喜欢此文档的还喜欢 立体几何题型与方法(理科) 32页 免费 高三数学一...
高三第一轮复习:《立体几何》综合检测试题
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...高三一轮复习:《立体几何》综合检测试题_数学_高中教育_教育专区。高三第一轮...
更多相关标签: