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上海市普陀区2014届高三数学一模试卷(文理合卷)


2013 学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷
2013.12 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 若集合 A ? {x | x 2 ? 2 x ? 0} , B ? {x || x ? 1 |? 2} ,则 A ? B ? .

2. 设 e1 、 e2 是 平 面 内 两 个 不 平 行 的 向 量 , 若 a ? e1 ? e2 与 b ? me1 ? e2 平 行 , 则 实 数

m?

.

3. 在△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 a ? 2 , c ? 2 3 , C ?

?
3

,则

b?

. .
n??

4. 在 ( x ? 3)n 的展开式中,若第 3 项的系数为 27 ,则 n ?

* 2 2 m 5. 若圆 x ? ( y ? 1) ? 1的圆心到直线 l n : x ? ny ? 0( n ? N ) 的距离为 d n , i d n ? 则l

.

6. 函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) (1 ? x ? 2) 的反函数 f 7. 已知椭圆

?1

( x) ?

.

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右两个焦点分别为 F1 、F2 , 若经过 F1 的直线 l 与椭圆相交于 A 、B 4 3
. .

两点,则△ ABF2 的周长等于 8. 数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , an ? an ?1 ?

1 * (n? N ) ,则 lim( a1 ? a 2 ? ? ? a 2 n ) ? n n ?? 2 5 1 9. 若函数 f ( x) ? x ? ,则不等式 2 ? f ( x) ? 的解集为 . x 2

10. 【文科】如图,正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 的底面边长 AB ? 2 ,若异面直线 A1 A 与 B1C 所成的角的大小为 arctan

1 ,则正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 的侧面积为 2

.
第 10 题

【理科】如图,正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 的底面边长 AB ? 2 ,若直线 B1C 与底面 ABCD 所成的角的大小为 arctan 2 ,则正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 的侧面积为 .

11. 【 文 科 】 在 数 列 {an } 中 , a1 ? 2 , an ? 4an?1 ? 3 ( n ? 2 ) 则 数 列 {an } 的 前 n 项 和 ,

Sn ?

.

【理科】数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a n ? 1 ? n cos
1/4

n? * (n? N ) ,则 S 2014 ? 2

.

12. 已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6,7,8} , U 中任取四个元素组成的集合记为 A ? {a1 , a2 , a3 , a4 }, 在 余 下的四个元素组成的集合记为 CU A ? {b1 , b2 , b3 , b4 } ,若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ,则 集合 A 的取法共有 种.

13. 【文科】若函数 f ( x) ? 1 ? x cos

??x
2

,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (100) ?

.

【理科】正三角形 ABC 的三个顶点都在半径为 2 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1 , 点 D 是线段 BC 的中点,过 D 作球 O 的截面,则截面面积的最小值为 .

14.已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ? a , x ? 0 ? f ( x ? 1), x ? 0

,若方程 f ( x) ? x ? 0 有 .

且仅有两个解,则实数 a 的取值范围是

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且
第 13 题

只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答 案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 若 f (x ) 和 g (x) 都 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 则 “ f (x ) 与 g (x) 同 是 奇 函 数 或 偶 函 数 ” 是 “ f ( x) ? g ( x) 是偶函数”的????????????????????????( )

( A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

(B ) 必要非充分条件. (D ) 既非充分又非必要条件


16. 若 a 和 b 均为非零实数,则下列不等式中恒成立的是???????????(

( A)

|a?b| ? 2

| ab | .

(B )

b a ? ? 2. a b

1 1 (C ) ( a ? b)( ? ) ? 4 . a b
17.将函数 y ? f (x) 的图像向右平移

(D )

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) . 2 2

? 个单位,再向上平移 1 个单位后得到的函数对应的表达式为 4


y ? 2 sin 2 x ,则函数 f (x) 的表达式可以是???????????????(
( A) 2 sin x . (B ) 2 cos x . (C ) sin 2 x . (D ) cos 2 x .

18. 若 Ai ( i ? 1,2,3,?, n )是 ?AOB 所在的平面内的点,且 OA ? OB ? OA ? OB . i 给出下列说法:
2/4

① | OA |?| OA2 |? ? ?| OAn |?| OA | ; 1 ② | OAi | 的最小值一定是 | OB | ; ③点 A 、 Ai 在一条直线上; ④向量 OA 及 OAi 在向量 OB 的方向上的投影必相等.

A

O

B
第 18 题

其中正确的个数是????????????????????????????(



( A) 1个.

(B ) 2 个.

(C ) 3 个.

(D ) 4 个.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知点 P ( 2, 0) ,点 Q 在曲线 C : y 2 ? 2 x 上. (1)若点 Q 在第一象限内,且 | PQ |? 2 ,求点 Q 的坐标; (2)求 | PQ | 的最小值.

20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x cos x (1) 【文科】求函数 f (x ) 的值域,并写出函数 f (x ) 的单调递增区间; 【理科】 求函数 f (x ) 的最大值, 并指出取到最大值时对应的 x 的值; (2)若 0 ? ? ?

?
6

,且 f (? ) ?

4 ,计算 cos 2? 的值. 3

21.(本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液 时,滴管内匀速滴下球状液体,其中球状液体的半径 r ? 3 10 毫米,滴管 内液体忽略不计. (1)如果瓶内的药液恰好 156 分钟滴完,问每分钟应滴下多少滴?
第 21 题

(2)在条件(1)下,设输液开始后 x (单位:分钟) ,瓶内液面与进气管的
3 mm3 ) 距离为 h (单位:厘米) ,已知当 x ? 0 时,h ? 13 .试将 h 表示为 x 的函数.(注: 1cm ? 1000

3/4

22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第 3 小题满分 6 分. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? 3 ? 2n , n ? N .
*
n (1)证明数列 an ? 2 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;

?

?

(2)在数列 ?an ? 中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在, 请说明理由; (3)若 1 ? r

? s 且 r , s ? N * ,求证:使得 a1 , a r , a s 成等差数列的点列 ? r , s ? 在某一直线上.

23.(本题满分 18 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满 分 8 分. 定义在 ? 0, ?? ? 上的函数 f ? x ? ,如果对任意 x ? ? 0, ?? ? ,恒有 f ? kx? ? kf ? x ( k ? 2 , ?

k ? N * )成立,则称 f ? x ? 为 k 阶缩放函数.
(1)已知函数 f ? x ? 为二阶缩放函数,且当 x ? ?1, 2? 时, f ? x ? ? 1 ? log 1 x ,求 f 2 2 的值;
2

?

?

(2) 【文科】已知函数 f ? x ? 为二阶缩放函数,且当 x ? ?1, 2? 时, f ? x ? ?

2 x ? x 2 ,求证:函数

y ? f ? x ? ? x 在 (1, 8) 上无零点;
【理科】已知函数 f ? x ? 为二阶缩放函数,且当 x ? ?1, 2? 时, f ? x ? ?

2 x ? x 2 ,求证:函数

y ? f ? x ? ? x 在 ?1, ?? ? 上无零点;
(3)已知函数 f ? x ? 为 k 阶缩放函数,且当 x ? ?1, k ? 时, f ? x ? 的取值范围是 ?0,1? ,求 f ? x ? 在

? 0, k

n ?1

? ( n ? N )上的取值范围. ?

4/4

2013 学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷 评分标准
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. (?3, 0) ; 2. ? 1 ; 3. 4 ;4. 3 ; 5. 1 ; 6. f 7. 8 ; 8.
?1

; ( x) ? 1 ? 2 x ( x ? 0) (不标明定义域不给分)
n *

2 ; 3

9. ( , 2)

1 2

10.32; 11. 文科】 4 ? n ? 1( n ? N ) 【理科】 【 ; 1006;

12.31; 13.【文科】150; 【理科】

9? ; 4

14. a ? 2 ;

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 题号 答案 15 A 16 D 17 C 18 B

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.
2 【解】设 Q ( x, y ) ( x ? 0, y ? 0 ), y ? 2 x

(1)由已知条件得 | PQ |?

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ??????????2 分

2 2 将 y ? 2 x 代入上式,并变形得, x ? 2 x ? 0 ,解得 x ? 0 (舍去)或 x ? 2 ?????4 分

当 x ? 2 时, y ? ?2 只有 x ? 2, y ? 2 满足条件,所以点 Q 的坐标为 (2, 2) ??????6 分 (2) | PQ | ?

( x ? 2) 2 ? y 2 其中 y 2 ? 2 x ??????????7 分

| PQ |2 ? ( x ? 2) 2 ? 2x ? x 2 ? 2x ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 3 ( x ? 0 )????10 分
当 x ? 1 时, | PQ | min ? 3 ??????????????12 分 (不指出 x ? 0 ,扣 1 分) 20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

5/4

【解】 (1) f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ? 【文科】由于 ? 2 ? 2 sin( 2 x ? 由?

?
6

) ??????2 分

?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?

6

) ? 2 ,所以函数 f (x) 的值域为 [?2, 2] ???4 分
)?

?
2

6

? 2k? 得 ?

?
?
3

? k? ? x ?

?
6

? k?

所以函数 f (x) 的单调的增区间为 [ k? ?

3

, k? ?

?
6

] , k ? Z ???6 分

(文科不写 k ? Z ,不扣分;不写区间,扣 1 分) 【理科】由 0 ? x ?

?
2

得,

?
6

? 2x ?

?
6

?

所以当 2 x ?

?
6

?

?

7? ???4 分 6

2

时, f ( x) max ? 2 ,此时 x ?

?
6

???6 分

(2)由(1)得, f (? ) ? 2 sin( 2? ? 其中

?
6

)?

?
6

? 2? ?

?
6

?

?
2

得 cos( 2? ?

?
6

? 2 4 ,即 sin( 2? ? ) ? ?????8 分 6 3 3

) ? 0 ??????10 分

所以 cos(2? ?

?
6

)?

5 ?????11 分 3

cos 2? ? cos[( 2? ?

?
6

)?

?
6

] ??????13 分

?

5 3 2 1 15 ? 2 ? ? ? ? ??????14 分 3 2 3 2 6

21. (本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 【解】 (1)设每分钟滴下 k ( k ? N )滴,??????1 分
*

2 2 则瓶内液体的体积 V1 ? ? ? 4 ? 9 ? ? ? 2 ? 3 ? 156 cm ??????3 分 ?
3

4 40 k k? k 滴球状液体的体积 V2 ? k ? ? ? ? 10 ? mm 3 ? cm3 ??????5 分 3 3 75 k? ? 156 ,解得 k ? 75 ,故每分钟应滴下 75 滴。??????6 分 所以 156? ? 75
(2)由(1)知,每分钟滴下 ? cm 药液??????7 分
3

x ,此时 0 ? x ? 144 ???10 分 16 x 2 2 当 1 ? h ? 4 时, x? ? ? ? 4 ? 9 ? ? ? 2 ? (4 ? h) ,即 h ? 40 ? ,此时 144 ? x ? 156 ???13 4
当 4 ? h ? 13 时, x? ? ? ? 4 ? (13 ? h) ,即 h ? 13 ?
2



6/4

x ? ?13 ? 16 , 0 ? x ? 144 ? 综上可得 h( x) ? ? ??????14 分 ?40 ? x , 144 ? x ? 156 ? 4 ?
22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第 3 小题满分 6 分. 解: (1)将已知条件 an?1 ? an ? 3 ? 2n 变形为 an ?1 ? 2 由于 a1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ,则
n ?1

? ? ? an ? 2n ? ??1 分

a n ?1 ? 2 n?1 ? ?1(常数)??3 分 an ? 2 n

n 即数列 an ? 2 是以 1 为首项,公比为 ?1 的等比数列??4 分

?

?

所以 an ? 2 n ? 1? (?1) n?1 ? (?1) n?1 ,即 an ? 2 n ? (?1) n?1 ( n ? N ) 。??5 分
*

(2)假设在数列 ?an ? 中存在连续三项成等差数列,不妨设连续的三项依次为 ak ?1 , ak , ak ?1
* (k ? 2,k?N ) ,由题意得, 2ak ? ak ?1 ? ak ?1 ,

将 ak ? 2 k ? (?1) k ?1 , ak ?1 ? 2 k ?1 ? (?1) k ?2 , ak ?1 ? 2 k ?1 ? (?1) k 代入上式得??7 分

2[2k ? (?1) k ?1 ] ? [2 k ?1 ? (?1) k ?2 ] ? [2 k ?1 ? (?1) k ] ??????8 分
化简得, ? 2
k ?1

? 4 ? (?1) k ?2 ,即 2 k ?1 ? 4 ? (?1) k ?1 ,得 (?2) k ?1 ? 4 ,解得 k ? 3

所以,存在满足条件的连续三项为 a2 , a3 , a4 成等比数列。??10 分 (3)若 a1 , ar , as 成等差数列,则 2ar ? a1 ? as 即 2[2 ? (?1)
r r ?1

] ? 3 ? 2 s ? (?1) s?1 ,变形得 2 s ? 2 r ?1 ? 2 ? (?1) r ?1 ? (?1) s?1 ? 3 ??11 分

* 由于若 r , s ? N 且 1 ? r ? s ,下面对 r 、 s 进行讨论:

① 若 r , s 均为偶数,则 2 ? 2
s

r ?1

? 0 ,解得 s ? r ? 1 ,与1 ? r ? s 矛盾,舍去;
r ?1

② 若 r 为奇数, s 为偶数,则 2 ? 2
s

? 0 ,解得 s ? r ? 1 ; ? 0 ,解得 s ? r ? 1 ,与1 ? r ? s 矛盾,舍去;

③ 若 r 为偶数, s 为奇数,则 2 ? 2
s

r ?1

④ 若 r , s 均为奇数,则 2 ? 2
s

r ?1

? 0 ,解得 s ? r ? 1 ,与1 ? r ? s 矛盾,舍去;??15 分

综上①②③④可知,只有当 r 为奇数, s 为偶数时, a1 , ar , as 成等差数列,此时满足条
7/4

件点列 ? r , s ? 落在直线 y ? x ? 1 (其中 x 为正奇数)上。??16 分(不写出直线方程扣 1 分) 23. (本题满分 18 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题 满分 8 分. 解: (1)由 2 ? (1, 2] 得, f ( 2 ) ? 1 ? log 1
2

2?

1 ??????2 分 2

1 ? 1 ????????4 分 2 x (2) 【理科】当 x ? (2 i ,2 i ?1 ] ( i ? N )时, i ? ?1, 2? ,依题意可得: 2
由题中条件得 f (2 2 ) ? 2 f ( 2 ) ? 2 ?

? x? f ? x ? ? 2 f ? ? ? 22 ?2?
方程 f ( x) ? x ? 0 ? 分

? x ? f ? 2 ? ? ? ? 2i ?2 ?

? x f? i ?2

x ? x? ? i i ?1 2 ? ? 2 2 ? i ? ? i ? ? 2 x ? x ??6 分 2 ?2 ? ?

2

2i ?1 x ? x2 ? x ? x ? 0 或 x ? 2i , 0 与 2 i 均不属于 (2i ,2i ?1 ] ??8

i i ?1 当 x ? 2 , 2 ? ( i ? N )时,方程 f ? x ? ? x ? 0 无实数解。 ? 0 1 1 2 i i?1 注意到 ?1, ?? ? ? 2 , 2 ? ? 2 , 2 ? ??? 2 , 2 ? ?? ? ? ?

?

?

?

?

所以函数 y ? f ? x ? ? x 在 ?1, ?? ? 上无零点。??10 分 【文科】当 x ? (2 ,2
i i ?1

] (i ? 0,1,2) 时,

x ? ?1, 2? ,依题意可得: 2i

? x? f ? x ? ? 2 f ? ? ? 22 ?2?

? x ? f ? 2 ? ? ? ? 2i ?2 ?

? x f? i ?2

x ? x? ? i i ?1 2 ? ? 2 2 ? i ? ? i ? ? 2 x ? x 。??6 分 2 ?2 ? ?

2

方 程 f ( x) ? x ? 0 ? ( (i ? 0,1,2) )??8 分

2i ?1 x ? x2 ? x ? x ? 0 或 x ? 2i , 0 与 2 i 均 不 属 于 (2i ,2i ?1 ]

i i ?1 当 x ? 2 , 2 ? ( (i ? 0,1,2) )时,方程 f ? x ? ? x ? 0 无实数解。 ?

?

注意到 (1,8) ? (2 ,2 ] ? (2 ,2 ] ? (2 ,2 ) ,所以函数 y ? f ? x ? ? x 在 (1,8) 上无零点。?10
0 1 1 2 2 3


j j ?1 (3)当 x ? k , k ? , j ? Z 时,有 ?

?

x ? ?1, k ? ,依题意可得: kj

? x? f ? x ? ? kf ? ? ? k 2 f ?k?

? x ? j ? 2 ? ??? k f k ? ?

? x ? ? j? ?k ?

8/4

当 x ? ?1, k ? 时, f ? x ? 的取值范围是 ?0,1? ?12 分
j j ?1 j 所以当 x ? k , k ? , j ? Z 时, f ? x ? 的取值范围是 ? 0, k 。?14 分 ? ?

?

?

由于 (0, k n?1 ] ? (k n , k n?1 ] ? (k n?1 , k n ] ? ? ? (k 0 , k ] ? (k ?1 , k 0 ] ? ??16 分
n ?1 所以函数 f ? x ? 在 0, k ? ( n ? N )上的取值范围是: ?

?

[0, k n ) ? [0, k n?1 ) ? ? ? [0, k 0 ) ? [0, k ?1 ) ? ? ? [0, k n ) 。?18 分

9/4


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