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高中数学 圆锥曲线的统一定义


高中数学

圆锥曲线的统一定义

教材:苏教版《选修 2-1》2.5(Page 51 —52) 江苏省泰州中学 宋健

一. 教材分析:
《圆锥曲线的统一定义》是选修 2-1(苏教版)2.5 节的内容。教材对本章总体设计思路是“总—分—总”,即先从整体上认识圆 锥曲线的概念,了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系,再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质,进而通过统一 定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系。最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念,并用方 程观点认识和研究曲线交点等问题。本节从抛物线的定义出发,创设问题情境,提出类比、猜想,得到圆锥曲线的统一定义,从更 高的形式上揭示圆锥曲线之间内在的关系,使学生充分感受数学的内在的、和谐的美,并且通过对研究过程的反思,培养欣赏美、 发现美的能力和意识,提高数学审美意识。

二.目标分析:
鉴于以上对教材的分析及学生的实际情况,确定如下几个方面为本课的教学目标: (一)知识和技能: 通过本节的学习,了解圆锥曲线的统一定义,掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单 应用。 (二)过程与方法 通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线,让学生观察、类比、归纳自主总结得出圆锥曲线的统一定义,并能初步运用; (三)情感与价值观 通过本节的学习,培养学生观察、猜想、归纳、推理的能力,感受圆锥曲线的统一美。

三.教法分析:
教学重点:圆锥曲线统一定义的推导 教学难点:如何设出定直线方程(准线方程) 教学手段:多媒体辅助教学 教学方法:设置适当情景,观察发现、探究合作、启发引导

四.过程实录:
温故而知新 师:我们知道,平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 l ( F 不在 l 上 ) 的距离的比等于常数 1 的动点 P 的轨迹是抛物线. 边说边在黑板上画出定点和定直线(如图). P F d

PF = 常数 1 d

根据此定义,适当改变条件,你能提出哪些有意义的问题? (等待 1 分钟) 设计意图:由一个简单问题引出话题,激发学生学习兴趣,同时逐步解决本节的学习障碍。 生: (多名同学合作) 1. 若定点 F 在定直线 l 上,轨迹会是什么呢? 2. 平面内到两个定点 F1、F2 的距离相等的点的轨迹会是什么呢?

3. 平面内到两条定直线 l1、l2 的距离相等的点的轨迹会是什么呢? 4. 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 的(F 不在 l 上)距离不相等的点的轨迹会是什么呢? 师:这些问题都挺有研究价值. 我们还可以提出其他一些问题,比如,将条件中的“在平面内”去掉,点的轨迹会是什么呢?这 些问题请同学们课后研究一下,并与你的同伴互相交流各自的探究结果. 这节课我们一起来研究,当这个比值是一个不等于 1 的常数时,动点 P 的轨迹是什么曲线? 动手试一试 师: (打开几何画板)当常数不等于 1 时,我们来看看它们的图像.
抛物线 改变常数的大小 PF = 6.57厘米 d = 6.57厘米 PF = 1.00 d

P

d l F

常数 = 1.00

常数

师生合作:学生说常数的数值,老师用几何画板画出对应的图像. (学生有点想法了) 师:让常数自由变化,学生观察轨迹的变化(一分钟) (学生的想法越来越清晰)
抛物线 改变常数的大小 PF = 6.57厘米 d = 3.47厘米 PF = 1.90 d

P

d l F

常数 = 1.90

常数

抛物线 改变常数的大小

PF = 6.57厘米 d = 8.09厘米 PF = 0.81 d

P

d

l F

常数 = 0.81

常数
设计意图:以抛物线的定义作为新知识的生长点,设计了用电脑实验探索的问题情境,让学生观察,为猜想的形成提供足够的感性认识基础.
师:通过刚才的观察,你看出了些什么?常数与对应的图形有什么样的关联? 生:可以看到当这个常数在(0,1)之间时,轨迹像椭圆,当这个常数大于 1 时,轨迹像双曲线。 师:一边肯定学生的回答一边板书. 合作探究 师:那么,当这个常数在(0,1)之间时,轨迹是不是椭圆,当这个常数大于 1 时,轨迹是不是双曲线呢?我们先研究这个常 数在(0,1)之间时的情况. 前面已经研究过椭圆,如果这个轨迹是椭圆的话,这个定点会是椭圆的什么,这个常数又是椭圆的什么量? 生:定点是椭圆的焦点,常数应该是椭圆的离心率. 师:怎么说明轨迹是椭圆呢? 生:一是回到定义,也可以看看满足条件的动点 P 的轨迹方程,如果它是椭圆的标准方程,就可以证明猜想成立. 设计意图:一步步把学生思维从感性引向理性. 师:那么,怎样建系来研究 P 点的轨迹呢? P F

d

生:以过点 F 且垂直于定直线的直线为 x 轴,取 O 点,使 点 F 的坐标为 (c, 0) ,建立直角坐标系(如图) ,点 P 的坐标设 为 ( x, y ) ,常数为

c (a ? c ? 0) . a

师:很好,定直线的方程应该是什么呢? (学生思考,并尝试计算) 生:P 可以取特殊点(比如右顶点) ,可以求出定直线的方程为 x ? 师:太棒了,有时研究特殊情形,会有意想不到的效果。

a2 . c

c a2 问题就变为:已知平面内点 P( x, y) 到定点 F (c, 0) 的距离与它到定直线 l : x ? 的距离的比是常数 (a ? c ? 0) ,求点 P 的 a c
轨迹. (学生先在稿纸上尝试后回答,老师板书)

( x ? c) 2 ? y 2 c PF ? ? a2 d a | ?x| c 2 2 2 2 2 2 化简得 (a ? c ) x ? a y ? a (a2 ? c2 )
解:根据题意可得 令 a ? c ? b ,上式可化为
2 2 2

(*)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,这是椭圆的标准方程. a 2 b2

设计意图:让学生尝试问题解决的快乐,增强自信心。
小有成绩 结论 1:当点 P(x, y)到定点 F(c,0)的距离与它到定直线 l : x ? 长轴、短轴分别为 2a, 2b 的椭圆,方程为

c a2 的距离的比是常数 时, 点 P 的轨迹是以焦点为 (?c, 0), (c, 0) , a c

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,其中 b2 ? a 2 ? c 2 。这个常数就是椭圆的离心率 e . 2 a b

师:我们来一起进一步认识一下(*)式: (1) 将 (*) 式变形,PF ?

c PF ? d ? ed , 说明, 求椭圆上的点到焦点的距离, 可以先转化为求此点到定直线 l 的距离; 又由 d ? , a e

求椭圆上的点到定直线 l 的距离,可以转化为求此点到焦点的距离;

c a2 进一步: (*)式可变形为: PF ? ( x ? c) ? y ? ( ? x) ? a ? ex ,从而,椭圆上的点到焦点的距离可由此点的横坐标求 a c
2 2

出; (2)在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子:

a 2 - cx = a ( x - c ) 2 + y 2 ,
将其变形为

( x - c) 2 + y 2 c “到定点距离与到定直线距离之比为定值”早就蕴 = ,原来, 2 a a - x c

涵在其中。 再进一步 师:如果我们将条件(a>c>0)改为(c>a>0) ,点P的轨迹又发生如何变化呢? 学生思考,并很快类比得到 结论 2:当点 P 到定点 F (c, 0) 的距离和它到定直线 l : x ?

c a2 的距离的比是常数 (c ? a ? 0) 时,这个点的轨迹是双曲线,方程 a c



x2 y 2 ? 2 ? 1 (其中 b2 ? c2 ? a 2 ) ,这个常数就是双曲线的离心率. 2 a b
设计意图:双曲线的类似命题由学生思考、发现,从而为引导学生建立圆锥曲线的统一定义奠定基础.

(教师引导学生共同来发现规律) 渐入佳境 师:结论 1、结论 2,联想到抛物线的定义,你有什么想法? (学生讨论) 生:圆锥曲线可以统一定义为: (老师板书) 平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l ( F 不在 l 上)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹. 当 0 ? e ? 1 时,它表示椭圆; 当 e ? 1 时,它表示双曲线; 当 e ? 1 时,它表示抛物线. 师: e 是圆锥曲线的离心率,定点 F 是圆锥曲线的焦点,定直线 l 是圆锥曲线的准线. 小试牛刀 师:下面,我们对圆锥曲线的准线作一下探讨: (1)椭圆和双曲线有几条准线? (2)准线方程分别是什么? 生:根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆或双曲线,与焦点

F1 (?c,0), F2 (c,0) 对应的准线方程分别为 x ? ?

a2 a2 ,x ? . c c

y

M F2

d x

F1
a2 x?? c

o

a2 x? c

y

B

A

P F2

F1 Q C
x?? a2 c

x

D
x? a2 c

师:如图,哪些线段的比是常数 e ?

PF2 QF1 ? . PA QC PF1 QF2 ? 生(补充):还有 e= . PB QD
生: e= 师:(强调对应性),左顶点对应左准线,右顶点对应右准线. 设计意图:对于焦点在 y 轴上的圆锥曲线的准线方程,由对称性,学生在遇到这类问题时会很快解决问题,没有必要单独介绍。 师:今天我们一起学习了一些新知识,我有些迫不及待的想用这些知识了。

小菜一碟 1.求下列曲线的焦点坐标和准线方程

(1) x2 ? 2 y 2 ? 4
生:自主完成

(2)2 y 2 ? x2 ? 4

(3) x2 ? y ? 0

师:巡视释疑,提醒学生注意将方程先变成标准形式,对于焦点在 y 轴上的曲线的焦点坐标和准线方程,可类比焦点在 y 轴上 的曲线的焦点坐标和准线方程。

设计意图:通过解题后的反思,增强学生的反思意识,有利于总结方法规律.
慢慢品尝 2.中心在原点,准线方程为 y = ? 4 ,离心率为

1 的椭圆方程是 2

生:自主完成 师:巡视释疑,先定方程形式(焦点位置) ,再解出基本量.

设计意图:学生自主完成,有利于学生对基础知识的掌握和增强学好本课内容的信心。
饕餮美食 3.已知 椭圆

34 x2 y 2 + = 1 上一点 P 到左焦点的距离为 , 5 25 16

(1)求 P 点到右准线的距离. (2)求 P 点的坐标。 生:尝试解决,并提出了两种解法 师:总结这两种解法,强调转化思想和对应性 设计意图:1、2 两题是与准线方程有关的问题,巩固重点;2、3 两题以椭圆作为背景,这是因为江苏高考对椭圆的要求较高, 对双曲线、抛物线的要求较低。 回味余香 师:这节课你有什么收获? (留时间让学生畅谈在本节课中的体验、收获。 ) 生:回 顾 、 总 结 , 互 相 补 充 师:通过本节课的学习,圆锥曲线在多方面达到和谐统一:方程(二次)、图形(平面截圆锥面所得)、统一定义、性质(焦点、准线、 离心率、对称性等)、研究方法(内容、工具思想). 设计意图:圆锥曲线在多方面达到统一,对思想的提升,需要老师点出。 大显身手 布置课外作业:课本 P 51 习题 2.5 第1题(填在课本上) 课本 P 51 习题 2.5 第 2 题.

设计意图:回顾反思本课时所学知识,梳理巩固所学内容. 强化基本方法与技能训练,培养学生良好的学习习惯和品质,发现和 弥补教学中的遗漏和不足。

五、板书设计:
课题:§1.2.3 统一定义 PPT 投影区 画图区 推导方程 认识公式区 例题板演区 诱导公式

六、教学反思:
1.核心观点 培养学生的数学思维能力是数学教学的核心问题,让学生经历思想方法的形成过程,这是基本而重要的。在这节课的教学中, 要特别注意引导学生学会运用类比、归纳、猜想等方法,突出培养学生的探究能力,让学生了解探究问题的一般过程:

提出问题 试一试 大胆猜测 小心求证 应用 从而,领悟数学研究方法的模式化特点,感受理性思维的力量。 2.对教材的思考

总结提升

新课程理念倡导教师,学生在课堂上一起生成发展的教学模式,体现“用教材教而不是教教材”的思想,注重师生间的互动。 因此,用教材而不是教教材,要求教师能利用教材进行重新组合。课本的思考题和例一比较突然,不够自然。本节课通过(1)探求

l:x?

a2 ; c

( x ? c) 2 ? y 2 c ( x ? c) 2 ? y 2 c (2)剖析 (3)引申 (4)回归本质;这几个环节,让引入更自然. 这样的处理有别于传 ? ; ? ; a2 a2 a a | ?x| | ?x| c c
统教学的传授方法,更能增强学习的探究意识, 也与新课程的教学理念相吻合。 3. 现代化教学手段的运用 以多媒体为主的现代教育手段,可以有效的突破课堂教学时空的局限,弥补教材内容的单调、抽象等不足。本节课用电脑呈现 随着离心率的连续变化,曲线的演变过程,大大激发学生的学习兴趣,有利于学生在教学重点难点上的突破,提高学生知识的吸收 率。


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