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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学8-8


基础巩固强化 一、选择题 1.若点 P 到直线 y=-2 的距离比它到点 A(0,1)的距离大 1,则 点 P 的轨迹为( A.圆 C.双曲线 [答案] D [解析] 由条件知,点 P 到直线 y=-1 的距离与它到点 A(0,1) 的距离相等,∴P 点轨迹是以 A 为焦点,直线 y=-1 为准线的抛物 线. 2.方程(2x+3y-1)( x-3-1)=0 表示的曲线是( A.两

条直线 C.两条线段 [答案] D [解析] 原方程化为
? ?2x+3y-1=0, ? 或 x-3-1=0, ? ?x-3≥0,

) B.椭圆 D.抛物线

)

B.两条射线 D.一条直线和一条射线

∴2x+3y-1=0(x≥3)或 x=4,故选 D. x2 3.若中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆 2 + y2=1 短轴端点,且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为 1, 则该双曲线的方程为( A.x2-y2=1 ) B.y2-x2=1

x2 2 C. 4 -y =1 [答案] B

y2 2 D. 4 -x =1

x2 2 [解析] ∵椭圆 2 +y =1 的短轴端点为(0,± 1), c 2 离心率 e1=a= 2 .∴双曲线的顶点(0,± 1), c′ 即焦点在 y 轴上,且 a=1,离心率 e2= a = 2, ∴c′= 2,b=1,所求双曲线方程为 y2-x2=1.故选 B. → 4.长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动,AC → =2CB,则点 C 的轨迹是( A.线段 C.椭圆 [答案] C [解析] 设 C(x,y),A(a,0),B(0,b),则 a2+b2=9,① → → 又AC=2CB,所以(x-a,y)=2(-x,b-y), ) B.圆 D.双曲线

?a=3x, 则? 3 ?b=2y,



1 把②代入①式整理可得:x2+4y2=1.故选 C. 5.(2012· 天津模拟)设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆 内一定点,Q 为圆周上任一点,线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线 交于点 M,则 M 的轨迹方程为( )

4 x2 4 y2 A. 21 - 25 =1 4 x2 4 y2 C. 25 - 21 =1 [答案] D

4 x2 4 y 2 B. 21 + 25 =1 4 x2 4 y 2 D. 25 + 21 =1

[解析] M 为 AQ 垂直平分线上一点, 则|AM|=|MQ|. ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,(5>|AC|) 5 21 ∴a=2,c=1,则 b2=a2-c2= 4 , 4 x2 4 y2 ∴椭圆的标准方程为 25 + 21 =1.故选 D. 6.已知 log2x、log2y、2 成等差数列,则在平面直角坐标系中, 点 M(x,y)的轨迹为( )

[答案] A [解析] 由 log2x,log2y,2 成等差数列得

2log2y=log2x+2 ∴y2=4x(x>0,y>0),故选 A. 二、填空题 x2 2 7.设 P 为双曲线 4 -y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 的轨迹方程是________. [答案] x2-4y2=1 [解析] 设 M(x,y),则 P(2x,2y),代入双曲线方程得 x2-4y2=1, 即为所求. x2 y2 8.P 是椭圆a2+b2=1 上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦点, → → → O 为坐标原点,OQ=PF1+PF2,则动点 Q 的轨迹方程是________. x2 y2 [答案] 4a2+4b2=1 [解析] 设 F1(-c,0),F2(c,0),Q(x,y),P(x1,y1), → → → ∴PF1=(-c-x1,-y1),PF2=(c-x1,-y1),OQ=(x,y), → → → ?x=-2x1, ? 由OQ=PF1+PF2得,? ? ?y=-2y1, x ? x =- 1 ? 2, ∴? y ? y 1=- . ? 2 x2 y2 x2 y2 代入椭圆方程a2+b2=1 中得,4a2+4b2=1. 3 3 9.已知 A、B 分别是直线 y= 3 x 和 y=- 3 x 上的两个动点, 线段 AB 的长为 2 3,P 是 AB 的中点,则动点 P 的轨迹 C 的方程为 ________.

x2 2 [答案] 9 +y =1 [解析] 设 P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2). x ?x=x + 2 , ∵P 是线段 AB 的中点,∴? y +y y = ? 2 .
1 2 1 2



3 3 ∵A、B 分别是直线 y= 3 x 和 y=- 3 x 上的点, 3 3 ∴y1= 3 x1 和 y2=- 3 x2.

?x1-x2=2 3y, 代入①中得,? 2 3 y 1-y2= ? 3 x.



→ 又|AB|=2 3,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12. 4 2 x2 2 ∴12y +3x =12,∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 9 +y =1.
2

三、解答题 10.

如图所示,在平面直角坐标系中,N 为圆 A:(x+1)2+y2=16 上 → → 的一动点, 点 B(1,0), 点 M 是 BN 的中点, 点 P 在线段 AN 上, 且MP· BN

=0. (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)试判断以 PB 为直径的圆与圆 x2+y2=4 的位置关系,并说明 理由. → → [解析] (1)∵点 M 是 BN 中点,又MP· BN=0, ∴PM 垂直平分 BN,∴|PN|=|PB|, 又|PA|+|PN|=|AN|,∴|PA|+|PB|=4,由椭圆定义知,点 P 的轨 迹是以 A、B 为焦点的椭圆. x2 y2 设椭圆方程为a2+b2=1, 由 2a=4,2c=2 可得,a2=4,b2=3. x2 y2 可得动点 P 的轨迹方程为 4 + 3 =1. 1 (2)设 PB 中点为 C,则|OC|=2|AP|= 1 1 1 (| AN | - | PN |) = (4 - | PB |) = 2 - 2 2 2|PB|. ∴两圆内切. 能力拓展提升 11.(2013· 宁夏育才中学模拟)已知平面上一定点 C(-1,0)和一定 → 直线 l:x=-4,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q,(PQ+ → → → 2PC)· (PQ-2PC)=0. (1)问点 P 在什么曲线上?并求出该曲线方程; → → (2)点 O 是坐标原点,A、B 两点在点 P 的轨迹上,若OA+λOB=

→ (1+λ)OC,求 λ 的取值范围. → → → → → → 2 [解析] (1)由(PQ+2PC)· (PQ-2PC)=0,得PQ -4PC2=0. x2 y2 设 P(x,y),则(x+4) -4[(x+1) +y ]=0,化简得 4 + 3 =1,即
2 2 2

x2 y2 点 P 在椭圆上,其方程为 4 + 3 =1. (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2), → → → → → ∵OA+λOB=(1+λ)OC,∴CA+λCB=0,
?x1=-1-λ-λx2, ? ∴(x1+1,y1)+λ(x2+1,y2)=0,∴? ? ?y1=-λy2.
2 2 ?-1-λ-λx2?2 ?-λy2?2 x1 y1 因为 4 + 3 =1,所以 + 3 =1,① 4 2 2 x2 y2 ?λx2?2 ?λy2?2 2 又因为 4 + 3 =1,所以 4 + 3 =λ ,②

2λ?λ+1?x2+?λ+1?2 3-5λ 2 由①-②得 = 1 - λ ,化简得 x 2= 4 2λ .因为 3-5λ -2≤x2≤2,所以-2≤ 2λ ≤2, 1 1 解得3≤λ≤3,所以 λ 的取值范围为[3,3]. 12.(2013· 乌鲁木齐诊断)已知点 F(1,0),⊙F 与直线 4x+3y+1 =0 相切,动圆 M 与⊙F 及 y 轴都相切. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 任作直线 l,交曲线 C 于 A,B 两点,由点 A,B 分别 向⊙F 各引一条切线,切点分别为 P,Q,记 α=∠PAF,β=∠QBF, 求证 sinα+sinβ 是定值.

[解析] (1)⊙F 的半径为 =1.

|4+1| 2 2 2 2=1,⊙F 的方程为(x-1) +y 4 +3

由题意动圆 M 与⊙F 及 y 轴都相切,分以下情况: ①动圆 M 与⊙F 及 y 轴都相切,但切点不是原点的情况. 作 MH⊥y 轴于 H,则|MF|-1=|MH|,即|MF|=|MH|+1,则|MF| =|MN|(N 是过 M 作直线 x=-1 的垂线的垂足),则点 M 的轨迹是以 F 为焦点,x=-1 为准线的抛物线. ∴点 M 的轨迹 C 的方程为 y2=4x(x≠0). ②动圆 M 与⊙F 及 y 轴都相切且切于原点的情况. 此时点 M 的轨迹 C 的方程为 y=0(x≠0,1). (2)由于直线 l 过点 F 与 C 交于 A、B 两点,且 F 不尽在 C 上, ∴l 只能与 y2=4x(x≠0)交于两点. 当 l 不与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 y=k(x-1),
? ?y=k?x-1?, 由? 2 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, ?y =4x ?

2k2+4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= k2 ,x1x2=1. 1 1 1 1 ∴sinα+sinβ=|AF|+|BF|= + x1+1 x2+1 = x1+x2+2 x1+x2+2 = =1. x1x2+x1+x2+1 1+x2+x1+1

当 l 与 x 轴垂直时,也可得 sinα+sinβ=1. 综上,有 sinα+sinβ=1. 13.(2013· 株洲模拟)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,△ABC 的三个顶点都在抛物线上,且△ABC 的重心为抛物线 的焦点,若 BC 所在直线 l 的方程为 4x+y-20=0.

(1)求抛物线 C 的方程; (2)若 O 是坐标原点,P,Q 是抛物线 C 上的两动点,且满足 PO ⊥OQ,证明:直线 PQ 过定点. [解析] (1)设抛物线 C 的方程为 y2=2mx,
? ?4x+y-20=0, 由? 2 消去 x 得 2y2+my-20m=0. ? ?y =2mx,

∵Δ>0,∴m>0 或 m<-160. m 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 y1+y2=- 2 , y1 y2 m ∴x1+x2=(5- 4 )+(5- 4 )=10+ 8 . m 再设 A(x3,y3),由于△ABC 的重心为 F( 2 ,0),

?x +x3 +x =m 2, 则? y +y +y ? 3 =0,
1 2 3 1 2 3

11m ? x = 3 ? 8 -10, 解得? m ? y 3= . ? 2

m 11m ∵点 A 在抛物线上,∴( 2 )2=2m( 8 -10). ∴m=8,抛物线 C 的方程为 y2=16x. (2)证明:当 PQ 的斜率存在时,设 PQ 的方程为 y=kx+b,显然 k≠0,b≠0,∵PO⊥OQ,∴kPOkOQ=-1, 设 P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∴xPxQ+yPyQ=0. 将直线 y=kx+b 代入抛物线方程,得 ky2-16y+16b=0,
2 16b y2 b2 PyQ ∴yPyQ= k .从而 xPxQ= 162 =k2,

b2 16b ∴k2+ k =0.∵k≠0,b≠0,整理得 b=-16k. ∴直线 PQ 的方程为 y=kx-16k,PQ 过点(16,0);

当 PQ 的斜率不存在时,显然 PQ⊥x 轴, 又 PO⊥OQ,∴△POQ 为等腰三角形.
? ?y=|x|, 由? 2 得 P(16,16),Q(16,-16), ?y =16x, ?

此时直线 PQ 过点(16,0),∴直线 PQ 恒过定点(16,0). 14.

(2014· 鹤壁淇县检测)如图所示,已知 C 为圆(x+ 2)2+y2=4 的 圆心,点 A( 2,0),P 是圆上的动点,点 Q 在圆的半径 CP 所在直线 → → → → 上,且MQ· AP=0,AP=2AM.当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 方程. [解析]

圆(x+ 2)2+y2=4 的圆心为 C(- 2,0),半径 r=2, → → → → ∵MQ· AP=0,AP=2AM,∴MQ⊥AP,点 M 是 AP 的中点,即 QM 是 AP 的中垂线,连接 AQ,则|AQ|=|QP|,∴||QC|-|QA||=||QC| -|QP||=|CP|=2,

又|AC|=2 2>2,根据双曲线的定义,点 Q 的轨迹是以 C(- 2, 0),A( 2,0)为焦点,实轴长为 2 的双曲线,由 c= 2,a=1,得 b2 =1, 因此点 Q 的轨迹方程为 x2-y2=1.

考纲要求 了解曲线与方程的关系, 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的 简单几何问题和实际问题. 补充说明 1.常见的轨迹 (1)在平面内,到两定点距离相等的点的轨迹是连结两定点的线 段的垂直平分线. (2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. (3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心, 以定长为半径的圆. (4)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直 线平行的两条直线. (5)平面内到两定点 F1,F2 距离之和为定值 2a(2a>|F1F2|)的点的 轨迹是以两定点为焦点,2a 为长轴长的椭圆. (6)平面内到两定点 F1, F2 距离差的绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹是以两定点为焦点,实轴长为 2a 的双曲线. (7)平面内到定点和定直线距离相等 ( 定点不在定直线上 ) 的点的 轨迹是以定点为焦点,定直线为准线的抛物线. 2.求轨迹方程的其他方法

(1)待定系数法:已知所求曲线的类型,可直接设出曲线的方程, 再根据已知条件确定其系数. (2)参数法:求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐 标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使 x、y 之间建立起联系, 然后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程. (3)交轨法:求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数, 例如求两动直线的交点时常用此法, 也可以引入参数来建立这些动曲 线的联系,然后消去参数得到轨迹方程. 2.加强知识交汇的训练 向量、三角函数、不等式与解析几何交汇,特别是向量进入解析 几何已成为新的命题热点, 应加强这种融合多处知识, 而又比较浅显, 考查对学科最基础知识和最基本方法的掌握的小题训练. 3.在有关直线与圆锥曲线相交的问题中,要注意判别式的作用, 不要因为忽视对判别式的讨论致误. [例] 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛 5 物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. [错解] (1)将 A(1,-2)代入 y2=2px,得 p=2, 故所求抛物线 C 的方程为 y2=4x, 其准线方程为 x=-1. (2)假设存在直线 l,设 l:y=-2x+t, 5 由直线 OA 与 l 的距离 d= 5 ,



|t| 1 = ,解得 t=± 1. 5 5

故符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0 或 2x+y+1= 0. 请自己订正. 备选习题 x2 y2 1.(2013· 海口调研)已知双曲线 n - =1 的离心率是 3,则 12-n n 的值为( A.2 C.4 [答案] C [解析] 由题意可得 n(12-n)>0,∴0<n<12, ∴a2=n,b2=12-n,c2=a2+b2=12, c 12 ∴双曲线的离心率 e=a= = 3,∴n=4. n x2 y2 2.(2013· 长春二调)若 F1,F2 是椭圆a2+b2=1(a>2b>0)的两个焦 点,分别过 F1,F2 作倾斜角为 45° 的两条直线与椭圆相交于四点,以 该四点为顶点的四边形和以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积 2 2 比等于 3 ,则该椭圆的离心率为( 2 A. 2 5 C. 5 [答案] B [解析] 由题可知,所作的四边形为平行四边形,可求得其面积 ) 2 5 B. 5 3 10 D. 10 ) B.3 D.6

4 2ab2c 为 S1= 2 2 ;以椭圆顶点为顶点的四边形为菱形,其面积为 S2= a +b S1 2 2bc 2 2 2ab,从而S = 2 2= 3 ,∴a2+b2=3bc,∵a2=b2+c2,∴2b2+ a +b 2 c c2=3bc,∴b=c 或 b=2. 当 b=c 时,a= 2c= 2b,与条件 a>2b 矛盾,不成立; c c 2 2 5 c2 c2 4 2 2 2 当 b=2时,a =b +c = 4 +c = 4 ,则a2=5, c 2 5 因此 e=a= 5 . 3. (2013· 贵州六校联考)设曲线 x2-y2=0 与抛物线 y2=-4x 的准 线围成的三角形区域(包含边界)为 D,P(x,y)为 D 内的一个动点,则 目标函数 z=x-2y+5 的最大值为( A.4 C.8 [答案] C [解析] 由 x2-y2=0 得曲线为 y=± x.抛物线的准线为 x=1,所 1 1 以它们围成的三角形区域为三角形 BOC.由 z=x-2y+5 得 y=2x+2 1 1 (5-z),作直线 y=2x,平移直线 y=2x,当平移到经过点 C 时,直线
? ?x=1, 1 1 y=2x+2(5-z)的截距最小,此时 z 最大.由? 得 x=1,y=- ? ?y=-x

) B.5 D.12

1,即 C(1,-1),代入 z=x-2y+5 得 z=8.

x2 y2 x2 y 2 4 . (2013· 包头一中模拟 ) 若双曲线 a2 - b2 = 1 与椭圆 m2 + b2 = 1(m>b>0)的离心率之积大于 1,则以 a,b,m 为边长的三角形一定是 ( ) A.等腰三角形 C.锐角三角形 [答案] D [ 解析 ] a2+b2 双曲线的离心率 e1 = ,椭圆的离心率 e2 = a B.直角三角形 D.钝角三角形

m2-b2 由题可知 e1· e2>1, 得 b2(m2-a2-b2)>0, 所以 m2-a2-b2>0, m , 即 m2>a2+b2,由余弦定理可知三角形为钝角三角形,选 D.


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