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解三角形单元测试题


单元测评
姓名 一、 选择题: 成绩:______________

解三角形

1、在△ABC 中,a= 2 3 ,b= 2 2 ,B=45°,则 A 等于 A.30° B.60°





C.30°或 120° D. 30°或 150° ( )

/>2、在△ABC 中,a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是 A.无解 B.一解 C. 二解

D.不能确定 ( )

3、已知锐角三角形的边长分别为 1,3,a,则 a 的范围是 A. ?8,10? B.

? 8, 10?

C.

? 8,10?

D. 10,8

?

?
( )

4、在△ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么△ABC 一定是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形

5、△ABC 中,已知 a ? x, b ? 2, B ? 60°,如果△ABC 两组解,则 x 的取值范围( A. x ? 2 B. x ? 2 C. 2 ? x ?
4 3 3

)

D. 2 ? x ?

4 3 3

6、在△ABC 中,周长为 7.5cm,且 sinA:sinB:sinC=4:5:6,下列结论:① a : b : c ? 4 : 5 : 6 ② a : b : c ? 2 : 5 : 6 ③ a ? 2cm, b ? 2.5cm, c ? 3cm 个数是 A.0 个 二、填空题 7、甲船在岛 B 的正南方 A 处,AB=10 千米,甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行,同 时乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60°的方向驶去,当甲,乙两船相距最近 时,它们所航行的时间是 . . B.1 个 C.2 个 D.3 个 ④ A: B :C ? 4:5:6 ( 其中成立的 )

8、在△ABC 中, a ? sin 10 °, b ? sin 50 °,∠C=70°,那么△ABC 的面积为

9、已知三角形两边长分别为 1 和 3 ,第三边上的中线长为 1 ,则三角形的外接圆半径 为 .
cos A cos B sin C ? ? ,则△ABC 是 a b c

10、在△ABC 中,若

三角形 .

三、解答题 π 3 11、在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,A=3,sinB= 3 . (1)求 cosB 的值;(2)若 2c=b+2,求边长 b.

14、在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b ,c.已知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2,求 b,c.

15、已知函数 f(x)=msinx+ 2cosx(m>0)的最大值为 2. (1)求函数 f(x)在[0,π]上的单调递减区间; π? ? π? ? (2)△ABC 中,f?A-4?+f?B-4?=4 6sinAsinB,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, ? ? ? ? 且 C=60° ,c=3,求△ABC 的面积.

解三角形单元测试 (D 卷)答案 一、选择题

题 答

号 案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B D B D A A C C B B

C B C B C D B B C C

二、填空题 21、 1 : 3 : 2 24、无解 22、7 25、1 23、 36 ? 12 6 , 12 6 ? 24 26、120°

三、解答题 27、解:由正弦定理得 sin C ?
AB sin A 10 ? BC BC 1 (1)当 BC=20 时,sinC= ;? BC ? AB ? A ? C ? C ? 30 ° 2

(2)当 BC=

20 3 3 时, sinC= ; 3 2

? AB ? sin 45? ? BC ? AB

? C 有两解

? C ? 60 ? 或 120°

(3)当 BC=5 时,sinC=2>1; ? C 不存在 28、解: (1) cos C ? cos ?? ? ? A ? B ?? ? ? cos ? A ? B ? ? ?
1 2

? C=120°

(2)由题设:

?a ?b?2 3 ? ? ab ?2
2

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120?
? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3

? ?

2

? 2 ? 10

? AB ? 10

29、证明:

? sin 2 A sin 2 B ? cos 2 A cos 2 B 1 ? 2 sin 2 A 1 ? 2 sin 2 B 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2? ? a2 ? b2 ? ? a2 b2 a2 b2 a b ? ?
sin 2 A sin 2 B ? 由正弦定理得: a2 b2
? cos 2A c o s 2B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b ? x1 ? 2, x 2 ? ? 1 2 ?c o s C?? 1 2

30、解:? 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0

又? cos C 是方程 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的一个根

? 1? 2 由余弦定理可得: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? ? ? ? ? ?a ? b ? ? ab ? 2?

则: c 2 ? 100? a?10 ? a? ? ?a ? 5? ? 75
2

当 a ? 5 时,c 最小且 c ? 75 ? 5 3

此时 a ? b ? c ? 10 ? 5 3

? △ABC 周长的最小值为 10 ? 5 3
31、解: (1)由 sin A ? sin B ? sin C?cos A ? cos B? 可得 2 sin 2
C ?1 2
?c o s C?0

即 C=90°

? △ABC 是以 C 为直角顶点得直角三角形

(2)内切圆半径 r ?

1 ?a ? b ? c ? 2 1 ? ?s i n A?s i n B ? 1? 2

?

2 ? ?? 1 2 ?1 sin ?A? ?? ? 2 4? 2 2 ?

? 2 ?1? ? 0 , ? 内切圆半径的取值范围是 ? ? ? 2 ? ?

第一章

解三角形 高中必修 5

一、考点: 1、掌握正弦订立、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够运用正弦定理。 余弦定理有关的实力问题等知识和方法解决一些与测量和几何计 算。 3、解三角形和三角函数知识的综合运用。 二、知识点梳理: 1、正弦定理:
a b c ? ? ? 2 R. sin A sin B sin C

例题 1: (2008 年.四川文综)△ABC 的三个内角 A、 B、 C 的对边边长分别是 a、b、c , 若a ? A=2B,则 cosB= (A)
5 3

5 b 2



(B)
? 5

5 4

(C)
?

5 5

(D)

5 6

a? b 【解】 :∵ ?ABC 中 ? ? 2 ? A ? 2B ?

∴? ?

5 5 sin B ∴ cos B ? 故选 B; 2 4 ?sin A ? sin 2 B ? 2sin B cos B ? sin A ?

【点评】 :此题重点考察解三角形中的正弦定理,以及二倍角公式;

【突破】 :应用正弦定理进行边角互化,利用三角公式进行角的统一,达到化简的目的;在 解三角形中,利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法,在三角函数的化简求值 中常要重视角的统一,函数的统一,降次思想的应用。 2、余弦定理:
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc c2 ? a2 ? b2 2ca

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ? cos B ?

a2 ? b2 ? c2 c ? a ? b ? 2ab cosC ? cosC ? 2ab
2 2 2

例题 2:某人朝正东方走 x km 后,向左转 1500,然后朝新方向走 3km,结果它离出发点恰好
3

km,那么 x 等于
3

( (B) 2
3

) (C)
3

(A)



2 3

(D)3

【点评】 :本题重点考察解三角形中的余弦定理。


C

东 A B

【解】 :由已知得 AB= x m, BC=3,AC=

3

,∠ABC=180-150=30,
3

AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 AB?BC?cos B ,带入数据可以求得想 x =



2 3

,答案:C

【突破】:利用数形结合的思想解题,是高中解题的一个重要思想。 3、三角形面积计算: (1)三角形面积计算公式: 设△ABC 的三边为 a,b,c,其高分别为 ha,hb,hc,半周长为 P,外接圆、内切圆的半径 为 R,r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ④ S △ =1/2sinC · ab=1/2ac · sinB=1/2cb · sinA

②S△=Pr

③S△=abc/4R [海伦公式]

⑤ S △ = P?P ? a??P ? b??P ? c?

(P=(a+b+c) /2)
⑥S△=1/2(b+c-a)ra=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb [注]:到三角形三边的距离相等的点有 4 个,一个是内心,其余 3 个是旁心. A 如图:
cD I B aE C
ra I

A F b
D B

c a E ra ra

b

C F

1图

图2

图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心, S△=Pr

图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心,S△=1/2(b+c-a)ra

附:三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. (2)在△ABC 中,有下列等式成立 tan A ? tan B ? tanC ? tan A tan B tanC . 证明:因为 A ? B ? ? ? C , 所以 tan? A ? B ? ? tan?? ? C ? ,所以 tan A ? tan B ? ? tan C ,? 结论!
1 ? tan A tan B

(3)△ABC 的判定: (大边对大角,小边对小角) △ABC 为直角△ ? ∠A + ∠B = ?
2

? 2 ,C 为钝角 ? c 2 > a 2 ?b 2 ? △ABC 为锐角△ ? ∠A + ∠B> 2 ,C 为锐角
c 2 < a 2 ?b 2 ? △ABC

为钝角△ ? ∠A + ∠B<

附:证明: cosC ? a

2

?b 2 ?c 2 2ab

,得在钝角△ABC 中, cosC ? 0 ?a 2 ?b 2 ?c 2 ? 0, ?a 2 ?b 2 ?c 2

注:在斜三角形中,用正弦定理求角时,若已知小角求大角,则有两解;若已知大角求小角, 则只有一解 例 3: 在△ABC 中,已知 a = 2 3 ,b = 2,△ABC 的面积 S =

3 ,求第三边 c 。

本题主要考察解三角形的余弦定理,面积公式以及分类讨论思想。

例 4、 :已知△ABC 中,2 2 (sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,△ABC 外接圆半径为 2 . (1)求∠C; (2)求△ABC 面积的最大值.

三、课堂练习: 1、选择题:

(1)在△ABC 中,a2-c2+b2 = ab,则角 C 为( A.60O (2) ?ABC 中, ?A ? A. B.45O 或 135O

) D.30O ) D.

C.120O

?
3

, BC ? 3 , AB ? 6 ,则( B.

? 6

? 4

C.

3? 4

? 3? 或 4 4
) D. 等腰或直角三角形

(3)已知:在⊿ABC 中, A. 直角三角形 B.

c cos C ? ,则此三角形为 ( b cos B

等腰直角三角形

C.

等腰三角形

(4) 甲、 乙两楼相距 20m , 从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60 0 , 从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30 0 , 则甲、乙两楼的高分别是 A
20 3m, 40 3 m 3

( B



10 3m, 20 3m

C

10( 3 ? 2)m, 20 3m

D

15 3 20 3 m, m 2 3

(5)在△ABC 中,已知 cos A ? A
16 65

B

56 65

5 3 , sin B ? ,则 cos C 的值为( 13 5 16 56 16 C 或 D ? 65 65 65



(6)在 ?ABC 中 a ? 6 , B ? 30? , C ? 120? ,则 ?ABC 的面积是( A. 9 B. 18 C. 9 3 D. 18 3 (



(7) 在△ABC 中,由已知条件解三角形,其中有两解的是 A. b ? 20, A ? 450 , C ? 800 C. a ? 14, b ? 16, A ? 45
0



B. a ? 30, c ? 28, B ? 600
0 D. a ? 12, c ? 15, A ? 120

(8)在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 300,600,则塔高为( ) (A)

400 米 3

(B)

400 3 米 3

(C)

200 3 米 3

(D) 200 米
3

(9)已知三角形的两边长分别为 4,5,它们夹角的余弦是方程 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的根,则第三 边长是( A. 20 ) B. 21
?

C. 22

D. 61 )

(10)在 ? ABC 中, a ? x, b ? 2, , B ? 45 ,若这个三角形有两解,则 x 的取值范围是(

( A) x ? 2

( B) x ? 2

(C)2 ? x ? 2 2

( D)2 ? x ? 2 3


(11)在 ?ABC 中,如果 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,那么角 A 等于( A. 30? B. 60? C. 120? D. 150?

(12)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 2、填空题: (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定



在 ?ABC 中,a ? b ? 12 , A ? 60? , B ? 45? ,则 a ? _______________,b ? _______________. 在 ?ABC 中,若 a : b : c ? 1 : 2 : 6 ,则最大角的余弦值等于_________________.
1 , C ? 150? , BC ? 1 ,则 AB ? ______. 3 a?b?c 在△ABC 中,A=60° ,b=1,其面积为 3 ,则 =__________. sin A ? sin B ? sin C

(07 年北京卷理 11) .在 △ ABC 中,若 tan A ?

3 计算题: 1.△ABC 中,D 在边 BC 上,且 BD=2,DC=1,∠B=60o,∠ADC=150o,求 AC 的长及 △ABC 的面积.

2.在锐角三角形中, 边 a、 b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两根, 角 A、 B 满足 2sin(A+B)- 3 =0, 求角 C 的度数,边 c 的长度及△ABC 的面积.

3 10 3.在 ? ABC 中, A, B 为锐角,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,且 cos 2 A ? ,sin B ? 。 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ? 2 ? 1 ,求 a, b, c 的值。


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