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【优化方案】2012高中数学 第3章3.4不等式的实际应用课件 新人教B版必修5


3.4

不等式的实际应用

学习目标

1.能把一些简单的实际问题转化为不等式进行处
理.

2.重点是不等式的实际应用.
3.难点是建立不等式问题模型,解决实际问题.

3.4 不 等 式 的 实 际 应 用

课前自主学案

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课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基
1.作差比较法可以比较两数(式)的大小,也 可证明不等式. a+b ≥ ab(a>0,b>0) 2 2.均值不等式:______________________. 3.一元二次不等式的解法.

知新益能
1.用作差法解决实际问题 a-b>0?a>b 作差法的根据是______________,其基本步骤是: (1)理解题意, 准确地将要比较的两个对象用数学式 子表示出来; (2)作差——分析差的符号; (3)回归为实际问题. 2.均值不等式的应用 已知 x、y 都是正数,

(1)如果积 x· 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有 y

2 P 最小值_________.
(2)如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 x· 有 y 1 2 S 最大值_________. 4 应用均值不等式解决实际问题时,注意:(1)设变量、 定函数;(2)建立函数关系式;(3)在定义域内求最值. 3.一元二次不等式或一元一次不等式模型

用一元二次不等式或一元一次不等式解决实际问

题的操作步骤大致为:
(1)理解题意,搞清量与量之间的关系;

(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学
中的一元二次或一元一次不等式;

(3)解这个一元二次或一元一次不等式得到实际问
题的解.

4.解不等式实际应用问题的思想方法 实际问题
审题、抽象、转化 检验

― → ―

建模

数学问题

解题?利用不等式? 推理运算

― → ―

数学问题答案 ― → 实际问题结论 ―

课堂互动讲练

考点突破

作差法解决实际问题模型
例1 有一批货物的成本为A元,如果本月初出售,

可获利100元,然后可将本利都存入银行.已知 银行的月利息为2%,如果下月初出售,可获利 120元,但货物贮存要付5元保管费,试问是本月 初还是下月初出售好?并说明理由. 【分析】 先表示出两种情况下的获利情况.

【解】 若本月初出售到下月初获利为m,下 月初出售获利为n. 则m=(100+A)×(1+2%)=102+1.02A, n=120+A-5=115+A,故n-m=13-0.02A, ①当A=650时,本月初、下月初出售获利相 同. ②当A>650时,n-m<0即n<m,本月初出 售好. ③当A<650时,n>m,下月初出售好.

【点评】 谁优,谁省,哪一种方案更好,涉及 比较的应用题,常常量化作差比较得出正确结 论. 自我挑战1 现有A、B、C、D四个长方体容器, A、B的底面积均为a2,高分别为a和b,C、D的 底面积均为b2,高分别为a和b(其中a≠b),现规 定一种游戏规则:每人一次从四个容器中取两个, 盛水多者为胜,问先取者有没有必胜的方案?若 有的话,有几种?

解:依题意可知A、B、C、D四个容器的容积 分别为a3、a2b、ab2、b3. ①若先取A、B,则后取者只能取C、D. ∵(a3+a2b)-(ab2+b3)=(a-b)(a+b)2, (a+b)2>0,但a与b大小不能确定. ∴(a-b)(a+b)2的正负不能确定. ②若先取A、C,则后取者只能取B、D. ∵(a3+ab2)-(a2b+b3)=(a-b)(a2+b2)

∴类似①的分析知,这种取法也无必胜的把握. ③若先取A、D,则后取者只能取B、C. ∵(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2, 又a≠b,a>0,b>0,∴(a+b)(a-b)2>0. ∴a3+b3>ab2+a2b,故先取A、D是唯一必胜的

方案.

一元二次不等式模型
例2 某地区上年度电价为0.8元/kW· h,年用电量

为a kW· h.本年度计划将电价降到0.55元/kW· h至 0.75元/kW· h之间,而用户期望电价为0.4元/kW· h. 经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和 用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区 电力的成本价为0.3元/kW· h.

(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与 实际电价x的函数关系式; (2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证 电力部门的收益比上年至少增长20%? [注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)] 【分析】 (1)关键是弄清“新增的用电量与实际

电价和用户期望电价的差成反比”,并用式子来 表示.(2)在(1)的基础上解不等式.

【解】

(1)设下调后的电价为 x 元/kW· h,依题意知 k 用电量增至 +a,电力部门的收益为 x-0.4 k y=( +a)· (x-0.3)(0.55≤x≤0.75). x-0.4 (2)依题意,有

?? 0.2a +a??x-0.3?≥[a×?0.8-0.3?]?1+20%?, ? ? x-0.4 ?0.55≤x≤0.75. ?

?x2 -1.1x+0.3≥0, ? 整理得? ?0.55≤x≤0.75. ?

解此不等式,得 0.60≤x≤0.75. 所以,当电价最低定为 0.60 元/kW· 时仍可保证 h 电力部门的收益比上年至少增长 20%.

【点评】

不等式在解答生产、科研及日常生活

中的实际问题中有着广泛的应用.近些年来,随
着高考对实际应用问题考查的力度加大,越来越

被人们所重视,一大批以实际问题为背景的应用
问题陆续问世,从而也推动了对应用问题的学习

与研究.

自我挑战2 汽车在行驶中,由于惯性的作用, 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我 们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析 事故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h的 弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不 对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测 得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距 离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距 离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系: s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2. 问:甲、乙两车有无超速现象?

解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2 > 12,即x2+10x-1200>0,解得x>30或x<- 40(不合实际意义,舍去),这表明甲车的车速 超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m, 由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x -2000>0,解得x>40或x<-50(不合实际意 义,舍去),这表明乙车的车速超过40 km/h, 超过规定限速. 综上,甲车无超速现象,乙车有超速现象.

均值不等式模型
例3 如图所示,某公园要在一块绿地的中央修

建两个相同的矩形池塘,每个面积为10000米 2 ,

池塘前方要留4米宽的走道,其余各方为2米宽
的走道,问每个池塘的长宽各为多少米时占地

总面积最小?

【分析】 列出占地总面积的函数表达式, 利用均值不等式求解.

【解】 设池塘的长为 x 米时占地总面积为 S, 10000 故池塘的宽为 y= 米, x 20000 S=(6+x)( +6)(x>0), x 120000 120000 故 S= +6x+20036≥2 · + 6x x x 20036, 120000 ∴当 =6x 时,即 x2=20000, x

10000 x=100 2(米),y= =50 2(米)时, 100 2 Smin=2 720000+20036=1200 2+20036, 所以每个池塘的长为 100 2米,宽为 50 2米时 占地总面积最小.

【点评】

应用不等式解决问题时,关键是如

何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问

题来解决,要审清题意,特别是带有小括号说
明的地方,再列出不等式或函数式,最后利用 不等式的知识求解.

自我挑战3 某工厂拟建一座平面为矩形且面积为 200平方米的三级污水处理池(平面图如图所示).如 果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙 建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米 2 , 水池所有墙的厚度忽略不计.试设计污水处理池的 长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.

200 解:设污水处理池的长为 x 米,则宽为 米,设 x 总造价为 y 元, 200 200 则 有 y= 2x×400+ ×800+ 248×2× + x x 80×200 = 259200 800x + + x 16000≥2

259200 800x· + 16000= 2×800×18+ 16000= x 44800.

259200 当且仅当 800x= ,即 x=18 米时,y 取得 x 最小值. 100 即当污水池的长为 18 米,宽为 米时总造价最 9 低,为 44800 元.

a “y=x+ ”函数模型 x 例4 某渔业公司今年初用98万元购买一艘渔船, 用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年 开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年 增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元. (1)该船捕捞几年开始赢利(即总收入减去成本及所 有费用之差为正值); (2)该船捕捞若干年后,处理方案有两种:

①当年平均赢利达到最大值时,以26万元的价

格卖出;
②当赢利总额达到最大值时,以8万元的价格

卖出.
问哪一种方案较为合算?请说明理由.

【分析】

(1)根据题意列出关系式是关键.(2)

通过比较赢利额得出较优方案.

【解】 (1)设该船捕捞 n 年开始赢利,总赢利额 为 y 万元. 根据题意,每年所需费用成等差数列, 1 则 y=50n-[12n+ n(n-1)×4]-98,n∈N+, 2 即 y=-2n2+40n-98. 若赢利,则 y>0,∴-2n2+40n-98>0. ∴n≥3,即捕捞 3 年开始赢利.

y -2n2+40n-98 (2)①年平均赢利为 = =-2(n+ n n 49 )+40≤-2×2× 49+40=12, n 49 当且仅当 n= , n=7 时, 即 年平均赢利额最大. n ∴经过 7 年捕捞后年平均赢利额最大, 共赢利 12×7+26=110(万元).

②∵y=-2n +40n-98=-2(n-10) +102, ∴当 n=10 时,ymax=102, 即经过 10 年捕捞后赢利最大, 共赢利 102+8=110(万元). 故两种方案最大赢利额相等, 但方案②的时间长, 所以方案①合算.

2

2

a 【点评】 对于形如 y=t+ 函数形式的最值问 t 题,在使用基本不等式时若等号取不到,一般再 利用函数的单调性研究最值问题.

自我挑战 4 设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840 cm ,画面的宽与高的比为 λ,画面的上、下 各留 8 cm 的空白,左、右各留 5 cm 的空白.如 2 3 果要求 λ∈[ , ],那么 λ 为何值时,能使宣传画 3 4 所用纸张面积最小?
2

解:设画面高为 x cm,宽为 λx cm,则 λx =4840. 22 10 所以 x= . λ 2 设纸张面积为 S cm ,则有 2 S=(x+16)(λx+10)=λx +(16λ+10)x+160. 22 10 将 x= 代入上式,得 λ 5 S=5000+44 10(8 λ+ ). λ

2

2 3 2 3 又 λ∈[ , ],设 ≤λ1 <λ2≤ , 3 4 3 4 则由 S 的表达式,得 S(λ1 )-S(λ2 ) 5 5 =44 10(8 λ1 + -8 λ2 - ) λ1 λ2 5 =44 10( λ1 - λ2 )(8- ). λ1 λ2 2 5 5 由于 λ1 λ2 > > ,故 8- >0, 3 8 λ1 λ2 因此 S(λ1 )-S(λ2 )<0.

2 3 2 所以 S(λ)在区间[ , ]内单调递增, 从而, λ= 时, 当 3 4 3 2 4840 S(λ)取得最小值,此时 x = =7260,x≈85, 2 3 2 λx=85× ≈57. 3 所以,画面高 85 cm,宽 57 cm 时,所用纸张面积最 2 3 2 小,若要求 λ∈[ , ],则 λ= 时,所用纸张面积最 3 4 3 小.

方法感悟

利用基本不等式与最大(小)值定理解决实际问题
时的解题步骤:

(1)认真分析理解题意,设变量.设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为函数;

(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函
数的最大值或最小值问题;

(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值(有 时还需要进行恰当的恒等变形、分析变量、配 置系数,凑出“正数”、“定值”、“相等” 三个条件); (4)给出问题的答案.


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