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深圳市2013年高三年级第一次调研考试理科数学试题


绝密★启用前

试卷类型:A

2013 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学 (理科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码 是否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学 校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴 条形码区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂 的,答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来 的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案 无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、 错涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:

2013.2

1 若锥体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 V ? Sh . 3 4 若球的半径为 R ,则球的表面积为 S ? 4?R 2 ,体积为 V ? ?R 3 . 3
? ? bx ? a ,其中 b ? 回归方程为 y

∑? x
n i ?1

i

? x yi ? y
i

??

?

∑?x
n i ?1

?x

?

2

, a ? y ? bx .

一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的.
1.化简 sin 2013? 的结果是 A. sin 33? B. cos 33? C. ? sin 33? D. ? cos 33?

2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

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2.已知 i 是虚数单位,则复数 i13 ( 1 ? i) ? A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ?1 ? i

3.图 1 是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该 几何体的表面积、体积分别是 A. 32? 、
128 ? 3

2 4
正(主)视图 侧(左)视图

4

32 B. 16? 、 ? 3

C. 12? 、 D. 8? 、

16 ? 3
俯视图 图1

16 ? 3

4.双曲线 x 2 ? my 2 ? 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m ? 1 1 A. B. C. 2 4 2

D. 4

5.等差数列 {an } 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的 任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第一行 第二行 第三行 第二列 第三列

2 8

3 6 9

5 14 13

11

则 a4 的值为 A. 18 B. 15 C. 12 D. 20 6.我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数” (如 2013 是“六合数” ) ,则“六合 数”中首位为 2 的“六合数”共有 A. 18 个 B. 15 个 C. 12 个 D. 9 个

( ? 2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于 7.函数 y ? ln x ? 1 的图像与函数 y ? ?2 cos πx
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

8.函数 y ? f ( x) , x ? D ,若存在常数 C ,对任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使得
f x) ( f x1)( f x2) ?C, 则称函数 ( 在 D 上的几何平均数为 C . 已知 ( f x) ? x3,x ?[1, 2],

则函数 ( f x) ? x3 在[1, 2] 上的几何平均数为 A. 2 B.2 C.4 D. 2 2
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二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分 为必做题和选做题两部分.
(一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须 作答.
5 9.若 ( 1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 ,则 a3 ?

开始 输入N



k=1,S=0

10.容量为 60 的样本的频率分布直方图共有 n(n ? 1)个小矩形,若其中一 S ? S ?
1 个小矩形的面积等于其余 n ? 1 个小矩形面积和的 ,则这个小矩形对 5

1 k (k ? 1)

k=k+1 k≥N 是 输出S 结束
图2

应的频数是





( x, y ) x ? 4, y ? 0, x ? y 2 ? 0} , 11. 已知 ? ? { ( x, y ) x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0} ,A ? {
若向区域 ? 上随机投一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率是 12.若执行图 2 中的框图,输入 N ? 13 ,则输出的数等于 ,即为“ S ? 0 ”或为“ S :? 0 ” . ) (注: “S ?0” “ ?t ? R , A ∩ B ? ? ”是真命题,则实数 a 的取值范围是 . .

图2

13 . 设 集 合 A ? { ( x, y )( x ? 4)2 ? y 2 ? 1} , B ? { ( x, y )( x ? t )2 ?( y ? at ? 2)2 ? 1} , 如 果 命 题 .

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题 的得分. 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴

?x ? t , ? 为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C2 的极坐标 ? ? y ? t ? 1.
方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? 3 ,则 C1 与 C2 交点在直角坐标系中的坐标为 15. (几何证明选讲选做题)如图 3 ,在 ⊙O 中,直径 AB 与弦 CD 垂 直,垂足为 E , EF ? BC ,垂足为 F ,若 AB ? 6 , CF ? CB ? 5 , 则 AE = .
C


F
O
?

A E

B

D

图3

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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤.
16. (本小题满分 12 分)
? ?x ? ? 已知函数 ( , 点 A 、B 分别是函数 y ? ( 图像上的最高 f x) f x) ? 2 sin ? ? ? ( ? 0 ? x ? 5) ? 6 3?

点和最低点. (1)求点 A 、 B 的坐标以及 OA ? OB 的值; 的值. (2)设点 A 、 B 分别在角 ? 、 ? 的终边上,求 tan (? ? 2 ?)

17. (本小题满分 12 分) 一次考试中,五名同学的数学、物理成绩如下表所示:
学生 数学( x 分) 物理( y 分)

A1 89 87

A2 91 89

A3 93 89

A4 95 92

A5 97 93

(1)请在图 4 的直角坐标系中作出这些数据的散点图,并求出这些数据的回归方程; (2)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动,以 X 表示选中的同学 的物理成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E 的值. (X)
y(物理成绩)

94 92 90 88

O

89

91

93

95

97

x(数学成绩)

图4

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18. (本小题满分 14 分) 如图 5 , ⊙O 的直径 AB ? 4 ,点 C 、 D 为 ⊙O 上两点,且 ?CAB =45 , ?DAB ? 60 , . F 为 BC 的中点.沿直径 AB 折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图 6 ) (1)求证: OF// 平面 ACD ; (2)求二面角 C - AD - B 的余弦值; (3)在 BD 上是否存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ?若存在,试指出点 G 的位置,并求直 线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值;若不存在,请说明理由.

C

? F
A

?
B

C

? O
D
图5

?
?

?F
B

A

O
图6

?

D

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足: an ? 2 ? p ? a1 ? 1 , a2 ? a(a ? 0) , (1)判断数列 { (2)求 an ; (3)当 a ? 1 时,令 bn ?
an ?1 } 是不是等比数列? an
nan ? 2 , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,求 Sn . an

an ?12 (其中 p 为非零常数, n ? N* ) . an

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20. (本小题满分 14 分) 及 F2 ,点 P 在以 F1、F2 为焦点的椭圆 C 上,且 PF1 、 F1 F2 、 已知两点 F( ) ( 1, 0) 1 ? 1, 0

PF2 构成等差数列.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图 7,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M , N 是直线 l 上的两 点,且 F1 M ? l , F2 N ? l .求四边形 F1 MNF2 面积 S 的最大值. l y M N F1 O F2 x

图7

21. (本小题满分 14 分) a 已知 f(x) ,g (x) ? 2 ln x ? bx ,且直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g (x) 相切. ? x ? (a ? 0) x (1)若对[1, ? ?)内的一切实数 x ,不等式 f(x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; ?g (x) (2)当 a ? 1 时,求最大的正整数 k ,使得对[e, 3]( e ? 2.71828 ? ? ? 是自然对数的底数)内 的任意 k 个实数 x1 , x2 , , xk 都有 f(x1) ? f(x2) ? n 4i (3)求证: ∑ 2 . ? ln (2n ? 1 )(n ? N*) i ?1 4i ? 1 成立; ? f(xk ?1) ? 16 g (xk)

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