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高三年级质量调研考试数学试卷


2011 闵行区高三年级第二学期质量调研考试 数 学 试 卷(理科)
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚,并填涂准考证号.选择题部 分必须使用 2B 铅笔填涂; 非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、 圆珠笔或签字笔书写. 2.本试卷共有 23 道题,共 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 3.考试后只交答题纸,试卷由考生自己保留.

一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.不等式 1 ? 2 x ? 8 的解是 2.计算 lim
n ??

. .

2 ? 3 ?? ? n ? n(n ? 2)

3.在等差数列 ?an ? 中, a3 ? 3 , a4 ? 5 ,则 a13 ? 4.已知复数 z ?

. .

i ( i 为虚数单位) z ? z ? ,则 2 ?i

开始 输入 a,b,c a?b b?c a?b 否 否

5.已知两条直线 l1 : ax ? 2 y ? 3 ? 0 , l 2 : 4 x ? 6 y ? 1 ? 0 . 若 l1 的一个法向量恰为 l 2 的一个方向向量,则 a ? 6.函数 y ? cos 2 x ? 3sin x cos x 的最小值为 . .

a?b
是 b?c

n 7.设二项式 (3 3 x ? ) 的展开式的各项系数的和为 p ,所

1 x

a?b
是 输出 a 结束

有二项式系数的和为 q , p ? q ? 272 , n 的值为 且 则



, , 8.如右图,若输入的 a ? ?5.5 b ? 2 c ? ?4 ,则执行该
程序框图所得的结果是 . x
P(? ? x)

9. 已知随机变量 ? 的分布列如下表, 则随 机变量 10? ? 1 的均值是 .

1 a

2 0.4

3 0.2

4 0.1

5 0.2 .

10. 极坐标系中, A(1, ? ) 到曲线 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 上的点的最短距离是 点

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11.设 P 为双曲线 最小值为

x2 ? y 2 ? 1 虚轴的一个端点, Q 为双曲线上的一个动点,则 PQ 的 2 a

2
x

12.已知曲线 C : x ? y 2 ? 9 ( x ? 0, y ? 0) 与函数 y ? ln x 及函数 y ? e 的图像分别 交于点 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,则 x1 ? x2 的值为
2 2



13 . 问 题 “ 求 方 程 3x ? 4 x ? 5x 的 解 ” 有 如 下 的 思 路 : 方 程 3x ? 4 x ? 5x 可 变 为

(3) x ? (4) x ? 1 ,考察函数 f (x) ? (3) x ? (4) x 可知, f (2) ? 1 ,且函数 f (x) 在 R 上单 5 5 5 5 调递减,∴原方程有唯一解 x ? 2 .
仿照此解法可得到不等式: x6 ? (2 x ? 3) ? (2 x ? 3)3 ? x2 的解是 14 . 若 f ( x ) ? .

f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ? 2012? ? f1 ?1? ? f2 ?1? ? ? ? f2012 ?1? =

x , f1 ( x) ? f ( x) , f n(x) ? f n?1 ? f ? x ?? ? n ? 2 n ?N* ? , 则 , x ?1


二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知向量 a、b 都是非零向量, a ? b ?| a | ? | b | ”是“ a // b ”的 “ (A)充分非必要条件. (C)充要条件. 16.要得到 y ? sin(2 x ? (A) 向右平移 (B) 必要非充分条件. (D)既非充分也非必要条件. [答]( )

?

?

? ?

?

?

?

?

[答](



?
3

) 的图像,只需将 y ? sin 2 x 的图像

? 个单位. 3 ? (C) 向右平移 个单位. 6

? 个单位. 3 ? (D) 向左平移 个单位. 6
(B) 向左平移

P

A B C 17.如图,三棱锥的四个顶点 P、 、 、 在同一个球面上, 顶点 P 在平面 ABC 内的射影是 H ,若球心在直线 PH A 上,则点 H 一定是 ?ABC 的 [答]( ) (A) 重心. (B) 垂心. (C) 内心. (D) 外心.
18.方程

H B

C

x| x| y| y| ? ? ?1 的曲线即为函数 y ? f (x) 的图像,对于函数 y ? f (x) ,有 16 9

如下结论:① f (x) 在 R 上单调递减;②函数 F( x) ? 4 f (x) ? 3x 不存在零点;③

y ? f (| x |) 的最大值为 3 ; ④若函数 g(x) 和 f (x) 的图像关于原点对称, y ? g(x) 则
由方程

y| y| x| x| ? ? 1 确定.其中所有正确的命题序号是 16 9
(B) ②③. (C) ①④.

[答]( (D) ①②.



(A) ③④.

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三. 解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 已 知 p:z ? ( x ? 1) ? 4 ( 其 中 x ? R , i 是 虚 数 单 位 ) 的 模 不 大 于 5 , 和 i

?3 x 2 ,试判断该命题及其逆命 q: 2 x x ? 3 ,若利用 p、 q 构造一个命题“若 p ,则 q ” 1 0 0
题的真假,并说明理由.

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,每小题满分各 7 分. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA ? 平面 ABCD ,PB、PD 与平面 ABCD 所成的角依次是 45? 和 arctan

1 , AP ? 2 , 2

P

E、F 依次是 PB、PC 的中点. (1) 求直线 EC 与平面 PAD 所成的角(结果用反三角函数值
表示); (2)求三棱锥 P ? AFD 的体积. B E A

F D C

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,每小题满分各 7 分. 如图,两铁路线垂直相交于站 A,若已知 AB=100 千米,甲火车从 A 站出发,沿 AC 方向以 50 千米/小时的速度行驶, 同时乙火车从 B 站出发, BA 方向以 v 千米/小时的 沿 速度行驶,至 A 站即停止前行(甲车仍继续行驶) (两车的车长忽略不计). (1)求甲、乙两车的最近距离(用含 v 的式子表示) ; B (2)若甲、乙两车开始行驶到甲,乙两车相距最近时所用时间为

t 0 小时,问 v 为何值时 t 0 最大?
A C

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22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第 (3)小题满分 6 分.

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点分别为 F1、F2 , P 是椭圆在第一象限内的一点,并 4 2 ???? ???? ? 满足 PF ? PF2 ? 1 ,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点. 1 (1)求 P 点坐标 ; (2)当直线 PA 经过点 (1 2) 时,求直线 AB 的方程; , (3)求证直线 AB 的斜率为定值.
已知椭圆

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 如图, y 轴的正半轴上依次有点 A、A2、 、An、 , 在 ? ? 其中点 A1 (0, 1) 、A2 (0, 10) , 1 且 | An?1 An |? 3 | An An?1 | (n ? 2,3,4,?) , 在 射 线 y ? x( x ? 0) 上 依 次 有 点 ,且 B1、B2、 、Bn、 ,点 B1 的坐标为(3,3) | OBn |?| OBn?1 | ?2 2 (n ? 2,3,4,?) . ? ? (1)求 | An An?1 | (用含 n 的式子表示) ; y An+1 (2)求点 An 、 Bn 的坐标(用含 n 的式子表示) ; An (3)设四边形 An Bn Bn ?1 An ?1 面积为 Sn ,问 {Sn } 中是否 存在不同的三项恰好成等差数列?若存在,求出所有这样 的三项,若不存在,请说明理由. A1 O B1 x A2 Bn B2 Bn+1

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