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《等比数列的前n项和》课件1


2.5等比数列的前n项和

复习回顾
上节课我们学习了等比数列的有关知识,现在 请同学们首先回顾一下等比数列的有关内容: 等 比 数 an ? q( n ? 2, q ? 0) an ?1 列

定义式 (递推 公式) 通项公式

an a2 a3 a4 ?q(n≥2,q≠0) ? ? ?… = 即: an

?1 a1 a2 a3

an= a1qn-1 (a1≠0且q≠0)

情境导入

国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋 有这样一个传说:国王要奖赏国际象棋的发明者, 问他想要什么.发明者说:“陛下,请您在这张 棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子,在第 二个小格内给两粒,第三格内给四粒,依次类 推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里 放的麦粒数的2倍,直到第64个格子填满为止. 把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒,都赏给您 的仆人吧.”国王觉得这并不是很难办到的事, 就欣然同意了他的要求.你认为国王应该给发明 者多少粒麦粒呢?国王有能力满足发明者的要求 吗?

即求: 1 + 21+ 22+ 23+ 263… +

=?

问题探究:求以1为首项2为公比的等比数列的前64项的和

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 .
2 3 62 63

两边同乘公比2,得 2S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ? ? 263 ? 264. 将上面两式列在一起,进行比较



S64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ,
2 3 63

2 S64 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264.
② - ①,得

S64 ? 2 ? 1
64

19 264 ? 1 超过了1 .84 ?10 ,假定千粒麦子的质量 说明: 为 40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.所以国 王是不可能同意发明者的要求.

类比探究

求等比数列的前n项和公式

提出问题:已知等比数列{an},公比为q,
求 Sn=a1+a2+…+an Sn =a1+a1q+a1q2 + … +a1qn—1 ① 从第二项起,每 一项为前一项的q 倍 我们注意观察相邻两项的结构,有何特点?

如果将等式①两边同乘q,则得到一个新的等式
qSn= a1q+a1q2+a1q3 + … +a1qn ②

Sn=a1+a2+…+ an
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 ……①

qSn=
① - ②得

a1q+a1q2+…+a1qn-1 +a1qn ……②
Sn-qSn=a1-a1qn

a1 ? a1q n a1 ? 1 ? q n ? 公式一:⑴当q≠1时 Sn= 1 ? q ? 1? q Sn=na1 ⑵当q=1时
? a1 (1 ? q n ) ? 即:S n ? ? 1 ? q ? na ? 1 ( q ? 1) ( q ? 1)

(1-q)Sn=a1-a1qn

公式二:当q≠1时

a1 ? a1q n Sn ? 1? q a1 ? a1q q ? 1? q
a1 ? an q ? 1? q
n ?1

an= a1qn-1

等比数列的前n项和公式为:
? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ? na (q ? 1) ? 1 ? a1 ? an q (q ? 1) ? (1) Sn ? ? 1 ? q (2) ? na (q ? 1) ? 1

以上推导公式的方法我们称之为“错位相减法” 以下问题你能回答吗? 等比数列的前n项和公式可不只有上面 这种方法啊!它的推导方法还有好多种, n的n是项数n吗? 公式中的 q 是! 有兴趣的同学可别忘了下去研究啊

例1.求下列等比数列的前8项的和
1 1 1 1) , , , ? 2 4 8 1 2)a1 ? 27, a9 ? ,q ? 0 243

1 1 1 1 a1 ? , q ? ? ? , 解 : ( 1) 由 4 2 2 2

n=8,得

8 8 ? ? ? 1 1 1? ? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 2? ? 2? ? ? 2? ? ? ? ? ? S8 ? ? 1 1 1? 2 2 8 255 ?1? ? 1? ? ? ? 256 ? 2?

1 1 8 2 ? a ? 27, a ? , ? ? 27 ? q ? ? 1 9 243 243

1 ? q ? 0,? q ? ? 3
? ? 1 ?8 ? 27 ?1 ? ? ? ? ? ? 3? ? 1640 ? ? ? ? n ? 8, S8 ? ? 81 ? 1? 1? ? ? ? ? 3?

例2.某商场今年销售计算机5000台.如果平均每年的 销售量比上一年的增加10%,那么从今年起,大约 几年可使总销售量达到300000台(保留到个位)?

解:根据题意,每年的销售量比上一年增加的 百分率相同,所以从第1年起,每年的销售量 组成一个等比数列{an}. 其中:a1=5, q=1+10%=1.1, Sn=300000;
5(1 ? 1.1n ) n ? 300000 于是得到: 1 ? 1.1 整理得: 1.1 =1.6

lg1.1=lg1.6 两边取对数:n·

lg1.6 0.20 ?n ? ? ?5 lg1.1 0.041

答:约5年内可以使总销售量达到300000台.

练习

根据下列条件,只需列出等比数列?an ? 的
前n项和

sn
Sn ?

⑴ a1 ? 3, q ? 2, n ? 6;

3 ? 1 ? 26 ?

1? 2 1 1 ?2.7 ? ? ( ? ) 90 3 1 1 1 ⑵ a1 ? ?2.7, q ? ? , an ? ; Sn ? 1? 3 90 3

练习
⑶等比数列 1,2,4,? 从第5项到第10项的和为
S?
? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q (q ? 1) (q ? 1) ? ? Sn ? ? 1 ? q , Sn ? ? 1 ? q ? na (q ? 1) ? na (q ? 1) ? 1 ? 1

通过上面例题与习题的求解,可以看出, 在公式中涉及到了五个量,我们只要知道其中 的三个量,利用等比数列的通项公式,及等比 数列的前n项和公式就可以求出另外两个量.即 “知三求二”.

小结
1、两个公式:
? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ? na (q ? 1) ? 1 ? a1 ? an q (q ? 1) ? (1) , S n ? ? 1 ? q (2) ? na (q ? 1) ? 1

2、方法: 错位相减法 3、两种思想: 分类讨论的思想(q=1和q≠1) 方程思想(知三求二)

谢谢大家!


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