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第7讲 归纳与猜想


广东省中考数学第 2 轮复习

第 7讲

归纳与猜想专题

归纳与猜想问题指的是给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表) ,考生通过认真分析,仔 细观察,综合归纳,大胆猜想,得出结论,进而加以验证的数学探索题。 其解题思维过程是:从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论,这类问 题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。 常见类题:

范例精讲【归纳与猜想】 例 1 观察右面的图形(每个正方形的边长均为 1)和相应等式,探究其中的规律: 1 1 ①1× =1- 2 2 2 2 ②2× =2- 3 3 3 3 ③3× =3- 4 4 4 4 ④4× =4- 5 5 ?? ⑴写出第五个等式,并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示:

⑵猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式。

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例 2 将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形, 然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片, 再将其中的一小片正方形纸片剪成四片,如此循环进行下去,将结果填在下表中,并解答所提出的问题: 所剪次数 正方形个数 1 4 2 7 3 10 4 13 5 16 ? ?

⑴如果能剪 100 次, 共有多少个正方形?据上表分析, 你能发现什么规律? ⑵如果剪 n 次共有 An 个正方形,试用含 n、An 的等式表示这个规律; ⑶利用上面得到的规律,要剪得 22 个正方形,共需剪几次? ⑷能否将正方形剪成 2004 个小正方形?为什么? ⑸若原正方形的边长为 1,设 an 表示第 n 次所剪的正方形的边长,试用含 n 的式子表示 an; ⑹试猜想 a1+a2+a3+?+an 与原正方形边长的关系,并画图示意这种关系.

例 3 下图中,图⑴是一个扇形 AOB,将其作如下划分: 第一次划分:如图⑵所示,以 OA 的一半 OA1 为半径画弧,再作∠AOB 的平分线,得到扇形的总数为 6 个,分别为:扇形 AOB、扇形 AOC、扇形 COB、扇形 A1OB1、扇形 A1OC1、扇形 C1OB1; 第二次划分:如图⑶所示,在扇形 C1OB1 中,按上述划分方式继续划分,可以得到扇形的总数为 11 个;第三次划分:如图⑷所示;??依次划分下去. C A O 图⑴ B A A1 C1 B1 B A A1 C C1 B1 B 图⑷第三次划分

O 图⑵第一次划分

O 图⑶第二次划分

⑴根据题意,完成右表: ⑵根据上表, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为 2005 个? 为什么?

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同步训练:
1. 【烟台 03,桥西 03~04】如图,细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题: ( 1)2+1=2 ( 2)2+1=3 ( 3)2+1=4 S1= S2= S3= 1 2 2 2 3 2 A4 1 A 3 A5 1 1 1 S4 S3 A2 S2 A6 S5 S1 1 ? A1 O 1

⑴请用含有 n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律; ⑵推算出 OA10 的长; ⑶求出 S12+S22+S32+?+S102 的值.

2. 观察图 1 至图 5 中小黑点的摆放规律,并按照这样的规律继续摆放,记第 n 个图中的小黑点的个数为 y.

图1

图2

图3

图4

图5

解答下列问题: ⑴填表:

⑵当 n=8 时,y=



⑶你能猜想 y 与 n 之间的关系式吗?你是怎么得到的,请与同伴交流; ⑷下边给出一种研究方法。请你根据上表中的数据,把 n 作为横坐标,把 y 作为纵坐标,在平面直角 坐标系中描出相应的各点(n,y).猜一猜上述各点是否在某一函数的图象上?如果在某一函数的图 象上,请你求出该函数的关系式。

3.一个自然数 a 恰等于另一个自然数 b 的平方,则称自然数 a 为完全平方数,如 64=82,64 就是一 个完全平方数.若 a=20022+20022×20032+20032,求证:a 是一个完全平方数,并写出 a 的平方根.

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4.下列是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形. 仔细观察图形可知: 图① 有 1 块黑色的瓷砖,可表示 1 ?

(1 ? 1) ?1 ; 2

图② 有 3 块黑色的瓷砖,可表示为 1 ? 2 ?

(1 ? 2) ? 2 ; 2
(1 ? 3) ? 3 ; 2

图③ 有 6 块黑色的瓷砖,可表示为 1 ? 2 ? 3 ?

图①

图②

图③

图④

实践与探索: ⑴请在图④ 的虚线框内画出第 4 个图形; (只须画出草图) ⑵第 10 个图形有 ⑶第 n 个图形有 块黑色的瓷砖; (直接填写结果) 块黑色的瓷砖. (用含 n 的代数式表示)

5.随着信息技术的高速发展,电话进入了千家万户,据调查某校初三⑴班的同学家都装上了电话,暑假 期间全班每两个同学都通过一次电话,如果该班有 56 名同学,那么同学们之间共通了多少次电话? 为解决该问题,我们可把该班人数 n 与通电话次数 s 间的关系用下列模型来表示:

⑴若把 n 作为点的横坐标,s 作为纵坐标,根据上述模型中的数据,在给 出的平面直角坐标系中,描出相应各点,并用平滑的曲线连接起来; ⑵根据图中各点的排列规律,猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象 上?如果在,求出该函数的解析式; ⑶根据⑵中得出的函数关系式,求该班 56 名同学间共通了多少次电话.

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6.在数学活动中,小明为了求 何图形。 ⑴请你利用这个几何图形, 求

1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n 的值(结果用 n 表示) ,设计如图 1 所示的几 2 2 2 2 2
1 2
1 22
1 24

1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n 的值为 2 2 2 2 2

1 23

; 图1 图2

⑵请你利用图 2, 再设计一个能求

1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n 的值的几何图形。 2 2 2 2 2

7.如图,正方形表示一张纸片,根据要求需多次分割,把它分割成若干个直角三角形.操作过程如下:第 一次分割,将正方形纸片分成 4 个全等的直角三角形,第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成 4 个全等的直角三角形;以后按第二次分割的作法进行下去. ⑴请你设计出两种符合题意的分割方案图; ⑵设正方形的边长为 a,请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的直 角三角形的面积 S 填入下表: 分割次数 n 最小直角三角形的面积 S 1 2 3 ? ?

1 2 a 4

⑶在条件⑵下,请你猜想:分割所得的最小直角三角形面积 S 与分割次数 n 有什么关系?用数学表达 式表示出来.

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8.下面的图形是由边长为 1 的正方形按照某种规律排列而组成的.

?? ① ⑴观察图形,填写下表: ② ③

⑵推测第 n 个图形中,正方形的个数为

,周长为

(都用含 n 的代数式表示) ; .

⑶这些图形中,任意一个图形的周长 y 与它所含正方形个数 x 之间的关系式为 y=

9.定义:若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形,则称这个图形是自相似图形。 探究:一般地, “任意三角形都是自相似图形” ,只要顺次连结三角形各边中点,则可将原三角形 分割为四个都与它自己相似的小三角形。我们把△DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分 割,称为 1 阶分割(如图 1) ;把 1 阶分割得出的 4 个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分 割,称为 2 阶分割(如图 2)??依次规则操作下去。n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三 角形(n 为正整数) ,设此时小三角形的面积为 Sn. ⑴若△DEF 的面积为 10000,当 n 为何值时,2<Sn<3?(请用计算器进行探索,要求至少写出三次 的尝试估算过程) ⑵当 n>1 时,请写出一个反映 Sn-1,Sn,Sn+1 之间关系的等式(不必证明) 。

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第 6讲

归纳与猜想专题

归纳与猜想问题指的是给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表) ,考生通过认真分析,仔 细观察,综合归纳,大胆猜想,得出结论,进而加以验证的数学探索题。 其解题思维过程是:从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论,这类问 题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。 常见类题:

范例精讲【归纳与猜想】 例 1 观察右面的图形(每个正方形的边长均为 1)和相应等式,探究其中的规律: 1 1 ①1× =1- 2 2 2 2 ②2× =2- 3 3 3 3 ③3× =3- 4 4 4 4 ④4× =4- 5 5 ?? ⑴写出第五个等式,并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示:

⑵猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式。 5 5 解:⑴5× =5- 6 6 ⑵n?

n n ?n? 。 n ?1 n ?1

例 2 将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形, 然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片, 再将其中的一小片正方形纸片剪成四片,如此循环进行下去,将结果填在 下表中,并解答所提出的问题:

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所剪次数 正方形个数

1 4

2 7

3 10

4 13

5 16

? ?

⑴如果能剪 100 次,共有多少个正方形?据上表分析,你能发现什么规律? ⑵如果剪 n 次共有 An 个正方形,试用含 n、An 的等式表示这个规律; ⑶利用上面得到的规律,要剪得 22 个正方形,共需剪几次? ⑷能否将正方形剪成 2004 个小正方形?为什么? ⑸若原正方形的边长为 1,设 an 表示第 n 次所剪的正方形的边长,试用含 n 的式子表示 an; ⑹试猜想 a1+a2+a3+?+an 与原正方形边长的关系,并画图示意这种关系. 解:⑴100×3+1=301,规律是:本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数 多 3 个; ⑵An=3n+1; ⑶若 An=22,则 3n+1=22,∴n=7,故需剪 7 次; ⑷若 An=2004,则 3n+1=2004,此方程无自然数解, ∴不能将原正方形剪成 2004 个小正方形; 1 ⑸an= n; 2 1 1 1 3 1 1 1 7 ⑹a1= <1,a1+a2= + = <1,a1+a2+a3= + + = <1,??从而猜想到: 2 2 4 4 2 4 8 8 a1+a2+a3+?+an<1.直观的几何意义如图所示。 例 3 下图中,图⑴是一个扇形 AOB,将其作如下划分: 第一次划分:如图⑵所示,以 OA 的一半 OA1 为半径画弧,再作∠AOB 的平分线,得到扇形的总数为 6 个,分别为:扇形 AOB、扇形 AOC、扇形 COB、扇形 A1OB1、扇形 A1OC1、扇形 C1OB1; 第二次划分:如图⑶所示,在扇形 C1OB1 中,按上述划分方式继续划分,可以得到扇形的总数为 11 个;第三次划分:如图⑷所示;??依次划分下去. C A O 图⑴ B A A1 C1 B1 B A A1 C C1 B1 B 图⑷第三次划分 a1 1 a2 a3

O 图⑵第一次划分

O 图⑶第二次划分

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⑴根据题意,完成下表: 划分次数 1 2 3 4 ? n 扇形总个数 6 11 16 21 ? 5n+1

⑵根据上表,请你判断按上述划分方式,能否得到扇形的总数为 2005 个?为什么? 解:由 5n+1=2015,得 n= 5 ,∵n 是整数,∴可能。
2004

同步训练:
3. 【烟台 03,桥西 03~04】如图,细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题: ( 1)2+1=2 ( 2)2+1=3 ( 3)2+1=4 S1= S2= S3= 1 2 2 2 3 2 A4 1 A 3 A5 1 1 1 S4 S3 A2 S2 A6 S5 S1 1 ? A1 O 1

⑴请用含有 n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律; ⑵推算出 OA10 的长; ⑶求出 S12+S22+S32+?+S102 的值. 解:⑴( n)2+1=n+1,Sn= n ; 2

⑵∵OA1= 1,OA2= 2,OA3= 3,?,∴OA10= 10; 1 55 ⑶S12+S22+S32+?+S102= (1+2+3+?+10)= . 4 4 4. 观察图 1 至图 5 中小黑点的摆放规律,并按照这样的规律继续摆放,记第 n 个图中的小黑点的个数为 y.

图1

图2

图3

图4

图5

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解答下列问题: ⑴填表: n y 1 1 2 3 3 7 4 13 5 21 ? ?

⑵当 n=8 时,y= 57 ; ⑶你能猜想 y 与 n 之间的关系式吗?你是怎么得到的,请与同伴交流; ⑷下边给出一种研究方法。请你根据上表中的数据,把 n 作为横坐标,把 y 作为纵坐标,在平面直角 坐标系中描出相应的各点(n,y).猜一猜上述各点是否在某一函数的图象上?如果在某一函数的图 象上,请你求出该函数的关系式。 解:⑴观察 y 这一行,后面的数比前一个数依次增大 2,4,6,?,2(n-1) , 所以当 n=5 时,y=13+2(5-1)=21; ⑵由⑴知,当 n=8 时,y=21+10+12+14=57; ⑶略; ⑷根据点的排列情况,在一条曲线上,猜想是抛物线,图象略。 设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c,由(1,1) 、 (2,3) 、 (3,7)三点可得,

? ? ?a+b+c=1 ?a=1 ?4a+2b+c=3,解得?b=-1,故所求的函数关系式为 y=x2-x+1. ?9a+3b+c=7 ?c=1 ? ?
反思:问题通过从“特殊”到“一般”的归纳过程来探究规律结果,先在坐标系中描出各点的位置, 再依据点的位置特征判断变量之间可能的关系,最后根据猜想求解,这正是“课标”倡导的思想。

3.一个自然数 a 恰等于另一个自然数 b 的平方,则称自然数 a 为完全平方数,如 64=82,64 就是一 个完全平方数.若 a=20022+20022×20032+20032,求证:a 是一个完全平方数,并写出 a 的平方根. 解:先从较小的数字探索: a1=12+12×22+22=32=(1×2+1)2,a2=22+22×32+32=72=(2×3+1)2, a3=32+32×42+42=132=(3×4+1)2,a4=42+42×52+52=212=(4×5+1)2,? 于是猜想:a=20022+20022×20032+20032=(2002×2003+1)2=(4010007)2, 证明采用配方法(略) . 推广到一般,若 n 是正整数,则 a=n2+n2(n+1)2+(n+1)2 是一个完全平方数[n(n+1)+1]2. 解题策略:猜想是数学中重要的思想和方法之一。较大的数字问题可仿较小数字问题来处理,实现了 以简驭繁的策略。在解题时,如果你不能解决所提出的问题,可先解决“一个与此有关的问题” 。你能不
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能想出一个更容易着手的问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?你能否解决这个问题的一部 分?这就是数学家解题时的“绝招” 。 4.下列是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形. 仔细观察图形可知: 图① 有 1 块黑色的瓷砖,可表示 1 ?

(1 ? 1) ?1 ; 2

图② 有 3 块黑色的瓷砖,可表示为 1 ? 2 ?

(1 ? 2) ? 2 ; 2
(1 ? 3) ? 3 ; 2

图③ 有 6 块黑色的瓷砖,可表示为 1 ? 2 ? 3 ?

图① 实践与探索:

图②

图③

图④

⑴请在图④ 的虚线框内画出第 4 个图形; (只须画出草图) ⑵第 10 个图形有 ⑶第 n 个图形有 块黑色的瓷砖; (直接填写结果) 块黑色的瓷砖. (用含 n 的代数式表示)

1 解:⑴如右图;⑵55, n(n+1) (n 为正整数) ; 2 3 5.观察下列图形,如图所示,若第 1 个图形中的空白面积为 1,第 2 个图形中非阴影部分的面积为 , 4 9 27 第 3 个图形中非阴影部分的面积为 ,第 4 个图形中非阴影部分的面积为 ,??探究:第 n 个图形中非 16 64 阴影部分的面积为多少(用字母 n 表示)?









3 3 - 解:当 n=1 时,S=1;当 n=2 时,S= =( )2 1; 4 4 9 3 - 27 3 - 当 n=3 时,S= =( )3 1;当 n=4 时,S= =( )4 1; 16 4 64 4 3 - 所以,第 n 个图形中非阴影部分的面积为( )n 1; 4

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3 点拨:认真分析 n、S 与 三者之间存在的内在关系探求其规律。 4 6.随着信息技术的高速发展,电话进入了千家万户,据调查某校初三⑴班的同学家都装上了电话,暑假 期间全班每两个同学都通过一次电话,如果该班有 56 名同学,那么同学们之间共通了多少次电话? 为解决该问题,我们可把该班人数 n 与通电话次数 s 间的关系用下列模型来表示:

⑴若把 n 作为点的横坐标,s 作为纵坐标,根据上述模型中的数据,在给出的平面直角坐标系中,描 出相应各点,并用平滑的曲线连接起来; ⑵根据图中各点的排列规律,猜一猜上述各点会不会在某一函数 的图象上?如果在,求出该函数的解析式; ⑶根据⑵中得出的函数关系式, 求该班 56 名同学间共通了多少次 电话. 解:⑴略; ⑵根据图中各点的排列规律,猜想各点可能在一个二次函数的图象上,用待定系数法可求得 s=

1 2 1 n - n; 2 2 1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n 的值(结果用 n 表示) ,设计如图 1 所示的几 2 2 2 2 2
1 2
1 22
1 24

⑶ 当 n=56 时,s=1540; 7.在数学活动中,小明为了求 何图形。 ⑴请你利用这个几何图形, 求

1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n 的值为 2 2 2 2 2

1 23

; 图1 图2

⑵ 请 你 利 用 图

2 , 再 设 计 一 个 能 求

1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n 的值的几何图形。 2 2 2 2 2 1 解: (1) 1 ? n ; 2
(2)如图 1 或如图 2 或如图 3 或如图 4 等,图形正确。

1 2

1 1 24

1 22

2

3

???

1 2

1 22

1 3 1 2
24

???

1 2
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1 1 2 2 3 ???

2

??? 13
2

1 22

1 2

8.如图,正方形表示一张纸片,根据要求需多次分割,把它分割成若干个直角三角形.操作过程如下:第 一次分割, 将正方形纸片分成 4 个全等的直角三角形, 第二次分割将上次得到的直角三角 形中一个再分成 4 个全等的直角三角形;以后按第二次分割的作法进行下去. ⑴请你设计出两种符合题意的分割方案图; ⑵设正方形的边长为 a,请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的直 角三角形的面积 S 填入下表: 分割次数 n 最小直角三角形的面积 S 1 2 3 ? ?

1 2 a 4

⑶在条件⑵下,请你猜想:分割所得的最小直角三角形面积 S 与分割次数 n 有什么关系?用数学表达 式表示出来. 解:⑴现提供如下三种分割方案:

⑵每次分割后得到的最小直角三角形的面积都是上一次最小直角三角形面积的

1 ,所以当 n=2 时, 4

1 1 2 1 2 1 1 2 × a= a ;当 n=3 时,S3= S2= a; 4 4 16 4 64 1 ⑶当分割次数为 n 时,Sn= n a2(n≥1,且 n 为正整数) . 4
S2= 9.下面的图形是由边长为 1 的正方形按照某种规律排列而组成的.

?? ① ⑴观察图形,填写下表: 图形 正方形的个数 图形的周长 ① 8 18 ② 13 28 ③ 18 38 ② ③

⑵推测第 n 个图形中,正方形的个数为 5n+3 ,周长为 10n+8 (都用含 n 的代数式表示) ; ⑶这些图形中,任意一个图形的周长 y 与它所含正方形个数 x 之间的关系式为 y=2x+2 . 10.定义:若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形,则称这个图形是自相似图形。 探究:一般地, “任意三角形都是自相似图形” ,只要顺次连结三角形各边中点,则可将原三角形
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分割为四个都与它自己相似的小三角形。我们把△DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分 割,称为 1 阶分割(如图 1) ;把 1 阶分割得出的 4 个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分 割,称为 2 阶分割(如图 2)??依次规则操作下去。n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三 角形(n 为正整数) ,设此时小三角形的面积为 Sn. ⑴若△DEF 的面积为 10000,当 n 为何值时,2<Sn<3?(请用计算器进行探索,要求至少写出三次 的尝试估算过程) ⑵当 n>1 时,请写出一个反映 Sn-1,Sn,Sn+1 之间关系的等式(不必证明) 。

解:⑴△DEF 经 n 阶分割所得的小三角形的个数为 当 n=5 时,S5=

1 10000 ,∴Sn= n 4n 4

10000 ≈9.77; S5 10000 ≈2.44; S6 10000 ≈0.61; S7

当 n=6 时,S6=

当 n=7 时,S7=

∴当 n=6 时,2<S6<3; ⑵ Sn
2

=S n?1 ×S n?1 ; (写出 S n?1 =4S n ,S n =4S n?1 可得 2 分)

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