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LS 高一数学函数值域求法及例题


捧着一颗心来 不带半根草去——陶行知

函数值域(最值)的常用方法 姓名:
一、基本函数的值域: 一次函数 y ? kx ? b ? k ? 0? 的值域为 R.

? 4ac ? b 2 ? 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? ,当 a ? 0 时的值域为 ? , ?? ? , ? 4a ? ? 4ac ? b 2 ? 当 a ? 0 时的值域为 ? ??, ?. 4a ? ?
反比例函数 y ?
k ? k ? 0 ? 的值域为 ? y ? R y ? 0? . x

指数函数 y ? a x ? a ? 0且a ? 1? 的值域为 ? y y ? 0? . 对数函数 y ? loga x ? a ? 0且a ? 1? 的值域为 R. 正,余弦函数的值域为 ??1,1? ,正,余切函数的值域为 R. 二、其它函数值域 一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数) 1、求 y ? ? x 2 ? 4 ? 2 的值域.

2、求函数 y ?

1 的值域. x ?1 ?1

二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域) 1、求函数 y ? 2 ? ? x 2 ? 4x ( x ? ?0, 4?) 的值域.

说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域 的限制. 2、若 x ? 2 y ? 4, x ? 0, y ? 0 ,试求 xy 的最大值。

君子有三乐,而王天下不与存焉。父母俱存,兄弟无故,一乐也;仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也;得天下英 才而教育之,三乐也。

师者 传道受业解惑者也

三、反表示法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易反解出自变量的函数类型) 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数,可以利用“原函数的定义域和值域分别为其 反函数的值域和定义域”这一性质,先求出其反函数,进而通过求其反函数的定义域的方法求 原函数的值域。 1、求函数 y ?
2x 的值域. x ?1
x2 ? 4 的值域. x2 ? 1

2、求函数 y ?

四、判别式法(分子、分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为

A( y) x 2 ? B( y) x ? C( y) ? 0 的形式,再利用判别式加以判断)
1、求函数 y ?
2x 2 ? 4x ? 7 的值域. x 2 ? 2x ? 3

2、求函数 y ? 3、

x ?1 的值域. x2 ? 2 x ? 2

五、 换元法 (通过简单的换元把一个函数变为简单函数, 其题型特征是无理函数、 三角函数 (用 三角代换)等) 1、求函数 y ? 2x ? 3 ? 13 ? 4x 的值域.

六、数形结合法(对于一些能够准确画出函数图像的函数来说,可以先画出其函数图像,然后 利用函数图像求其值域) 1、求函数 y ? x ?1 ? x ? 3 的值域。

七、不等式法(能利用几个重要不等式及推论来求得最值. (如: a 2 ? b 2 ? 2ab, a ? b ? 2 ab ) , 利用此法求函数的值域,要合理地添项和拆项,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果 中不含自变量,同时,利用此法时应注意取 " ?" 成立的条件. ) 1、求函数 y ? x ?
1 ( x ? 0) 的值域. x

捧着一颗心来 不带半根草去——陶行知

注意:在使用此法时一定要注意 a ? b ? 2 ab 的前提条件是 a>0,b>0,且能取到 a=b. 八、部分分式法(分离常数法) (分式且分子、分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转 化为为 y ? k ? f ( x) ( k为 常数)的形式) 1、求函数 y ?
x2 ? x 的值域. x2 ? x ?1

九、单调性法(利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域) 十、利用导数求函数的值域(若函数 f 在(a、b)内可导,可以利用导数求得 f 在(a、b)内 的极值,然后再计算 f 在 a,b 点的极限值。从而求得 f 的值域) 十一、最值法(对于闭区间[a,b]上的连续函数 y=f(x),可求出 y=f(x)在区间[a,b]内的极 值, 并与边界值 f(a)、f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数 y 的值域) 十二、构造法(根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合) 十三、 比例法 (对于一类含条件的函数的值域的求法, 可将条件转化为比例式, 代入目标函数, 进而求出原函数的值

求函数的值域 ① y ? 3x ? 1 , x∈{1,2,3,4,5 }.( 观察法 )

② y ? x2 ? 4x ? 6 ,x∈ ?1,5? .( 配方法 :形如 y ? ax2 ? bx ? c )

君子有三乐,而王天下不与存焉。父母俱存,兄弟无故,一乐也;仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也;得天下英 才而教育之,三乐也。

师者 传道受业解惑者也

③ y ? 2x ? x ?1 .( 换元法:形如 y ? ax ? b ? cx ? d ) ④y?
x cx ? d .( 分离常数法:形如 y ? ) x ?1 ax ? b

⑤y?

x2 a1 x 2 ? b1 x ? c1 . ( 判别式法:形如 ) y ? x2 ? 1 a2 x 2 ? b2 x ? c2

变式 1.求下列函数的值域 ① y ? 2 x2 ? 4 x ? 3 .② y ? x ? x ?1 .

③ y=

2 x2 ? 4 x ? 7 2x ?1 .④ y ? 2 . x?3 x ? 2x ? 3

⑤ y ? x ?3 ? x ?7 .

⑥ y ? 3x ?

9 ( x ? 0) 4x


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