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成都树德中学高2011级第四期4月阶段性数学试题(理科)


成都树德中学高 2011 级第四期 4 月阶段性数学试题(理科)
命题人 叶金明 审题人 陈杰 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分。在每小题给出的四个 备选选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.若直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 与直线 l2 : x ? (a ? 1) y ? (a ? 1) ? 0 平行,则 a 等于(


2

9.如图,已知椭圆中心在原点,F 是焦点,A 为顶点,准线 l(椭圆上的点到焦点 的距离与到准线的距离之比等于离心率)交 x 轴于点 B, P, Q 在椭圆上, PD⊥ 点 且 l 于 D,QF⊥ AO, 则①
| PF | | QF | | AO | | AF | | FO | ;② ;③ ;④ ;⑤ ,其中比 | PD | | BF | | BO | | AB | | AO |

值为椭圆的离心率的有( ) A.1 个 B.3 个 C.4 个 ) D .离心率相等 D.5 个
2 3


D B

l P Q A F

y

A.-1 或 2
2 2

B.-1
2

C.2
2

D.

x O

2.曲线

x y x y ? ? 1 与曲线 ? ? 1(k ? 9) 的( 25 9 25 ? k 9 ? k

A.长轴长相等

B.短轴长相等

C .焦距相等

10.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角 形,阿基米德三角形有一些有趣的性质,如:若抛物线的弦过焦点,则过弦的端 点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线 y2=2px(p>0),弦 AB 过焦点,△ABQ 为阿基米德三角形,则△ABQ 为( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.随 Q 位置变化前三种情况都有可能。

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 和双曲线 ? 2 ? 1 有公共的焦点,那么双曲线的渐 3.已知椭圆 3m 2 5n 2m 2 3n

近线方程是(

)
15 3 15 B. y ? ? x C. x ? ? y D. x ? ? y 2 4 2

3 A. y ? ? x 4

4.与圆 x2 ? y 2 ? 1及圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切的圆的圆心在( A.一个椭圆上 B. 一条抛物线上 C. 双曲线的一支上 )



二 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,答案填在答题卷上 11.过点 P(2, 3) ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 12.若实数 x,y 满足 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 ,则 t ? .

D.一个圆上

5.过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 作直线与抛物线交于 A、B 两点,以 AB 为 直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( A.相交 B. 相切 C.相离 D.与 p 的取值相关 )

x y ? 的最大值为____ 4 5

13.如果 P1 , P2 ,…, P 是抛物线 y 2 ? 4x 上的点,它们的横坐标 x1 , x2 ,…, x9 9 依次成等差数列,F 是抛物线的焦点,若 x5 ? 1 ,则 PF ? P F ? ?? P F ? ___. 1 2 9 14.设 p : (4x ? 3)2 ?1 ? 0, q : x2 ? (2m ?1) x ? m(m ?1) ? 0 ,若 p是 q 的必要不充分 条件,则实数 m 的取值范围是_______ 15.已知两定点 F1 (?1,0), F2 (1,0) 和一动点 P,给出下列结论: ① | PF1 | ? | PF2 |? 2 ,则点 P 的轨迹是椭圆; 若 ② | PF1 | ? | PF2 |? 1 ,则点 P 的轨迹是双曲线; 若 ③ 若
| PF1 | ? ? (? ? 0, ? ? 1) ,则点 P 的轨迹是圆; | PF2 |
? ?

6.抛物线 x2 ? 2 py ( p ? 0) 内接 Rt△OAB(O 为坐标原点)的斜边 AB 过点( A.(2p, 0) B.(p, 0) C.(0, 2p) D.(0, p)

x2 y 2 7.若M,N是椭圆C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上关于原点对称的两个点,P是椭圆C上 a b

任意一点。若直线PM、PN斜率存在,则它们斜率之积为( A.
a b2
2



B. ?

a b2

2

C.

b a2

2

D. ?

b a2

2

8.下列命题正确的是(

)

A. 若x2 ? y 2 ? 5,则x ? 1或y ? 2 ; B.命题“空集是集合 A 的子集”的否定; C.“若 p∧ 为真命题,那么 p∨ 是真命题”的逆命题; q q D.“若 a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的否命题。
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④ | PF1 |? PF2 |? a2 (a ? 0) ,则点 P 的轨迹关于原点对称; 若 | ⑤ 若直线 PF1与PF2 斜率之积等于 m (m ? 0) ,则点 P 的轨迹是椭圆(除长轴两端点)。 其中正确的是_________(填序号)
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三、 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 16.(12 分)过点 P(2,1)作直线 l 分别交 x,y 轴正半轴于 A,B 两点。当 ΔAOB 面积 最小时,求直线 l 的方程。

20. (12 分)已知双曲线的两条渐近线方程是 y ? x和y ? ? x ,且过点 D ( 2, 3) 。

l1 , l2 是过点 P (? 2,0) 的两条互相垂直的直线,且 l1 , l2 与双曲线各有两个交点,分
别为 A1 , B1 和 A2 , B2 。 (1)求双曲线的的方程; (2)求 l1 斜率的范围 (3)若 | A1 B1 |? 5 | A2 B2 | ,求 l1 的方程。

17. (12 分)圆心在抛物线 x2=2y 上,与直线 2x+2y+3=0 相切的圆中,求面积最 小的圆的方程.

21(15 分)如图,从椭圆 E:
1 18.(12 分)已知 c>0,p:函数 y ? c x 是 R 上的减函数;q:当 x ? [ , 2] 时,函数 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足 a 2 b2

恰为左焦点 F1 ,又点 A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交 点 点,且 AB//OP, | F1 A |? 10 ? 5 ,(1)求椭圆 E 的方程。 (2)是否存在圆心在原 ??? ???? ? 点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 C,D,且 OC ? OD ? 若存在,写出该圆的方程,并求|CD|的取值范围;若不存在,说明理由.

f ( x) ? x ?

1 5 ? c 2 ? c ? 3 恒成立。若 p∧ 为假命题且 p∨ 是真命题,求 c 的取值 q q x 2

范围。

19. (12 分)已知点 F(1,0),直线 L:x=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作直线 L ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 的垂线,垂足为 Q,且 QP ? QF ? FP ? FQ 。 (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直 ??? ??? ? ? 线,都有 FA ? FB ? 0 ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

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班级: 姓名: 考号: 座位号: …………………………………………密…………………………………………封……………………………线………………………………………

高 2011 级第四期 4 月阶段性数学试题(理科)答题卷
二 、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.________________ 13.________________ 15.________________ 三、 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 16.(12 分) 12.__________________ 14.__________________

18. (12 分)

19. (12 分)

17. (12 分)

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20. (12 分)

21.(15 分)

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高 2011 级第四期 4 月阶段性数学试题(理科)参考答案
一、选择题:BCACBCDADB 二 填空题: 11.3x-2y=0 或 y=x+1 12.



? x ?1? ? 2 ? (x ?1)(?2) ? y2 ? y2 ? 4x ,
所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x 。…………4 分 (2) 设过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 。
2

2

1 13. 18 14. [0, ] 2

15.③ ④

三、 解答题: 16.解: 法一设直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) (k ? 0) , 则 S ?OAB ? 1 (2 ? 1 )(1 ? 2k ) ? 1 4 ? 4k ? 1 ? 1 [4 ? (?4k ) ? (? 1 )] ? 1 [4 ? 2 (?4k ) ? (? 1 ) ] ? 4 , 2 k 2 k 2 k 2 k 当且仅当 ? 4k ? ? 方程 x+2y─4=0
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设 l 的方程为 x ? ty ? m , 由 ? x ? ty ? m 得 y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 ?
2 ? y ? 4x

(*) …………6 分

则 y1 , y2 是方程(*)的两根。

1 1 1 即 k ? ? 时取等号,∴ k ? ? 时, S ?OAB 有最小值 4,此时直线 l 的 当 k 2 2 x y ? ? 1 (a>0,b>0), a b

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法二,设所求的直线 l 方程为 由已知

2 1 ? ?1 a b

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? ? ? 16(t 2 ? m) ? 0 . ? y1 ? y2 ? 4t 于是 ? ① ? y1 y2 ? ?4m ??? ? ??? ? 又 FA ? ( x1 ?1, y1 ), FB ? ( x2 ?1, y2 ) ? ??? ? ? ?? F A? F B 0 ?( 1 x ?1) (2 x ? 1)?1 y 2 y ? 1 x 2 x ? ( 1 x? 2 x ? 1 ? 1 y 2 y ② ? ) ?0
又x?

?2 1? 1 1 ? ? ? 于是 2 ? 1 ? ? a b ? = ,∴ Δ AOB= ab ?4, S 4 2 a b ? 2 ? ? ? ? ?

2

y2 ,于是不等式② 等价于 4


2 2 y1 y2 y2 y2 ? ? y1 y2 ? ( 1 ? 2 ) ? 1 ? 0 4 4 4 4

2 1 1 当且仅当 ? ? ,即 a=4,b=2 时取等号, a b 2

x y 此时直线 l 的方程为 ? ? 1 ,即 x+2y─4=0 4 2

?
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( y1 y2 ) 2 1 ? y1 y2 ? ?( y1 ? y2 ) 2 ? 2 y1 y2 ? ? 1 ? 0 ? 16 4?

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由① 式,不等式 ③ 等价于

1 17. 解:圆心在直线 x 2 ? 2 y 上,设圆心为 (a, a2 ) ,…………2 分 2 直线 2x+2y+3=0 与圆相切,圆心到直线 2x+2y+3=0 的距离为 | 2a ? a 2 ? 3 | | a 2 ? 2a ? 3 | | (a ? 1) 2 ? 2 | 2 2 …………8 分 r? ? ? ? ?
22 ? 22 2 2 2 2 2 2 2

1 当 a ? ?1 时, r 最小,从而圆的面积最小,此时圆的圆心为 (1. ) …………10 分 2

圆的方程为 ? x ? 1? ? ? y ?
2

? ?

1? 1 ? ? …………2 分 2? 2

2

m2 ? 6m ? 1 ? 4t 2 …………8 分 2 对任意实数 t , 4t ? 0 ,所以不等式④ 对于一切 t 成立等价于 2 m ? 6m ? 1 ? 0 , …………10 分 即 3? 2 2 ? m ? 3? 2 2。 由此可知, 存在正数 m , 对于过点 M (m, 0) , 且与曲线 C 有两个交点 A, B 的任一直线, ??? ??? ? ? 都有 FA ? FB ? 0 ,且 m 的取值范围是 (3 ? 2 2,3 ? 2 2) …………12 分
20.解:(1)依题意可设双曲线方程为 x ? y ? ? (? ? 0)
2 2

18. 解:若 p 是真命题,则 0<c<1; …………2 分

将点 D ( 2, 3) 坐标代入得 2 ? 3 ? ? ? ? ? ?1 故所求双曲线方程为 y 2 ? x2 ? 1 …………4 分 (2)显然 l1 , l2 都存在非零斜率,否则 l1 , l2 与曲线不都相交. 设 l1 的斜率为 k,则 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2) ). 由? ?
y ? k ( x ? 1)
2 2 ?y ? x ?1

1 5 1 若命题 p 是真命题,由 x ? [ , 2] 得,函数 f ( x) ? x ? 的值域为 [2, ] , 2 2 x 5 1 2 所以有 c ? c ? 3 ? 2 ? ? c ? 2 .…………6 分 2 2
如果 p∧ 为假命题且 p∨ 是真命题,那么 p,q 有且只有一个为真。 q q (1)若 p 真 q 假,则 0 ? c ?

消去 y 得

(2) 若 p 假 q 真,则 1 ? c ? 2 …………10 分

1 ;…………8 分 2

(k 2 ? 1) x2 ? 2 2k 2 x ? 2k 2 ? 1 ? 0 (*)
依题意方程(*)有两个不等实根
?k 2 ? 1 ? 0 ? ? 4 2 2 2 ?? ? 8k ? 4(k ? 1)(2k ? 1) ? 4(3k ? 1) ? 0 …………6 分 ? 1 ? k 2 ? 且k 2 ? 1 3

1 故实数 c 的取值范围是 (0, ] ? [1, 2) …………12 分 2
19.解析:(1) 设 P 的坐标为(x,y),则 Q(-1,y), ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ∵QP ? QF ? FP ? FQ , ∴ (x+1,0)· (2,-y)=(x-1,y)· (-2,y),
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又两直线垂直,则 l2 的方程为 y ? ? 完全类似地有

1 1 1 ? 且 2 ?1 2 3 k k

1 ( x ? 2) ) k 1 2 2 所以 ? k ? 1且k ? 1 3

所以圆的半径为 r ?

m 1? k
2

,

r2 ?

m2 ? 1? k 2

m2 10 ? 3m 2 ? 10 3 1? 10

,

所求的圆为 x ? y ?
2 2

从而 k∈ (- 3 ,- (3)由(2)得 完全类似地有
| A2 B2 |? 1? 1 k2

|

3 3 )∪ ( , 3 )且 k≠±1.…………8 分 3 3 12k 2 ? 4 . A B |? 1 ? k 2
1 1

10 , 3
30 或 m?? 3
30 3

此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 而当切线的斜率不存在时切线为 x ? ? 或 (? 30 , ? 30 ) 满足 OC ? OD ,
3 3

30 , 3
x2 y2 ? ? 1 的两个交点为 ( 10 5

( k 2 ? 1) 2

与椭圆

??? ?

????
2

30 30 ,? ) 3 3

1 12 2 ? 4 k 1 ( 2 ? 1) 2 k

.

综上所述, 存在圆心在原点的圆 x ? y ?
2

∵ 1B1|= 5 |A2B2|, |A ∴ k=± 2 ,.从而求 l1 的方程 y= 2 (x+ 2 )或 y=- 2 (x+ 2 )…………12 分 21 解:(1)由题意可求点 P 的坐标为 (?c,
kOP ? k AB ? ?

点 C,D,且 OC ? OD .
4km ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 2k 2 , 因为 ? ? 2 ? x x ? 2m ? 10 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

??? ?

????

10 , 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交 3
…………10 分

b2 ) ,由 AB//OP 得 a

b2 b ? ? ? b ? c, a ? 2c ac a | F A |? a ? c ? (1 ? 2)c ? 10 ? 5 ? c ? 1

所以 ( x ? x )2 ? ( x ? x )2 ? 4 x x ? (? 4km )2 ? 4 ? 2m2 ? 10 ? 8(10k 2 ? m2 ? 5) , 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2
5
1 ? 2k 1 ? 2k (1 ? 2k )

x2 y 2 ? ?1 所以, a ? 10, b ? 5 椭圆 E 的方程为 10 5 (2)假设存符合题意的圆,切线与椭圆交点为 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) 当该圆的切线不垂直 x 轴时,设其方程为 y ? kx ? m ,
由方程组 ?
2

…………4 分

| AB |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ?

2

?

(1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ?

(1 ? k 2 )

8(10k 2 ? m2 ? 5) (1 ? 2k 2 ) 2

? y ? kx ? m ? x2 y2 ? ?1 ? 5 ?10
2 2 2 2
2 2

40 4k 4 ? 5k 2 ? 1 40 k2 ? 4 ? [1 ? 4 ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1 ① k ? 0时 当 40 1 ?
| CD |? 3 [1 ? 4k 2 ? 1 ?4 k2 ]

得 x ? 2(kx ? m) ? 10 ,即 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ?10 ? 0 , 则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ?10) ? 8(10k 2 ? m2 ? 5) ? 0 ,即 10k ? m ? 5 ? 0
4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? 2 ? x x ? 2m ? 10 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? k (2m ? 10) 4k m m ? 10k ? ? m2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2 2 2 2 2

因为 4k ?
2

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2
?

1 1 ? , 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k

所以 40
3

, 40 1 [1 ? ] ? 15 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k
2 时取”=”. 2

所以 2 30 ?| CD |? 15 当且仅当 k ? ?
3

2m ? 10 m ? 10k ? ?0, 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 3m 2 ? 10 2 2 2 ? 0 又 10k 2 ? m2 ? 5 ? 0 , 所以 3m ? 10k ? 10 ? 0 ,所以 k ? 10 2 ? 2m ? 5 10 30 30 2 所以 ? 2 ,所以 m ? ,即 m ? 或m? ? , …………8 分 3 3 3 ? 3m ? 8 因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切线,
要使 OC ? OD ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即
2 2 2

??? ?

????

② 当 k ? 0 时,易求 | CD |?

30 . 3 3 30 或 (? ) 3

③ 当 CD 的 斜 率 不 存 在 时 , 两 个 交 点 为 ( 30 , ?
| CD |? 30 , 3

30 ,? 3

30 , 所 以 此 时 ) 3

综上所述, |CD |的取值范围为 (讨论不全,适当扣分)

2 2 30 ?| CD |? 15 即: | CD |? [ 30, 15] …………15 分 3 3

直接源教材原题或变式的题目:1--6, 、8、11、12、13、15、16、21(1) 直接来源于练习册的题目:7、14、18、19
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