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浙江省宁波二中2016届高三第一次月考数学(理)试题


宁波二中 2016 届高三第一次月考数学(理)试题(2015,9) 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,则 A.

1 1 ? i 2 2

i ?( ▲ ) 1? i 1 1 B

. ? ? i 2 2

C.

1 1 ? i 2 2


D. ? )

1 1 ? i 2 2

2.已知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1 ,则 f (?2) ? ( A. 2
?

B. 3

C. 4
2 2

D. 5
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

3.设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 1 ”是“ a ? b ? 1 ”的( ▲ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分 4.为了得到函数 y ? cos( 2 x ?

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

?
3

) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象( ▲ )
5? 个单位 12 5? D.向左平移 个单位 12
B.向右平移

5? 个单位 6 5? C.向左平移 个单位 6
A.向右平移

?4 ? x ? 0 ? 5.设实数 x, y 满足不等式组 ? y ? x ,且 z ? x ? 3 y 的最大值为 12 ,则实数 k ? ?2 x ? y ? k ? 0 ?
( ▲ ) A. ? 12 B.

?

32 3

C.

?9

D.

?

14 3

6.设 F 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点, A 是双曲线实轴的左端点,过 F 作双曲线渐近线 a2 b2
1 ,则双曲线的离心率为( ▲ ) 3
C.

的垂线,垂足为 P ,若 AP 的斜率为

A.

5 4

B.

5 2

2

D.

3

7.已知函数 f ( x) ? log2 (ax) 在 x ? [ , 2] 上的最大值为 M (a) ,则 M (a) 的最小值是 ( ▲ ) B.

1 4

A. 2

3 2

C. 1

D.

1 2

8.若等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a3 ? 2 ,则
2 2

a3 ? a 4 a 4 ? a5
2

2

2 2

的取值范围是( ▲ ) D. [4 ? 2 3, 4 ? 2 3]

A. [1,3]

B. [ 5 ? 1, 5 ? 1]

C. [3 ? 2 2, 3 ? 2 2 ]

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、 填空题: 本大题共 7 小题,前 4 题每空 3 分,后 3 题每空 4 分, 共 36 分. 9.已知集合 A ? x y ?

?

2 x ? x 2 , B ? y y ? 2 x , x ? R ,则 A ? B ?
. ▲

?

?

?





(CR A) ? B ?
10.设 f ( x) ? 为



x ,则 f ( x) 的减区间为 ln x ▲ .

; f ( x) 在 x ? e 处的切线方程

11.与圆 O : x2 + y 2 = 2 外切于点 A(?1,?1) ,且半径为 2 2 的圆 C 方程为





若圆 C 上恰有两个点到直线 x + y + m = 0 的距离为 2 ,则实数 m 的取值范围是
▲ .

12.在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A ,则 ▲ 13.已知 a, b ? 0 ,且

AC ? cos A



;边长 AC 的取值范围为

1 2 ? ? 3 ,则 (a ? 1)(b ? 2) 的最小值为 a b



. ▲ .

14. 平面向量 a, b,e 满足 e ? 1, a ? e ? 1, b ? e ? 2, a ? b ? 2 , 则 a ? b 的最小值为

15.已知 f ( x) 为偶函数,且 f ( x) 在 ?0,??? 单调递增,若 f (ax ? 1) ? f ( x ? 2) ? 0 在 x ? [ ,1] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是

1 2





三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 15 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , C ?

?
3



(Ⅰ)若 2 sin B ? 2 sin( A ? C) ? 3 , 求角 A 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积为 2 3 , c ? 2 3 , 求 ?ABC 的周长.

17. (本题满分 15 分) 已知 a 为实数, f ( x) ? ( x 2 ? 4)(x ? a) (Ⅰ)若 f ' (?1) ? 0 ,求 f ( x) 在 [?2,2] 上的最值; (Ⅱ)若 f ( x) 在 ?? ?,?2?和 ?2,??? 都是递增的,求 a 的取值范围.

18. (本题满分 15 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? 2x 2 ? ( x ? a) ? x ? a . (Ⅰ)若 f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)求 f ( x) 在 [?2,2] 上的最小值.

19. (本题满分 15 分)

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为直线 已知 O 为坐标原点,椭圆 2
l : x ? y ? 2 上且不在 x 轴上的任意一点.
(Ⅰ)求 ?F1 PF2 周长的最小值; (Ⅱ) 设直线 PF1 和 PF2 的斜率分别为 k1 , k2 , 直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A, B 和 C, D .

ⅰ)证明:

1 3 ? ?2; k1 k2

ⅱ)当直线 OA, OB, OC, OD 的斜率之和为 0 时,求直线 l 上点 P 的坐标.

20. (本题满分 14 分)
2 2 a ? 1. 正项数列 ?an ? 满足 an ? an ? 3an ?1 ? 2an?1 , 1

(Ⅰ)求 a2 的值; (Ⅱ)证明:对任意的 n ? N , an ? 2an?1 ;
?

(Ⅲ)记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,证明:对任意的 n ? N , 2 ?
?

1 ? Sn ? 3 . 2 n ?1

参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 40 分. (1) A (2) D (3) A (4) D (5) C (6) A (7) B (8) C 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.前 4 题每空 3 分,后 3 题每空 4 分, 共 36 分. (9) ?0,??? , (2,??) (10) (0,1), (1, e) , y ? e (12)2, ( 2 , 3 )

(11) ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 8 , m ? (0, 4) ? (8,12) (13)

50 9

(14)

5 4

(15) [?2,0]

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (1) A ? ;…………………7 分 (2) 6 ? 2 3 …………………15 分 3 17.(1) f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 4 x ? 4a , f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 …………2 分 1 由 f ' (?1) ? 0 ,则 a ? . …………4 分 2 9 50 易得 f ( x) 最大值为 ,最小值为 ? …………8 分 2 27 (2) 由条件 f ' ( x) 两零点在 [?2,2] 内, ………10 分
' ' 又图像为开口向上且过 (0,?4) 的抛物线, 则 f (?2) ? 0, f (2) ? 0, 故 a ? [?2,2] 6

?

………15 分

18. (Ⅰ) a ? ?1

…………5 分

(Ⅱ) f ( x) min

?a 2 ? 4a ? 12, a ? ?6 ? 2 ? 2a ,?6 ? a ? 0 ? ?? 3 ?? 2a 2 ,0 ? a ? 2 ? 2 ? ?? a ? 4a ? 4, a ? 2

…………15 分

19. (Ⅰ)令 F2 (1,0) 关于 x ? y ? 2 的对称点为 F2?( x, y), 则 F2?(2,1),

PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2? ? F1 F2? ? 10,

(C?F1PF2 )min ? 2 ? 10
k1 ?

…………5 分

(Ⅱ)ⅰ)令 P( x0 ,2 ? x0 ),( x ? x0 )

2 ? x0 2 ? x0 , , k2 ? x0 ? 1 x0 ? 1 1 3 x0 ? 1 3 ? 3x0 4 ? 2 x0 ? ? ? ? ?2 k1 k2 2 ? x0 2 ? x0 2 ? x0

…………9 分

ⅱ)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 令 lPF1 : y ? k1 ( x ? 1) 由?

? y ? k1 ( x ? 1) , 得 (1 ? 2k12 ) x2 ? 4k12 x ? 2k12 ? 2 ? 0 , 2 2 ?x ? 2 y ? 2

? ?4k12 ? x1 ? x2 ? 1 ? 2k12 ? , ? 2 2( k ? 1) ?xx ? 1 1 2 ? 1 ? 2k12 ? y y k ( x ? 1) k1 ( x2 ? 1) x ?x 2k1 1 1 kOA ? kOB ? 1 ? 2 ? 1 1 ? ? k1 (2 ? ? ) ? k1 (2 ? 1 2 ) ? x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 1 ? k12 2k 2 同样可算得 kOC ? kOD ? , 2 1 ? k2 2k 2k 由 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? 0 ,得 2 1 ? 2 2 ? 0 ,整理得 (k1 ? k2 )(k1k2 ?1) ? 0 , k1 ? 1 k2 ? 1 1 3 k1 ? k2 ? 0 或 k1k2 ? 1,又因为 ? ? 2 k1 k2
[来源:学科网]

? k1 ? k2 ? 0 ? k ?2 ? ,? 1 , P(0, 2), ?1 3 ? ? 2 k ? ? 2 ? 2 ?k k ? 1 2

? k1k2 ? 1 1 ? ? k1 ? ?1 5 3 ?k1 ? ? (舍)或 ? ,? 3 , P( , ), ?1 3 ? ? 2 4 4 ?k2 ? ?1 ? ?k k ? k2 ? 3 ? 1 2 5 3 …………15 分 P(0, 2) 或 P ( , ) 4 4
2 2 20. (Ⅰ)由 a1 ? a1 ? 3a2 ? 2a2 ? 2 及 a2 ? 0 ,所以 a2 ?

7 ?1 …………3 分 3 2 2 2 2 (Ⅱ)由 an ? an ? 3an ?1 ? 2an ?1 ? 4an ?1 ? 2an ?1 ? (2an ?1 ) ? 2an ?1
又因为 y ? x ? x 在 x ? (0, ??) 上递增,故 an ? 2an?1
2

…………7 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,

an a 1 1 a 1 ? , n ?1 ? ,…, 2 ? ,相乘得 a1 2 an ?1 2 an ? 2 2

1 1 1 a ? n ?1 ,即 an ? n ?1 n ?1 1 2 2 2 1 1 1 故 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ? ? ? ? n ?1 ? 2 ? n ?1 2 2 2 an ?

…………10 分

2 2 2 2 另一方面, an ? an ? 3an ?1 ? 2an?1 ? 2an?1 ? 2an?1 ? 2(an?1 ? an?1 ) , 2 令 an ? an ? bn ,则 bn ? 2bn?1

于是

bn b 1 1 b 1 ? , n ?1 ? ,…, 2 ? ,相乘得 b1 2 bn ?1 2 bn ? 2 2

1 1 1 2 b ? n ? 2 ,即 an ? an ? bn ? n ? 2 n ?1 1 2 2 2 1 1 1 故 Sn ? a1 ? (a2 ? ? ? an ) ? 1 ? (1 ? ? ? ? n ? 2 ) ? 3 ? n ? 2 ? 3 2 2 2 bn ?


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