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第八讲 不等式第一讲教案


戴氏教育大邑校区

高一数学

授课教师:曾老师

第一讲

不等式的性质及一元二次不等式的解法

教学目标:能灵活运用不等式的性质,掌握掌握一元二次不等式的解法;理解一元二次方
程、一元二次不等式和二次函数之间的关系.

教学重点:一元二次不等式的解法及其应用,不等式性质的应用 教学难点:不等式性质的理解,弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
一、复习巩固 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系(填写下表) 二次函数 图
y ? ax ? bx ? c
2

? 的符号

一元二次方程
ax
2
2

一元二次不等式
2

? ? b ? 4 ac
2

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )

(a ? 0)

的根

的解集

的解集


? ____ 0


? ____ 0



? ____ 0

二、典例精析
例一、 (1)设 x ? R ,比较 (2)比较 18
16

1 1? x

与 1 ? x 的大小.

与 16

18

的大小

变式练习 1、设 a > 0 , b > 0 ,且 a ? b ,比较: a ? b 与 a b 的大小
a b b a

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例 二 、 实 数 a 、 b 、 c 、 d 满 足 条 件 : ① a ? b , c ? d ; ② ? a ? c ??b ? c ? ? 0 ; ③

? a ? d ??b ? d ? ? 0 ,则有(
A. a ? c ? d ? b C. a ? c ? b ? d

) B. c ? a ? b ? d D. c ? a ? d ? b

变式练习 2、1.判断下列各命题的真假,并说明理由. (1)若 ac ? bc ,则 a ? b . (2)若 a ? b ,则
2 2

1 a

?

1 b

.

(3)若 a ? b , c ? 0 ,则

c a

?

c b
2

. (4)若 a ? b , c ? d ,则 a ? c ? b ? d .
m

(5)若 a ? b ? 0 , a ? c ,则 a ? bc . (6)若 a ? b , m ? N ? ,则 a 2.若 a ? b ? c ,则一定成立的不等式是( A. a c ? b c B. ab ? ac ) C. a ? c ? b ? c

?b .
m

D.

1 a

?

1 b

?

1 c

例三、已知① ? 1 ? a ? b ? 1 ;② 1 ? a ? b ? 3 ,求: 3 a ? b 的取值范围.

变式练习 3、已知 f ? x ? ? ax ? c , 且 ? 4 ? f (1) ? ? 1, ? 1 ? f ( 2 ) ? 5 , 求 f ( 3 )的取值范围 .
2

例四、 (1)若不等式 a x ? b x ? 2 ? 0 的解集为{x| ?
2
2

1 2

<x<

1 3

}.则 a=
2

b=

.

(2)已知不等式 a x ? b x ? c ? 0 的解集为 { x | 2 ? x ? 4} ,则不等式 cx ? b x ? a ? 0 的解集为 .

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变 式 练 习

4 、 关 于

x

的 不 等 式
2

ax ? bx ? c ? 0
2

的 解 集 为

?x x ? ? 或 x ? ? ?

(? ? ? ? 0 ) ,求不等式 cx

? bx ? a ? 0 的解集________.

例五、已知方程 4 x ? ( m ? 2 ) x ? ( m ? 5 ) ? 0 .
2

(1)若方程的两根均为负数,求实数 m 的取值范围 (2)若方程有一个正根和一个负根,求实数 m 的取值范围. (3)若方程的两根都大于 2,求实数 m 的取值范围.

变式练习五、已知 f ( x ) ? x ? ax ? 3 ? a ,
2

(1)若 x ? [ ? 2, 2 ] 时, f ( x ) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围; (2)若 a ? [? 2 , 2 ] 时, f ( x ) ? 0 恒成立,求 x 的取值范围.

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例六、解关于 x 的不等式 ax

2

? ( a ? 1) x ? 1 ? 0

变式练习六、 (1)解关于 x 的不等式

a ( x ? 1) x?2
2

? 1 ( a ? 0 ).

(2)解关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 ( a ? R )

例七、解不等式: (1) 2 x ? x ? 15 x ? 0
3 2

(2) ( x ? 4 )( x ? 5 ) ( 2 ? x ) ? 0
2 3

变式练习七、解不等式

x ? 4x ? 1
2

3x ? 7 x ? 2
2

?1

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拓展变式题:

已知抛物线 f ( x ) ? ( m ? 1) x ? ( m ? 2 ) x ? 1 .
2

(1).当 m 为何值时,该抛物线与 x 轴有两个交点.
( (2).若关于 x 的方程 m ? 1) x ? ( m ? 2 ) x ? 1 ? 0 的两个不等实根的倒数平方和不大于 2,
2

求 m 的取值范围. (3).如果该抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 ? A B C 的面积等于 2, 试确定 m 的值.

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