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高中数学必修五1.2应用举例(二)


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1.2 应用举例(二) 一、选择题 1. 在某测量中, 设 A 在 B 的南偏东 34 27? , 则B 在A的 A.北偏西 34 27?
5 5 3?3





B. 北偏东 55 33?

C. 北 偏 西 55 33?

D. 南 偏 西

2.台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心 30 km 内的 B 城市处于危险区内的时间为 地区为危险区, 城市 B 在 A 的正东 40 km 处, ( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 3.已知 D 、 C 、 B 三点在地面同一直线上, DC ? a ,从 C 、 D 两点测得 A 的点 仰 角 分 别 为 ? 、 ? (? ? ? ) , 则 A 点 离 地 面 的 高 AB 等 于 ( A. )
a sin ? sin ? sin(? ? ? )

B.

a sin ? sin ? cos(? ? ? )

C.

a cos? cos ? sin(? ? ? )

D.

a cos? cos ? cos(? ? ? )

4.有一长为 1 公里的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改为 10°,则坡 底 要 伸 长 ( ) A.1 公里 B.sin10° 公里 C.cos10° 公里 D.cos20° 公里 5. 如右图,在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ? ,沿 BE 方向前进 30 米至 C 处测得顶端 A 的仰角为 2θ,再继续前进 10 3米至 D 处,测得顶端 A 的仰 角为 4θ,则 θ 的值为 ( )
A.15° C.5° B.10° D.20°

6. 一船向正北航行, 看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直 线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°, 另一灯塔在船的南 偏西 75°西,则这只船的速度是每小时( ) A.5 B.5 3 海里 C.10 D.10 3 海里° 二、填空题 7. 我舰在敌岛 A 南偏西 50 相距 12n?mile 的 B 处, 发现敌舰正由岛沿北偏西 10 的 方向以 10n?mile / h 的速度航行,我舰要用 2 小时追上敌舰,则需要速度的大小 为 . 8 .在一座 20m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为
60 ,塔底俯角为 45 ,那么这座塔的高为___
北 A 45° B 15°
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____.

三、解答题

C

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9.如图,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45 方向,距 A 有 9n?mile 并以
20n?mile / h 的速度沿南偏西 15 方向航行,若甲船以 28n?mile / h 的速度航行用多

少小时能尽快追上乙船?

10.在海岸 A 处发现北偏东 45°方向,距 A 处( 3- 1)海里的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75° 方向, 距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船,奉命以 10 3海 里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以 10 海 里/小时的速度,从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜.问: 缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并 求出所需时间.

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1.2 应用举例(二) 一、选择题 1.A 2.B 3.A 二、填空题 7.14nmile/h
三、解答题

4.A

5.A

6.C

8. 20(1+ 3 )m

9. 解:设用 t h,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇。

在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB=9, 设∠ABC=α,∠BAC=β。 ∴α=180°-45° -15° =120° 。根据余弦定理 AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ? ,

? 28t ?

2

1 2 ? 81 ? ? 20t ? ? 2 ? 9 ? 20t ? (? ) , 2
3 9 ,t= ? (舍)答:甲 4 32

128t 2 ? 60t ? 27 ? 0 ,即(4t-3) (32t+9)=0,解得 t=

3 船用 h 可以追上乙船 4 10. 解:设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截获(在 D 点)走私船,则

CD=10 3t 海里,BD=10t 海里. 在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cosA =( 3-1)2+22-2( 3-1)· 2· cos120° =6,∴BC= 6海里. BC 又∵sinA= AC , sin∠ABC AC· sinA 2· sin120° 2 =2, BC = 6

∴sin∠ABC=

∴∠ABC=45° ,∴B 点在 C 点的正东方向上, ∴∠CBD=90° +30° =120° . 在△BCD 中,由正弦定理,得 BD CD = , sin∠BCD sin∠CBD ∴sin∠BCD= BD· sin∠CBD 10t· sin120° 1 = =2, CD 10 3t

∴∠BCD=30° ,∴缉私船应沿北偏东 60° 的方向行驶. 又在△BCD 中,∠CBD=120° ,∠BCD=30° , ∴∠D=30° ,∴BD=BC,即 10t= 6. 6 ∴t= 10 小时≈15 分钟.
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∴缉私船应沿北偏东 60° 的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要 15 分钟.

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