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第三章3.2.2复数代数形式的乘除运算


3.2.2

复数代数形式的乘除运算

课时目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律 和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念.

1.复数的乘法法则 设 z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,d∈R), 则 z1· z2=(a+bi)(c+di)=________________. 2.复数乘法的运算律 对任意 z1、z2、z3∈C,有 交换律 z1· z2=____________ 结合律 (z1· z2)· z3=__________ 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=____________ 3.设 z=a+bi (a,b∈R),则 z =___________叫 z 的共轭复数.若 b≠0,则 z 叫虚数 z 的________虚数,且 z+ z =______,z- z =________,两共轭复数在复平面内所对应点 关于________对称. a+bi 4. =_____________________________. c+di 5.设 i 为虚数单位,则 i1=______,i2=______, i3=_______,i4=______.

一、选择题 1.复数 i3(1+i)2 等于( ) A.2 B.-2 C.2i D.-2i a+2i 2.已知 =b+i(a,b∈R),其中 i 为虚数单位,则 a+b 等于( i A.-1 B.1 C .2 D.3 i3?i+1? 3.设 i 是虚数单位,则 等于( ) i-1 A.-1 B.1 C.-i D.i 4.若 x-2+yi 和 3x-i 互为共轭复数,则实数 x 与 y 的值是( ) A.x=3,y=3 B.x=5,y=1 C.x=-1,y=-1 D.x=-1,y=1 5.设 z 的共轭复数是 z ,若 z+ z =4,z·z =8,则 A.i 二、填空题 B.-i C.± 1 D.± i z z 等于( )

)

2 6.已知复数 z=1+i,则 -z=________. z 7.设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则 z 的模为________. 2 8.若 =a+bi (a,b∈R,i 是虚数单位),则 a+b=________. 1-i

三、解答题 9.计算:(1)(2+i)(2-i); (2)(1+2i)2; ?1+i?6+ 2+ 3i. (3)? ? ?1-i? 3- 2i

10.已知 x,y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求 x,y 的值.

能力提升 i 11.复数 z= 在复平面上对应的点位于( ) 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 12.已知关于 x 的方程 x +(k+2i)x+2+ki=0 有实根,求这个实根以及实数 k 的值.

1.复数的乘法与多项式乘法是类似的,在所得结果中把 i2 换成-1. 2.复数除法的实质是“分母实数化”,一般可以分子分母同乘以分母的共轭复数. 3.解决复数问题时,可以将问题转化为复数的实虚部满足的条件,即实数化思想.

3.2.2
知识梳理 1.(ac-bd)+(ad+bc)i 2.

复数代数形式的乘除运算 答案

交换律 结合律 乘法对加法 的分配律

z1· z2=z2· z1 (z1· z2)· z3=z1· (z2· z3) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

3.a-bi 共轭 2a 2bi x 轴 ac+bd bc-ad 4. 2 + i (c+di≠0) c +d2 c2+d2 5.i -1 -i 1 作业设计 1.A [i3(1+i)2=i3· 2i=2i4=2,选 A.] a+2i 2.B [∵ =b+i,∴a+2i=bi-1. i ∴a=-1,b=2,∴a+b=1.] i+1 ?1+i?2 2i 3.A [∵ = = =-i, i-1 -?1-i??1+i? -2 i3?i+1? 3 ∴ =i · (-i)=-i4=-1.] i-1 4.D [x-2=3x,y=-(-1),即 x=-1,y=1.] 5.D z z [设 z=x+yi (x,y∈R),则 z =x-yi, z
2

依题意 2x=4 且 x2+y2=8,解之得 x=2,y=± 2. ∴ = z·z = ?2± 2i?2 =± i.] 8

6.-2i 2?1-i? 2 2 解析 -z= -1-i= -1-i z 1+i ?1+i??1-i? =-2i. 7.2 解析 方法一 ∵z(2-3i)=6+4i, 6+4i 26i ∴z= = =2i,∴|z|=2. 2-3i 13 6+4i 方法二 由 z(2-3i)=6+4i,得 z= . 2-3i 2 2 ?6+4i?=|6+4i|= 6 +4 =2. 则|z|=? ? ?2-3i? |2-3i| 22+32 8.2 2 解析 由 =a+bi,得 2=(a+bi)· (1-i), 1-i ∴2=a+b+(b-a)i,(a,b∈R), 由复数相等的定义,知 a+b=2. 9.解 (1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5; (2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i. ?1+i?2?6 ? 2+ 3i?? 3+ 2i? (3)方法一 原式=? ? 2 ? + ? 3?2+? 2?2 6+2i+3i- 6 =i6+ 5 =-1+i. 方法二 (技巧解法) ?1+i?2?6 ? 2+ 3i?i 原式=? ? 2 ? +? 3- 2i?i ? 2+ 3i?i =i6+ =-1+i. 2+ 3i 10.解 设 x=a+bi (a,b∈R),则 y=a-bi.

又(x+y)2-3xyi=4-6i, ∴4a2-3(a2+b2)i=4-6i, 2 ? ? ? ?4a =4, ?a=1, ?a=1, ? ∴ 2 ∴? 或? 2 ?a +b =2, ?b=1, ? ? ? ?b=-1, ?a=-1, ?a=-1, ? ? 或? 或? ? ? ?b=1, ?b=-1.
? ? ?x=1+i, ?x=1-i, ∴? 或? ?y=1-i, ?y=1+i, ? ? ?x=-1+i, ?x=-1-i, ? ? 或? 或? ? ? ?y=-1-i, ?y=-1+i. i?1-i? 1+i 1 1 i 11.A [∵z= = = = + i, 2 2 2 1+i ?1+i??1-i? ∴复数 z 在复平面上对应的点位于第一象限.] 12.解 设 x=x0 是方程的实根,代入方程并整理得(x2 0+kx0+2)+(2x0+k)i=0, 2 ? ?x0+kx0+2=0 由复数相等的充要条件得? , ?2x0+k=0 ?

?x0= 2 ?x0=- 2 解得? 或? , ?k=-2 2 ?k=2 2
∴方程的实根为 x= 2或 x=- 2, 相应的 k 值为 k=-2 2或 k=2 2.


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