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福建省福州文博中学2013届高三上学期期中考试数学(文)试题


福州文博中学 2013 届高三上学期期中考试数学(文)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的

(C A) B 为( ? 1.已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1, 2,3} , B ? {2, 4} ,则 U
A.{1,2,

4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} ) D. 减函数 D.{0,2,3,4} 2.函数 f ( x) ? 2sin( x ? A.奇函数



?
2

) 在其定义域上是(
C. 增函数

B. 偶函数

3. 已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1 · a9 =16,则 a2 · a5 · a8 的值( ) A.16 B.32 C.48 D.64 ) D. (1, e )

4. 函数 f ( x) ? x ? ln x 的零点所在的区间为( A. (-1,0) B. (

1 ,1) e

C. (1,2)

5.设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 0 与直线 l 2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行”的 A 充分不必要条件 6. 曲线 y ? B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 ) D.

1 3 5 x ? 2 在点( (1, ? ) 处切线的倾斜角为( 3 3 ? ? 3? A. B. C. 6 4 4
2 2

5? 6
)

7. 若圆 x ? y ? 6 x ? 6 y ? 14 ? 0 关于直线 l : ax ? 4 y ? 6 ? 0 对称,则直线的斜率是(

2 2 C. ? 3 3 ? ? ? ? ? ? 8.已知 a ? (2,1), a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2 ,则 | b |? (
A.6 B. A. 5 B. 10 C.5

D. ? ) D.25

3 2

9.右图所示的是函数 y ? A sin ?wx ? ? ? 图象的一部分,则其函数解析式是( A. y ? sin ? x ?

)

? ?

??
? 3?

B. y ? sin ? x ?

? ?

??
? 3?

C. y ? sin? 2 x ?

? ?

??
? 6?

D. y ? sin? 2 x ?

? ?

??
? 6?

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10. 右图是一个几何体的三视图, 根据图中数据, 可得该几何体的表 面积是( A. 9π ) B. 10π C. 11π D. 12π

11.已知正六边形 ABCDEF 的边长为 1,则 AB ? (CB ? BA) 的值为 ( )
C

??? ??? ??? ? ? ?

D

E

F

A.

3 2

B. ?

3 2

C .

3 2

D. ?

3 2

B

A

12. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“互为生成”函数。给出下列函 数: ① f ( x) ? sin x ? cos x ③ f ( x) ? sin x ; ② f ( x) ? ④ f ( x) ?

2 (sin x ? cos x) ; 2 sin x ? 2 其中“互为生成”函数的是(
D.①④ )

A.①② B.②③ C.③④ 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分. 13.若 x ? 0 ,则 x ?

2 的最小值为 x



14.已知等差数列 {an } 中, a 2 ? 7, a 4 ? 15 ,则前 10 项的和 S10 =________.

?x ? y ? 5 ? 0 ? 15. 实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ,那么目标函数 z ? 2 x ? 4 y 的最小值是______. ?x ? 3 ?
16.表 1 中数阵称为“森德拉姆筛” ,其特点是每行每列 都是等差数列,则表中数字 206 共出现 次。

三.解答题: (共 6 题其中 17-21 每小题 12,22 题 14 分共 74 分)

2 3 4 5 6 7 ?

3 5 7 9 11 13 科, ? ]

4 7 10 13 16 19 ?

5 9 13 17 21 25 ?

6 11 16 21 26 31 ?

7 13 19 25 31 37 ?

? ? ? ? ? ? ?

17. (12 分)设函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的图象经过点 ? (1)求 f ( x ) 的解析式,并求函数的最小正周期.

?? ? ,1? . ?2 ?

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(2)若 f (? ?

?
4

)?

? ? 3 2 且 ? ? (0, ) ,求 f (2? ? ) 的值。 2 4 5

18. (12 分)已知如图:平行四边形 ABCD 中, BC ? 6 ,正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直, G,H 分别是 DF,BE 的中点. E F (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若 CD ? 2, DB ? 4 2 ,求四棱锥 F-ABCD 的体积.
H G

D C B

A

19. (12 分)某城市有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一 个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD, 经测量 AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠C=∠D. (I)求 AB 的长度; (Ⅱ)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用 最低,请说明理由. 20. (12 分)过点 Q (?2, (1)求 r 的值; (2)设 P 是圆 C 上位于第一象限内的任意一点, 过点 P 作圆 C 的切线 l, l 交 x 轴于点 A, y 轴 且 交
???? ? ???? ??? ??? ? ? ? 于点 B,设 OM ? OA ? OB ,求 OM 的最小值(O 为坐标原点).

21) 作圆 C: x ? y ? r (r ? 0) 的切线,切点为 D,且 QD=4.
2 2 2

21. (12 分)已知等差数列 ?an ? 的公差大于 0,且 a3 , a5 是方程 x ? 14x ? 45 ? 0 的两根,数列 ?bn ?
2

的前 n 项的和为 S n ,且 S n ?

1 ? bn (n ? N * ) . 2

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn ? an ? bn ,求证: cn?1 ? cn ; (3)求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

22. (14 分)设函数 f ( x) ? (2 ? a) ln x ? (1)当 a ? 0 时,求 f (x ) 的极值; (2)当 a ? 0 时,求 f (x ) 的单调区间;

1 ? 2ax (a ? R) . x

(3)若对任意 a ? (?3,?2) 及 x1 , x2 ? [1,3] ,恒有 (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |
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成立,求 m 的取值范围

福州文博中学 2012--2013 学年第一学期 高三年级期中考(文科)数学科考试(答案)
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三、解答题(第 17-21 题每题 12 分,第 22 题 14 分,共计 74 分) 17、 (12 分) 解: (1)? 函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R ) 的图象经过点 ? ,1 ?

?π ?2

? ?

? m sin

?
2

? cos

?
2

? 1 ,? m ? 1 ????????.2 分

? f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) 4

?

????????.3 分 ????????4 分

? 函数的最小正周期 T ? 2?

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19、 (12 分) 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,由余弦定理得

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos C ? 162 ? 102 ? 2 ?16 ?10cos C
在 ?ABD 中,由余弦定理及 ?C ? ?D 整理得



AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD cos D ? 142 ? 142 ? 2 ?142 cos C
由①②得: 14 ? 14 ? 2 ?14 cos C ? 16 ? 10 ? 2 ?16 ?10cos C
2 2 2 2 2

②???4 分

整理可得 cos C ?

1 ,?????6 分 2
?

又 ?C 为三角形的内角,所以 C ? 60 , 又 ?C ? ?D , AD ? BD ,所以 ?ABD 是等边三角形, 故 AB ? 14 ,即 A、B 两点的距离为 14.?????8 分 (Ⅱ)小李的设计符合要求.理由如下:

S?ABD ? S?ABC

1 AD ? BD sin D 2 1 ? AC ? BC sin C 2

因为 AD ? BD ? AC ? BC ????12 分 所以 S?ABD ? S?ABC
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21. (12 分) 解: (1)∵ a3 , a5 是方程 x ? 14x ? 45 ? 0 的两根,且数列 {an } 的公差 d >0,
2

∴ a3 =5, a5 =9,公差 d ? 又当 n =1 时,有 b1 ? S1 ?

a5 ? a3 ? 2. ∴ an ? a5 ? (n ? 5)d ? 2n ? 1. ???3 分 5?3
1 ? b1 1 ? b1 ? 3 2

当 n ? 2时, 有bn ? S n ? S n?1 ? ∴数列{ bn }是首项 b1 ? ∴ bn ? b1q
n ?1

b 1 1 (bn?1 ? bn ),? n ? (n ? 2). 2 bn?1 3

1 1 ,公比 q ? 等比数列, 3 3
????4 分 ????6 分

?

1 . 3n

2n ? 1 2n ? 1 , cn ?1 ? n ?1 , n 3 3 2n ? 1 2n ? 1 4(1 ? n) ? ? 0. ∴ cn ?1 ? cn ? n ?1 ? 3 3n 3n ?1
(2)由(1)知 cn ? an bn ? ∴ cn?1 ? cn . (3) cn ? an bn ?

??????????8 分

2n ? 1 ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 3n
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? Tn ?

1 3 5 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ........ ? n (1) 1 3 3 3 3 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ? n ?1 (2) ??????10 分 3 3 3 3 3 3 2 1 2 2 2 2n ? 1 1 1 1 1 2n ? 1 (1) ? (2) 得: Tn ? ? 2 ? 3 ? ..... ? n ? n?1 ? ? 2( 2 ? 3 ? ..... ? n ) ? n ?1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 n ?1 化简得: Tn ? 1 ? n ?????????12 分 3

(Ⅱ) f ?( x) ?

2?a 1 ? 2 ? 2a x x

?

2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 x2

1 1 ? , a 2 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? 或 x ? , a 2 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? ? x ? ; a 2 1 1 当 ?2 ? a ? 0 时,得 ? ? , a 2 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 或 x ? ? , 2 a 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? ? ; 2 a
当 a ? ?2 时, ? 当 a ? ?2 时, f ?( x) ? ?

(2 x ? 1)2 ?0. x2
1 a 1 2 1 1 , ). a 2

综上所述, a ? ?2 时,f ( x ) 的递减区间为 (0, ? ), ( , ?? ) ; 当 递增区间为 ( ?

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当 a ? ?2 时, f ( x ) 在 (0, ??) 单调递减. 当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x ) 的递减区间为 (0, ), ( ?

1 2

1 1 1 , ?? ) ;递增区间为 ( , ? ) . a 2 a

?????????????(9 分) (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 a ? (?3, ?2) 时, f ( x ) 在 ?1,3? 单调递减. 当 x ? 1 时, f ( x ) 取最大值;当 x ? 3 时, f ( x ) 取最小值. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (3) ? (1 ? 2a) ? ?(2 ? a) ln 3 ?

? ?

1 ? ? 6a ? 3 ?

?

2 ? 4a ? ( a ? 2) ln 3 .??????(11 分) 3

因为 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立, 所以 (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? 整理得 ma ?

2 ? 4a ? ( a ? 2) ln 3 , 3

2 ? 4a . 3 2 ?4 , 又 a ? 0 所以 m ? 3a 1 2 2 ?? , 又因为 ?3 ? a ? ?2 ,得 ? ? 3 3a 9 13 2 38 ? ?4? ? 所以 ? 3 3a 9 13 所以 m ? ? . ???????????????????????(14 分) 3

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