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基本不等式(1)


一、引入

探究问题 下图是在北京召开的第24届国际数学大会的 会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设 计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表 中国人民热情好客.你能在这个图案中找出一些 相等关系和不等关系吗?

D

探究1:
1、正方形ABCD的

a ?b
2

r />
2

b
G F E H

a ? b 面积S=_____
2

2

C 2、四个直角三角形

A

a

的面积和S’ =__ 3、S与S’有什么

2ab

S___>__S′ 问:那么它们有相等的情况吗?

B

样的不等关系?

图片说明:当直角三角形变为等腰直角 三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个 点,这时有

a ? b =2ab
2 2

a=b 问题2:当 a,b为任意实数时,上式还成 立吗?

思考:你能给出不等式 a 明吗? 证明:(作差法)
2 2

2

? b ≥2ab的证
2
2

a ? b ? 2ab? (a ? b)
2
2

1)当a ? b时 (a ? b) ? 0

2)当a ? b时 (a ? b) ? 0

所以(a ? b) ≥0
2

所以a ? b ≥2ab.
2 2

结论:一般地,对于任意实数a、b,总有

a ? b ≥2ab
2 2

当且仅当a=b时,等号成立 适用范围: a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.

如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?

如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?

替换后得到: ( a ) ? ( b ) ≥2 a ? b
2 2

即:
即:

a ? b≥2 ab
a?b ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 2

问题:你能用不等式的性质直接推导这个不 等式吗?

证明不等式: a ? b ≥ ab 2

(a ? 0, b ? 0)
分 析 法


证明:要证

2 ab ≥0 要证①,只要证 a ? b ? _____
(a ? 0, b ? 0, a ? ( a ) , b ? ( b ) )
2 2

只要证 a ? b≥ _______ 2 ab

a?b ≥ ab 2



2 要证②,只要证 (___ b ≥0 ③ a ? ___)

显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.

基本不等式
特别地,若a>0,b>0,则 通常我们把上式写作:

≥ 2 ab a ? b _____
a?b ab≤ (a ? 0, b ? 0) 2

当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不 等式. 在数学中,我们把 a ? b 叫做正数a,b的算术平

适用范围: a>0,b>0

2

均数,

叫做正数a,b的几何平均数;

文字叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

问题:你能用这个图得出基本不等式的几何 解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
①如何用a, b表示OD? ②如何用a, b表示CD?

D

a?b OD=______ 2 ab CD=______

A

a OC b B

E

Rt△ACD∽Rt△DCB,
2

所以DC ? BC ? AC ? ab

DC BC 所以 ? AC DC

填表比较:

a ? b ≥2ab
2 2

a?b ≥ ab 2
a>0,b>0

适用范围

a,b∈R

文字叙述
“=”成立条件

两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数

a =b

a =b

注意从不同角度认识基本不等式

例题:例 1 : (1) 用篱笆围成一个面积为 100m2 的矩 形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用 篱笆最短,最短的篱笆是多少? 解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.

x? y ? ? xy 2

? x ? y ? 2 100,

2( x ? y) ? 40

等号当且仅当x=y时成立,此时x=y=10. 因此,这个矩形的长、宽都为10m时,所用的 篱笆最短最短的篱笆是40m.

结论1.两个正数积为定值,则和有最小值

例 1 : (2) 用一段长为 36m的篱笆围成一个矩形 菜园, 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜 园的面积最大,最大面积是多少? 解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m, 则 2(x + y)= 36 , x+ y =18 矩形菜园的面积为xy m2

x? y ? xy ? =18/2=9 得 xy ≤ 81 2
当且仅当x=y,即x=y=9时,等号成立 因此,这个矩形的长、宽都为9m时,菜园面积 最大,最大面积是81m2 结论2.两个正数和为定值,则积有最大值

最值定理:若x、y皆为正数,则

和 (1)当x+y的值是常数S时,当且仅当x=y时, 定 1 2 积 xy有最大值_______ S ; 4 最 (2)当xy的值是常数P时,当且仅当x=y时, 大 , x+y有最小值_______. 2 P 积 一“正” 注意:①各项皆为正数; 定 ②和为定值或积为定值;二“定” 和 ③注意等号成立的条件. 三“相等” 最 小 注:应用此不等式关键是配凑和一定或 积一定

想一想:下列做法对吗?

1 1.已知函数 f ( x) ? x ? ,求函数的 x 最小值和此时x的取值.

运用均值不等式的过程中,忽略了“正数” 这个条件.

3 ( x ? 2) , 2.已知函数 f ( x) ? x ? x?2 求函数的最小值.

用均值不等式求最值,必须满足“定值”这 个条件.

4 ? 3 求函数y ? sin ? ? 其中? ? (0, ] sin ? 2 的最小值。 4 4 解:y ? sin ? ? ? 2 sin ? ? sin ? sin ? ? 4,?函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.

例2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,
其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的 造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎 样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多 少?
分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长 与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了, 水池的总造价也就确定了.因此应当考察底 面的长与宽取什么值时水池总造价最低

解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 根据题意,有: z ? 150 ? 4800 ? 120(2 ? 3x ? 2 ? 3y)
3 ? 240000 ? 720(x ? y)

由容积为4800m3,可得:3xy=4800 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得 240000 ? 720(x ? y) ? 240000 ? 720 ? 2 xy


z ? 240000 ? 720 ? 2 1600

z ? 297600 当x=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方 形时总造价最低,最低总造价为297600元.

练习
1.已知x>0,y>0, (1).若xy=36,则x+y的最小值是____ 12 ,此时x=___ 6; 6 ,y=___ 81 ,此时x=___ 9; (2).若x+y=18,则xy的最大值是____ 9 ,y=___ (3).若x+2y=4,则xy的最大值是____ 2 ,此时x=___ 1; 2 ,y=___ 1 2. 当 x>0 时, x ? 的最小值为 2 ,此时x= 1 。 x 思考:当 x<0时表达 式又有何最值呢? 1 3. x >-1, 当 x 取什么值时, x ? 的值最小? 最小值是 x ?1 多少? a?b 注:ab ? 或a 2 ? b 2 ? 2a ? b中,a , b代表的是实数, 2 它既可以是具体的数字,也可能是比较复杂的代数式

(关键是如何化归为可以利用此不等式的形式)。

小结:
1. 两个重要的不等式

(1)a, b ? R,那么a 2 ? b2≥2ab ,当且仅当a ? b时,等号成立

a?b (2) ab≤ (a >0,b>0),当且仅当a ? b时,等号成立。 2 2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S ? xy≤ 1 S 4

求最值时注意把握 “一正,二定,三相等”


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