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2016版《一点一练》高考数学(理科)专题演练:第四章 平面向量(含两年高考一年模拟)


第四章 平面向量 考点 13 平面向量的概念与运算

两年高考真题演练 1.(2015· 山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°,则 → ·CD → =( BD )

3 3 3 3 A.-2a2 B.-4a2 C.4a2 D.2a2 →= 2.(2015· 新课标全国Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC → ,则

( 3CD ) → =1AB → -4AC → B.AD 3 3 → =4AB → -1AC → D.AD 3 3

→ =-1AB → +4AC → A.AD 3 3 → =4AB → +1AC → C.AD 3 3

3.(2015· 陕西)对任意向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是 ( ) A.|a· b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2 2 2 4.(2015· 重庆)若非零向量 a,b 满足|a|= 3 |b|,且(a-b)⊥(3a +2b),则 a 与 b 的夹角为( π A. 4 π B. 2 3π C. 4 )

D.π

5.(2014· 新课标全国Ⅰ)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC, → +FC → =( CA,AB 的中点,则EB )

→ B.1AD → C.BC → D.1BC → A.AD 2 2 6.(2014· 福建)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平 → +OB → +OC → +OD → 等于 行四边形 ABCD 所在平面内任意一点,则OA ( ) → B.2OM → C.3OM → D.4OM → A.OM 7.(2014· 浙江)设 θ 为两个非零向量 a,b 的夹角.已知对任意实 数 t,|b+ta|的最小值为 1.( )

A.若 θ 确定,则|a|唯一确定 B.若 θ 确定,则|b|唯一确定 C.若|a|确定,则 θ 唯一确定 D.若|b|确定,则 θ 唯一确定
?x,x≥y, ?y,x≥y, ? ? 8.(2014· 浙江)记 max{x,y}=? min{x,y}=? ? ? ? y , x <y , ?x,x<y,

设 a,b 为平面向量,则(

)

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2 D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 9.(2014· 山东)已知向量 a=(1, 3),b=(3,m),若向量 a,b π 的夹角为 6 ,则实数 m=( )

A.2 3 B. 3 C.0 D.- 3 10.(2014· 广东)已知向量 a=(1,2),b=(3,1),则 b-a=( A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 11.(2014· 福建)在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出 )

来的是(

)

A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 12. (2014· 北京)已知向量 a=(2, 4), b=(-1, 1), 则 2a-b=( A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9) 13.(2014· 安徽)设 a,b 为非零向量,|b|=2|a|,两组向量 x1,x2, x3, x4 和 y1, y2, y3, y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成. 若 x1· y1+x2· y2 +x3·y3+x4·y4 所有可能取值中的最小值为 4|a|2,则 a 与 b 的夹角 为( ) 2π A. 3 π B. 3 π C. 6 D.0 )

14.(2014· 新课标全国Ⅱ)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b| = 6,则 a· b=( )

A.1 B.2 C.3 D.5 → 15.(2014· 新课标全国Ⅰ)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若AO 1 → → → 与AC → 的夹角为________. =2(AB +AC),则AB 16.(2014· 北京)已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 λa+b =0(λ∈R),则|λ|=________. 1 17. (2014· 江西)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α, 且 cos α =3, 向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 的夹角为 β,则 cos β =________.

考点 13

平面向量的概念与运算

一年模拟试题精练 1.(2015· 西城区模拟)设命题 p:?平面向量 a 和 b,|a-b|<|a| +|b|,则綈 p 为( )

A.?平面向量 a 和 b,|a-b|≥|a|+|b| B.?平面向量 a 和 b,|a-b|<|a|+|b| C.?平面向量 a 和 b,|a-b|>|a|+|b| D.?平面向量 a 和 b,|a-b|≥|a|+|b| 2.(2015· 北京四中模拟)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y), c=(2,-4),且 a⊥c, b∥c,则|a+b|=( A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 3.(2015· 朝阳区模拟)设 a,b 是两个非零的平面向量,下列说法 正确的是( ) )

①若 a· b=0,则有|a+b|=|a-b|; ②|a· b|=|a||b|; ③若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a+b|=|a|+|b|; ④若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb. A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 4.(2015· 吉林长春模拟)已知平面向量 a,b 满足|a|= 3,|b|=2, a· b=-3,则|a+2b|=( )

A.1 B. 7 C.4+ 3 D.2 7 π 5.(2015· 甘肃模拟)已知平面向量 a 与 b 的夹角为 3 ,且|b|=1, |a+2b|=2 3,则|a|=( )

A.1 B. 3 C.3 D.2 6. (2015· 广东三门模拟)若非零向量 a, b 满足|a+b|=|b|, 则( A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b| C.|2b|<|a+2b| D.|2b|>|a+2b| 7.(2015· 四川雅安模拟)已知向量 a 是与单位向量 b 夹角为 60° 的任意向量,则对任意的正实数 t,|ta-b|的最小值是( 1 3 A.0 B.2 C. 2 D.1 8.(2015· 安徽安庆模拟)已知 a、b 为平面向量,若 a+b 与 a 的 π π |a| 夹角为 3 ,a+b 与 b 的夹角为 4 ,则 =( |b| 3 6 5 6 A. 3 B. 4 C. 3 D. 3 9.(2015· 江南十校模拟)已知点 A(1,-1),B(4,0),C(2,2)平 → =λAB → +μAC → (1≤λ≤a, 面区域 D 是由所有满足AP 1≤μ ≤b)的点 P(x, y)组成的区域,若区域 D 的面积为 8,则 4a+b 的最小值为( A.5 B.4 2 C.9 D.5+4 2 → =(2,1),CD → =(5,5),则向量 10.(2015· 湖南常德模拟)已知AB → 在CD → 方向上的投影为________. AB 11.(2015· 江苏启东模拟)已知平面上四个互异的点 A、B、C、D → -AC → )· → -BD → -CD → )=0,则△ABC 的形状是________. 满足:(AB (2AD 12.(2015· 皖江名校模拟)在△ABC 中,D 为 BC 边上的中点,P0 1 →· → 是边 AB 上的一个定点, P0B=4AB, 且对于 AB 上任一点 P, 恒有PB PC → → ≥P 0B·P0C,则下列结论中正确的是________(填上所有正确命题的 序号). ) ) ) )

→ +PC → 与PD → 共线; ①当 P 与 A,B 不重合时,PB → ·PC → =PD →2-DB →2 ; ②PB → |<|P → ③存在点 P,使|PD 0D|; → → ④P 0C·AB=0; ⑤AC=BC. 13.(2015· 江苏四市模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,设向量 a=
? ? π? ? (1,2sin θ ),b=?sin?θ + ?,1?,θ ∈R. 3? ? ? ?

(1)若 a⊥b,求 tan θ 的值;
? π? (2)若 a∥b,且 θ∈?0, ?,求 θ 的值. 2? ?

考点 14

平面向量的应用

两年高考真题演练 → |=6,|AD → |=4, 1.(2015· 四川)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB → =3MC → ,DN → =2NC → ,则AM → ·NM → =( 若点 M,N 满足BM A.20 B. 15 C.9 D.6 )

2.(2015· 安徽)△ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b → =2a,AC → =2a+b,则下列结论正确的是( 满足AB A.|b|=1 C.a· b=1 B.a⊥b → D.(4a+b)⊥BC )

→ ⊥AC → ,|AB → |=1,|AC → |=t,若点 P 是△ABC 3.(2015· 福建)已知AB t → 4AC → AB → →· → 的最大值等于( 所在平面内的一点, 且AP= + , 则PB PC → → |AB| |AC| A.13 B.15 C.19 D.21 4.(2014· 天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 → ·AF → =1, E,F 分别在边 BC,DC 上,BE=λBC,DF=μDC,若AE → ·CF → =-2,则 λ+μ=( CE 3 1 2 5 7 A.2 B.3 C.6 D.12 5.(2014· 四川)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物 → ·OB → =2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 线上且位于 x 轴的两侧,OA 与△AFO 面积之和的最小值是( 17 2 A.2 B.3 C. 8 D. 10 ) ) )

6.(2014· 安徽)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a,b,|a|=

→ = 2(a+b).曲线 C={P|OP → =acos θ |b|=1,a· b=0,点 Q 满足OQ → |≤R,r<R}.若 C∩Ω +bsin θ ,0≤θ <2π },区域 Ω={P|0<r≤|PQ 为两段分离的曲线,则( )

A.1<r<R<3 B.1<r<3≤R C.r≤1<R<3 D.1<r<3<R 7.(2015· 天津)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥DC,AB=2, → BC=1,∠ABC=60°,动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且BE → ,DF → = 1 DC → ,则|AE → |· → |的最小值为________. =λBC |AF 9λ 1 8.(2015· 浙江)已知 e1,e2 是空间单位向量,e1·e2=2,若空间 5 向量 b 满足 b· e1=2,b· e2=2,且对于任意 x,y∈R,|b-(xe1+ye2)| ≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则 x0=________,y0=________, |b|=________.

9.(2014· 天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 → ·AF → =1, E,F 分别在边 BC,DC 上,BC=3BE,DC=λDF,若AE 则 λ 的值为________. 10.(2014· 江苏)如图,

→ =3 → →· → 在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8, AD=5, CP PD, AP BP → ·AD → 的值是________. =2,则AB

→ ·AC → =tan A,当 A=π 时, 11.(2014· 山东)在△ABC 中,已知AB 6 △ABC 的面积为________. 12.(2014· 陕西)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3), → =mAB → C(3, 2), 点 P(x, y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上, 且OP → (m,n∈R). +nAC 2 → |; (1)若 m=n=3,求|OP (2)用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值.

考点 14

平面向量的应用

一年模拟试题精练 → =(2,8),AB → 1.(2015· 沈阳质检)已知平行四边形 ABCD 中,AD → 的坐标为( =(-3,4),对角线 AC 与 BD 相交于点 M,则AM
? 1 ? A.?-2,-6? ? ? ?1 ? C.?2,-6? ? ? ? 1 ? B.?-2,6? ? ? ?1 ? D.?2,6? ? ?

)

2. (2015· 辽宁五校联考)已知直角坐标系内的两个向量 a=(1, 3), b=(m, 2m-3)使平面内的任意一个向量 c 都可以唯一地表示成 c=λa +μb,则 m 的取值范围是( )

A.(-∞,0)∪(0,+∞) B.(-∞,-3)∪(-3,+∞) C.(-∞,3)∪(3,+∞) D.[-3,3) 3.(2015· 广东肇庆模拟)已知向量 a=(1,-cos θ ),b=(1,2cos θ )且 a⊥b,则 cos 2θ 等于( A.-1 B.0 1 C.2 ) 2 D. 2

4.(2015· 天津一中模拟)已知向量 a,b,c 中任意两个都不共线, 且 a+b 与 c 共线,b+c 与 a 共线, 则向量 a+b+c=( A.a B.b C.c D.0 )

5.(2015· 上海市浦东新区模拟)

如图所示,点 A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 OC 与线段 AB

→ =mOA → +nOB → ,则( 交于圆内一点,若OC A.0<m+n<1 B.m+n>1 C.m+n<-1 D.-1<m+n<0

)

→ =EB →, 6. (2015· 天津市滨海新区模拟)在平行四边形 ABCD 中, AE → =2FB → ,连接 CE、DF 相交于点 M,若AM → =λAB → +μAD → ,则实数λ CF 与μ 的乘积为( )

1 3 3 4 A.4 B.8 C.4 D.3 7.(2015· 广东肇庆市模拟)定义空间两个向量的一种运算 a?b= |a|· |b|sin〈a,b〉 ,则关于空间向量上述运算的以下结论中,①a?b= b?a, ②λ (a?b)=(λa)?b, ③(a+b)?c=(a?c)+(b?c), ④若 a=(x1, y1), b=(x2,y2),则 a?b=|x1y2-x2y1|.恒成立的有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.(2015· 山东济宁模拟) )

如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点, → ·AF → = 2,则AE → ·BF → 的值是________. 点 F 在边 CD 上,若AB 9.(2015· 湖北宜昌模拟)△ABC 的三个角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c,向量 m=(2,-1),n=(sin Bsin C, 3+2cos Bcos C), 且 m⊥n.

(1)求角 A 的大小; (2)现给出以下三个条件:①B=45°;②2sin C-( 3-1)· sin B =0;③a=2 .试从中再选择两个条件以确定△ABC,并求出所确定的 △ABC 的面积.

第四章 平面向量 考点 13 【两年高考真题演练】 1.D [ 平面向量的概念与运算

如图所示,由题意,得 BC=a,CD=a,∠BCD=120°.
? 1? BD2 = BC2 + CD2 - 2BC· CD· cos 120 °= a2 + a2 - 2a· a× ?-2? = ? ?

3a2,∴BD= 3a. → ·CD → =|BD → ||CD → |cos 30°= 3a2× 3=3a2.] ∴BD 2 2 2 .A →, 3AD → =-1AB → +4AC → ∴AD 3 3 .] 3.B 4.A [由题意 (a- b)· (3a+ 2b)= 3a2- a· b - 2b2= 0,即 3|a|2-
?2 2?2 2 2 ? - 3 cos ? 3 ?

→ =3CD → ,∴AC → -AB → =3(AD → -AC → ),即 4AC → -AB →= [∵BC

|a|·|b|cos θ-2|b|2=0,所以 3×? π 2 = 2 ,θ= 4 ,选 A.] 5 .A 故选 A.]

θ-2=0,cos θ

→ +FC → =1(AB → +CB → )+1(AC → +BC → )=1(AB → +AC → )=AD →, [EB 2 2 2

6.D [依题意知,点 M 是线段 AC 的中点,也是线段 BD 的中 → +OC → =2OM → ,OB → +OD → =2OM → ,所以OA → +OC → +OB → +OD → 点,所以OA → ,故选 D.] =4OM 7.B [|b+ta|2=|a|2t2+2a· b· t+|b|2 =|a|2t2+2|a||b|cos θ·t+|b|2, 设 f(t)=|a|2t2+2|a||b|cos θ·t+|b|2, 则二次函数 f(t)的最小值为 1, 4|a|2|b|2-4|a|2|b|2cos2θ 即 =1, 4|a|2 化简得|b|2sin2θ=1. ∵|b|>0,0≤θ≤π,∴|b|sin θ=1, 若 θ 确定,则|b|唯一确定, 而|b|确定,θ不确定,故选 B.] 8.D [由三角形法则知 min{|a+b|,|a-b|}与 min{|a|,|b|}的大 小不确定,由平行四边形法则知,max{|a+b|,|a-b|}所对角大于或 等于 90°,由余弦定理知 max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2,故选 D.] 1×3+ 3m 3 9. B [根据平面向量的夹角公式可得 即 3+ 3 2= 2 , 2× 9+m m= 3× 9+m2,两边平方并化简得 6 3m=18,解得 m= 3,经检 验符合题意.] 10.B [由于 a=(1,2),b=(3,1),于是 b-a=(3,1)-(1, 2)=(2,-1),选 B.] 11.B [若 e1=(0,0),e2=(1,2),则 e1∥e2,而 a 不能由 e1, -1 2 e2 表示,排除 A;若 e1=(-1,2),e2=(5,-2),因为 5 ≠ ,所 -2 以 e1,e2 不共线,根据共面向量的基本定理,可以把向量 a=(3,2)

表示出来,故选 B.] 12.A [因为 a=(2,4),b=(-1,1),所以 2a-b=(2×2-(- 1),2×4-1)=(5,7),选 A.] 13.B [设 S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,若 S 的表达式中 有 0 个 a· b,则 S=2a2+2b2,记为 S1,若 S 的表达式中有 2 个 a· b, 则 S=a2+b2+2a· b, 记为 S2, 若 S 的表达式中有 4 个 a· b, 则 S=4a· b, 记为 S3.又|b|=2|a|,所以 S1-S3=2a2+2b2-4a· b=2(a-b)2>0,S1- S2=a2+b2-2a· b=(a-b)2>0, S2-S3=(a-b)2>0, 所以 S3<S2<S1, 故 Smin=S3=4a· b,设 a,b 的夹角为 θ,则 Smin=4a· b=8|a|2cos θ= π 1 4|a|2,即 cos θ=2,又 θ∈[0,π],所以 θ= 3 .] 14.A [∵|a+b|=10,∴(a+b)2=10, 即 a2+b2+2a· b=10.① ∵|a-b|= 6,∴(a-b)2=6, 即 a2+b2-2a· b=6.② 由①②可得 a· b=1.故选 A.] → =1(AB → +AC → )可知 O 为 BC 的中点, 15. 90° [由AO 即 BC 为圆 2 O 的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以∠BAC=90°,所 → 与AC → 的夹角为 90°.] 以AB 16. 5 [∵|a|=1,∴可令 a=(cos θ,sin θ),∵λa+b=0,

2 ? cos θ =- ?λcos θ+2=0, ? λ, ? ∴? 即? 由 1 ? ?λsin θ+1=0, ? ?sin θ=-λ, λ2=5,得|λ|= 5.]

sin2θ+cos2θ=1 得

2 2 17. 3 [因为 a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cos α+4=9,所 以|a|=3, b2=(3e1-e2)2=9-2×3×1×cos α+1=8, 所以|b|=2 2, 1 2 a· b=(3e1-2e2)· (3e1-e2)=9e2 e2+2e2 =9-9×1×1×3+2=8, 1-9e1· 所以 cos β= a· b 8 2 2 = = 3 .] |a|· |b| 3×2 2

【一年模拟试题精练】 1.D [根据全称命题的否定是特称命题,故选 D.] 2.B [因为 a⊥c,b∥c,所以 x=2,y=-2,a+b=(3,1), 所以|a+b|= 10,故选 B.] 3.B [①中利用平行四边形法则,可以得到以 a,b 为邻边的平 行四边形为矩形, 故|a+b|=|a-b|; ②直接利用数量积公式, 不正确; ③中只有 a,b 同向时才成立;④|a+b|=|a|-|b|,则 a,b 反向,故 正确,故选 B.] 4.B [|a+2b|= a2+4a· b+4b2= 7,故选 B.] 5 .D [|a+2b|2=a2+4a· b+4b2=12,所以 a2+2|a|-8=0,所

以|a|=2,故选 D.] 6. D [因为|a+b|=|b|, 则|a+b|2=|b|2, 即 a2+2a· b=0, 所以 a· b <0,因为|a+2b|2-|2b|2=a2+4a· b<0,故选 D.] 1?2 3 ? 7.C [|ta-b|2=t2a2-t|a|+1=?t|a|-2? +4,所以|ta-b|的最小
? ?

3 值是 2 ,故选 C.] 8 .D [利用向量加法的几何意义,可以得到|a|,|b|为邻边的三

π π |a| 6 角形的内角分别为 4 和 3 由正弦定理得到 = 3 .] |b| 9. C [如图, 延长 AB 至点 N, 延长 AC 至点 M, 使得|AN|=a|AB|,

|AM|=b|AC|,作 CH∥AN,BF∥AM,NG∥AM,MG∥AN,则四边 形 ABEC,ANGM,EHGF 均为平行四边形.

由题意知,点 P(x,y)组成的区域 D 为图中的阴影部分, 即四边形 EHGF. → =(3,1),AC → =(1,3),BC → =(-2,2), ∵AB → |= 10,|AC → |= 10,|BC → |=2 2. ∴|AB 则 cos∠CAB= 10+10-8 3 4 =5,sin∠CAB=5. 2× 10× 10

4 ∴四边形 EHGF 的面积为(a-1) 10×(b-1) 10×5=8. 1 1 ∴(a-1)(b-1)=1,即a+b=1,
?1 1? b 4a 故 4a+b=(4a+b)?a+b?=5+a+ b ≥5+2 ? ?

b 4a a· b =9.

b 4a 3 当且仅当a= b ,即 a=2,b=3 时,等号成立,故 4a+b 取得最 小值为 9.] → ·CD → AB 3 2 15 3 2 → → 10. 2 [向量AB在CD方向上的投影为 = = 2 .] → 5 2 |CD| 11.等腰三角形 12.①②⑤ → +PC → =2PD → ,所 [因为 D 为 BC 边的中点,所以PB

→· → =(PD → +DB → )· → +DC → )=PD → 2-DB → 2, 以①正确; PB PC (PD 所以②正确; → → → 2 →2 → → → → 同理可得P 0B·P0C=P0D -DB ,由已知PB·PC≥P0B·P0C恒成立,

2 → 2 ≥P → → → 得PD 0D ,即|PD|≥|P0D|恒成立,所以故③错误;注意到 P0,D

是定点,所以 P0D 是点 D 与直线上各点距离的最小值,所以 P0D⊥ → → AB,故P 0D·AB=0,设 AB 中点为 O,则 CO∥P0D,所以④错误; 再由 D 为 BC 的中点,易得 CO 为底边 AB 的中线,故△ABC 是等腰 三角形,有 AC=BC,所以⑤正确.综上可知,①②⑤正确.] 13.解 (1)因为 a⊥b,所以 a· b=0,

? π? 5 3 所以 2sin θ +sin?θ + ?=0,即2sin θ + 2 cos θ =0. 3? ?

3 因为 cos θ ≠0,所以 tan θ =- 5 .
? π? (2)由 a∥b,得 2sin θ sin?θ + ?=1, 3? ?

π π 即 2sin2θ cos 3 +2sin θ cos θ sin 3 =1, 1 3 即2(1-cos 2θ )+ 2 sin 2θ =1,
? π? 1 整理得,sin?2θ- ?=2, 6? ? ? π ? π 5π ? π? 又 θ∈?0, ?,所以 2θ- 6 ∈?- , ?, 2? 6 ? ? ? 6

π π π 所以 2θ- 6 = 6 ,即 θ= 6 . 考点 14 【两年高考真题演练】 → =AB → +3AD → ,NM → =CM → -CN → =-1AD → +1AB → 1.C [AM 4 4 3 → ·NM → =1(4AB → +3AD → )·1 (4AB → -3AD →) ∴AM 4 12 平面向量的应用

1 → 2-9AD → 2)= 1 (16×62-9×42)=9,选 C.] =48(16AB 48 → +AC → )· → 2.D [由于△ABC 是边长为 2 的等边三角形;∴(AB (AB → )=0,即(AB → +AC → )· → =0,∴(4a+b)⊥CB → ,即(4a+b)⊥BC →, -AC CB 故选 D.] 3.

1 ? → ?1 ? → =? ? ,0?, A [建立如图所示坐标系, 则 B? t ,0?, C(0, t), AB AC t
? ? ? ?

=(0,t), → 4AC → ?1 ? 4 AB → → ·PC → AP= + =t? t ,0?+ t (0,t)=(1,4),∴P(1,4),PB ? ? → → |AB| |AC|
?1 ? ?1 ? =? t -1,-4?·(-1,t-4)=17-? t +4t?≤17-2 ? ? ? ?

1 4t=13,故选 t·

A.] 4.C 5.B 6.A [

→ |= 由 于 |a| = |b| = 1 , a· b = 0 , 所 以 | OQ 2· |a|2+|b|2+2a· b=2, 因此点 Q 在以原点为圆心,半径等于 2 的圆上,

2 (a + b ) =

→ |=|acos θ+bsin θ| 又|OP = (acos θ+bsin θ)2= |a|2cos2θ+|b|2sin2θ+a· bsin 2θ=1,因此曲线 C 是以原点为圆 心,半径等于 1 的圆. 又区域 Ω={P|0<r≤|PQ|≤R,r<R},所以区域 Ω 是以点 Q 为 圆心,半径分别为 r 和 R 的两个圆之间的圆环,由图形可知,要使曲 线 C 与该圆环的公共部分是两段分离的曲线,应有 1<r<R<3.] 29 7.18 [在梯形 ABCD 中,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,可得 → =AB → +λBC →, → =AD → + 1 DC →, →· → =(AB → +λBC → )· → DC=1, AE AF ∴AE AF (AD 9λ 1 → → ·AD → +AB → · 1 DC → + λBC → ·AD → +λBC → · 1 DC → = 2 ×1 +9λDC )=AB 9λ 9λ 1 1 2 λ ×cos 60°+2× +λ×1×cos 60°+λ· ×cos 120°= + 2 9λ 9λ 9λ 17 +18≥2 29 小值为18.] 8.1 2 2 2 1 [∵e1·e2=|e1|·|e2|cos〈e1,e2〉=2,∴〈e1,

λ 17 29 2 λ 2 · 2 +18=18,当且仅当 =2,即 λ=3时,取得最 9λ 9λ
2

?1 π 3 ? e2〉= 3 .不妨设 e1=? , ,0?,e2=(1,0,0),b=(m,n,t). 2 ?2 ?

1 3 e =2m+ 2 n=2, ?b · 3 5 由题意知? 解得 n= 2 ,m=2, 5 b · e = m = ? 2,
1 2

?5 3 ? ∴b=? , ,t?. 2 ?2 ?

?5 1 ? 3 3 ∵b-(xe1+ye2)=? - x-y, - x,t?, 2 2 ?2 2 ? ?5 x ?2 ? 3 3 ?2 ∴ |b- (xe1+ ye2)|2= ?2-2-y? + ? - x? + t2= x2+ xy+ y2- 2 ? ? ? ? 2

4x-5y+t2+7=?x+
?

?

y-4?2 3 ? + (y-2)2+t2.由题意知,当 x=x0=1,y 4 2 ?

=y0=2 时,?x+
?

?

y-4?2 3 ? + (y-2)2+t2 取到最小值.此时 t2=1,故|b| 2 ? 4



?5?2 ? 3?2 2 ? ? +? ? +t =2 2.] ?2? ? 2?

9.2

[∵四边形 ABCD 为菱形,且边长为 2,∠BAD=120°,

→ =AD → ,DC → =AB →. ∴BC

→ =AB → +BE → =AB → +1AD → 由题意得AE 3 ,
? 1 → →? → +1AD →? → =AD → +DF → =AD → + 1 AB → .∴AE →· → =? ?AB ?· ? AB+AD? AF AF 3 λ

λ

?

? ?

?

1? ? 1? 4 1 → ·AD → + 1 AB → ·AD → +1×4= 4 +? ?1+ ?×2×2×?- ?+ = λ×4+AB 3λ 3 ? 2? 3 λ ? 3λ? =1. 2? 4 2 4 1? 4 ∴λ -2- +3=1.∴ ?4-3?=3-3,∴λ=2.] ? 3λ λ? 10.22 → =AD → +DP → =AD → +1AB →, [由题意知,AP 4

→ =BC → +CP → =BC → +3CD → =AD → -3AB → BP 4 4 ,
? → 3→? → 2 1 → → 3→ → +1AB →? → ·BP → =? ?AD ?·?AD ?=AD - AD·AB- AB - AB 所以AP 4 4 2 16 ? ? ? ?

2

, 1→ → 3 → ·AD → =22.] 即 2=25-2AD ·AB-16×64,解得AB 1 → ·AC → =tan A,可得|AB → |·|AC → |cos A=tan A,因为 A 11.6 [由AB

π → |· → |· 3= 3, → |· → |=2.所以 S△ =1|AB → |AC → =6, 所以|AB |AC 即 | AB | AC ABC 2 3 3 2 |· 1 2 1 1 |·sin A=2×3×2=6.] 12.解 2 → → =(1,2), (1)∵m=n=3,AB =(1,2),AC

→ =2(1,2)+2(2,1)=(2,2), ∴OP 3 3

→ |= 22+22=2 2. ∴|OP → =m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n), (2)∵OP
? ?x=m+2n, ∴? ? ?y=2m+n,

两式相减,得 m-n=y-x. 令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大 值 1,故 m-n 的最大值为 1. 【一年模拟试题精练】 1 ? → =1(AB → +AD → )=? ?- ,6?,故选 B.] 1.B [由题意可知,AM 2 2
? ?

m 2m-3 2. B [由题意可知, 向量 a 与 b 为基底, 所以不共线, 1≠ 3 ,

得 m≠-3,故选 B.] 3.B [a⊥b?-1+2cos2θ=0?cos 2θ=0.] 4.D [因为 a+b 与 c 共线,所以有 a+b=mc,又 b+c 与 a 共 线,所以有 b+c=na,即 b=mc-a 且 b=-c+na,因为 a,b,c 中
? ?m=-1, 任意两个都不共线,则有? 所以 b=mc-a=-c-a,即 a+ ?n=-1, ?

b+c=0,选 D.] 5.B [如果记得结论, “A,B,D 三点共线,O 是直线 AB 外一 → =xOA → +yOB → ,A,B,D 三点共线?x+y=1, 点,OD ”则本题可很快 → =xOA → +yOB → ,则 x+y 得出结论,设 D 是 OC 与 AB 的交点,且OD → =λOD → =λxOA → +λyOB → ,显然 λ>1, 又 m=λx,n=λy,故 =1,而OC → =mOA → m+n=λ(x+y)=λ>1, 如果记不得这个结论, 则直线从等式OC → 入手,OC → 2=(mOA → +nOB → )2=m2+n2+2mnOA → ·OB → ,而 +nOB → ·OB → <|OA → ||OB → |=1,因此 1=OC → 2<m2+n2+2mn,所以 m+n OA >1.] → =xAE → +(1-x)AC →, 6.B [因为 E,M,C 三点共线,所以设AM →= 则AM

x? → x→ → +AD → )=? → ?1- ?AB AB + (1 - x )( AB 2? +(1-x)AD. 2 ? → =yAF → +(1-y)AD → ,则AM →= 同理 D,M,F 三点共线,所以设AM

x ? 1 - ? 2=y, 2y? → ? 3 → → =3AB → +1 yAB+?1- 3 ?AD,所以有? 解得 y=4,即AM 4 2 ? ? 2y ? 1 - x = 1 - , ? 3 → ,所以 λ=3,μ=1,即 λμ=3×1=3,选 B.] AD 4 2 4 2 8

7.B [①恒成立; ②λ(a?b)=λ|a|· |b|sin〈a,b〉 ,(λa)?b=|λa|· |b|sin〈a,b〉 ,当 λ <0 时,λ(a?b)=(λa)?b 不成立; ③当 a,b,c 不共面时,(a+b)?c=(a?c)+(b?c)不成立,例如取 a,b,c 为两两垂直的单位向量,易得(a+b)?c= 2,(a?c)+(b?c)= 2; ④由 a?b=|a|· |b|sin〈a,b〉 ,a· b=|a||b|cos〈a,b〉 ,可知(a?b)2 +(a· b)2=|a|2·|b|2

2 2 2 2 (a?b)2=|a|2·|b|2-(a· b)2=(x2 1+y1)(x2+y2)=(x1x2+y1y2) =(x1y2-

x2y1)2, 故 a?b=|x1y2-x2y1|恒成立.]

8. 2

[将矩形放入平面直角坐标系,如图,因为 AB= 2,BC

=2,E 为 BC 的中点,所以 B( 2,0),D(0,2),C( 2,2),E( 2, → =(x,2),AB → =( 2,0),所以AF → ·AB → =(x,2)· 1),设 F(x,2)则AF ( 2,

0)= 2x= 2, 所以 x=1. → =( 2,1),BF → =(x- 2,2)=(1- 2,2),所以AE → ·BF → 所以AE =( 2,1)· (1- 2,2)= 2.] 9.解 (1)∵m⊥n,

∴2sin Bsin C-2cos Bcos C- 3=0, 3 3 ∴cos(B+C)=- 2 ,∴cos A= 2 ,又 0<A<π ,∴A=30°, (2)选择①, ③∵A=30°, B=45°, C=105°, a=2 且 sin 105° = sin(45°+60°)= 6+ 2 asin C , c = 4 sin A = 6+ 2,

1 ∴S△ABC=2acsin B= 3+1, 选②③∵A=30°,a=2,∴2sin C=( 3+1)sin B?2c=( 3+ 1)b, 由余弦定理: a2=4=b2+? =2 2,c=
? 3+1 ?2 3+1 3 2 ? -2b× b × b 2 2 ?b =8b ? 2 ?

3+1 2 b= 6+ 2,∴S△ABC= 3+1(选①,②不能).


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