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函数专题


中考函数专题
(一)一次函数 1. 定义:在定义中应注意的问题 y=kx+b,k、b 为常数,且 k≠0,x 的指数一定为 1。 2. 图象及其性质 (1)形状:直线

?k ? 0时,y随x的增大而增大,直线一定过一、三象限 ? (2) ? ?k ? 0时,y随x的增大而减小,直线一定过二、四象限 ?

(3)若直线l1 :y

? k1 x ? b1

l2 :y ? k 2 x ? b2

当k1 ? k 2 时,l1 / / l2 ;当b1 ? b2 ? b时,l1 与l2 交于(0,b) 点。
(4)当 b>0 时直线与 y 轴交于原点上方;当 b<0 时,直线与 y 轴交于原点下方。 (5)当 b=0 时,y=kx(k≠0)为正比例函数,其图象是一过原点的直线。 (6)二元一次方程组与一次函数的关系:两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方 程组的解。 3. 应用:要点是(1)会通过图象得信息; (2)能根据题目中所给的信息写出表达式。 (二)反比例函数 1. 定义:

k 应注意的问题: y ? 中(1 k是 不 为的 常 数 ; ( x的 指 数 一 定 为 ?1” ) 0 2) “ x
2. 图象及其性质: (1)形状:双曲线

中心 ?(1) 是 中 心 对 称 图 形 , 对 称 是 原 点 ? (2) 对 称 性 : ? ? 是直 y ?(2) 是 轴 对 称 图 形 , 对 称 轴 线 ? x和y ? ? x ?k ? 0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内y随x的增大而减小 ? ( 3) ? ?k ? 0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y随x的增大而增大 ?
(4)过图象上任一点作 x 轴与 y 轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。

F ? ( )应用在P ? 上 1 ? S ? S ? 3. 应用(2)应用在u ? 上 其 要 点 是 会 进 行 “ 结 合 ” 来 解 决 问 题 数形 ? t ? ? (3)其它 ? ?
(三)二次函数 1. 定义:应注意的问题

(1)在表达式 y=ax2+bx+c 中(a、b、c 为常数且 a≠0) (2)二次项指数一定为 2 2. 图象:抛物线 3. 图象的性质:分五种情况可用表格来说明
表达式 (1)y=ax
2

顶点坐标 (0,0)

对称轴 直线 x=0(y 轴)

最大(小)值 ①若 a>0,则 x=0 时, y 最小=0 ②若 a<0,则 x=0 时, y 最大=0

y 随 x 的变化情况 若 a>0,则 x>0 时,y 随 x 增大而增大 若 a<0,则当 x>0 时,y 随 x 增大而减小 ①若 a>0,则 x>0 时,y 随 x 的增大而增大 ②若 a<0,则 x>0 时,y 随 x 的增大而减小 ①若 a>0,则 x>h 时,y 随 x 的增大而增大 ②若 a<0,则 x>h 时,y 随 x 的增大而减小

(2)y=ax2+c (0,0)

直线 x=0(y 轴)

①若 a>0,则 x=0 时, y 最小=0 ②若 a<0,则 x=0 时, y 最大=0

(3)y=a(x- (h,0) h)
2

直线 x=h

①若 a>0,则 x=h 时, y 最小=0 ②若 a<0,则 x=h 时, y 最大=0

表达式
2

顶点坐标

对称轴 直线 x=h

最大(小)值 ①若 a>0,则 x=h 时, y 最小=k ②若 a<0,则 x=h 时, y 最大=k

y 随 x 的变化情况 ①若 a>0, x>h 时, 则 y 随 x 的增大而增大 ②若 a<0, x>h 时, 则 y 随 x 的增大而减小
b 2a ? 时, ①若 a>0,则 x> b 2a

(4)y=a(x- (h,k) h) +k

(5)y=ax +b x+c

2

(? b 2a

, )

直线 x=?

b 2a

? ①若 a>0,则 x=
4ac ? b 2 y 最小= 4a

4ac ? b2 4a

时,y 随 x 的增大而增 大 时, ? ②若 a<0,则 x> 2a 2a 时,y 随 x 的增大而减 小
b b

? ②若 a<0,则 x=

y 最大=

4ac ? b 2 4a

4. 应用: (1)最大面积; (2)最大利润; (3)其它

【例题分析】
例 1. 已知一次函数 y=kx+2 的图象过第一、二、三象限且与 x、y 轴分别交于 A、B 两 点,O 为原点,若Δ AOB 的面积为 2,求此一次函数的表达式。

例 2. 小明用的练习本可以在甲商店买,也可以在乙店买,已知两店的标价都是每本 1 元, 但甲店的优惠条件是:购买 10 本以上从第 11 本开始按标价的 70%卖,乙店的优惠条件是: 从第 1 本开始就按标价的 85%卖。 (1)小明买练习本若干本(多于 10)设购买 x 本,在甲店买付款数为 y1 元,在乙店买 付款数为 y2 元,请分别写出在两家店购练习本的付款数与练习本数之间的函数关系式; (2)小明买 20 本到哪个商店购买更合算? (3)小明现有 24 元钱,最多可买多少本? 分析:本题是一次函数在实际生活中的应用,其关键是弄清每本练习本的实际价格,所 购练习本的数量与 y1、y2 的关系,从而列出函数关系式进而可以轻松地解决(2) (3)问。

例 3. 李先生参加了新月电脑公司推出的分期付款购买电脑活动,他购买的电脑价格为 1.2 万元,交了首付之后每月付款 y 元,x 个月结清余款。y 与 x 的函数关系如图所示,试根据图 象所提供的信息回答下列问题: (1)确定 y 与 x 的函数关系式,并求出首付款的数目 (2)李先生若用 4 个月结清余款,每月应付多少元? (3)如打算每月付款不超过 500 元,李先生至少几个月才能结清余款?
y(元) 4000 A

x(月) Z

例 4. 已知抛物线y ? (k ? 1) x k

2

?7

中,当x ? 0时,y随x的增大而增大,求k

例 5. 在体育测试时,初三一名男同学推铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数 图象的一部分, 如果这个同学出手处 A 的坐标为 (0, , 2) 铅球路线的最高处 B 的坐标为 (6, 5) ,①求这个二次函数的解析式;②你若是体育老师,你能求出这名同学的成绩吗?
y B A x

6. 某商品平均每天销售 40 件, 每件盈利 20 元, 若每件每降阶 1 元, 每天可多销售 10 件。 (1)若每件降价 x 元,可获的总利润为 y 元,写出 x 与 y 之间的关系式。 (2)每件降价多少元时,每天利润最大?最大利润为多少?

训练题
1.抛物线 y=-x2+2 的顶点坐标是________,对称轴是________,开口向________. 2.抛物线 y=2(x-3)2+5,当 x <________时,y 的值随 x 值的增大而________,当 x

>________时,y 的值随 x 值的增大而________;当 x=________时,y 取得最________值, 最________值=________. 3.函数 y=kx2-6 x+3 的图象与 x 轴有交点,则 k 的取值范围是 4.若二次函数 y=mx2-3x+2m-m2 的图象经过原点,则 m=_________. . 5.在函数 y = .

1 x?2

中,自变量 x 的取值范围是__________

6.抛物线 y=3x2-6x+5 化成顶点式是______________,当 x_____时,y 随 x 的增大而 减少;当 x_____时,y 随 x 的增大而增大. 7.函数 y=

x 中,自变量 x 的取值范围是 ( x ?1

) (D)x≥o 且 x≠1
) . D. y=x2 (x>0)

(A) x≥o

(B) x>0 且 x≠l

(C) x>O

8.下列四个函数中,y 的值随着 x 值的增大而减小的是( A.y=2x 9.若 M( ? B. y=

1 (x>0) x

C. y=x+ 1

1 1 1 k ,y1) 、N( ? ,y2) 、P( ,y3)三点都在函数 y= (k < 0) 2 x 2 4

的图像上, 则 y1 、y2 、y3 的大小关系为 ( (A)y2 >y3 >y1 (B)y2 >y1 >y3 ) (C)y3 >y1 >y2 (D)y3 >y2 >y1
) .

10.当 a>0,b<0,c>0 时,下列图象有可能是抛物线 y=ax2+bx+c 的是(

11.如图,在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第一象限,斜靠在两坐 标轴上,且点 A(0,2) ,点 C(1,0) ,D 点与 A 点关于 x 轴对称.二次函数 y=ax2- ax+k 的图象经过点 D 和点 B. (1)求点 B 的坐标; (2)求函数 y 的最小值; (3)在抛物线上是否存在 E、F 两点,使以 点 A、C、 E、F 四点为顶点的四边形为正方形? 若存在,
D
C(1,0)

y
A(0,2)

B

O

x

求出点 E、F 的坐标;若不存在,请说 明理由.

(第 27 题)


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