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2015-2016学年高中数学 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课后习题 新人教A版选修2-2


1.2.2
课时演练·促提升
3 2

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
)

A组 1.已知 f(x)=ax +3x +2,若 f'(-1)=4,则 a 的值为( A. B. C. D. 2 解析:∵f'(x)=3ax +6x,∴f'(-1)=3a-6=4.

∴a=.
答案:B x -x 2.函数 y=(e +e )的导数是( ) x -x x -x A.(e -e ) B.(e +e ) x -x x -x C.e -e D.e +e -x v v -x x -x 解析:设 u=e ,v=-x,则 u'x=(e )'(-x)'=e ·(-1)=-e ,即 y'=(e -e ). 答案:A 3.函数 f(x)=xcos x-sin x 的导函数是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数 解析:∵f'(x)=x'cos x+x(cos x)'-cos x=-xsin x, ∴f'(-x)=xsin(-x)=-xsin x=f'(x). ∴f'(x)为偶函数. 答案:B x 4.已知函数 y=f(x)满足 f(1)=2,f'(1)=-1,则曲线 g(x)=e f(x)在 x= 1 处的切线斜率是( A.-e B.e C.2e D.3e x x 解析:g'(x)=e f(x)+e f'(x),g'(1)=ef(1)+ef'(1)=e. 答案:B 2 5.曲线 y=在点(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) 2 2 2 2 A.4e B.2e C.e D.e 解析:由导数的几何意义,切线的斜率 k=y'|x=4=|x=4=e2, 2 2 所以切线方程为 y-e =e (x-4), 2 令 x=0,得 y=-e ;令 y=0,得 x=2. 所以切线与坐标轴所围三角形的面积为 S=×2e2=e2. 答案:C 6.已知函数 f(x )=(x-1)(x-2)(x-3) ,则 f'(1)= . 2 3 2 解析:方法一:∵f(x)=(x -3x+2)(x-3)=x -6x +11x-6, ∴f'(x)=3x2-12x+11,故 f'(1)=3-12+11=2. 方法二:∵f'(x)=(x-1)'·(x-2)(x-3)+(x-1)·[(x-2)(x-3)]', ∴f'(1)=(1-2)×(1-3)=2. 答案:2 7.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为 . 解析:设切点为(x0,y0),则 y0=x0+1,y0=ln(x0+a),即 x0+1=ln(x0+a). ∵y'=,∴=1,即 x0+a=1. ∴x0+ 1=ln 1=0,∴x0=-1,∴a=2. 答案:2 8.已知函数 f(x)=ln(ax+1)+,x≥ 0,其中 a>0,若 f'(1)=0,求 a 的值. 解:f'(x)=[ln(ax+1)]'+' =,

)

1

∴f'(1)==0.∴a=1. 因此 a 的值为 1. 9.若函数 f(x)=在 x=c 处的导数值与函数值互为相反数,求 c 的值. 解:∵f(x)=,∴f(c)=. 又∵f'(x)=, ∴f'(c)=. 依题意知 f(c)+f'(c)=0,∴=0. ∴2c-1=0,得 c=.
B组 1.已知点 P 在曲线 y=上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是( A. B. C. D. x 解析:y'=-=-,设 t=e ∈(0,+∞),则 y'=-=-, ∵t+≥2,∴y'∈[-1,0),α ∈. 答案:D 3 2.已知 f(x)=x +3xf'(0),则 f'(1)= . 2 解析:f'(x)=x +3f'(0),∴f'(0)=3f'(0), ∴f'(0)=0,∴f'(1)= 1. 答案:1 x x 3.设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(e )=x+e ,则 f'(1)= . x 解析:令 t=e ,则 x=ln t,所以函数为 f(t)=ln t+t,即 f(x)=ln x+x,所以 f'(x)=+1, 即 f'(1)= +1=2. 答案:2 4.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x-a1)·(x-a2)…(x-a8),则 f'(0)等于 解析:f'(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x[(x-a1)·(x-a2)…(x-a8)]', ∴f'(0)=a1a2…a8=(a1a8)4=84=212. 12 答案 :2 3 5.已知曲线 f(x)=x -3x,过点 A(0,16)作曲线 f(x)的切线,求曲线的切线方程. 解:设切点为(x0,y0), 则由导数定义得切线的斜率 k=f'(x0)=3-3, ∴切线方程为 y=(3-3)x+16, 又切点(x0,y0)在切线上,∴y0=3(-1)x0+16, 即-3x0=3(-1)x0+16, 解得 x0=-2, ∴切线方程为 9x-y+16=0. 2 6.已知函数 f(x)=ax +bx+3(a≠0),其导函数 f'(x)=2x-8. (1)求 a,b 的值; x (2)设函数 g(x)=e sin x+f(x),求曲线 g(x)在 x=0 处的切线 方程. 2 解:(1)∵f(x)=ax +bx+3(a≠0), ∴ f'(x)=2ax+b, 又知 f'(x)=2x-8, ∴a=1,b=-8. x 2 (2)由(1)可知 g(x)=e sin x+x -8x+3, x x ∴g'(x)=e sin x+e cos x+2x-8, ∴g'(0)=e0sin 0+e0cos 0+2×0-8=-7, 又知 g (0)=3, ∴g(x)在 x=0 处的切线方程为 y-3=-7(x-0). 即 7x+y-3=0. 7.设函数 f(x)=ax-,曲线 y=f(x) 在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; )

.

2

(2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求 此定值. (1)解:由 7x-4y-12=0 得 y=x-3. 当 x=2 时,y=,∴f(2)=,① 又 f'(x)=a+,f'(2)=,② 由①②得解之,得 故 f( x)=x-. (2)证明:设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y'=1+知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(x-x0),即 y-(x-x0). 令 x=0 得 y=-,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为. 令 y=x 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为|2x0|=6. 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6.

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