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2012第25届北京市高中力学竞赛决赛试题答案(阅卷后修改版)


第 25 届北京市高中力学竞赛决赛试题答案 (北京四中杯)
一、填空题 1. 45 . (8 分) 2. 不能 (2 分).一根羽毛不能对运动员施加 1000N 的力,根据牛顿第三定 律,运动员也不能对羽毛施加 1000N 的力. (6 分) 3.可以(2 分) .在地球引力所用下,月球(携带飞船)绕地球做匀速圆周运 动,可认为月球飞船处于失重状态,可只考虑月球对飞船的

引力作用(6 分) . 4.
v/m?s-1 163

t/s 233 488

5. ?S1v1

l ; (4 分) ?S 2 l . (4 分) v2

6. 减少(2 分) ,B 球受地球引力与惯性离心力平衡,A 球受引力大于惯性离 心力,合力指向地球,C 球受引力小于惯性离心力,合力背向地球,A、C 球受力 的力矩使 θ 角减少(6 分) .
A O 地球 B θ C

第 25 届北京市高中力学竞赛决赛试题答案

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二、计算题 7. 解:设最大距离时摩擦力为 fmax,AB 球心连线 与竖直夹角 θ. 对 A 球 y 方向: 2 N cos? ? mg
mg 2c o s ? 1 对 B 球 y 方向: N B ? mg ? N cos ? ? 0 2 1 1 N B ? mg ? mg ? mg 2 2 N?

y
NB N

(3 分)

?

x fmax

(3 分)
1 2
mg

对 B 球 x 方向: f max ? N sin ? ? 0
f max ? ?N B ? 1 mg 2

(3 分) (1 分)

1 mg mg ? sin ? ? 0 2 2 cos ?
t an ? ?1

tan ??

bm a x

b x2 ( 2r ) ? ( m a ) 2
2

?1

(3 分)

3 bmax b3 ? 4r 2 ? max 4 4

2 bm ? 8r 2 a x

bm a x? 2 2r

(3 分)

8.解: m1 小球受力始终指向 m2 小球中心, m1 小球在一平面内运

?

rv

0

动.如图所示.设 z 轴垂直于此平面且通过 m2 小球中心,则 m1 小球所受力对 z 轴 的力矩为零,即对 z 轴角动量守恒. m1 小球以速度 v0 运动,对 z 轴角动量是

rm1v0 sin ? ,但 r sin ? ? b ,故 rm1v0 sin ? ? bmv 0 ,m1 小球最接近 m2 小球(距离为 d)
时,即无继续向 m2 小球运动的速度,又无远离 m2 小球的速度,此刻的速度 v 应与
第 25 届北京市高中力学竞赛决赛试题答案 第 2 页 共 4页

m1 小球至 m2 小球的连线垂直,角动量是 dm1v .于是

dm1v ? bm1v0

v? v0 b d

(1)

(5 分)

1 2 在散射过程中,只有斥力作用,故能量守恒。最初,其能量为 m1 v 0 动能,到达离 2

m2 小球最近时,其总能量为
mm 1 m1v 2 ? k 1 2 , 2 d

后一项为斥力势能,k 为一常数.因此,
mm 1 1 2 m1v 2 ? k 1 2 ? m1v0 2 d 2

(2)

(5 分)

有(1) (2)得

? m2 ? m d ? k 22 ? ? k 2 ? ? b2 ? ? v0 ? v0 ?
d 只能为正,故式中负号无物理意义,舍去.

2

(4 分)

? m2 ? m d ? k 22 ? ? k 2 ? ? b2 ? ? v0 ? v0 ?

2

(2 分)

9.解:假设碰后小球能作圆周运动,运动到最高点的速度 v 可由

m v2 ? mg (l ? h)
得出 v 2 ? (l ? h) g 设初始夹角为 α
1 由机械能守恒得到: mv 2 ? mg [h cos ? ? l cos ? ? (l ? h)] 2 1 mg (l ? l cos ?) ? mv 2 2 h 3 3 cos ? ? [ ( ? cos ?) ? ] l 2 2

(3 分)

(5 分)

假设碰前瞬时速度为 v1
第 25 届北京市高中力学竞赛决赛试题答案 第 3 页 共 4页

1 则: mv12 ? mgl (cos ? ? cos ?) 2

(2 分)

v1 ? 2 gl( c o?s? c o ? s)
碰前: T1 ? m g cos? ?
m v12 l

(3 分)

m v12 T2 ? m g c o ? s? (l ? h)
T2 ? T1 ? 2m g h ? (l ? h) ( c o ?s ?c o? s)

(3 分)

2m gh (4 分) 3 l ( ? cos?) 2 10. 解: (1)该质点系能量守恒(3 分) ,对滑轮轴的角动量守恒(2 分) 。
(2)设滑轮半径为 R,弹簧释放后,弹簧上边的砝码获得的速度为 v,方向向上, 左边砝码盘及右边砝码盘及砝码获得的速度大小是 v'。 该质点系对滑轮轴的角动量 守恒,有: - mvR+mv’R+2mv’R = 0, (6 分)即
1 2 1 2 1 kl ? mv ? (3m)v '2 2 2 2

v = 3 v'

(1)

(3 分)

能量守恒(因为弹簧弹性系数很大,所以 忽略重力势能的微小变化) ,有: (6 分) (2)

即 mv2 ? 3mv'2 ? kl 2

左盘中的砝码脱离弹簧获得速度 v 后做竖直上抛运动
1 2

mv2 ? mgh? h ? v 2 / 2g

(3)

(3 分)

由⑴⑵可求得 v2=3kl2/4m,代入⑶中得: h = 3 k l2/8mg (2 分)

11.解:设运动起来后三小球竖直方向速度大小为 v ,1、2 球相遇时速度大小

为 u .由于是光滑水平面,所以运动起来前后动量守恒、能量守恒,有

mv0 ? 3mv (1)
1 2 1 2 1 mv 0 ? mv ? 2 ? mu 2 2 2 2 2 u ? v0 3

(10 分) (2) (10 分) (5 分)

解得

第 25 届北京市高中力学竞赛决赛试题答案

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