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2016年安徽中医药高等专科学校单招数学模拟试题(附答案)


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2016 年安徽中医药高等专科学校单招数学模拟试题(附答案)
5 5
5 5

4 4

一、选择题
4 3

4

3 3

1.以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号
2

3



2
2 2

1 1
1 1

-4 -6
-4 -2

-2 -4
4 -6

A 2
-2
6 -4

4 2
-2

6 4 6

A 2

A

2

4

6

-1 -1
-1 -1

A
-2

-2

B
-2

C
-2

D

-3 -3
-3 -3

-4
-4 -4

2.以平行六面体相邻两个面上互相异面的两条面对角线的端点为顶点的四面体的体积 是平行六面体体积的: 1 A. 4 1 B. 6 1 C. 3 1 D. 5

3.设 M={平面内的点(a,b)},N={f(x)|f(x)=acos2x+bsin2x} ,给出 M 到 N 的映射:

f:(a,b) ?f(x)= acos2x+bsin2x 则点(1, 3)的象 f(x)的最小正周期为:
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A.π

B.2π

π π C. D. 2 4

4.等差数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn ,若 a2 ? a6 ? a10 为一个确定的常数,则下列各数 中也是常数的是 A S6
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B S11
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C S13
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D S12
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编辑一个运算程序:1&1 = 2 , m&n = k , m&(n + 1) = k + 2,则 1&2005 的输出结 果为 ( )

A 4008
给定下列命题:

B 4006

C 4012

D 4010

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(1)y=sinx 在第一象限是增函数 (2)△ABC 中三内角 A B C 成等差的充要条件是 B=60°
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(3)若 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC 是正三角形 (4)函数 y=Asin(ωx+φ )的周期是 T=

2? ,其中正确命题的序号为 ( ?
D.①②④



A.①②③④ B.①④

C.②③

7.不等式 loga x ? sin 2x(a ? 0且a ? 1) 对任意 x ? (0, ( B ) A (0,
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?
4

) 都成立,则 a 的取值范围为

?
4

)

B ( ,1)
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?

4

C(
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?

,1) ? (1, ) 4 2

?

D [ ,1)
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?

4

8 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值 10,则 f (2) 等于
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(A)11 或 18(B)11

(C)18(D)17 或 18

n 9.若 ( x ? ) 展开式中第 32 项与第 72 项的系数相同,那么展开式的中间一项的系数

1 x


52 52 52 51 (A) C104 (B) C103 (C) C102 (D) C102

10.设 f ( x) 为偶函数,对于任意的 x ? 0 的数,都有 f (2 ? x) ? ?2 f (2 ? x) ,已知

f (?1) ? 4 ,那么 f (?3) 等于
(A)2(B) ? 2 二、填空题 11.已知集合 A ? y y ? 2 (C)8(D) ? 8

合 x x ? A且x ? B ? ______________

?

?

?

x

? 1, x ? R ,集合 B ? y y ? ? x 2 ? 2 x ? 3, x ? R ,则集
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?

?

?

12.已知函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? 2? ) ,若对任意 x ? R 有

f ( x) ? f (

5 ? ) 成立,则方程 f ( x) ? 0 在 ?0, ? ?上的解为 _____________ 12

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13.数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2 ,且 a n ?1 ?

?an ?前 n 项和,则 S n ? __________________
x cos ? ? y sin ? ?

1 (a1 ? a 2 ? ? ? a n )( n ? N ) ,记 S n 为数列 2
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14.已知向量 a ? (2 cos? ,2 sin ? ), b ? (3 cos ? ,3 sin ? ) ,其夹角为 60? ,则直线

1 1 =0 与圆 ( x ? cos ? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? 的位置关系是_________ 2 2

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15.将最小正周期为 象向左平移

? 个单位,得到偶函数图象,则满足题意的 ? 的一个可能值为 4
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? 的函数 g ( x) ? cos(?x ? ?) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ? 2? ) 的图 2

__________

16.若函数 f ( x) ? min?3 ? log1 x, log2 x ? ,其中 min?p, q? 表示 p, q 两者中的较小者,

? ?

? ?

4

则 f ( x) ? 1 的解为 _____________

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三、解答题 17.已知函数 f ( x) 是定义在 ?? 2,2?上的奇函数,当 x ? [?2,0) 时, f ( x ) ? tx ? ( t 为常数)
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1 3 x 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)当 t ? [2,6] 时,求 f ( x) 在 ?? 2,0? 上的最小值,及取得最小值时的 x ,并猜想

f ( x) 在 ?0,2? 上的单调递增区间(不必证明);

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(3)当 t ? 9 时,证明:函数 y ? f ( x) 的图象上至少有一个点落在直线 y ? 14 上
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18.如图所示,已知 A B C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点,点 A 是长轴的一个端点,
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BC 过椭圆中心 O,且 AC ? BC ? 0 ,|BC|=2|AC|.
(1)建立适当的坐标系,求椭圆方程; (2)如果椭圆上有两点 P Q,使∠PCQ 的平分线垂直于 AO,证明:
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C O B A

PQ ? AB .

参考答案
1 6
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B 2 B 7
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B 3 C 8

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A 4 B 9

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B 5

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A
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D 10
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D

11 (2, ??) 12

? 2?
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6

,

3

n ?1 13 2( ) 14 相交 15
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3 2

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? 4

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16. {x | 0 ? x ? 2或x ? 16} 17.解 x ? ?0,2?时, ? x ? ?? 2,0? , 则 f (? x) ? t (? x) ?

1 1 (? x) 3 ? ?tx ? x 3 2 2

∵函数 f ( x) 是定义在 ?? 2,2?上的奇函数,即 f ?? x ? ? ? f ?x ? ∴ ? f ? x ? ? ?tx ?

1 3 1 x ,即 f ( x) ? tx ? x 3 ,又可知 f ?0? ? 0 2 2 1 3 x , x ? ?? 2,2? 2

∴函数 f ( x) 的解析式为 f ( x ) ? tx ? (2) f ?x ? ? x? t ?

? ?

1 1 2? x ? ,∵ t ? [2,6] , x ? ?? 2,0? ,∴ t ? x 2 ? 0 2 2 ?
2

∵ ? f ? x ??

2

1 2 1 2 ? 2 ? x ?t ? x ?t ? x 1 ? ? 2 2 ? x2 ?t ? x2 ? ? ? 2 3 ? ? ? ? ?

? ? 3 ? ? 8t 27 ? ? ?

3

2 ∴x ?t?

1 2 2t 6t 6t 2 6 x ,即 x 2 ? , x ? ? (? ? ?? 2,0?) 时, f min ? ? t t 2 3 3 3 9

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猜想 f ( x) 在 ?0,2? 上的单调递增区间为 ?0,

? ?

6t ? ? 3 ?

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(3) t ? 9 时,任取 ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 , ∵ f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ?x1 ? x2 ??t ?

? ?

1 2 2 ? x1 ? x1 x2 ? x2 ? ? 0 2 ?

?

?

∴ f ?x ? 在 ?? 2,2?上单调递增,即 f ?x ? ? ? f ?? 2?, f ?2?? ,即 f ?x ? ? ?4 ? 2t ,2t ? 4? ∵ t ? 9 ,∴ 4 ? 2t ? ?14,2t ? 4 ? 14 ,∴ 14 ? ?4 ? 2t ,2t ? 4? ∴当 t ? 9 时,函数 y ? f ( x) 的图象上至少有一个点落在直线 y ? 14 上. 18 (1)解:以 O 为原点,OA 为 x 轴建立直角坐标系,设 A(2,0),
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则椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 --------------------------- 2 分 4 b

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∵O 为椭圆中心, ∴由对称性知|OC|=|OB| 又∵ AC ? BC ? 0 , ∴AC⊥BC 又∵|BC|=2|AC|, ∴|OC|=|AC| ∴△AOC 为等腰直角三角形 ∴点 C 的坐标为(1,1) ∴点 B 的坐标为(-1,-1) ----------------- 4 分 将 C 的坐标(1,1)代入椭圆方程得 b2 ? 则求得椭圆方程为

4 , 3

x2 3 y 2 ? ? 1 ------------------------------------------ 6 分 4 4

(2)证:由于∠PCQ 的平分线垂直于 OA(即垂直于 x 轴), 不妨设直线 PC 的斜率为 k,则直线 QC 的斜率为-k, 因此直线 PC QC 的方程分别为 y=k(x-1)+1,y=-k(x-1)+1
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? y ? k ( x ? 1) ? 1 ? 由 ? x2 3 y 2 ? ?1 ? 4 ?4

得:

(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0 (*)--------------------------------------------8 分 ∵点 C(1,1)在椭圆上, ∴x=1 是方程(*)的一个根, ∴xP?1=
3k 2 ? 6k ? 1 3k 2 ? 1

即 x P=

3k 2 ? 6k ? 1 3k 2 ? 1

同理 xQ=

3k 2 ? 6k ? 1 --------------------------------------------------3k 2 ? 1

10分

∴直线 PQ 的斜率为

yP ? yQ xP ? xQ

?

k ( xP ? xQ ) ? 2k xP ? xQ

?

k

2(3k 2 ? 1) ? 2k 1 3k 2 ? 1 ? ---------12分 ? 12k 3 2 3k ? 1

又∵ kAB ?

1 ,∴ PQ ? AB .---------------------------------------------------13 分 3

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