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天津市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题


天津一中 2015-2016-1 高二年级 数学学科(理科)期中质量调查试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分,考试用时 90 分 钟. 第Ⅰ卷 为 第 1 页,第Ⅱ卷 2 至 3 页.考生务必将答案涂写规定的位置上,答在试卷上的无 效。祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
一.选择题: (每小题 3 分,共 30 分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.下列说法正确的是 (A)经过空间内的三个点有且只有一个平面 (B)如果直线 l 上有一个点不在平面 ? 内,那么直线上所有点都不在平面 ? 内 (C)四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形 (D)用一个平面截棱锥,得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台 2.若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 ? 内,l2 在平面 ? 内, l 是平面 ? 与平面 ? 的交线,则 下 ( ) (A) l 与 l1 , l2 都不相交 (C) l 至多与 l1 , l2 中的一条相交 (A) a ? ? , b ∥ ? , ? ? ? (C) a ? ? , b ? ? , ? ∥ ? (B) l 与 l1 , l2 都相交 (D) l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 ( ) (B) a ? ? , b ? ? , ? ∥ ? (D) a ? ? , b ∥ ? , ? ? ? 列 命 题 正 确 的 是 ( )

3.设 a,b 是两条直线,α ,β 是两个平面,则由下列条件可以得到 a ? b 的是

4.底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.某正三棱锥的底面 是一个边长为 2 的正三角形,若该正三棱锥的表面积是 3 3 ,则它的体积是 ( ) (A)

2 3

(B)

3 3

(C)

2 3

(D)

2 2 3

5. 如图,三棱柱 A1B1C1—ABC 中,侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 中点,则下列叙述正确的是( (A)CC1 与 B1E 是异面直线 (B)AC⊥平面 A1B1BA (C)AE,B1C1 为异面直线,且 AE⊥B1C1 (D)A1C1∥平面 AB1E C
1

).

C A

E

B

B A
1 (第 1

5 题)

6.如图 1~3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形, 侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为 (A) 6 3 (C) 12 3 (B) 9 3 (D) 18 3

7.一个正方体的内切球 O1 、外接球 O2 、与各棱都相切的球 O3 的半径之比为( (A) 1 : 3 : 2 (B) 1:1:1 (C) 1: 3 : 2 (D) 1 : 2 : 3



8. 三棱锥 S—ABC 中,SA⊥底面 ABC,SA=4,AB=3,D 为 AB 的中点∠ABC=90°,则点 D 到面 SBC 的距离等于( ) A.

12 5

B

9 5

C.

6 5

D.

3 5

9.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过 点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.给出下列命题: 1 1 ①当 0 ? CQ ? 时,S 为四边形; ②当 CQ ? 时,S 为等腰梯形; 2 2 3 1 ③当 CQ ? 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1 R ? ; 4 3 6 3 ④当 ? CQ ? 1 时,S 为六边形; ⑤当 CQ ? 1 时,S 的面积为 2 4 其中正确的是( (A)①②③ ) (B)①②③⑤ (C)②③④⑤ (D)①③④⑤

10.长方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中,已知二面角 A 1 ? BD ? A 的大小为 直 线 CC1 所成角为

π ,若空间有一条直线 l 与 6
) (D) [0,

π ,则直线 l 与平面 A1 BD 所成角的取值范围是( 4 π 5π π π 5π π (A) [ , ] (B) [ , ] (C) [ , ] 12 12 12 2 12 2

5π ] 12

天津一中 2015-2016-1 高二年级 数学学科(理科)期中质量调查试卷答题纸 第Ⅱ卷

二.填空题: (本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) ? ? ? ? ? ? 11.已知 a ? (1,1,0) , b ? (?1,0, 2) ,若 ka ? b 和 a ? 3b 相互垂直,则 k ? ________. 12.圆柱的底面半径和高都与球的半径相同,则球的表面积 与圆柱的侧面积之比为________.
2

1

13.一个几何体的三视图如右图所示(单位:m) ,则该几何 体的体积为________ m 3 . 14.正方形 ABCD 的边长为 a,沿对角线 AC 将△ADC 折起, 若 ?DAB ? 60° ,则二面角 D ? AC ? B 的大小为________.
P
俯视图 2 正视图

左视图
3

15.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD ? 底面 ABCD , PD ? DC , E 是 PC 的中点.则 EB 与 底面 ABCD 所成的角的正切值为________.
D E C A B

16.在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90° ,其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯 视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形,设点 M,N,P 分别是棱 AB,BC, B1C1 的中点,则 三棱锥 P ? A1MN 的体积是________.

三.解答题:本大题共 4 小题共 46 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形,

AB=2, ?BAD ? 60° .
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC; (Ⅱ)若 PA ? AB ,求 PB 与 AC 所成角的余弦值;

18.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 V ? ABC 中,平面 VAB ? 平面 ABC , △VAB 为等边三角形, AC ? BC , 且 AC ? BC ? 2 ,O,M 分别为 AB , VA 的中点. (Ⅰ)求证: VB ∥ 平面 MOC ; (Ⅱ)设 N 是线段 AC 上一点,满足平面 MON ∥ 平面 VBC , 试说明点的位置 N ; (Ⅲ)求三棱锥 V ? ABC 的体积.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; π (3)AE 等于何值时,二面角 D1-EC-D 的大小为 . 4

20.(本小题满分 12 分) 已知某几何体的三视图和直观图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形. (Ⅰ)求证: B1 N ? CN ; (Ⅱ)求直线 C1 N 与平面 B1CN 所成角的余弦值; (Ⅲ)设 M 为 AB 中点,在棱 BC 上是否存在一点 P , BP 使 MP∥平面 B1CN ?若存在,求 的值;若不存在,请 PC 说明理由.

C

C1

B M A

B1

·
N

天津一中 2015-2016-1 高二年级 数学学科(理科)期中质量调查参考答案 第Ⅰ卷
一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.每小题 3 分,共 30 分. (1)C (6)B (2)D (7)C (3)C (8)C (4)B (9)B (5)C (10)A

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. (11) (14)

16 5 π 2

(12)2 (15)
5 5

(13) (16)

2 6 3

1 24

三.解答题:本大题共 4 小题,共 46 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形,AB=2,
?BAD ? 60° .

(Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 PA ? AB ,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; E

O

(Ⅰ)证明:因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BD . 在菱形 ABCD 中, AC ? BD ,且 PA ? AC ? A , 所以 BD ? 平面 PAC . (Ⅱ)解:取 PD 中点 E ,设 AC ? BD ? O ,连结 OE , AE . 在菱形 ABCD 中, O 是 AC 中点,所以 OE ∥ PB . 则 ?AOE 即为 PB 与 AC 所成角。 由 PA ? AB ? 2 , ?BAD ? 60° , PA ? 平面 ABCD , 可知 PB ? PD ? 2 2 , AE ? OE ? 2 , OA ? 3 , 在△ AOE 中, cos ?AOE ?
OE 2 ? OA2 ? AE 2 6 ? . 2OE ? OA 4 6 . 4

所以 PB 与 AC 所成角的余弦值是 (18) (本小题满分 12 分)

如图,在三棱锥 V ? ABC 中,平面 VAB ? 平面 ABC , △VAB 为等边三角形, AC ? BC , 且 AC ? BC ? 2 ,O,M 分别为 AB , VA 的中点. (Ⅰ)求证: VB ∥ 平面 MOC ; (Ⅱ)设 N 是线段 AC 上一点,满足平面 MON ∥ 平面 VBC , 试说明点的位置 N ; (Ⅲ)求三棱锥 V ? ABC 的体积. N (Ⅰ)证明:因为 O,M 分别为 AB , VA 的中点, 所以 VB ∥ MO .因为 MO ? 平面 MOC , VB ? 平面 MOC ,所以 VB ∥ 平面 MOC . (Ⅱ)解:连结 ON,MN.因为平面 MON ∥ 平面 VBC , 且平面 MON ? 平面 VAC ? MN ,平面 VBC ? 平面 VAC ? VC ,所以 MN ∥VC . 因为 M 为 VA 的中点,所以 N 为 AC 的中点. (Ⅲ)解:因为 AC ? BC ,且 AC ? BC ? 2 ,且 O 为 AB 的中点, 所以 OC ? AB , AB ? 2 . 因为平面 VAB ? 平面 ABC ,平面 VAB ? 平面 ABC ? AB , CO ? 平面 ABC ,

1 所以 CO ? 平面 VAB ,可知三棱锥 V ? ABC 的体积 V ? S△VAB ? CO . 3
其中, S△VAB ? 3 , CO ? 1 ,则 V ? (19) (本小题满分 12 分)文科 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, AD ? PD , BC ? 1 ,
PC ? 2 3 , PD ? CD ? 2 .

3 . 3

(Ⅰ)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (Ⅱ)证明平面 PDC ? 平面 ABCD ;

(Ⅲ)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值. (Ⅰ)解:如图,在四棱锥 P-ABCD 中,因为底面 ABCD 是矩形,所以 AD=BC 且 AD ∥BC. 又因为 AD⊥PD,故∠PAD 为异面直线 PA 与 BC 所成的角. PD 在 Rt△PDA 中, tan?PAD ? ?2. AD 所以,异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2. (Ⅱ)证明:由于底面 ABCD 是矩形,故 AD⊥CD,又由于 AD⊥PD,CD∩PD=D, 因此 AD⊥平面 PDC,而 AD 平面 ABCD,所以平面 PDC⊥平面 ABCD. (Ⅲ)解:在平面 PDC 内,过点 P 作 PE⊥CD 交直线 CD 于点 E,连接 EB. 由于平面 PDC⊥平面 ABCD,而直线 CD 是平面 PDC 与平面 ABCD 的交线. 故 PE⊥平面 ABCD,由此得∠PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. 在△PDC 中,由于 PD=CD=2, PC ? 2 3 ,可得∠PCD=30° . 在 Rt△PEC 中,PE=PCsin30° = 3. 由 AD∥BC,AD⊥平面 PDC,得 BC⊥平面 PDC,因此 BC⊥PC. 在 Rt△PCB 中, PB ? PC 2 ? BC 2 ? 13 .在 Rt△PEB 中, sin?PBE ? 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 (19) (本小题满分 12 分)理科 如图所示,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? AA1 ? 1 , AB ? 2 ,点 E 在棱 AB 上移动. (Ⅰ)证明:平面 AD1E ? 平面 AA1 D1 D ; (Ⅱ)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; π (Ⅲ)若二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 ,求 AE 的长. 4
39 . 13
PE 39 ? . PB 13

(20) (本小题满分 12 分) 已知某几何体的三视图和直观图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形. (Ⅰ)求证: B1 N ? CN ; (Ⅱ)求直线 C1 N 与平面 B1CN 所成角的余弦值; (Ⅲ)设 M 为 AB 中点,在棱 BC 上是否存在一点 P , BP 使 MP∥平面 B1CN ?若存在,求 的值;若不存在,请 PC 说明理由. (Ⅰ)证明:由三视图可知 AN ? 4 , BB1 ? 8 . 在直角梯形 ANB1 B 中,取 BB1 的中点 H ,连结 NH . 可得 NH ? BB1 ,则 ABHN 是正方形. 所以 BN ? 4 2 , NH ? BH ? HB1 ? 4 , NB1 ? 4 2 . 可得 BN 2 ? NB12 ? BB12 ,所以 BN ? NB1 . 因为 BN ? BC ? B ,所以 B1 N ? 平面 BCN ,则 B1 N ? CN . (Ⅱ)解:因为 NH ? BB1 , NH ? BC , BB1 ? CB ? B ,所以 NH ? 平面 BB1C1C , 设 C1 到平面 CNB1 的距离为 h ,由于 VN ?CB1C1 ? VC1 ?CNB1 ,所以 S△CB1C1 ? NH ? S△CNB1 ? h , 解得 h ?
4 6 h 2 ? .设直线 C1 N 与平面 B1CN 所成角为 ? ,可知 sin ? ? , 3 C1 N 3
A M

C

C1

P B

Q H N

B1

·

所以直线 C1 N 与平面 B1CN 所成角的余弦值为

7 . 3

(Ⅲ)解:在直角梯形 ANB1 B 中,取 BH 中点 Q ,由题意得四边形 ANB1 H 是平行四边形. 所以 AH ∥ B1 N ∥ MQ . 因为 NB1 ? 平面 CNB1 , MQ ? 平面 CNB1 ,所以 MQ ∥ 平面 CNB1 . 又因为 MP∥平面 CNB1 , MP ? MQ ? M ,所以平面 MPQ ∥ 平面 CNB1 . 且平面 MPQ ? 平面 BCC1 B1 ? PQ ,平面 CNB1 ? 平面 BCC1 B1 ? CB1 ,所以 PQ ∥ CB1 . BP BQ 1 ? ? . 所以 PC QB1 3


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