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广东省惠州市2016届高三第三次调研考试数学(文)试题


惠州市 2016 届高三第三次调研考试



学(文科)

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、 座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)复数 z ?

2i ? i 3 ( i 为虚数单位)的共轭复数为( i ?1 (A) 1 ? 2i (B) i ? 1 (C) 1 ? i

) (D) 1 ? 2i

(2)已知集合 A ? ?0,1?, B ? z z ? x ? y, x ? A, y ? A ,则 B 的子集 个数为( .. (A)3 (B)4 (C)7 (D)8

?

?



?1? (3)已知 a ? 2 , b ? ? ? ?2?
1.2

?0.8

, c ? 2 log5 2 ,则 a, b, c 的大小关系为( (C) b ? a ? c



(A) c ? b ? a

(B) c ? a ? b

(D) b ? c ? a

(4)已知向量 a ? 1, 3 , b ? ? 3, m ? ,若向量 b 在 a 方向上的投影为 3,则实数 m=( (A)3 (B) ?3 (C) 3 (D) ?3 3

?

?

?

?

?

?



(5)设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ?a10 ?a5 ? 6 ,则 S11 =( (A)55 (B)66 (C)110 (D)132



(6)已知 sin ? ? cos ? ?

4 ? (0 ? ? ? ) ,则 sin ? ? cos ? 的值为( 3 4
(B) ?



(A)

2 3
2 2

2 3

(C)

1 3

(D) ?

1 3


(7)已知圆 O : x ? y ? 4 上到直线 l : x ? y ? a 的距离等于 1 的点恰有 3 个,则实数 a 的值为( (A) 2 2
数学试题(文科)

(B) 2

(C) ? 2 或 2

(D) ?2 2 或 2 2

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(8)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是( (A)1007 (C)2016
2



开始

(B)2015 (D)3024

i ? 1, S ? 0
ai ? i ? cos i? ?1 2
i =i ? 1


y2 ? 1与抛物线 y 2 ? 8x 的一个交点为 P , F 为 (9)已知双曲线 x ? m
抛物线的焦点,若 PF ? 5 ,则双曲线的渐近线方程为( (A) x ? 3 y ? 0 (C) 2 x ? y ? 0 (B) 3x ? y ? 0 (D) x ? 2 y ? 0 )

S ? S ? ai
i ? 2016?


( ?) (10) 记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 Sn ? 1
(A)

2 an4? , 则 an = ( n
n



输出

S
3
2 1
1
侧视图

n 2n

2 (B)n?

n ?1

2 (C)n?

(D)

n
2

结束

2 n ?1

(11)某几何体的三视图如图,其正视图中的曲线部分为半个圆弧, 则该几何体的表面积为( (A) 16 ? 6 2 ? 4? (B) 16 ? 6 2 ? 3? (C) 10 ? 6 2 ? 4? (D) 10 ? 6 2 ? 3? (12)如图,偶函数 f ?x ? 的图象如字母 M,奇函数 g ?x ? 的图象如字母 N, 若方程 f ?g ?x ?? ? 0 , g ? f ?x ?? ? 0 的实根个数分别为 m 、 n ,则 m ? n =( (A)18 (C)14 (B)16 (D)12
?2



正视图

2

3
俯视图

y

y

2

1
?1 O ?1

2

?1
x

第Ⅱ卷
第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13)若点 ? a, 27 ? 在函数 y ? x 的图象上,则 tan
3

1

O

1 x

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。

?2

?
a

的值为



3 2 ? 的最小值为 . a b (15)某校有 A, B 两个文学社团,若 a , b, c 三名学生各自随机选择参加其中的一个社团,则三人不在同一个社
(14)已知 a ? 0, b ? 0, 2a ? 3b ? 6 ,则 团的概率为 .

( 16 )已知三棱锥 S ? ABC 所在顶点都在球 O 的球面上,且 SC ? 平面 ABC ,若 SC ? AB ? AC ? 1 ,

?BAC ? 120? ,则球 O 的表面积为
数学试题(文科) 第 2 页(共 13 页)



三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)如图所示,在四边形 ABCD 中, ?D = 2? B ,且 AD ? 1 ,CD ? 3 ,cos B ?

A
(Ⅰ)求△ ACD 的面积; (Ⅱ)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

3 . 3

D

B

C

(18) (本小题满分 12 分) 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图片和文字,一经推出便风靡全 国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商) .为了调查每天微信用户使用微信的时间, 某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、 女性用户各 50 名, 将男性、 女性使用微信的时间分成 5 组: ?0,2? ,

?2,4? , ?4,6? , ?6,8? , ?8,10?分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)根据女性频率直方图估计女性使用微信的平均时间; (Ⅱ)若每天玩微信超过 4 小时的用户列为“微信控” ,否则称其为“非微信控” , 请你根据已知条件完成 2? 2 的列联表,并判断是否有 90﹪的把握认为“微信控”与“性别”有关? 微信控 男性 女性 合计 参考公式: K 2 ? 参考数据: 非微信控 合计 50 50 100

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . ? a ? b?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ?
0 .10 2 .706 .05 3 .841 0 0 .025 5 .024 0 .010 6 .635 0 .005 7 .879 0.00 1 10.8 28

P( K 2 ? k0 )

k0
数学试题(文科)

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(19) (本小题满分 12 分) 如图,已知等腰梯形 ABCD 中, AD / / BC , AB ? AD ?

A
?BAE 沿着 AE 翻折成 ?B1 AE .
(Ⅰ)求证: CD ? 平面 B1DM ; (Ⅱ)若 B1C ? 10 ,求棱锥 B1 ? CDE 的体积.

1 BC ? 2, E 是 BC 的中点, AE ? BD ? M ,将 2 B1 D

M B E

C A
M

D

C

E x2 y2 6 (20) (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点 O 为圆心,椭圆 C 的 a b 3
长半轴为半径的圆与直线 2 x ? 2 y ? 6 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 标准方程; (Ⅱ)已知点 A, B 为动直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与椭圆 C 的两个交点,问:在 x 轴上是否存在点 E ,使

EA ? EB 为定值?若存在,试求出点 E 的坐标和定值,若不存在,说明理由.
(21) (本小题满分 12 分) 函数 f ? x ? ?

1 2 ax ? ?1 ? a ?x ? ln x?a ? 0? . 2

(Ⅰ)讨论函数 f ? x ? 的单调性;
2 (Ⅱ)当 a ? 0 时,方程 f ?x ? ? mx在区间 ? ?1, e ? ? 内有唯一实数解,

求实数 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,以 D 为圆心、 DA 为半径的圆弧 与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F ,连结 CF 并延长交 AB 于点 E . (Ⅰ)求证: AE ? EB ; (Ⅱ)求 EF ? FC 的值.
B O C E F A D

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? 1 ? cos? ?? ? ( ? 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ?? ? ? ? 2 . (其中 4? ? ? y ? 2 ? sin ?

坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合,极轴与直角坐标系 x 轴正半轴重合,单位长度相同。 ) (Ⅰ)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程;
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(Ⅱ)设 M 是直线 l 与 x 轴的交点, N 是曲线 C 上一动点,求 | MN | 的最大值. 题号 1 2 3 4 5 模 块 复数 集合 函数 向量 数列 知识点 复数的运算与共轭复数 元素的计算与集合的性质,子集的个数. 用指对函数的性质比较大小 数量积,投影 等差数列 分值 5 5 5 5 5 10 分 ) 【选修 4-5 : 不 等 式 选 讲】 已 知 函 数 24. (本小题满分

f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1
. (Ⅰ)求不 等式 f ( x) ? ?2 的解集; (Ⅱ)对任 意 x ? ?a,?? ? , 都 有

f ( x)
成立,求实数 a 的取值范围。

? x?a

惠州市 2016 届第三次调研考试文数命题细目表

数学试题(文科)

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6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

三角函数 直线与圆 程序框图 圆锥曲线 数列 三视图 函数 三角函数 不等式 概率 立体几何 三角函数 统计 立体几何 解析几何

计算 直线与圆的位置关系 求和 双曲线方程和性质,抛物线的定义 等比数列通项公式,求和公式 组合体的表面积 函数的奇偶性、方程的根 求特殊角的三角函数值 基本不等式 古典概型 球的表面积、简单的空间几何体 解三角形 频率分布直方图,独立性检验 直线与平面垂直的判定,三棱锥的体积 椭圆的定义和性质,椭圆与直线的位置 关系,向量运算

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 12 12 12 12

21 22 23

导数与函数 几何证明选讲 坐标系与参数方 程

函数的单调性,求参数的范围 切割线定理,直角三角形中的射影定理 参数方程、极坐标与直角坐标的转化; 数形结合求动点问题 绝对值不等式

12 10 10

24

不等式选讲

10

惠州市 2016

届高三第三次调研考试
一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 C 5 B 6 B 7 C 8 D

文科数学参考答案:

9 B

10 D

11 C

12 A

1.【解析】 z ?

2i 2i(i ? 1) ? i3 ? ? i ? ?i ? 1 ? i ? 1 ? 2i ,其共轭复数为 1 ? 2i ,选 A . i ?1 (i ? 1)(i ? 1)

2.【解析】由题意可知,集合 B ? z z ? x ? y, x ? A, y ? A ? ?0,1,2?,故选 D. 3. 【解析】 y ? 2 在 R 上是增函数, a ? 21.2 , b ? ? ?
x

?

?

?1? ?2?

?0.8

? 20.8 ,1.2 ? 0.8 ? 0,

? a ? b ? 20 ? 1,再由 c ? 2log5 2 ? log5 4 ? log5 5 ? 1, ? a ? b ? c ,故选 A.

? ? a? b 3 ? 3m 4. 【解析】由 ? ? ? 3, 解得 m ? 3 ,选 C. |a | 2
数学试题(文科) 第 6 页(共 13 页)

5. 【解析】由 a1 ?a10 ?a5 ? 6 得: a6 ? 6 , S11 ? 6.【解析】sin ? ? cos ? ?

4 ? 16 7 (0 ? ? ? ) ,所以两边平方可得:1 ? 2sin ? ? cos ? ? ,即 sin ? ?cos ? ? , 3 4 9 18 ? 7 2 2 所以 (sin ? ? cos ?)=1 ? 2sin ? cos ? =1 ? = , 又因为 0 ? ? ? , 所以 sin ? ? cos ? , 所以 sin ? ? cos ? ? 0 , 4 9 9
所以 sin ? ? cos ? ? ?

11?a1 ? a11 ? ? 66 ,选 B. 2

2 ,故应选 B . 3

7. 【 解 析 】 由 圆 的 方 程 可 知 圆 心 为 ? 0,0 ? , 半 径 为 2 , 由 题 意 知 圆 心 到 直 线 l 的 距 离 d =1 , 即

d?

?a 12 ? 12

?

a 2

=1 ,解得 a = ? 2 ,故 C 正确.

8.【解析】S=3024,故选 D. 9. 【解析】设 P?x0 , y0 ? ,根据抛物线的焦半径公式: PF ? x 0 ? 代入双曲线的方程,9 ? 选 B. 10.【解析】 S n ?

p 2 ? x0 ? 2 ? 5 ,所以 x0 ? 3 , y0 ? 24, 2

24 y2 ? 1 ,解得:m ? 3 ,所以,双曲线方程是 x 2 ? ? 1 ,渐近线方程是 y ? ? 3x , m 3
①,当 n ? 2 时 Sn ?1 ?

( n ? 2)an ?4 n

( n ? 1)an ?1 ?4 n ?1



①-② 并整理得:

an n a n ?1 a 2 ,所以有 n ?1 ? ,?, 2 ? , ? an?1 2(n ? 1) an ?2 2(n ? 2) a1 2 ? 1

所以 an ? 选 D.

n an an?1 a n n ?1 2 n ? ?? ? 2 ? a1 ? ? ??? ? 1 ? n?1 ,当 n ? 1 时,适合此式,所以 an ? n ?1 , 2 an?1 an?2 a1 2(n ? 1) 2(n ? 2) 2 ?1 2

11.【解析】根据三视图可知,该几何体由两部分构成,底部为圆柱的一半,底面半径为 1,高为 3,上部为三 棱柱,底面是直角边为 2 的等腰直角三角形,高为 3,所以上部分几何体的表面积为

S上 =( 2?

1 ? 2 ?)( 2 + 2 ? )( 3 2 + 3? ) 2 6 = 1 0 +, 2 下 部 分 几 何 体 的 表 面 积 为 2 1 S下 =(? ? 12)( + ? 2? ? 1 ? 3) =4? ,所以该几何体的表面积为 10 ? 6 2 ? 4? ,选 C. 2

12. 【 解析 】 由图 象 知, f ?x ? ? 0 有 3 个根 0 , a, b, a ? ( ?2, ?1), b ? (1, 2) , g ?x ? ? 0 有 3 个 根 0 ,

c, d , c ? ( ?1, 0), d ? (0,1) ,由 f ?g ?x ?? ? 0 ,得 g ?x ? ? 0 或 a , b ,由图象可知 g ?x ? 所对每一个值都能有 3 个
根,因而 m=9;由 g ? f ?x ?? ? 0 ,知 f ?x ? ? 0 或 c, d ,由图象可以看出 0 时对应有 3 个根, d 时有 4 个, c 时只 有 2 个,加在一起也是 9 个,即 n=9,∴m+n=9+9=18,故选 A. 13. 【答案】 3
数学试题(文科) 第 7 页(共 13 页)

【解析】把点(a,27)代入 y ? x3 得,a=3,所以 tan 14. 【答案】4

?
a

? tan

?
3

? 3

3 2 ? 3b 2 a 2a ? 3b 2a ? 3b 3b 2a ? ? ? 2? ? ? 4 ,当且仅当 【解析】 a b ? 即 a=1.5,b=1 时取等号. 2a 3b 2a 3b 2a 3b
15. 【答案】 3 4 【解析】 a , b, c 三名学生选择社团的结果有:(A,A,A),(A,A,B),(A,B,A),(B,A,A),(A,B,B), (B,A,B),(B,B,A),(B,B,B),共 8 个等可能性的基本事件,三人在同一个社团的结果有:(A,A,A),(B,B,B),共 两个,所以“三人在同一个社团”的概率为 2 ? 1 ,而“三人不在同一个社团”与“三人在同一个社团”是对 8 4 立事件,所以“三人不在同一个社团”的概率为 1 ? 1 ? 3 ; 4 4 16.【答案】 5? 【解析】 记底面三角形 ABC 的外接圆为⊙O′, 半径为 r,则 2 r ? 平面 ABC ,则 2 R ? 三、解答题 17. 【解析】 (Ⅰ)因为∠D=2∠B, cos B ? 所以 cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ?
2

BC ? 2, 所以记球的半径为 R, 因为 SC ? sin120?
2 2

? 2r ?

2

? 5? ? SC ? 1 ? 4 ? 5 ,所以球 O 的表面积为 S ? 4? R ? 4 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 5? . ? ?
2

3 , 3
(2 分)

1 3

A

D

因为 ?D ? ? 0, ? ? ,所以 sin D ? 所以△ACD 的面积 S ?

2 2 , (4 分) 3

B

C

1 ? AD ? CD ? sin D ? 2 . (6 分) 2
2 2 2

(Ⅱ)在△ACD 中, AC ? AD ? DC ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 , 所以 AC ? 2 3 .
2 2

(8 分)
2

在△ABC 中, AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ? 12 把已知条件代入并化简得: AB ? 4 AB ? 0
2

(10 分)

因为 AB≠0,所以 AB = 4

(12 分)

18. 【解析】 (Ⅰ)女性平均使用微信的时间为:

0.16 ? 1 ? 0.24 ? 3 ? 0.28 ? 5 ? 0.2 ? 7 ? 0.12 ? 9 ? 4.76 (小时)
(Ⅱ) 2?0.04 ? a ? 0.14 ? 2 ? 0.12? ? 1
数学试题(文科)

(4 分) (6 分)

解得 a ? 0.08

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由列联表可得由列联表可得 微信控 男性 女性 合计
2

非微信控 12 20 32
2

合计 50 50 100 (8 分)

38 30 68

k2 ?

100?38? 20 ? 30 ? 12? n?ad ? bc? ? ? 2.941? 2.706 50 ? 50 ? 68 ? 32 ?a ? b??c ? d ??a ? c??b ? d ?
(12 分)

(11 分)

所以有 90﹪的把握认为 “微信控”与“性别”有关.

19. 【解析】 (I) 连接 DE,由题意可知四边形 ABED 和 AECD 是平行四边形, 又 AB=AD,所以 ABED 是菱形 故 BM ? AE , DM ? AE. (2 分) 即 B1 M ? AE , DM ? AE. (4 分)

又因为 DM ? B1M ? M , MD 、 B1 M ? 平面 B1 MD ,所以 AE ? 平面 B1 MD . (5 分) 由题可得 AE∥CD,所以 CD ? 平面B 1 DM (6 分)

(Ⅱ) 连接 CM,由(Ⅰ)得 AB=AE=BE=2 ,所以 ?B1 AE 为等边三角形 ,

? B1M ? 3
又 CM ?

(7 分)

DM 2 ? CD2 ? 7 , B1C ? 10
(9 分) (10 分)

? B1M 2 ? CM 2 ? B1C 2 ,即 B1 M ? MC
MC ? AE ? M ,? B1M ? 平面 CDE 又 B1 M ? AE ,

1 1 AE ? DM ? ? 2 ? 3 ? 3 (11 分) 2 2 1 1 ?VB1 ?CDE ? S?CDE ? B1 M ? ? 3 ? 3 ? 1 (12 分) 3 3 S ?CDE ?
20. 【解析】 (I)由 e ?

6 c 6 6 ,得 ? ,即 c ? a ,① 3 a 3 3
2 2 2

(1 分)

以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x ? y ? a , 此圆与直线 2x ? 2 y ? 6 ? 0 相切,所以 a ?

(2 分)

6 22 ? ( 2)2

? 6 ,代入①得 c=2, (4 分)

2 2 2 所以 b ? a ? c ? 2 ,所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 . (5 分) 6 2

数学试题(文科)

第 9 页(共 13 页)

? x2 y2 ?1 ? ? (Ⅱ)由 ? 6 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0 , (6 分) 2 ? y ? k ( x ? 2) ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,所以 x1 ? x 2 ?

12k 2 12k 2 ? 6 x ? x ? , , (7 分) 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

根据题意,假设 x 轴上存在定点 E ( m,0) ,使得 EA ? EB 为定值, 则有 EA ? EB ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? ( x1 ? m) ? ( x2 ? m) ? y1 y2

? ( x1 ? m)(x2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k 2 ? m)(x1 ? x2 ) ? (4k 2 ? m2 )
? (k 2 ? 1) ? 12k 2 ? 6 12k 2 2 ? ( 2 k ? m ) ? ? ( 4k 2 ? m 2 ) 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
(9 分)

?

(3m 2 ? 12m ? 10)k 2 ? (m 2 ? 6) 3k 2 ? 1

要使上式为定值,即与 k 无关,则应有 3m 2 ? 12m ? 10 ? 3(m 2 ? 6) , 即m ?

(10 分)

7 , 3

(11 分)

2 此时 EA ? EB ? m ? 6 ? ?

5 7 为定值,定点为 ( ,0) . 3 9

(12 分)

21.【解析】 (I) f ? ? x ? ? ax ? ?1 ? a ? ? (i)当 a ? 0 时, f ?? x ? ?

1 ? ax ? 1?? x ? 1? ? ,x ? 0, x x

(1 分)

1? x ,令 f ??x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ,令 f ??x ? ? 0 ,得 x ? 1 , x
(2 分)

函数 f(x)在 ?0,1? 上单调递增, ?1,??? 上单调递减; (ii)当 0 ? a ? 1 时,令 f ??x ? ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ?

1 ?1 (3 分) a 1 1 令 f ??x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 1, x ? ,令 f ??x ? ? 0 ,得 1 ? x ? , a a
函数 f(x)在 ?0,1? 和 ?

?1 ? ? 1? ,?? ? 上单调递增, ?1, ? 上单调递减; ?a ? ? a?

(4 分)

(iii)当 a ? 1 时, f ??x ? ? 0 ,函数 f(x)在 ?0,??? 上单调递增; (5 分)

1 ?1 (6 分) a 1 1 令 f ??x ? ? 0 ,得 0 ? x ? , x ? 1 ,令 f ??x ? ? 0 ,得 ? x ? 1 , a a
(iv)当 a ? 1 时, 0 ?
数学试题(文科) 第 10 页(共 13 页)

(7 分)

函数 f(x)在 ? 0, ? 和 ?1,??? 上单调递增, ? ,1? 上单调递减;

? ?

1? a?

?1 ? ?a ?

(8 分)

综上所述:当 a ? 0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 ?0,1? ,单调递减区间为 ?1,??? ; 当 0 ? a ? 1 时,函数 f(x)的单调递增区间为 ?0,1? 和 ? 当 a ? 1 时,函数 f(x)的单调递增区间为 ?0,??? ; 当 a ? 1 时,函数 f(x)的单调递增区间为 ? 0, ? 和 ?1,??? ,单调递减区间为 ? ,1? (9 分) (II)当 a ? 0 时, f ?x ? ? ? x ? ln x ,由 f ?x ? ? mx,得 ? x ? ln x ? mx ,又 x ? 0 ,所以 m ?
2 方程 f ?x ? ? mx在区间 ? ?1, e ? ? 上有唯一实数解,

?1 ? ? 1? ,?? ? ,单调递减区间为 ?1, ? ; ?a ? ? a?

? ?

1? a?

?1 ? ?a ?

ln x ? 1 ,要使 x

ln x ? 1 有唯一实数解, x ln x 1 ? ln x ? 1? x ? 0 ? ,∴ g ??x ? ? 令 g ?x ? ? , x x2
只需 m ? 由 g ??x ? ? 0 得 0 ? x ? e ; g ??x ? ? 0 得 x ? e ,

(10 分)

∴ g ( x) 在区间 ?1, e? 上是增函数,在区间 e, e 2 上是减函数.

? ?

(11 分)

g ?1? ? ?1, g ?e ? ?

2 1 1 2 ? 1 , g e 2 ? 2 ? 1 ,故 ?1 ? m ? 2 ? 1 或 m ? ? 1 (12 分) e e e e

? ?

22. 【解析】 (Ⅰ)以 D 为圆心 DA 为半径作圆,又 ABCD 为正方形,∴EA 为圆 D 的切线 (1 分) 依据切割线定理得 EA2 ? EF ? EC 另外圆 O 以 BC 为直径,∴EB 是圆 O 的切线, 同样依据切割线定理得 EB ? EF ? EC 故 AE ? EB (5 分) (Ⅱ)连结 BF ,∵BC 为圆 O 直径,∴ BF ? EC
2

(2 分) (3 分) (4 分) (6 分) (8 分)

由 S ?BCE ?

1 1 1? 2 2 5 BC ? BE ? CE ? BF ,得 BF ? ? 2 2 5 5
2

又在 Rt?BCE 中,由射影定理得 EF ? FC ? BF ?

4 5

(10 分)

数学试题(文科)

第 11 页(共 13 页)

A

D

E

F

B

O

C

23.【解析】 (Ⅰ)曲线 C 的参数方程可化为 直线 l 的方程为 ? sin ?? ? 直线 l 的直角坐标方程为

?x ? 1?2 ? ? y ? 2?2 ? 1

(2 分)

? ?

??

? ? 2 .可化为 ? cos? ? ? sin ? ? 2 4?
x? y?2?0
(6 分) (7 分)

(4 分)

(Ⅱ)令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0)

又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为 ?1,2? ,半径 r ? 1 ,则 MC ? 5 所以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1 ,? MN 的最大值为 5 ? 1 . 24.【解析】 (Ⅰ) f ( x)

(8 分) (10 分)

? -2
(1 分) (2 分) (3 分)

当 x ? ?2 时, x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 2 ,∴ x ? ? ;

2 2 ,∴ ? ? x ? 1 3 3 当 x ? 1 时, ? x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 6 , ∴1 ? x ? 6 2 综上,{ x | ? ? x ? 6} (4 分) 3
当 ? 2 ? x ? 1 时, 3 x ? ?2 ,即 x ? ?

? x ? 4, x ? ?2 ? (Ⅱ) f ( x) ? ?3 x,?2 ? x ? 1 ? ? x ? 4, x ? 1 ?

函数 f ( x) 的图像如图所示:

y

O

x

数学试题(文科)

第 12 页(共 13 页)

0.12 1

侧视图

(6 分) 令 y ? x ? a , ? a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时, ? a ? 2 ; ∴当- a

? 2,即 a ? -2 时成立;

(7 分)

当 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 时,令 ? x ? 4 ? x ? a , 得 x ? 2 ? ∴a

a , 2

? 2+ a ,即 a ? 4 时成立, ? -2 或 a ? 4
2
(10 分)

(9 分)

综上 a

数学试题(文科)

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