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函数的极值与导数导学案


《函数的极值与导数》导学案
新密市青屏高级中学 高二数学组 白雪 2015.03.18

【学习目标】 1、了解函数极值的定义,会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系。 2、掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。 3、理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。 【学习重难点】 重点:掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。 难点:函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。 【学习方法】导学式 启发式 【学习过程】

一、温故知新,引入新课
1、回忆上节课的学习,导数和函数单调性的关系是什么?

2、观察运动员高台跳水的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图象,回 答以下问题。

h

a

o

t

(1) 当 t ? a 时高台跳水运动员距水面 的 高 度 h(t ) 最 大 , 那 么 函 数 h(t ) 在

t ? a 处 h?(a )

0 , h?(t ) 0 ;当 t ? a 时,函数

(2)在点 t ? a 附近当 t ? a 时,函数 h(t ) 单调

h(t ) 单调

, h?(t )

0 。 后 ,且 h (t ) 连续变化.
/

(3)即当 t 在 a 附近从小到大经过 a 时, h?( a ) =0, h?(t ) 先

二、自学探究,生生协作
1、观察下图所表示的 y ? f ( x) 的图象,回答以下问题:

y

a O b x

(1)函数 y ? f ( x) 在 a , b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?

(2)函数 y ? f ( x) 在 a , b 点的导数值是多少?

(3)在 a , b 点附近, y ? f ( x) 的导数的符号分别是什么,并且有什么关系呢?

2、如图,函数 y ? f ( x) 在 a, b, c, d , e, f , g , h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么 关系? y ? f ( x) 在这些点的导数值是________,在这些点附近,y ? f ( x) 的导数的符号有什 么规律?

y

c

d

e

f O

g

h

i

j

x

三、师生互动,教学合一
1、极小值的定义:在 x ? a 附近, f ( x) 先减后增, f ' ( x ) 先___后___, f ' ( x ) 连续变化, 且 f ' (a) ? 0 . f ( a ) 比在点 x ? a 附近其它点的函数值都小.我们把点 a 叫做函数 y ? f ( x) 的__________, f ( a ) 叫做函数的___________. 2、极大值的定义:在 x ? b 附近, f ( x) 先增后减, f ' ( x ) 先___后___, f ' ( x ) 连续变化, 于是有 f ' (b) ? 0 . f (b) 比在点 x ? b 附近其它点的函数值都大.我们把点 b 叫做函数

y ? f ( x) 的__________, f (b) 叫做函数的___________.
3、极小值点和极大值点统称为_____________,极大值和极小值统称为_____________.

想一想
1、极大值点一定大于极小值点吗? 2、导数值为 0 的点一定是函数的极值点吗?

四、精炼检测,当堂过关 例 1 求函数 f ? x ? ? x3 ? 4 x ? 4 的极值。
1 3

变式训练

(1) f ( x) ? 6x 2 ? x ? 2 (2) f ( x) ? x3 ? 27x

五、课堂小结

课后练习
1.已知函数 f(x)在点 x0 处连续,下列命题中,正确的是( ) A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极小值 C.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值 D.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极大值 2.设 x0 为 f(x)的极值点,则下列说法正确的是( ) A.必有 f′(x0)=0 B.f′(x0)不存在 C.f′(x0)=0 或 f′(x0)不存在 D.f′(x0)存在但可能不为 0 3.对于可导函数,有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.对于函数 f(x)= x ? 3x ,给出命题: ①f(x)是增函数,无极值; ②f(x)是减函数,
3 2

无极值; ③f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞),递减区间为(0,2); ④f(0)=0 是 极大值,f(2)=-4 是极小值. 其中正确的命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.已知函数 y= x ? ax ? bx ? 27 在 x=-1 处有极大值, 在 x=3 处有极小值, 则 a=______,
3 2

b=________. 6.设函数 f(x)= ax ? bx ? cx ,在 x=1 和 x=-1 处有极值,且 f(1)=-1,求 a、b、c
3 2

的值,并求出相应的极值.


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