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5.导数及其应用(单调性、极值与最值)


补讲:导数及其应用(单调性、极值与最值) 一.选择题: (1) 已知函数 y ? f (x) 在区间 (a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) ,则 lim (A) f ' ( x0 ) (B) 2 f ' ( x 0 ) ) (B) ( ,?? ) 上单调递减 (D) (0,??) 上单调递增 ) (C) ? 2 f ' ( x0 )

h ?0

f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? h) ? ( h
(D) 0

)

(2) 函数 y ? x ln x 在区间 ( (A) (0, ) 上单调递减 (C) (0,??) 上单调递减
3 2

1 e

1 e

(3) 函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 5 在 [0,3] 上的最大值和最小值依次是( (A) 12,?15
3

(B) 5,?15
2

(C) 5,?4

(D) ? 4,?15 )

(4) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是 ( (A) ? 1 ? a ? 2 (C) a ? ?3 或 a ? 6 (5) 设点 P 是曲线 y ? x ? 3 x ?
3

(B) ? 3 ? a ? 6 (D) a ? ?1 或 a ? 2

2? ,? ) 3 ? 2? (C) [0, ) ? [ ,? ) 2 3
(A) [
3 2

2 上的任意一点, P 点处切线倾斜角为 ? ,则角 ? 的取值范围是 ( 3 ? 2? (B) ( , ] 2 3 ? 5? (D) [0, ) ? [ ,? ) 2 6
) (C) 1 (D) 0

)

(6) 方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根个数是 ( (A) 3 二.填空题:
2

(B) 2

(7) 函数 f ( x) ? x( x ? c) 在 x ? 2 处有极大值,则实数 c ? (8) 已知曲线 C:y ? x ? 3x ? 2 x ,直线 l:y ? kx ,若 l 与 C 相切于点 ( x0 , y 0 )( x0 ? 0) ,则切点坐标是
3 2

(9) 函数 f ( x) ? ? x ? bx (b ? R) 在区间 (0,1) 上单调递增,且关于 x 的方程
3

f ( x) ? 0 的根都在区间 [?2,2] 内,则实数 b 的取值范围是
(10) 已知 f ( x) ? x ? 3x ? a (a ? R) 在 [?3, 上有最小值 3 ,则在 [?3, 上, f (x) 的最大值是 3] 3]
3 2

三.解答题: (11) 函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b (a ? 0) 的极大值为 6,极小值为 2,求实数 a,b 的值.
3

3-1

(12) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x . ① 求函数 f (x) 的单调区间; ② 若 x ? ?1 ,证明: 1 ?

1 ? ln( x ? 1) ? x . x ?1

(13) (全国卷Ⅱ)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? x ? x ? a.
3 2

(Ⅰ)求 f (x) 的极值. (Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x)与x 轴仅有一个交点.

14 ( 全国卷 III)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻 转 90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

? (15) 设 x1 , x 2 是函数 f ( x) ?
且 | x1 | ? | x2 |? 2 . ① 证明: 0 ? a ? 1

a 3 b 2 x ? x ? a 2 x (a ? 0) 的两个极值点, 3 2

② 证明: | b |?

4 3 9

③ 若函数 h( x) ? f ' ( x) ? 2a( x ? x1 ) ,证明:当 x1 ? x ? 2 且 x1 ? 0 时,

| h( x) |? 4a .

16. (山东卷)已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 ,
3 2

(I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x) 的单调区间; (III)当 x ? ? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.

3-2

(全国卷Ⅱ)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? a. (Ⅰ)求 f (x) 的极值. (Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x)与x 轴仅有一个交点.
解:(I) f '( x) =3 x 2 -2 x -1

1 , x =1 3 当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 变化情况如下表: 1 1 1 x (-∞,- ) - (- ,1) 1 3 3 3 f '( x) + 0 0 - f ( x) 极大值 极小值 ? ? 1 5 ∴ f ( x) 的极大值是 f (? ) ? ? a ,极小值是 f (1) ? a ? 1 3 27
若 f '( x) =0,则 x ==-

(1,+∞) +

?

(II)函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ? a ? ( x ? 1)2 ( x ? 1) ? a ? 1 由此可知,取足够大的正数时,有 f ( x) >0,取足够小的负数时有 f ( x) <0,所以曲线 y = f ( x) 与 x 轴至少有一个 交点 结合 f ( x) 的单调性可知: 当 f ( x) 的极大值

5 5 即 它的极小值也小于 0, 因此曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点, ? a <0, a ? (?? ? ) 时, , 27 27

它在(1,+∞)上。 当 f ( x) 的极小值 a -1>0 即 a ? (1,+∞)时,它的极大值也大于 0,因此曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点,它在 (-∞,-

1 )上。 3

5 ) ∪(1,+∞)时,曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点。 27 3 即 a 的取值范围是 [ , ??) 4 ( 全国卷 III)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转
∴当 a ? (??, ? 90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? 解:设容器的高为 x,容器的体积为 V,1 分 则 V=(90-2x) (48-2x)x,(0<V<24)5 分 3 2 =4x -276x +4320x ∵V′=12 x2-552x+4320……7 分 (山东卷)已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1 的一个极值
3 2

点,其中 m, n ? R, m ? 0 , (I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x) 的单调区间; (III)当 x ? ? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围. 解(I) f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点,所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 , 所以
2

n ? 3m ? 6

3-3

(II)由(I)知, f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ? 1 ?
2

? ?

? ?

2 ?? ? m ?? ?

当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?

2 ,当 x 变化时, f ( x) 与 f ?( x) 的变化如下表: m
1? 2 m
2 ? ? ?1 ? ,1? ? m ?
1

x
f ?( x)

2? ? ? ??,1 ? ? m? ?

?1, ?? ?
?0

?0

0

?0

0

f ( x)

调调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

故有上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 ? ??,1 ?

? ?

2? 2 ? 单调递减,在 (1 ? ,1) 单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. m? m

2 (III)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0

2 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 即 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 设 g ( x) ? x 2 ? 2(1 ? ) x ? ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, m m
又 m ? 0 所以 x 2 ?

2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 4 4 所以 ? 解之得 ? ? m 又 m ? 0 所以 ? ? m ? 0 ?? m m 3 3 ? g (1) ? 0 ? ?1 ? 0 ?
即 m 的取值范围为 ? ? ,0 ?

? 4 ? 3

? ?

3-4

第五讲答案: 一.选择题:

BABCCC
二.填空题: (7) 6 (9) [3,4] 三.解答题: (11) a ? 1 , b ? 4 . (14) 解:① f ( x) =ax2+bx-a2, ∵ x1,x2 是 f (x)的两个极值点,
'

(8) ( ,? ) (10) 57

3 2

3 8

?? 1 分 x1,x2 是方程 f ( x) =0 的两个实数根. b ?? 2 分 ∵ a>0, ∴ x1x2=-a<0,x1+x2=- . a b2 ?? 3 分 ∴ | x1|+|x2|=| x1-x2|= +4a. a2 2 b ∵ | x1|+|x2|=2, ∴ 2+4a=4, a 2 2 3 ?? 4 分 即 b =4a -4a . ?? 5 分 ∵ b2≥0, 0<a≤1. ② 设 g(a)=4a2-4a3, ?? 6 分 则 g '(a)=8a-12a2=4a(2-3a). 2 由 g '(a)>0 及 a ? 0 ?0<a< , 3 2 ?? 7 分 g '(a)<0? <a≤1, 3 2 2 得 g(a)在区间(0, )上是增函数,在区间( ,1]上是减函数, 3 3 2 16 ?? 8 分 ∴ g(a)max=g( )= . 3 27 4 3 ?? 9 分 ∴|b|≤ . 9 ③ ∵ x1,x2 是方程 f '(x)=0 的两个实数根, ?? 10 分 ∴ f '(x)=a(x-x1)(x-x2). ∴ h(x)=a(x-x1)(x-x2)-2a(x-x1)=a(x-x1)(x-x2-2), | x-x1|+| x-x2-2| 2 ∴ | h(x)|=a| x-x1|| x-x2-2|≤a ( ) . ?? 12 分 2 ∵ x>x1,∴| x-x1|=x-x1. 又 x1<0,x1x2<0,∴x2>0.∴x2+2>2. ∵ x<2,∴x-x2-2<0.∴ | x-x2-2|=x2+2-x.
∴ ∴ ∴ | x-x1|+| x-x2-2|=x2-x1+2= x2 ? x1 ? 2 =4. | h(x)|≤4a.

'

?? 14 分

3-5


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