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江苏省南京市金陵中学2013-2014学年高一数学上学期期中考试试题苏教版


金陵中学 2013-2014 学年度第一学期期中试卷 高一数学
命题:翁德强 审核:张松年 李跃学









考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 2 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分。本 试卷满分 100 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将答题卡上交。 2.答题前,请务必将自己的姓名、班级、学号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填在答题 卡上。 3.作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它 位置作答一律无效。 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分,请将答案填在答卷纸上) 1. 已知集合 P={x|1<x<6},集合 Q={x|x-3>0},则 P∩Q= ▲ . 2. 函数 f(x)= 1-x+lg(3x+1)的定义域是 ▲ . 3. 函数 f(x)=x -2x+3,x∈[0,3]的值域是
2





4. 函数 f(x)=log2(x-1)的单调递增区间是 ▲ . 5. 计算: (3-π ) = ▲ . 6. 若方程 lgx=4-2x 的根 x0∈(k,k+1),其中 k∈Z,则 k 的值为 ▲ . 1 1 7. 设幂函数 y=f(x)的图象经过点( , ),则当 f(x)=8 时,实数 x 的值为 ▲ . 2 8
?2x, x>0, 8. 已知函数 f(x)=? 若 f(a)=-2,则 a 的值为 ▲ . ?x+1,x≤0.
2

1 1 9. 设 f(x)=|logax|,其中 a>1,则 f(2),f( ),f( )由大到小排列为 ▲ . 3 4 .... 10.函数 y=2

x-1

的值域为 ▲


2

11.若 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,则 f(-1)= ▲ . 12.已知函数 f(x)对于任意的 x∈R,都满足 f(-x)=f(x),且对任意的 a,b∈(-∞,0], 当 a≠b 时,都有

f(a)-f(b) <0.若 f(m+1)<f(2),则实数 m 的取值范围是 ▲ . a-b

13.函数 f(x)=(2-x)|x-6|在区间(-∞,a]上取得最小值-4,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 14.定义:如果函数 f(x)为定义域 D 上的单调函数,且存在区间[a,b]? D(其中 a<b),使

1

得在区间[a,b]上,f(x)的取值范围恰为区间[a,b],那么称函数 f(x)是 D 上的“正 1 1 函数” .若函数 g(x)= - (m>0)是(0,+∞)上的“正函数” ,则实数 m 的取值范围为

m x





2

二、解答题(本大题共 6 小题,共 58 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 8 分) 1 1 1 - (1)已知 x2+x 2=3,求 x+ 的值;

x

(2)计算:(log43+log83)?(log32+log98). 16.(本题满分 10 分) 设全集为 R,集合 A={x|x≤-3,或 x≥6},B={x|2<x<7}. (1)求 A∪B,(?RA)∩B; (2)设 C={x|m-3≤x≤3m-2},若 B? C,求实数 m 的取值范围. 17.(本题满分 8 分) 1 10-ax 1 设函数 f(x)=( ) ,其中 a 为常数,且 f(3)= . 2 2 (1)求 a 的值; (2)若 f(x)≥4,求 x 的取值范围. 18.(本题满分 10 分) 某房地产公司要在荒地 ABCDE(如图)上划出一块 长方形 MNDG 的地面修建一座公寓楼. 问如何设计才能 使公寓楼地面 MNDG 的面积最大,并求出最大的面积. 19.(本题满分 12 分) 8 探究函数 f(x)=2x+ -3 在区间(0,+∞)上的

E G 60m A

100m

D 80m N

M B 70m C

x

最小值,并确定取得最小值时 x 的值.列表如下:

x ? 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 ? y ? 14 7 5.33 5.11 5.01 5 5.01 5.04 5.08 5.67 7 8.6 12.14 ?
8 (1)观察表中 y 值随 x 值变化趋势的特点, 请你直接写出函数 f(x)=2x+ -3 在区间(0, ....

x

+∞)上的单调区间,并指出 f(x)的最小值及此时 x 的值. 8 (2)用单调性的定义证明函数 f(x)=2x+ -3 在区间(0,2]上的单调性;

x

8 (3)设函数 f(x)=2x+ -3 在区间(0,a]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.

x

20.(本题满分 10 分) x 已知函数 m(x)=log2(4 +1),n(x)=kx(k∈R). (1)当 x>0 时,F(x)=m(x).若 F(x)为 R 上的奇函数,求 x<0 时 F(x)的表达式; (2)若 f(x)=m(x)+n(x)是偶函数,求 k 的值; 4 x (3)对(2)中的函数 f(x), 设函数 g(x)=log2(a?2 - a), 其中 a>0. 若函数 f(x)与 g(x) 3

3

的图象有且只有一个公共点,求 a 的取值范围.

4

金陵中学 2013-2014 学年度第一学期期中试卷 高一数学参考答案 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分,请将答案填在答卷纸上) 1 1.{x|3<x<6} 2.(- ,1] 3 3 1 1 1 9. ( )>f( )>f(2) 10. , f [ +∞) 4 3 2 1 ) 2 二、解答题(本大题共 6 小题,共 58 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 8 分) 1 1 1 - (1)已知 x2+x 2=3,求 x+ 的值; 11. -3 12. (-3, 1) 13. 4+2 2] 14. [4, (0, 3.[2,6] 4.(1,+∞) 5.π -3 6.1 7.2 8.-

x

(2)求值:(log43+log83)?(log32+log98). 1 1 1 1 - - 2 2 【解析】 (1)因为 x2+x 2=3, 所以(x2+x 2) =3 , 分 -1 即 x+x +2=9. 1 所以 x+ =7. ??2

x

??4 分 1 1 3 log23 + log23)?(log32 + 2 3 2

(2)(log43 + log83)?(log32 + log98) = ( log32) ??6 分

5 5 25 = log23? log32= . 6 2 12 16.(本题满分 10 分) 设全集为 R,集合 A={x|x≤-3,或 x≥6},B={x|2<x<7}. (1)求 A∪B,(?RA)∩B; (2)设 C={x|m-3≤x≤3m-2},若 B? C,求实数 m 的取值范围. 【解析】(1)A∪B={x|x≤-3,或 x>2}. 分 ?RA={x|-3<x<6}, 所以(?RA)∩B={x|2<x<6}.

??8 分

??2

??4 分 ??5
5


?3m-2≥7 (2)因为 C={x|m-3≤x≤3m-2},且 B? C,所以? . ?m-3≤2

??7 分 ??10 分

所以所求实数 a 的取值范围是[3,5]. 17.(本题满分 8 分) 1 10-ax 1 设函数 f(x)=( ) ,a 为常数,且 f(3)= . 2 2 (1)求 a 值; (2)求使 f(x)≥4 的 x 值的取值范围. 1 1 10-3a 1 【解析】(1)由 f(3)= ,即( ) = , 2 2 2 2分 所以 10-3a=1,解得 a=3. 1 10-3x 1 -2 (2)由已知( ) ≥4=( ) , 所以 10-3x≤-2, 2 2 6分 解得 x≥4, 故 f(x)≥4 解集为{x|x≥4}. 分 18.(本题满分 10 分)

??

??4 分 ??

??8

某房地产公司要在荒地 ABCDE(如图)上划出一块长方形 MNDG 的地面修建一座公寓楼. 问 如何设计才能使公寓楼地面 MNDG 的面积最大,并 求出最大的面积. 【解析】设长方形为 MNDG 的边 MG=x m,矩形 MNDG 的 面积为 S m ,则
2

E G 60m A

100m

D 80m N

M B 70m C

MN=70+ (80-x)=- x+190.
3 2 于是 S=MG? MN=- x +190x 2

3 2

3 2

??2 分 ??4 分 ??6 分 ??8 分

3 190 2 18050 =- (x- ) + ,x∈(60,80) 2 3 3 190 18050 所以当 x= ∈(60,80)时,S 有最大值 . 3 3

190 18050 2 答:只要使与 AE 平行的边长为 m,公寓楼的地面面积达到最大为 m .??10 分 3 3 19.(本题满分 12 分)
6

8 探究函数 f(x)=2x+ -3,x∈(0,+∞)上的最小值,并确定取得最小值时 x 的值.列

x

表如下:

x ? 0.5 1 y ?
14 7

1.5 5.33

1.7 5.11

1.9 5.01

2 5

2.1 5.01

2.2 5.04

2.3 5.08

3 5.67

4 7

5 8.6

7 12.14

? ?

8 (1)观察表中 y 值随 x 值变化趋势的特点, 请你直接写出函数 f(x)=2x+ -3 在区间(0, ....

x

+∞)上的单调区间,并指出 f(x)的最小值及此时 x 的值. 8 (2)用单调性的定义证明函数 f(x)=2x+ -3 在区间(0,2]上的单调性;

x

8 (3)设函数 f(x)=2x+ -3 在区间(0,a]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.

x

【解析】(1)由表中可知 f(x)在(0,2]为减函数,[2,+∞)为增函数, 分 并且当 x=2 时,f(x)min=5. 分 (2)证明:设 0<x1<x2≤2, 因 为 f(x1) - f(x2) = 2x1 + 2(x1-x2)(x1x2-4) , 8

??2

??4

x1

- 3 - (2x2 +

8

x2

- 3) = 2(x1 - x2) +

8(x2-x1)

x1x2



x1x2

??7 分 因为 0<x1<x2≤2,所以 x1-x2<0,0<x1x2<4,即 x1x2-4<0. 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以 f(x)在(0,2]为减函数. 分 8 (3)由(2)可证:函数 f(x)=2x+ -3 在区间(0,2]上单调递减,在区间[2,+∞)上单 ??9

x

调递增.则 8 ①当 0<a<2 时,(0,a]? (0,2],所以函数 f(x)=2x+ -3 在区间(0,a]上单调递

x

减, 8 故 f(x)min=f(a)=2a+ -3;

a

??11



7

8 ②当 a≥2 时,函数 f(x)=2x+ -3 在区间(0,2]上单调递减,[2,a]上单调递增,

x

故 f(x)min=f(2)=5; 8 综上所述,函数 f(x)=2x+ -3 在区间(0,a]上的最小值为

x

?2a+8-3,0<a<2, ? a g(a)=? ? ?5, a≥2.
分 20.(本题满分 10 分)

??12

已知函数 m(x)=log2(4 +1),n(x)=kx(k∈R). (1)当 x>0 时,F(x)=m(x).若 F(x)为 R 上的奇函数,求 x<0 时 F(x)的表达式; (2)若 f(x)=m(x)+n(x)是偶函数,求 k 的值; 4 x (3)对(2)中的函数 f(x), 设函数 g(x)=log2(a?2 - a), 其中 a>0. 若函数 f(x)与 g(x) 3 的图象有且只有一个公共点,求 a 的取值范围. 【解析】(1)设 x<0,则-x>0,由于 F(x)为 R 上的奇函数,所以 F(x)=-F(-x)=- log2(4 2分 (2)因为 f(x)=log2(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数, 所以 f(-x)=f(x)对任意 x∈R 恒成立, 分 -x x 即 log2(4 +1)-kx=log2(4 +1)+kx 恒成立,所以 k=-1. 分 4 4 x (3)由于 a>0,所以 g(x)=log2(a?2 - a)定义域为(log2 ,+∞), 3 3 4 x 也就是满足 2 > . 3 因为函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个交点, 4 4 x x 所以方程 log2(4 +1)-x=log2(a?2 - a)在(log2 ,+∞)上只有一解, 3 3 4 +1 4 4 x 即方程 x =a?2 - a 在(log2 ,+∞)上只有一解. 2 3 3 4 x 令 2 =t,则 t> ,因而等价于关于 t 的方程 3 4 2 (a-1)t - at-1=0 3 4 (*)在( ,+∞)上只有一解. 3
x x

x

-x

+ 1) , 所 以

x < 0

时 , F(x) = - log2(4

-x

+ 1) ;

4

6

8分

8

3 4 ①当 a=1 时,解得 t=- /( ,+∞),不合题意; ∈ 4 3 4 2a 2 ②当 0<a<1 时,记 h(t)=(a-1)t - at-1,其图象的对称轴 t= <0. 3 3(a-1) 4 2 所以函数 h(t)=(a-1)t - at-1 在(0,+∞)上递减,而 h(0)=-1, 3 4 所以方程(*)在( ,+∞)无解. 3 4 2a 2 ③当 a>1 时,记 h(t)=(a-1)t - at-1,其图象的对称轴 t= >0, 3 3(a-1) 4 16 16 所以只需 h( )<0,即 (a-1)- a-1<0,此式恒成立. 3 9 9 综上所述,所求 a 的取值范围为(1,+∞). 10 分

9


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