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高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《2-1-2-2 椭圆方程及性质的应用》课件


第2课时

椭圆方程及性质的应用

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【课标要求】 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质. 2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识. 【核心扫描】 1.与直线和椭圆的位置关系相关的距离、 弦长、 中点等问题.(重点) 2.与椭圆相关的综合应

用问题.(难点)

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自学导引 点与椭圆、直线与椭圆的位置关系 x2 y2 (1)点 P(x0,y0)与椭圆a2+b2=1(a>b>0)的位置关系: x2 y2 0 0 点 P 在椭圆上?a2+b2=1;
2 x2 y 0 0 点 P 在椭圆内部?a2+b2<1; 2 x2 y 0 0 点 P 在椭圆外部? 2+ 2>1. a b

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x2 y2 (2)直线 y=kx+m 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的位置关系判断方 a b y=kx+m, ? ? 2 法:联立?x y2 2+ 2=1. ? ?a b ∴消 y 得一个一元二次方程
位置关系 相交 相切 解的个数 两 一 无 解 解 Δ的取值 Δ >0 Δ= 0

相离



Δ <0

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想一想:直线和椭圆的位置关系能不能用中心到直线的距离来 判断呢? 提示 不能.因为椭圆不是圆,中心到椭圆上点的距离不完全 相等.

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名师点睛 直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆有三种位置关系: ①相交——直线与椭圆有两个不同的公共点; ②相切——直线与椭圆有且只有一个公共点; ③相离——直线与椭圆没有公共点.

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(2)直线与椭圆的位置关系的判断: 我们把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线和椭圆的公共点 问题,而直线与椭圆的公共点问题,又可以转化为它们的方程 所组成的方程组的解的问题,而它们的方程所组成的方程组的 解的问题通常又可以转化为一元二次方程解的问题,一元二次 方程解的问题可以通过判别式来判断,因此,直线和椭圆的位 置关系,通常可由相应的一元二次方程的判别式来判断.

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(3)弦长公式: x2 y2 设直线方程为 y=kx+m(k≠0),椭圆方程为 a2+b2=1(a>b>0) y2 x2 或a2+b2=1(a>b>0), 直线与椭圆的两个交点为 A(x1, y1), B(x2, y2),则|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2, ∴|AB|= (x1-x2)2+(kx1-kx2)2 = 1+k2· (x1-x2)2 = 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2,

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或|AB|= = =

?1 1 ?2 ? y1- y2? +(y1-y2)2 k ? ?k

1 1+ 2· (y1-y2)2 k 1 1+k2× (y1+y2)2-4y1y2.

其中,x1+x2,x1x2 或 y1+y2,y1y2 的值,可通过由直线方程与 椭圆方程联立消去 y 或 x 后得到关于 x 或 y 的一元二次方程得 到.

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题型一

直线与椭圆的位置关系

【例 1】 椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A,B 两 2 点,C 是 AB 的中点,若 AB=2 2,OC 的斜率为 ,求椭圆 2 的方程. [思路探索] 可先利用弦长公式及两点斜率公式构造方程组,再 通过解方程组,得到基本元素 a,b 的值,从而求得方程.

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解 法一 设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 代入椭圆方程并作差得, a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 y1+y2 2 而 =-1, =kOC= 2 , x1-x2 x1+x2 代入上式可得 b= 2a. 再由|AB|= 1+k2|x2-x1|= 2|x2-x1|=2 2, 其中 x1、x2 是方程(a+b)x2-2bx+b-1=0 的两根,
? 2b ? b-1 ? ?2 故?a+b? -4· =4, a+b ? ?

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1 2 将 b= 2a 代入得 a=3,∴b= 3 , x2 2y2 ∴所求椭圆的方程是 3 + 3 =1. 法二
2 2 ? ?ax +by =1, 由? 得(a+b)x2-2bx+b-1=0. ? ?x+y=1,

设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则|AB|= (k2+1)(x1-x2)2 = 2· 4b2-4(a+b)(b-1) . (a+b)2
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a+b-ab ∵|AB|=2 2,∴ =1. a+b x1+x2 b a 设 C(x,y),则 x= 2 = ,y=1-x= , a+b a+b 2 a 2 ∵OC 的斜率为 2 ,∴b= 2 . 1 2 x2 2 2 代入①,得 a=3,b= 3 .∴椭圆方程为 3 + 3 y =1.



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规律方法 (1)法一利用了设点代入,作差,借助斜率解题的方 法,称作“点差法”或“平方差法”,这是解析几何中解决直 线与圆锥曲线相交的常用方法. (2)法二是圆锥曲线弦长的基本求法,是利用两点间的距离公式 求得,并结合弦所在直线的斜率.利用弦长公式与根与系数的 关系结合较简单,如果是焦点弦可结合椭圆的定义解.

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x2 y2 【变式 1】 已知椭圆16+ 4 =1,过点 P(2,1)作一弦,使弦在 这点被平分,求此弦所在直线的方程. 解 法一 如右图,设所求直线的

方程为 y-1=k(x-2), 代入椭圆方程并整理,得 (4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0, (*) 又设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 8(2k2-k) 则 x1、x2 是(*)方程的两个根,∴x1+x2= . 4k2+1
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x1+x2 4(2k2-k) ∵P 为弦 AB 的中点,∴2= 2 = . 2 4k +1 1 解得 k=-2,∴所求直线的方程为 x+2y-4=0. 法二 设直线与椭圆交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),

∵P 为弦 AB 的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2,
2 2 2 又∵A、B 在椭圆上,∴x2 1+4y1=16,x2+4y2=16. 2 2 2 两式相减,得(x2 - x ) + 4( y - y 1 2 1 2)=0,

即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 -(x1+x2) 1 1 ∴ = =-2,即 kAB=-2. x1-x2 4(y1+y2) 1 ∴所求直线方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y-4=0. 2
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法三 设所求直线与椭圆的一交点为 A(x,y), 则另一交点为 B(4-x,2-y). ∵A、B 在椭圆上,∴x2+4y2=16, (4-x)2+4(2-y)2=16, ① ②

从而 A、B 在方程①-②的图形 x+2y-4=0 上,而过 A、B 的 直线只有一条,∴所求直线的方程为 x+2y-4=0.

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题型二 椭圆的综合问题 x2 y2 【例 2】 如图,点 A 是椭圆 C: 2+ 2=1 a b (a>b>0)的短轴位于 y 轴下方的端点,过点 A 且斜率为 1 的直线交椭圆于点 B,若 P 在 y 轴 → → 上,且 BP∥x 轴,AB·AP=9. (1)若点 P 的坐标为(0,1),求椭圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(0,t),求 t 的取值范围.

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→ [思路探索] 解答第(1)问的关键是由已知条件准确分析出|AB|与 → |的关系,再由向量的数量积得|AP → |,从而用待定系数法求出 |AP 椭圆 C 的方程,解答第(2)问的关键是利用 a2>b2>0,构造 t 的 不等式解出 t 的范围.

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解 ∵直线 AB 的斜率为 1,∴∠BAP=45°,即△BAP 是等腰 → |= 2|AP → |.∵AB → ·AP → =9, 直角三角形,|AB → ||AP → |cos 45°= 2|AP → |2cos 45°=9,∴|AP → |=3. ∴|AB → → (1)∵P(0,1),∴|OP|=1,|OA|=2, 9 1 即 b=2,且 B(3,1).∵B 在椭圆上,∴ 2+ =1, a 4
2 2 x y 得 a2=12,∴椭圆 C 的标准方程为12+ 4 =1.

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(2)由点 P 的坐标为(0,t)及点 A 位于 x 轴下方,得点 A 的坐标 为(0,t-3),∴t-3=-b,即 b=3-t. 显然点 B 的坐标是(3,t),将它代入椭圆方程得:
2 3 ( 3 - t ) 9 t2 2 . 2+ 2=1,解得 a = a (3-t) 3-2t 2 3 ( 3 - t ) ∵a2>b2>0,∴ >(3-t)2>0. 3-2t

3 3 2t ∴ >1,即 -1= >0, 3-2t 3-2t 3-2t 3 ∴所求 t 的取值范围是 0<t< . 2
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规律方法

解析几何中的综合性问题很多,而且可与很多知识

联系在一起出题,例如不等式、三角函数、平面向量以及函数 的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数 与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根 与系数的关系构造等式或函数关系式.这其中要注意利用根的 判别式来确定参数的限制条件.

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x2 y2 【变式 2】 已知椭圆25+ 9 =1,F1、F2 分别为其左、右焦点,点 P 为椭圆上任意一点. → → (1)点 M 满足OM=2OP,求 M 的轨迹方程; (2)求∠F1PF2 最大时的余弦值.

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→ =2OP →, 解 (1)设 M(x,y),P(x0,y0),由OM x ? x0= , ? 2 ?x=2x0, ? 则有? 即? 又点 P(x0,y0)在椭圆上, ? y ?y=2y0, ? y0= . 2 ? x 2 y 2 (2) (2) x2 y2 故 25 + 9 =1,化简得100+36=1. x2 y2 即所求 M 的轨迹方程为100+36=1.

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(2)由已知 a=5,b=3,c=4, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF1|·|PF2| (|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-|F1F2|2 = 2|PF1|·|PF2| 4a2-4c2 2b2 = -1= -1 2|PF1|·|PF2| |PF1|·|PF2| 2×9 2b2 2b2 7 ≥ -1= a2 -1= 25 -1=-25. |PF1|+|PF2| 2 ( ) 2 当且仅当 |PF1|= |PF2|时取等号,此时 P 恰为短轴端点,此时 7 ∠F1PF2 最大,其余弦值为-25.
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题型三 与椭圆有关的应用题 【例 3】 (12 分)我国计划发射火星探测器, 该探测器的运行轨道是以火星(其半径 R=34 百公里)的中心 F 为一个焦点的椭圆. 如图,已知探测器的近火星点 (轨道上离火星表面最近的点 )A 到火星表面的距离为 8 百公里, 远火星点(轨道上离火星表面最 远的点)B 到火星表面的距离为 800 百公里.假定探测器由近火 星点 A 第一次逆时针运行到与轨道中心 O 的距离为 ab百公里 时进行变轨,其中 a、b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长,求 此时探测器与火星表面的距离(精确到 1 百公里).
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审题指导

设出轨道方程 → 求出参数 → 得轨道方程 →

设点(x0,y0) → 代入方程得x0,y0值 → 求得结论 x2 y2 [规范解答] 设所求轨道方程为a2+b2=1(a>b>0),c= a2-b2. ∵a+c=800+34,a-c=8+34, ∴a=438,c=396, 于是 b2=a2-c2=35 028. x2 y2 ∴所求轨道方程为 + =1. 191 844 35 028 (6 分) (4 分)

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设变轨时,探测器位于 P(x0,y0),则
2 2 x y 0 0 2 2 x0+y0=ab≈81 975.1,191 844+35 028=1,

(9 分)

解得 x0≈239.7,y0≈156.7(由题意 x0>0,y0>0). ∴探测器在变轨时与火星表面的距离为 (x0-c)2+y2 0-R≈187.3(百公里). (11 分)

所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为 187 百公里. (12 分)

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【题后反思】 解答与椭圆相关的应用问题时, 事物的实际含义 向椭圆的几何性质的转化是关键,其次要充分利用椭圆的方程 对变量进行讨论,以解决实际问题.

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【变式 3】 “神舟”五号载人飞船发射升空,于 15 日 9 时 9 分 50 秒准确进入预定轨道, 开始巡天飞行. 该轨道是以地球的 中心 F2 为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示,椭圆中心在 原点,近地点 A 距地面 200 km,远地点 B 距地面 350 km.已知 地球半径 R=6 371 km. 求飞船飞行的椭圆轨道的方程.

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x2 y2 解 设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0). 由题设条件,得 a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6 371+200=6 571, a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6 371+350=6 721, 解得 a=6 646,c=75. 所以 a2=44 169 316, b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44 163 691, x2 y2 所以椭圆的方程为 + =1. 44 169 316 44 163 691

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方法技巧 函数方程思想在椭圆中的应用 利用设而不解的方法求解直线与椭圆相交位置关系中的中点、 弦长等问题是本节比较常见的方程思想方法. x2 2 【示例】 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 +y =1 的右焦点, 交 4 椭圆于 A、B 两点,求弦 AB 的长. [思路分析] 求弦 AB 的长,需确定点 A、B 的坐标,点 A、B 是 直线与椭圆的交点,因此由直线方程和椭圆方程组成方程组, 解方程组,依据根与系数的关系和弦长公式可求解.

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∵a2=4,b2=1,∴c= a2-b2= 3,

∴右焦点 F( 3,0),∴直线 l 方程 y=x- 3. x- 3, ? ?y= 由?x2 2 消去 y 并整理得 5x2-8 3x+8=0. +y =1, ? 4 ? 设直线 l 与椭圆的交点的 A(x1,y1),B(x2,y2), 8 3 8 则 x1+x2= 5 ,x1x2=5,

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∴|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = (x1-x2)2+(x1- 3-x2+ 3)2 = 2(x1-x2)2= 2[(x1+x2)2-4x1x2] = 8 3 2 8 8 8 2[( ) -4× ]= ,即弦 AB 的长为 . 5 5 5 5

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方法点评 解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方 法,解题步骤为: (1)设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2); (2)联立直线与椭圆的方程; (3)消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程; (4)利用根与系数的关系设而不求; (5)把题干中的条件转化为 x1+x2,x1x2 或 y1+y2,y1y2,进而求解.

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