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高一数学-5.7平面向量数量积的坐标表示


5.7 平面向量数量积的坐标表示
知识要点精讲
知识点1 平面向量数量积的坐标表示
即:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
解题方法、技巧培养
出题方向1 向量坐标表示的综合运算
例1 已知a=(2,1),b=(-1,3),求:
(1)a·b;(2)a·(a-b);(3)|a+2b|.
[解析]利用向量的加、减、数乘、数量积的坐标表示公式进行综合运算.
[答案](1)a·b=(2,1)·(-1,3)=2×(-1)+1×3=1;
(2)a·(a-b)=(2,1)·[(2,1)-(-1,3)]=(2,1)·(3,-2)=2×3+1×(-2)=4;
[解析]先根据前面两个数量积列方程组求出C点坐标,再根据向量相等解出D点坐标.
点拨 向量的数量积与向量相等是列方程的主要方法.数量积列出的是一个二元方程;而向量相等列出的是一个二元一次方程组.
出题方向2 与平面内两点间距离公式相关的问题
出题方向3 与向量的平行垂直相关的问题
例4 设平面内有两个向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且0<α<β<π.
证明:(a+b)⊥(a-b).
[解析](a+b)⊥(a-b)<=>(a+b)·(a-b)=0,所以只需证明(a+b)·(a-b)=0即可.
[答案]∵ a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),
∴ a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).
∴ (a+b)·(a-b)=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)·(cosα-cosβ,sinα-sinβ)
点拨 本题也可先化简再代入坐标运算.
[解析]合理建立直角坐标系,写出相关向量的坐标,再用向量的方法证明垂直问题.
[答案]如图5-7-1,建立直角坐标系,设CD=1,则:A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1).
点拨 选择合理的直角坐标系,并写出相关点与向量的坐标,就将几何问题转化为代数问题,便于使用向量的坐标运算.
易错易混点警示
例6 已知a=(k,-2),b=(2k,k+1),求实数k的值,分别使:
(1)a·b=1;(2)a⊥b;(3)a∥b.
[错解](1)a·b=(k,-2)·(2k,k+1)=k·2k+k·(k+1)+(-2)·(2k)+(-2)·(k+1)=1,……
(2)∵ a⊥b∴ k·(2k)-(-2)·(k+1)=0,……
(3)∵ a∥b∴ k(k+1)+(-2)·(2k)=0,……
[错因分析]公式记错用错.
[正解] 
学法导引
1.本节知识应用广泛,在处理长度、角度、平行、垂直关系中,都离不开模的计算、夹角余弦的计算等,特别是处理平面几何中有关平行、垂直问题时,显得尤为简捷、巧妙,是用数来解决形的问题的典范.
2.本节公式较多,要寻找它们之间的联系与区别,准确记忆和使用公式.
3.在运用向量的方法解决平面几何问题时,要注意向量的代数运算法则与平面几何问题的几何属性相吻合.

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