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2014天津高考卷文科数学


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(文科) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1) i 是虚数单位,复数 A. 1 ? i B. ? 1 ? i

7?i ?( 3 ? 4i
C.



17 31 17 25 ? i ? i D. ? 25 25 7 7 ? x ? y ? 2 ? 0, ? (2)设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为( ? y ? 1. ?
A.2 B. 3 C. 4 D. 5 x 3.已知命题 p : ?x ? 0, 总有( x ? 1)e ? 1, 则?p为 ( A. ?x0 ? 0, 使得( x0 ? 1)e
x0





? 1 B. ?x0 ? 0, 使得( x0 ? 1)e x0 ? 1
D. ?x0 ? 0, 总有( x0 ? 1)e x0 ? 1 )

C. ?x0 ? 0, 总有( x0 ? 1)e x0 ? 1
2

4.设 a ? log2 ? , b ? log1 ? , c ? ? ?2 , 则(

A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. a ? c ? b D. c ? b ? a 5.设 ?an ?是首项为 a1 ,公差为 ? 1 的等差数列, Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4, 成等比数列,则 a1 = ( A.2 6.已知双曲线
2 2

) B.-2 C.

1 2

D.

1 2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线平行于直线 l : y ? 2 x ? 10, 双曲线的一个焦点在 a 2 b2

2 2

直线 l 上,则双曲线的方程为(

x y x y 3x 2 3 y 2 3x 2 3 y 2 ? ?1 ? ?1 ? ? 1 D. ? ?1 A. B. C. 5 20 20 5 25 100 100 25 7.如图, ?ABC 是圆的内接学科网三角行, ?BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于 E,过点 B 的圆的 切线与 AD 的延长线交于点 F ,在上述条件下,给出下列四个结论:① BD 平分 ?CBF ;② FB 2 ? FD ? FA ;③ AE ? CE ? BE ? DE ;④ AF ? BD ? AB ? BF .则所有正确结论的序号是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D. ①②④ 8.已知函数 f ( x) ? 3sin ?x ? cos ?x(? ? 0), x ? R. 在曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? 1 的交点中, 若相邻 交点距离的最小值为 A.

? 2

B.

2? 3

? ,则 f ( x ) 的最小正周期为( 3
C. ? D. 2?



二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年 级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科 生人数之比为 4 : 5 : 5 : 6 ,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 10.一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积为

m3 .

11.阅读右边的框图,运行相应的程序,输出 S 的值为________.

12.函数 f ? x ? ? lg x3 的单调递减区间是________. 13.已知菱形 ABCD 的边长为 2 , ?BAD ? 120? ,点 E , F 分别在边 BC 、 DC 上,

BC ? 3BE , DC ? ? DF .若 AE ? AE ? 1 ,则 ? 的值为________.
2 ? ? x ? 5x ? 4 , x ? 0 (14)已知函数 f ?x ? ? ? 若函数 y ? f ( x) ? a x 恰有 4 个零点,则实数 a 的取值范 2 x ? 2 , x ? 0 ? ?

围为_______ 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,学科网解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (15)(本小题满分 13 分) 某 校 夏 令 营 有 3 名 男 同 学 A, B, C 和 3 名 女 同 学 X , Y , Z , 其 年 级 情 况 如 下 表 :

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同) (1)用表中字母列举出所有可能的结果学科网 (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学” ,求事件 M 发生的概 率. (16)(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? c ?

6 b , sin B ? 6 sin C 6

(1)求 cos A 的值; (2)求 cos( 2 A ?

?

6

) 的值.

17、 (本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 的底面 是棱 的中点. (1) 证明 平面 ; (2) 若二面角 P-AD-B 为 ,

是平行四边形,



,

分别

① 证明:平面 PBC⊥平面 ABCD ② 求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

18、 (本小题满分 13 分) 设椭圆 = . 的左、右焦点分别为 , , 右 顶 点 为 A , 上 顶 点 为 B. 已 知

(1) 求椭圆的离心率; (2) 设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 ,经过点 的直线 与该圆相 切与点 M, = .求椭圆的方程.

19 (本小题满分 14 分)

2 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax3 (a ? 0), x ? R 3 (1) 求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若对于任意的 x1 ? (2, ??) ,都存在 x2 ? (1, ??) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,求 a 的取值范

围 20(本小题满分14分) 已 知 q 和 n 均 为 给 定 的 大 于 1 的 自 然 数 , 学 科 网 设 集 合 M ? ?0,1,2?q ?1? , 集 合
A ? x x ? x1 ? x2 q ? ? xn q n ?1 , xi ? M , i ? 1,2,? n ,

?

?

(1)当 q ? 2, n ? 3 时,用列举法表示集合 A; (2)设 s, t ? A, s ? a1 ? a2q ??? an qn?1, t ? b1 ? b2q ??bn qn?1, 其 中 ai , bi ? M , i ? 1,2,?n, 证 明:若 an ? bn , 则 s ? t .


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