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2012-2013《高等数学》A(1)试卷A
















卷 ( A)



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2012~2013 学年第 一 学期 课程代码 专业班级(教学班) 考试日期


一、填空题(每小题 4 分,共 20 分) :

课程名称 高等数学 A(1) 学分 课程性质:必修?、选修?、限修? 考试形式:开卷?、闭卷? 2012.11.20 命题教师 高等数学课程组 系(所或教研室) 主任审批签名 刘 植
5.设对任意的 x ,总有 ? ( x) ? f ( x) ? ? ( x) ,且 lim ?? ( x) ? ? ( x) ? ? 0 ,则 lim f ( x ) (
x ??
x ??

C

).

1.设 y ? ln( x ? 1 ? x 2 ) ,则

dy

? 2 dx . x ?1 2
1
.

(A)存在且等于 0 (C)不一定存在

(B)存在但不一定等于 0 (D)一定不存在

2.曲线 ?

? x ? t ? sin t , ? 在 t? 处的切线斜率为 2 ? y ? 1 ? cos t
1 x ?1

三、计算题(本题共 4 题,共计 24 分) : 1.(5 分)设 tan y ? x ? y ,求 dy ;

3.若 lim f ( x ) 存在,且 f ( x) ? x
x ?1

? 2 lim f ( x) ,则
x ?1

f ( x) ? x

1 x?1

? 2e

. 解:

??????????????????????????????????

f ( x0 ? 2u ) ? f ( x0 ? u ) ? 4.若 f ?( x0 ) ? 1 ,则 lim . 2 u ?0 arctan u ?????????????

d (tan y) ? d ( x ? y)
sec2 ydy ? dx ? dy 1 dy ? dx 2 sec y ? 1

? x ? 2a ? 5.若 lim ? ln 2 . ? ? 8 ,则 a ? x ?? ??????????????? ? x?a ?
x

二、选择题(每小题 4 分,共 20 分) : 1.设 f ( x) ? 2 ? 3 ? 2 ,则当 x ? 0 时(
x x

D

).

(A) f ( x ) 与 x 是等价无穷小量 (C) f ( x ) 是比 x 较高阶的无穷小量

(B) f ( x ) 是比 x 较低阶的无穷小量 (D) f ( x ) 与 x 是同阶但非等价无穷小量

2.(6 分)求极限: lim x
x???

?

x2 ? 100 ? x ;

?

2.若函数 f ( x ) 在 x0 点存在左、右导数,则 f ( x ) 在点 x0 ( (A)连续 3.当 x ? 1 时, (A)等于 2 (B)可导 (C)不可导

A

).

解:

x???

lim x

?

x2 ? 100 ? x

?

(D)不连续

x ?1 e x ?1
2

1 x ?1

的极限(

C

? lim
). (D)为 ?

100 x

(B)等于 0

(C)不存在但不为 ?

4.设函数 f ( x) ? lim

n ?? 1 ?

1? x ,讨论 f ( x ) 的间断点,其结论为( x2n
(B)存在间断点 x ? ?1 (D)不存在间断点

A

).

(A)存在间断点 x ? 1 (C)存在间断点 x ? 0

x 2 ? 100 ? x ?100 ? lim x ??? 100 1? 2 ?1 x ? ?50
x ???

命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A”“试卷 B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。 、















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2012~2013 学年第 一 学期 课程代码 专业班级(教学班) 考试日期
1 ? cos x x 1 ? cos x

课程名称 高等数学 A(1) 学分 课程性质:必修?、选修?、限修? 考试形式:开卷?、闭卷? 2012.11.20 命题教师 高等数学课程组 系(所或教研室) 主任审批签名 刘 植

证 明:单调性:当 n ? 1 时, x1 ? 3

, x2 ? 3 ? 3 ? x1 ,

3.(6 分)求极限: lim ?
x ?0

?

?



假设当 n ? k 时有 xk ?1 ? xk ,则当 n ? k ? 1 时仍然有,

解:

1 ? cos x 1 ? cos x lim ? lim x ?0? x (1 ? cos x ) x ?0? x ? ( 1 x ) 2

xk ?2 ? 3 ? 2 xk ?1 ? 3 ? 2 xk ? xk ?1
即,数列 xn ? 是单调增加数列。

?

有界性:当 n ? 1 时, x1 ? 3 ? 3 ,
假设 n ? k 时有 xk ? 3 ,则当 n ? k ? 1 时仍然有,

? lim ?
x ?0

2(1 ? cos x) x 2 ? (1 ? cos x )

xk ?1 ? 3 ? 2 xk ? 3 ? 6 ? 3
即,单调增加数列 xn ? 有上界

x2 ? lim 2 x ? 0? 2 x ?

?

3.

综上所述,数列 xn ? 的极限存在,设 lim xn ? a 。在等式 xn?1 ? 3 ? 2 xn 两边分别求极限,
n ??

?

1 2
d2 y . dx 2

得到 a ? 3 ? 2a ,解出 a

? 3 。即,数列 ?xn ? 的极限值为 3。

2.(8 分)若 x ? 0 时, e 4.(7 分)设 y ? f (cos2 x) ,且 f 二阶可导,求

x

? (ax2 ? bx ?1) 是比 x2 高阶的无穷小,求 a, b .

解:由题意知: lim x ?0

e x ? (ax 2 ? bx ? 1) ?0。 x2 e x ? (ax 2 ? bx ? 1) e x ? 2ax ? b ? lim ,则 x ?0 x ?0 x2 2x

解:

dy ? f ?(cos 2 x) ? 2 cos x(? sin x) ? ? sin 2 xf ?(cos 2 x) dx

另一方面,由洛必达法则得到: lim

d2y ? ?2cos 2 x ? f ?(cos 2 x) ? sin 2 x ? f ??(cos 2 x) ? (?2sin 2 x) 2 dx
2 ? ?2 c o sx2? f? ( c oxs ? ) 22 s x n ?? 2 i? f 2

0 ? lim e x ? 2ax ? b ? 1 ? b ,
x ?0

(cos x

)

即:

b ? 1。
0 ? lim e x ? 2ax ? b e x ? 2ax ? 1 e x ? 2a 1 ? lim ? lim ? (1 ? 2a) , x ?0 x ?0 x ?0 2x 2x 2 2

此时,再次用洛必达法则得

四、解答题(本题共 3 小题,共计 24 分) : 1.(6 分)设 x1 ? 3 , xn?1 ? 3 ? 2 xn ,证明数列 ?xn ? 的极限存在,并求其极限.

即: a ?

1 2。

命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A”“试卷 B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。 、















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2012~2013 学年第 一 学期 课程代码 专业班级(教学班) 考试日期

课程名称 高等数学 A(1) 学分 课程性质:必修?、选修?、限修? 考试形式:开卷?、闭卷? 2012.11.20 命题教师 高等数学课程组 系(所或教研室) 主任审批签名 刘 植
五、 分) f ( x ) 和 g ( x) 在 [ a, b] 上具有二阶导数, g ⅱ ) ? 0 , f (a) = f (b) = g (a) = g (b) = 0 , (12 设 且 (x 证明: (1)对任意 x ? (a, b) , g ( x) ? 0 ; (2)至少存在一点 ? ? (a, b) ,使

? g ( x) ? e ? x , x ? 0, ? 3.(10 分)设 f ( x) ? ? 其中 g ( x) 有二阶连续导数,且 g (0) ? g ??(0) ? 1 , x ? 0, x ? 0, ?
g ?(0) ? ?1 ,
(1)求 f ?( x ) ; (2)讨论 f ?( x ) 在 (??, ??) 内的连续性.

f (? ) f ??(? ) . ? g (? ) g ??(? )

解: (1)当 x ? 0 时, f ?( x) ?

( g ?( x) ? e? x ) ? x ? ( g ( x) ? e ? x ) ; x2
(连续用两次洛必达法则)

证 明: (1)反证法:假设存在一点 x ? ? a, b? 满足 g ( x) ? 0 。则在区间 ? a, x ? 上, g ( x) 满足 Rolle 中
值定理条件,由 Rolle 中值定理得,存在一点 ? ? ? a, x? ,使得 g ?(? ) ? 0 ,与条 件 g ??( x) ? 0 矛盾。

f ( x) ? f (0) g ( x) ? e ? x ? lim 当 x ? 0 时, lim x ?0 x ?0 x x2 g ?( x) ? e? x g ??( x) ? e? x ? lim ? lim x ?0 x ?0 2x 2
1 ? ( g ??(0) ? 1) ? 0 。 2

(2)构造新函数

F ( x) ? f ( x) g?( x) ? f ?( x) g ( x) ,

显然 F ( x) 在 ? a, b? 上连续可导,且 F (a) ? F (b) ? 0 。由 Rolle 中值定理得,存在一点

? ( g ?( x) ? e ) ? x ? ( g ( x) ? e ) ? f ?( x) ? ? x2 即: ? 0 ?
?x ?x
(2)

? ? (a, b) 使得 F ?(? ) ? 0 ,即有:

x ? 0, x ? 0.

f ?( x) g ?( x) ? f ( x) g ??( x) ? f ??( x) g ( x) ? f ?( x ) g ?( x ) x ?? ? f (? ) g ??(? ) ? f ??(? ) g (? ) ? 0,
由 g ( x) ? 0 与 g ??( x) ? 0 得:

f (? ) f ??(? ) ? 。 g (? ) g ??(? )

lim f ?( x) ? lim
x ?0

( g ?( x) ? e? x ) ? x ? ( g ( x) ? e ? x ) x ?0 x2

( g ??( x) ? e ? x ) ? x ? g ?( x) ? e ? x ? ( g ?( x) ? e ? x ) ? lim x ?0 2x ?x ( g ??( x) ? e ) ? x ? lim x ?0 2x 1 ? ( g ??(0) ? 1) ? 0. 2
则 f ( x ) 在 x ? 0 处 连续 。又由于 f ( x ) 在 x ? 0 处是初等函数,由初等函数的连续性知 f ( x ) 在

? ?? , ??? 内连续。
命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A”“试卷 B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。 、


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