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苏北四市(宿迁徐州淮安连云港)2012届高三10月质量抽测数学试题(扫描版)


江苏省苏北四市 2012 届高三 10 月摸底考试 数学参考答案与评分标准 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上.

?1,0,1, 2} ; 1.{

1 2.3; 3.1; 4. 5

5.1; 6.1;

7.15;

2 1 a+ b 3 ; 8. 3

9.(?∞, 2] ;

2 3 10. 3 ;

2 2 11.( x ? 2) + y = 2 ; 12. 10;

9 13.5 ;

14.[?1,1]

二、解答题: 本大题共 6 小题, 15—17 每小题 14 分,18—20 每小题 16 分,共计 90 分.请 在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明,求证过程或演算步骤.

1 2 2 Q cos A = ∴ sin A = 3 3 , 15. (1)
uuu uuur r Q AB ? AC = bc cos A = 2 , ∴ bc = 6 , 又
∴S 1 1 2 2 = bc sin A = × 6 × =2 2 2 2 3 .

…………………………………………2 分 ………………………… ………6 分

ABC

……………………………………8 分

(2)Q b + c = 5 , bc = 6 ,

?b = 2 ∴? ?c = 3



?b = 3 ? ?c = 2

2 2 2 由余弦定理,得 a = b + c ? 2bc cos A = 9 ,

∴ a = 3 .…………………………………………………………………………………14 分
16.⑴因为 ABCD 是菱形, AC I BD = O ,所以 O 是 BD 的中点, 又 E 是 PB 的中点,所以 EO / / BD . 因为 EO ? 平面 PCD , PD ? 平面 PCD , 所以 EO / / 平面 PCD . ………………………………………………………6 分 ……………………………………………2 分

⑵因为 PA ⊥ 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,所以 BD ⊥ PA ,……………………8 分 又因为 ABCD 是菱形,所以 BD ⊥ AC ,………………………………………………10 分 因为 PA I AC = A ,所以 BD ⊥ 平面 PAC ………………………………………………12 分 又因为 BD ? 平面 PBD

所以平面 PBD ⊥ 平面 PAC .……………………………………………………………14 分 17. (1)由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为:

4000 × 2000 = 8000000 (元) = 800 (万元) ,
从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多:

100 × 2000 = 200000 (元) = 20 (万元) ,
写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800 为首项,20 为公差的等差数列,…2 分 所以函数表达式为:

y = f ( x) = 800 x +

x( x ? 1) × 20 + 9000 = 10 x 2 + 790 x + 9000 ( x ∈ N* ) 2 ;…………6 分

(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为:

g ( x) =

f ( x) 5(10 x 2 + 790 x + 9000) × 10000 = 2000 x x ……………………………………10 分

900 ? ? = 50 ? x + + 79 ? ≥ 50 × (2 900 + 79) = 6950 x ? ? (元)……………………12 分 x= 900 x ,即 x = 30 时等号成立.

当且仅当

答:该写字楼建为 30 层时,每平方米平均开发费用最低. …………………………14 分

18. (1)由题意知, 解得 a = 2 ,

e=

c 3 = 2 2 a 2 , b = 1 , a ? c = 1 ,……………………………………4 分

x2 + y2 = 1 C 的标准方程为 4 所以椭圆 .………………………… ………………………6 分
(2)设直线 l1 的方程为 y = kx + 1 ,

? y = kx + 1 ? 2 ?x 2 2 2 ? + y =1 ,得 (4k + 1) x + 8kx = 0 ,……………………………………8 分 由方程组 ? 4

解得

x1 = ?

8k 8k 1 ? 4k 2 , x2 = 0 xM = ? 2 yM = 2 4k 2 + 1 4k + 1 , 4k + 1 ,……………10 分 ,所以 8k k2 ? 4 yN = 2 k2 + 4 , k + 4 ,……………………………………………12 分

同理可得

xN =

k MP

1 ? 4k 2 3 8k 2 8 + ? + 2 2 5 5 = k ?1 = 4k + 1 5 = 8k ?8k 5k ? 2 4k + 1 , k 2 ? 4 3 8k 2 8 + ? 2 2 5 = k ?1 = k +4 5 = 5 8k 8k 5k 2 k +4 ,

k NP

…………………………………………14 分

所以 k MP

3 P (0, ? ) = k NP ,故直线 MN 恒过定点 5 .

…………………………16 分

19. (1)当 c = 2 时,由已知得

a1 = 2
因为 {



a 2 = ba1 + 2 = 2b + 2
是等差数列,所以



a 3 = ba2 + 2 = 2b 2 + 2b +2 a2




an }

a1



a3

成等差数列,所以

a1 + a3 = 2a 2



2 2 即 2+(2b + 2b +2)=2(2b + 2) ,所以 b ? b =0 ,解得 b=0 ,或 b =1 . …………2 分

又 b=0 时,

an = 2

,对 n ∈ N ,
*

a n +1 ? a n = 0

成立,所以数列 {

an }

是等差数列;

b =1 时, a n +1 = a n + 2 ,对 n ∈ N* , a n +1 ? a n = 2 成立,所以数列 {an } 是等差数列;
所以数列 {

an }

的通项公式分别为

an = 2 a1




a n = 2n


。………………………………4 分

(2)因为 {

an }

是等比数列,所以
2

a2

a3

2 成等比数列,所以 a1a3 = a2 ,

2 即 2[b(2b + c) + c] = (2b + c) ,化简得 2bc + c = 2c ,所以 c = 0 或 2b + c = 2 ,

当 2b + c = 2 时,

a 2 = ba1 + c = 2b + c = 2 a1 = 2

,所以

an = 2

,不满足

Sn <

341 256 .

当 c = 0 时,若 b = 0 ,则与 则

矛盾,所以 b ≠ 0 ,因此

a n = 2b n ?1

.…………8 分

a n +1 = 2b n



a n + 2 = 2b n +1

,因为

a n , a n +1 , a n + 2

按某种顺序排列成等差数列,

2 2 2 所以有 1 + b = 2b ,或 1 + b = 2b ,或 b + b = 2 ,

1 b = 1, ? , ?2 2 解之得 .

…………………………………………………………12 分

1 2[1 ? (? )n ] 2 = 4 [1 ? (? 1 )2 ] Sn = 1 1 3 2 b=? 1 ? (? ) |b|<1 ,所以 2 2 ,所以 又因为 , Sn < 341 4 1 341 1 1 [1 ? (? ) n ] < (? )n > 256 ,得 3 2 256 ,即 2 1024 , 2, 4,6,8}
. ………………………………………………1 6



因为 n 正整数, 所以 n 的取值集合为 { 分 20. (1)因为 f ( x) = ln x ,所以 所 以 函 数

f ′( x) =

1 x ,因此 f ′(1) = 1 ,
(1, f (1))
处 的 切 线 方 程 为

f ( x)

的 图 象 在 点

y = x ?1,

………………………2 分

? y = x ? 1, ? ? 1 2 2 ? y = 2 x ? bx, x 2 ? 2(b + 1) x + 2 = 0 得 ,由 ? = 4(b + 1) ? 8 = 0 ,得 b = ?1 ± 2 由?
………………………………………………4 分

(2)因为

h( x) = f ( x) + g ( x) = ln x +

1 2 x ? bx ( x > 0) 2 ,

所以

h′( x) =

1 x 2 ? bx + 1 + x?b = ′ x x ,由题意知 h ( x) < 0 在 (0, +∞) 上有解,

2 因为 x > 0 ,设 u ( x) = x ? bx + 1 ,因为 u (0) = 1 > 0 ,

?b ? > 0, ?2 ?(?b) 2 ? 4 > 0, 则只要 ? ,解得 b > 2 ,
所以 b 的取值范围 (2, +∞ ) 分 (3)不妨设 x1 > x2 .因为函数 f ( x) = ln x 在区间 [1,2] 上是增函数,所以 f ( x1 ) > f ( x2 ) , 函数 g ( x) 图象的对称轴为 x = b ,且 b > 1 , (ⅰ)当 b ≥ 2 时,函数 g ( x) 在区间 [1, 2] 上是减函数,所以 g ( x1 ) < g ( x2 ) , 所以 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |>| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) > g ( x2 ) ? g ( x1 ) ………………………………………………8

即 f ( x1 ) + g ( x1 ) > f ( x2 ) + g ( x2 )

等价于

h( x) = f ( x) + g ( x) = ln x +

1 2 x ? bx ( x > 0) 2 在区间 [1,2] 上是增函数,

等价于

h′( x) =

1 + x ? b≥0 x 在区间 [1,2] 上恒成立 1 x 在区间 [1,2] 上恒成立

等价于

b≤ x +

所以 b ≤ 2 ,又 b ≥ 2 所以 b = 2 分 (ⅱ)当 1 < b < 2 时,函数 g ( x) 在区间 [1, b] 上是减函数, 在 [b, 2] 上为增函数. ①当 1 ≤ x2 < x1 ≤ b ………………………………………………10

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |>| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 等价于 f ( x1 ) + g ( x1 ) > f ( x2 ) + g ( x2 ) h( x) = f ( x) + g ( x) = ln x + 1 2 x ? bx ( x > 0) 2 在区间 [1, b] 上是增函数

等价于

等价于

h′( x) =

1 + x ? b≥0 x 在区间 [1, b] 上恒成立 1 x 在区间 [1, b] 上恒成立

等价于

b≤ x +

所以 b ≤ 2 ,又 1 < b < 2 所以 1 < b < 2 分 ② b ≤ x2 < x1 ≤ 2 ………………………………………………12

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |>| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 等价于 f ( x1 ) ? g ( x1 ) > f ( x2 ) ? g ( x2 ) H ( x) = f ( x) ? g ( x) = ln x ? 1 2 x + bx 2 在区间 [b, 2] 上是增函数

等价于

等价于

H ′( x) =

1 ? x + b≥ 0 x 在区间 [b, 2] 上恒成立
1 x 在区间 [b, 2] 上恒成立

等价于

b≥ x ?

所以

b≥

3 3 ≤b < 2 2 ,故 2 .

……………………………………14 分

③ 1 ≤ x2 < b < x1 ≤ 2 由 g ( x) 图象的对称性知,只要 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |>| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 对于①②同时成 立,那么对于 ③, 则存在 t1 ∈ [1, b] , 使 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |>| f (t1 ) ? f ( x2 ) |>| g (t1 ) ? g ( x2 ) |=| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 恒成立; 或存在 t2 ∈ [b, 2] , 使 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |>| f ( x1 ) ? f (t2 ) |>| g ( x1 ) ? g (t2 ) |=| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 恒成立.

3 ≤b < 2 因此, 2 3 ≤b≤2 . 综上,b 的取值范围是 2
数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准 21A.设外圆半径为 R ,内圆半径为 r ,作两圆的公切线 TQ . 设 PT 交内圆于 C ,
2 连结 OP , O′C ,则 PM = PC PT ,

……………………………………………………16 分

PM 2 PC PT PC = = 2 PT 2 PT .………………………………………………………………5 分 所以 PT

′ 由弦切角定理知 ∠POT = 2∠PTQ, ∠CO T = 2∠PTQ ,


∠POT = ∠CO′T , PO

CO′ ,

所以

PM PC OO′ R ? r = = = PT OT R ,即 PT

R?r R 为定值.………………………………10 分

? 1 ?1? ?a 1 ? ? 21B. (1)由 ?

?1? ? 0 ? ?1? ? ?8? ? ? = ? ? ,得 a + 1 = ?8 ,所以 a = ?9 ;………… …………5 分

(2)由(1)知

? 1 ?1? A=? ? ? ?9 1 ?
f ( x) =

λ ?1
9

则矩阵 A 的特征多项式为

1 = (λ ? 1) 2 ? 9 = λ 2 ? 2λ ? 8 λ ?1

令 f (λ ) = 0 ,所以矩阵 A 的特征值为 ?2 或 4 .……………………………………10 分

21C. (1)因为

π ρ = 2 2(sin θ + )

2 4 ,即 ρ = 2(sin θ + cos θ ) ,所以 ρ = 2( ρ sin θ + ρ cosθ ) ,

2 2 消去参数 θ ,得⊙ C 的直角坐标方程为: ( x ? 1) + ( x ? 1) = 2 ;…………………3 分

?x = t , ? y = 1 + 2t 又因为 ? ,消去参数 t ,得 直线 l 的普通方程为 y = 2 x + 1 .…………… …6 分

d=
(2)由(1)知,圆心 C 到直线 l 的距离

| 2 ? 1 + 1| 2 +1
2 2

=

2 5 < 2 5 ,…………………8 分

所以直线 l 和⊙ C 相交.…………………………………………………………………10 分 21D.∵a、b、c 均为正实数,

1 1 1 1 1 2 ( 2a + 2b )≥ 2 ab ≥ a + b ,当且仅当 a = b 时等号成立; ∴ 1 1 1 1 1 2 ( 2b + 2c )≥ 2 bc ≥ b + c ,当且仅当 b = c 时等号成立; 1 1 1 1 1 2 ( 2c + 2a )≥ 2 ca ≥ c + a .当且仅当 c = a 时等号成立;…………………6 分 1 1 1 1 1 1 三个不等式相加即得 2a + 2b + 2c ≥ b + c + c + a + a + b ,
当且仅当 a = b = c 时等号成立.……………………………………… ………………10 分 22.⑴如图,以 A1 为原点, A1 B1 , A1C1 , A1 A 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角

坐标系 A1 ? B1C1 A , 则 A1 (0,0,0), B1 (1,0, 0), C1 (0,1,0), B(1,0,1), P(0, 2,0) ,

uuur uuur A1 B = (1,0,1), B1 P = (?1, 2,0) , 所以 uuur uuur uuur A1 B cos < A1 B, B1 P >= uuur A1 B uuur B1 P ?1 10 =? uuur = 10 2× 5 B1 P



10 所以直线 PB1 与 A1 B 所角的余弦值为 10 .………………5 分

⑵在 ?PAA1 中有

C1 D =

1 1 AA1 D (0,1, ) 2 2 . ,即

uuur uuuu r uuur A1 B = (1,0,1), A1 D = (0,1, x), B1 P = (?1, 2,0) . 所以
uuur ? n1 A1 B = a + c = 0, ? r ? uuuu 1 ? n1 A1 D = b + c = 0. BA1 D 的一个法向量为 n1 = (a, b, c) ,则 ? 2 设平面
1 1 n1 = (1, , ?1) n = (1, , ?1) BA1 D 的一个法向量 1 2 2 .平面 . 令 c = ?1 ,则

cos < n1 , n2 >=
又 n2 = (1,0,0) 为平面 AA1 D 的一个法向量,所以

n1 n2 1 2 = = 3 3 | n1 || n2 | 1 × 2 .

所以

sin < n1 , n2 >=

5 3

5 故二面角 A-A1D-B 的平面角的正弦值为 3 .…………………………………………10 分
n n 23. n = 1 时, 2 ? n! = (n + 1) ,

n = 2 时, 2n ? n! < (n + 1) n , n = 3 时, 2n ? n! < (n + 1) n ,
n n 所以猜想: n ≥ 2 时, 2 ? n! < (n + 1) 。………………………………………………3 分

证明(1)当 n = 2 时,左边 = 2! = 2 ,右边

=(

2 +1 2 9 ) = 2 4 成立,

(2)假设当 n = k 时,原不等式成立,即

k!< (

k +1 k ) 2 , k +1 k ) 2
= (k + 1) 2k
k +1

则当 n = k + 1 时,左边 = (k + 1)! = (k + 1) ? k !

< (k + 1) ? (



右边

=(

k + 2 k +1 ) 2 ,
k +1

( k + 1) k 要证 2 2<(

<(

k + 2 k +1 ) 2 成立,

即证

k + 2 k +1 1 k +1 ) (1 + ) >2 k +1 k +1 ,即证 ,

事实上由二项式定理,

(1 +

1 k +1 1 1 2 1 1 1 ) = 1 + Ck +1 ? + Ck2+1 ? ( ) + ...+ > 1 + Ck +1 ? =2 k +1 k +1 k +1 k +1 ,

即当 n = k + 1 时,原不等式也成立.
n n 由(1) (2)可得当 n ≥ 2 时,不等式 2 ? n ! < (n + 1) 成立.

…………………10 分


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