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高中数学 必修3第三章知识点+经典习题


第三章 概率 3.1 事件与概率 3.1.1 随机现象
一、必然现象与随机现象 1. 必然现象:必然发生某种结果的现象 注:必然现象具有确定性,它在一定条件下,肯定发生 2. 随机现象:相同条件下,多次观察同一现象,每一次观察到的结果不一定相同,事先很难预料哪一种 结果会出现 注:⑴相同条件下,观察同一现象 ⑵多次观察 ⑶每次观察的结果不一定相同,且无法预料下一次的观察

结果

3.1.2 事件与基本事件空间
一、不可能事件、必然事件、随机事件的概念 1. 在同样的条件下重复进行试验时,有的结果始终不会发生,它称为不可能事件;有的结果在每次试验 中一定会发生,它称为必然事件;在试验中可能发生,可能不发生称为随机事件 2. 随机事件的记法:用大写字母 A 、 B 、 C ??

二、基本事件、基本事件空间 1. 试验中不能再分的简单的随机事件,其他事件可用它们来描绘,这样的事件称为基本事件 2. 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,用 ? 表示

3.1.3 频率与概率
一、概率的定义及其理解 1. 定义:一般地,在 n 次重复进行的试验中,事件 A 发生的频率

m n

,当 n 很大时,总是在某个常数附近

摆动,随着 n 的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P ? A ? 2. 区别:(1)频率随着试验次数的改变而改变,概率却是一个常数 (2)频率有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,概率可看成频率在理论上的期望,它从数量 上反映了随机事件发生的可能性的大小

二、随机事件 A 的概率 P ? A ? 的范围

?n, 0 ? 1. 设随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次,那么有 0?m
1

m ?1 n

0? P?A ? ?1

当 A 是必然事件时, P ? A ? ? 1 当 A 是不可能事件时, P ? A? ? 0

3.1.4 概率的相关性质
一、互斥事件的基本概念 1. 互斥事件:事件 A 与 B 不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 2. 对立事件:不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件,事件 A 的对立事件记作 A 二、事件 A 与 B 的并(或和)及互斥事件的概率加法公式 1. 由事件 A 和 B 至少有一个发生所构成的集合 C ,称为事件 A 与 B 的并(或和) ,记作: C ?A ? B 2. 互斥事件的概率加法公式 若 事 件 A 、 B 互 斥 , 那 么 事 件 A? B 发 生 的 概 率 等 于 事 件 A 、 B 分 别 发 生 的 概 率 的 和 , 即

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
推广 , P( A 1?A 2 ? ?? A n ) ? P( A 1 ) ? P( A 2 ) ? ? ? P( A n) 3. 注意:如果两个事件不互斥,就不能运用上面的公式 4. 对立事件: P ?A ??P A ?1

??

3.2 古典概型
一、古典概型 1. 定义:(1)在一次试验中,所有可能出现的基本事件只有有限个 (2)每个基本事件出现的可能性相等 2. 求法: (古典概率模型) 若一次试验中的等可能基本事件共有 n 个,那么每一个等可能事件的概率都是 了其中的 m 个等可能的基本事件,那么随机事件 A 发生的概率为 P ? A ? ? 二、概率的一般加法公式(选学) 1. 事件 A 与 B 的交(或积)

1 ,如果随机事件 A 中包含 n

m n

? A ? B B) 事件 A 和 B 同时发生所构成的事件 D ,称为事件 A 与 B 的交(或积) ,记作 D (或 D?A
2. 概率的一般加法公式 当 A 、 B 不是互斥事件时

P( A ? B) ?

A ? B中包含的基本事件数 A中基本事件个数? B中基本事件个数? A ? B中基本事件个数 ? ?的基本事件总数 ?的基本事件总数

即 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A ? B)

2

三、练习题 1. 下列现象中,随机现象有哪些? ⑴某体操元动员参加下周举行的运动会 ⑵同时掷两颗骰子,出现 6 点 ⑶某人购买福利彩票中奖 ⑷三角形中任意两边的和大于第三边 2. 判断下列现象是必然现象还是随机现象 ⑴掷一枚质地均匀的硬币的结果 ⑵行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色 ⑶在 10 个同类产品中,有 8 个正品,2 个次品,从中任意抽取出 3 个检验的结果 ⑷在 10 个同类产品中,有 8 个正品,2 个次品,从中任意抽取出 3 个,至少有一个正品的结果 ⑸三角形的内角和是 180 3. 下面给出五个事件: ⑴某地 2 月 3 日下雪
x ⑵函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )在其定义域上是增函数
?

⑶实数的绝对值不小于 0
? ⑷在标准大气压下,水在 1 C 时结冰

⑸ a, b ? R ,则 ab ? ba 其中必然事件是________,不可能事件是________,随机事件是________ 4. 以 1,2,3,5 中任取 2 个数字作为直线 Ax ? By ? 0 的系数 A, B ⑴写出这个实验的基本事件空间 ⑵求这个实验基本事件总数 ⑶写出“这条直线的斜率大于 ?1 ”这一事件所包括的基本事件

5.袋中有红,白,黄,黑大小相同颜色不同的四个小球,按下列要求分别进行实验 ⑴从中任取一个球;⑵从中任取两个球;⑶先后不放回地各取一个球 分别写出上面试验的基本事件空间,并指出基本事件总数

3

6. 某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别成为品种甲和品种乙)进行田间试验, 选取两大块地,每大块地 n 个小块地,在总共 2 n 小块地中,随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种 植品种乙,假设 n ? 2 ,求第一大块地都种植品种甲的概率

7. 一个容量为 100 的样本,某数据的分组与各组的频数如下: 组别 频数

? 0,10?
12

?10, 20?
13

? 20,30?
24 )

? 30, 40?
15

? 40,50?
16

? 50,60?
13

? 60,70?
7

则样本数据落在 (10,40] 上的频率为(

A . 0.13

B . 0.39

C . 0.52

D . 0.64

8. 某种产品质量以其质量指标衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产 品为优质点,现用两种新配方(分别成为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了 每件产品的质量指标值,得到下面的试验结果 A 配方的频数分布表 指标值分组 频数

?90,94 ?
8

?94,98?
20 B 配方的频数分布表

?98,102 ?
42

?102,106?
22

?106,110?
8

指标值分组 频数

?90,94 ?
4

?94,98?
12

?98,102 ?
42

?102,106?
32

?106,110?
10

分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率

9. 为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 100 名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况 的统计图如图: ⑴估计该校男生人数 ⑵估计该校学生身高在 170 ~ 185cm 之间的概率 ⑶以样本中身高在 180 ~ 190 cm 之间的男生中任选 2 人,求至少有 1 人身高在 185 ~ 190 cm 之间的概率

4

男生 频数 15 10 5 2 5 14 13 15 10 4 2 身高 5 1 7 频数

女生

12 6 3 1 身高

10.在一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下:

[11.5,15.5)2 ; [15.5,19.5)4 ; [19.5,23.5)9 ; [23.5,27.5)18 ; [27.5,31.5)11; [31.5,35.5)12 ; [35.5,39.5)7 ; [39.5,43.5)3
根据样本的频率分布估计,数据落在 [31.5,43.5) 的概率约是( )

A. 1 6

B.1 3

C.1 2

D. 2 3

11. 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件 A 为“只订甲报” ,事件 B 为“至少订一种报” ,事件 C 为“至多订一种报” ,事件 D 为“不订甲报” ,事件 E 为“一种报也不定” ,判断下列每对事件是不是互斥 事件,如果是,再判断它们是不是对立事件 ⑴ A与C ⑵ B与E ⑶ B与D ⑷ B与C ⑸ C与E

12. 玻璃盒子里装有各色球 12 只,其中 5 红,4 黑,2 白,1 绿,从中取 1 球,设事件 A 为“取出 1 只红 球” ,事件 B 为“取出 1 只黑球” ,事件 C 为“取出 1 只白球” ,事件 D 为“取出 1 只绿球” ,已知

P( A) ?

5 1 1 1 , P( B) ? , P(C ) ? , P( D) ? ,求: 12 3 6 12

⑴“取出一球为红球或黑球”的概率 ⑵“取出 1 球为红球或黑球或白球”的概率

13.现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1 , A2 , A3 通晓日语, B1 , B2 , B3 通晓俄语, C1, C2 通晓韩语,从 中选取通晓日语,俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组 ⑴ 求 A1 被选中的概率 ⑵求 B1 和 C1 不全被选中的概率
5

14. 设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量表示方程 x ? bx ? c ? 0 实根的个数(重
2

根按一个计算) ,求方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率
2

15. 依次投掷两枚骰子,并记录骰子的点数 ⑴这个试验的基本事件空间包括多少个基本事件? ⑵事件“点数相同”包含哪几个基本事件? ⑶事件“点数之和为奇数”包含哪几个基本事件

16. 袋中装有 6 个小球,其中 4 个白球,2 个红球,从袋中任意取出 2 个球,求下列事件的概率: ⑴事件 A:取出的 2 个球都是白球.⑵事件 B:取出的 2 个球 1 个是白球,另一个是红球

17. 从标有 1,2,3,?,7 的 7 个小球中取出一球,记下它上面的数字,放回后再取出一球,记下它上 面的数字,求两球上的数字之和大于 11 或者能被 4 整除的概率

18. 某初级中学共有学生 2000 名,各年级男女生人数如下表: 初一年纪 女生 男生 373 377 初二年级 初三年级

x
370

y
z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19 ⑴求 x 的值 ⑵现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? ⑶已知 y ? 245 , z ? 245 求初三年级中女生比男生多的概率

19. 从长度分别为 2,3,4,5 的四条线中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ________

6

20. 某饮料公司对一名员工进行测试以便更确定其考评级别,公司准备了两种不同的饮料共 5 杯,其颜色 完全相同,并且其中 3 杯为 A 饮料,另外 2 杯为 B 饮料,公司要求此员工一品尝后,从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料,若该员工 3 杯都选对,则评为优秀;若 3 杯选对 2 杯,则评为良好;否则评为合格。假设此人 对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力 ⑴求此人被评为优秀的概率 ⑵求此人被评为良好及以上的概率

21. 编号分别为 A 1, A 2 ,?, A 16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下 运动员编号 得分 运动员编号 得分

A1
15

A2
35

A3
21

A4
28

A5
25

A6
36

A7
18

A8
34

A9
17

A10
26

A11
25

A12
33

A13
22

A14
12

A15
31

A16
38

⑴将得分在对应区间内的人数填入相应的空格内 区间 人数 ⑵从得分在区间 [20,30) 内运动员中随机抽取 2 人 ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果 ②求这二人得分之和大于 50 的概率 22. 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连 成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( )

?10, 20?

? 20,30?

?30, 40?

A. 3 18

B. 4 18

C. 5 18

D. 6 18

23. 某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 x 依次为 1,2,3,4,5,现从一批该日用品随机 抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:

x
f

1

2 0.2

3 0.45

4

5

a

b

c

⑴若所取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a, b, c 的值 ⑵ 在⑴的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1, x2 , x3 ,等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1 , y2 , 现以 x1, x2 , x3 , y1 , y2 ,这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同) ,写出所有可能 的结果,并求出这两件日用品的等级系数恰好相等的概率
7

3.3 随机数的含义与应用 3.3.1 几何概型
一、 几何概型的概率公式:

构 成 事 件 A 的 区 域 长 度 ( 面 积 或 体 积 ) P A ? ? ? 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 ( 面 积 或 体 积 )
特点:(1)结果(基本事件)有无限多个 (2)每个结果出现的可能性相等

1. 将一根 5 m 长的铁管据成两根,求两根铁管的长度都不小于 1 .5 m 的概率

2. 在一家俱乐部的门口设有一种游戏: 向一个画满边长为 5 c m 的均匀方格的大桌子上掷直径为 2 c m 的硬 币,如果硬币完全落入某个方格中,那么掷硬币者就可以赢得一张门票,请问随机掷一枚硬币,则赢 得一张门票的概率有多大

B C DA ?1 B C D 3.正方体 A 的棱长为 4 ,球 O 的半径为 1 ,球 O 在正方体内运动,求球心的概率 1 1 1

8

4. 在直角坐标系中, A ? 1, 2 ? , B ? 4, 0 ? ,动直线 l 与 x 轴垂直且交于点 P ,与 A B 交于点 R ,求四边形

OPRA 的面积不大于 2 的概率

y

2

A

R

B
1

P

x

5.甲、乙两人相约上午 1 0 点到 1 1 点在某地会面,先到者等候另一个人 1 5 分钟,过时就离去,那么这两 个人见面的机会多大

6. 如图,在圆心角为 9 0 的扇形中,以圆心 O 为起点作射线 O C ,求使得 ?AOC 和 ?BOC 都不小于 3 0 的概率 A C B

?

?

0

7. 在长为 1 2 c m 的线段 A B 上任取一点 C ,现作一矩形,邻边长分别等于线段 A C , C B 的长,则该矩形 面积小于 32 cm 的概率为(
2

)

A. 1 6

B.

1 3

C.2 3

D.

4 5

9

8. 如图, 矩形 ABCD 中, 点 E 为边 C D 的中点, 若在矩形 ABCD 内部随机取一点 Q , 则点 Q 取自 ?ABE 内部的概率等于( D E ) C

A. 1 4
B

B.

1 3

C.1 2

D.

2 3

A

9. 四边形 ABCD 为长方形, A B ? 2, BC ? 1 , O 为 A B 中点。在长方形 ABCD 内随机取一点,取到 的点到 O 的距离大于 1 的概率为( )

A .

?
4

B .1 ?

? 4

C .

?
8

D .1 ?

? 8

10. 在区间 ? ? 1, 2 ? 上随机取一个数 x ,则 x ? 1 的概率为________

10


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