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立体几何知识点与例题讲解、题型、方法技巧


立体几何知识点和例题讲解

一、知识点
<一>常用结论 1.证明直线与直线的平行的思考途径: (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线 平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 2.证明直线与平面的平行的思考途径: (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行;

(3)转化为面 面平行. 3.证明平面与平面平行的思考途径: (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面 垂直. 4.证明直线与直线的垂直的思考途径: (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的 射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 5.证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相 交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转 化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6.证明平面与平面的垂直的思考途径: (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 7.夹角公式 :设 a= ( a 1 , a 2 , a 3 ) ,b= ( b1 , b 2 , b 3 ) ,则 cos〈a,b〉=
? ? ? ? | a ?b | ? ? 8.异面直线所成角: c o s ? ? | c o s a , b | = ? | a |?|b |

a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 a1 ? a 2 ? a 3
2 2 2

.
2

b1 ? b 2 ? b 3
2 2

| x1 x 2 ? y 1 y 2 ? z 1 z 2 |
2 2 2 2 2 2

x1 ? y 1 ? z 1 ? x 2 ? y 2 ? z 2 r r o o (其中 ? ( 0 ? ? ? 9 0 )为异面直线 a ,b 所成角, a , b 分别表示异面直线 a ,b 的方向向量) ??? ?? ? ?? AB ? m ? 9.直线 A B 与平面所成角: ? ? a r c s in ??? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). | A B || m |

10、空间四点 A、B、C、P 共面 ? OP ? x OA ? y OB ? z OC ,且 x + y + z = 1 11.二面角 ? ? l ? ? 的平面角
?? ? ?? ? ?? ? m ?n m ?n ? ? a r c c o s ?? ? 或 ? ? a r c c o s ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n |

12.三余弦定理:设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 ,AB 与 AC 所 成的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 c o s ? ? c o s ? 1 c o s ? 2 . 13.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y 1 , z 1 ) ,B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则
( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) ? ( z 2 ? z 1 ) . ???? ?? ? ? | CD ?n | ? 14.异面直线间的距离: d ? ( l1 , l 2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C 、 D 分别是 l1 , l 2 上任一点, |n|
2 2 2

??? ? d A , B = | A B |?

??? ??? ? ? AB ? AB ?

??? ?? ? ? ? | AB ? n | ? 15.点 B 到平面 ? 的距离: d ? ( n 为平面 ? 的法向量, A B 是经过面 ? 的一条斜线, A ? ? ). |n| ? ? ? ?2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? 2 16.三个向量和的平方公式: ( a ? b ? c ) ? a ? b ? c ? 2 a ? b ? 2 b ? c ? 2 c ? a ?2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a , b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a

d 为 l1 , l 2 间的距离).

17. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、 l 2、 l 3 ,夹角分别为 ? 1、 ? 2、 ? 3 ,则有
l ? l1 ? l 2 ? l 3 ? co s ? 1 ? co s ? 2 ? co s ? 3 ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 2 ? sin ? 3 ? 2 .
2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 18. 面积射影定理 S ?
S
'

cos ?

.(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、S , 它们所在平面所成锐二面角的 ? ).
'

19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组

合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的 外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径 为
6 12 a ,外接球的半径为 6 4 a.

20. 求点到面的距离的常规方法是什么?(直接法、体积法) 21. 求多面体体积的常规方法是什么?(割补法、等积变换法) 〈二〉温馨提示: 1.直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时它们各自的取值范围? ① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次 .

② 直线的倾斜角、 到

的角、 与

的夹角的取值范围依次是



〈三〉解题思路: 1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
线 线 ? ∥ ? 面 面 ∥ ? 线 面 ? ∥ ? ? 判 定 性 质 ? ? 线 线 ? ⊥ ? 面 面 ? ? ?? ⊥ ? 线 面 ? ⊥ ? ? ? ? 线 线 ? ⊥ ? 面 面 ∥ ? 线 面 ? ∥ ? ?

a a b? O ⊥ c b ? b ,? a , ⊥, ⊥ c ?? ? , c
a

O α b c

线













: 面面垂直:
a 面a 面 ? ? ⊥, ? ⊥ ? ? ?

a , ?? a ? ∥ 面 ?∥ b ? ,? b a 面
a

面 ? ?l a ? ? a a ⊥ ⊥ ? ?? 面l ?? , , ,? ⊥
b

??

线面平行的性质:
? ?, a ∥面 b b 面?? ∥ ? , ? ? ? ? ?

α

a

l
β

三垂线定理(及逆定理) :

P ? P内 面 A A ? ,则 ⊥ b 面 a b ⊥ 面 O 影, a 面 ⊥? , O 为 在a ? 射 ? ? , ? ∥
面a 面a ?? ? ,⊥ ∥ ⊥ ? ?

a⊥ O A ? a⊥ PO ; a⊥ PO ? a⊥ A O
a
P

b

??
O a

??

2、三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角θ ,0°<θ ≤90°

线面垂直:

(2)直线与平面所成的角θ ,0°≤θ ≤90°
? 0 ,?b ? = 时∥ ? b 或
o

(三垂线定理法:A∈α 作或证 AB⊥β 于 B,作 BO⊥棱于 O,连 AO,则 AO⊥棱 l,∴∠AOB 为所 求。 ) 三类角的求法: ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义,并指出所求作的角。 o o (:l 的0? 3 角 ? 平? 0 )面 二 角 面? 面? 二? 角 1 ? ? , 8 ③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理) 。

二、题型与方法
【考点透视】 不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完成。 求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。 【例题解析】 考点 1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化 法与等体积法的应用. 例 1 如图,正三棱柱 A B C
? A1 B1 C 1 的所有棱长都为 2

, D 为 C C 1 中点.

A

A1

(Ⅰ)求证: A B 1 ⊥ 平面 A1 B D ; (Ⅱ)求二面角 A ?
A1 D ? B

的大小; B

C

D
B1

C1

(Ⅲ)求点 C 到平面 A1 B D 的距离. 考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的 大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力. 解答过程:解法一: (Ⅰ)取 B C 中点 O ,连结 A O .
?△ A B C

A F C O B D
B1

A1

为正三角形,? A O ⊥ B C .

C1

? 正三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,平面 A B C ⊥ 平面 B C C 1 B1 ,
? AO ⊥

平面 B C C 1 B1 .

连结 B1 O ,在正方形 B B1C 1C 中, O , D 分别为
B C , C C 1 的中点, ? B 1 O ⊥ B D

, ,

? A B1 ⊥ B D



在正方形 A B B1 A1 中, A B 1 ⊥

A1 B

? A B1 ⊥

平面 A1 B D .
⊥ A1 D

(Ⅱ)设 A B 1 与 A1 B 交于点 G ,在平面 A1 B D 中,作 G F
? A F ⊥ A1 D

于 F ,连结 A F ,由(Ⅰ)得 A B 1 ⊥ 平面 A1 B D .



?∠ AFG

为二面角 A ?

A1 D ? B

的平面角. ,
2 4 5 5 ? 10 4

在 △ A A1 D 中,由等面积法可求得 A F 又?
AG ? 1 2 A B1 ? 2

?

4 5 5



? s in ∠ A F G ?

AG AF

?



所以二面角 A ?

A1 D ? B

的大小为 a rc s in
? A1 D ?

10 4


2, S △ A B D ? ?
1

(Ⅲ) △ A1 B D 中, B D

5, A1 B ? 2

6

, S △ BCD

?1.

在正三棱柱中, A1 到平面 B C C 1 B1 的距离为 设点 C 到平面 A1 B D 的距离为 d . 由V A ? BCD
1

3



? VC ? A BD
1

,得 1 S △ B C D ?
3

3 ?

1 3

S △ A B D ?d
1



?d ?

3 S △ BCD S △ A BD
1

?

2 2



? 点 C 到平面 A1 B D 的距离为

2 2



解法二: (Ⅰ)取 B C 中点 O ,连结 A O .
?△ A B C

为正三角形,? A O ⊥

BC



? 在正三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,平面 A B C ⊥ 平面 B C C 1 B1 ,
? AD ⊥

平面 B C C 1 B1 .
??? ?

取 B 1 C 1 中点 O 1 ,以 O 为原点, O B , O O 1 , O A 的方向为 x, y, z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则 B (1,,) , 0 0 z
D ( ? 1, 0 ) 1,

???? ?

??? ?

, A1 ( 0,, 3 ) , A ( 0,, 3 ) , B1 (1,, ) , 0 2 0 2
3)

A . C O B
B1

A1

???? ? A B 1 ? (1,, 2 ?

, BD

????

? ( ? 2, 0 ) 1,

, B A1

????

? ( ? 1,, 3 ) 2

F D
C1

???? ???? ???? ???? ? A B1 ?B D ? ? 2 ? 2 ? 0 ? 0 , A B1 ?B A1 ? ? 1 ? 4 ? 3 ? 0



y

x

???? ???? ? A B1 ⊥ B D

, A B1 ⊥

????

???? B A1



? A B1 ⊥

平面 A1 B D .
? ( x, y, z )
???? ? n ⊥ AD

(Ⅱ)设平面 A1 A D 的法向量为 n
???? A D ? ( ? 1, ? 1,



???? 3 ) , A A1 ? ( 0,, ) 2 0



, n ⊥ ???? , AA
1

???? ? n ?A D ? 0, ? ? ? ? ???? ? n ?A A1 ? 0, ?

?? x ? y ? ? ? ? 2 y ? 0, ?

3 z ? 0, ? y ? 0, ? ?? ? x ? ? 3 z. ?

令z

? 1 得 n ? (?

3,, 0 1)

为平面 A1 A D 的一个法向量.

由(Ⅰ)知 A B 1 ⊥ 平面 A1 B D ,
???? ? A B1

为平面 A1 B D 的法向量. , ???? AB
???? n ?A B 1 ? 3? 3 6 ?? ? ? ???? ? 4 2 ?2 2 n ? A B1

co s ? n



1

? 二面角 A ? A1 D ? B 的大小为 a rc c o s
????

6 4



(Ⅲ)由(Ⅱ) A B 为平面 A1 B D 法向量, ,
1

???? ???? ? B C ? ( ? 2,,), B 1 ? (1,, 0 0 A 2 ?

3)


2 2

???? ???? B C ?A B 1 ?2 ? 点 C 到平面 A1 B D 的距离 d ? ? ? ???? 2 2 A B1



小结:本例中(Ⅲ)采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法,把不易直接求的 B 点到平面 AMB 1 的距离转化为容易求的点 K 到平面 AMB 1 的距离的计算方法,这是数学解题中常用的方法;解 法一采用了等体积法,这种方法可以避免复杂的几何作图,显得更简单些,因此可优先考虑使用这一种方法. 考点 2 异面直线的距离 此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法,考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离. 例 2 已知三棱锥 S ? ABC ,底面是边长为 4 2 的正三角形,棱 SC 的长为 2,且垂直于底面. E 、 D 分别为
BC 、 AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离.

思路启迪:由于异面直线 CD 与 SE 的公垂线不易寻找,所以设法将所求异面 直线的距离,转化成求直线与平面的距离,再进一步转化成求点到平面的距离. 解答过程: 如图所示,取 BD 的中点 F,连结 EF,SF,CF,
? EF 为 ? BCD 的中位线,? EF ∥ CD ,? CD ∥面 SEF ,

? CD 到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离.

又? 线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF 的距离,设其为 h,由题意知, BC ? 4 2 ,D、E、F 分别是 AB、BC、BD 的中点,
? CD ? 2 6 , EF ? 1 2 CD ? 6 , DF ? 2 , SC ? 2

? V S ? CEF ?

1 3

?

1 2

? EF ? DF ? SC ?

1 3

?

1 2

?

6 ?

2 ?2 ?

2 3 3

在 Rt ? SCE 中, SE ? 在 Rt ? SCF 中, SF ? 又? EF ?

SC SC

2

? CE ? CF

2

? 2 3 ? 4 ? 24 ? 2 ? 30

2

2

6 , ? S ? SEF ? 3
1 3
1 3 2 3 3 2 3 3

由于 V C ? SEF ? V S ? CEF ?

? S ? SEF ? h ,即

?3?h ?

,解得 h ?

故 CD 与 SE 间的距离为

2 3 3

.

小结:通过本例我们可以看到求空间距离的过程,就是一个不断转化的过程. 考点 3 直线到平面的距离 此类题目再加上平行平面间的距离,主要考查点面、线面、面面距离间的转化. 例 3. 如图,在棱长为 2 的正方体 AC 1 中,G 是 AA 1 的中点,求 BD 到平面 GB 1 D 1 的距离. 思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. 解答过程: 解析一 ? BD ∥平面 GB 1 D 1 ,
? BD 上任意一点到平面 GB 1 D 1 的距离皆为所求,以下求

D1
O1

C1 B1

A1

H G D O A
1

C B

点 O 平面 GB 1 D 1 的距离,
? B 1 D 1 ? A1 C 1 , B 1 D 1 ? A1 A ,? B 1 D 1 ? 平面 A 1 ACC

,

又? B 1 D 1 ? 平面 GB 1 D 1
? 平面 A1 ACC
1

? GB 1 D 1 ,两个平面的交线是 O 1 G ,

作 OH ? O 1 G 于 H,则有 OH ? 平面 GB 1 D 1 ,即 OH 是 O 点到平面 GB 1 D 1 的距离. 在 ? O 1 OG 中, S ? O OG ?
1

1 2

? O 1 O ? AO ?

1 2

?2?

2 ?

2.

又 S ? O OG ?
1

1 2

? OH ? O 1 G ?

1 2

?

3 ? OH ?

2 ,? OH ?

2 3

6

.

即 BD 到平面 GB 1 D 1 的距离等于 解析二 ? BD ∥平面 GB 1 D 1 ,

2 3

6

.

? BD 上任意一点到平面 GB 1 D 1 的距离皆为所求,以下求点 B 平面 GB 1 D 1 的距离.

设点 B 到平面 GB 1 D 1 的距离为 h,将它视为三棱锥 B ? GB 1 D 1 的高,则
V B ? GB
1 D1

? VD

1

? GBB

1

,由于 S ? GB

1 D1

?

1 2

?2

2 ?

3 ?

6,

VD

1

? GBB

1

?

1 3

?

1 2

?2?2?2 ?

4 3

,

?h ?

4 6

?

2 3

6

,

即 BD 到平面 GB 1 D 1 的距离等于

2 3

6

.

小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离关键是选准 恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离. 考点 4 异面直线所成的角 此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角, 然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的 重点. 例 4、如图,在 R t △ A O B 中,? O A B
? π 6

,斜边 A B ? 4 .R t △ A O C 可以通过 R t △ A O B 以直线 A O 为轴旋转得到,

且二面角 B ? A O ? C 的直二面角. D 是 A B 的中点. (错误!未找到引用源。 )求证:平面 C O D ? 平面 A O B ; (错误!未找到引用源。 )求异面直线 A O 与 C D 所成角的大小. 思路启迪: (错误!未找到引用源。 )的关键是通过平移把异面直线转化到一 形内.
C B 解答过程: 解法 1: 错误! ( 未找到引用源。 由题意, O ? A O , O ? A O , ) ? ? B O C 是二面角 B ? A O ? C 是直二面角, ? C O ? B O ,又? A O ? B O ? O , ? C O ? 平面 A O B ,
O
z

A

D

个三角

E

B

C

A

又 C O ? 平面 C O D .
? 平面 C O D ? 平面 A O B .

D

(错误!未找到引用源。 )作 D E ? O B ,垂足为 E ,连结 C E (如图) ,则, D E ∥ A O
? ?CDE

是异面直线 A O 与 C D 所成的角.
x
C

O

B

y

在 R t △ C O E 中, C O
? CE ? CO ? OE
2 2

? BO ? 2 ,O E ?

1 2

BO ? 1 ,

?

5



又DE

?

1 2

AO ?

3


5 3 ? 15 3
15 3

? 在 R t △ C D E 中, ta n C D E ? C E ?
DE

. .

? 异面直线 A O 与 C D 所成角的大小为 a rc ta n

解法 2: (错误!未找到引用源。 )同解法 1. (错误!未找到引用源。 )建立空间直角坐标系 O
???? ??? ? 1, ? O A ? ( 0,, 3 ) , C D ? ( ? 2, 3 ) , 0 2

? xyz

,如图,则 O (0,,) , A (0,, 0 0 0 2

0 0 3 ) , C ( 2,,)

, D (0, 3 ) , 1,

??? ???? ? ??? ???? ? 6 O A ?C D ? c o s ? O A, D ? ? ??? ???? ? C ? 2 3 ?2 O A ?C D

? 2

6 4



? 异面直线 A O 与 C D 所成角的大小为 a rc c o s

6 4



小结: 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:①平移法:在异面直线中的一条直线上 选择“特殊点” ,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;②补形法:把空间图形补成熟 悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三.一般来说,平移法是最常用的,应作为求 异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围: ? 0 , ? ? . ?
? 2? ?

考点 5 直线和平面所成的角 此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位,是高考的常 考内容. 例 5. 四棱锥 S ? A B C D 中,底面 A B C D 为平行四边形,侧面 S B C
BC ? 2 2

?

底面 A B C D .已知∠ A B C

? 45

?

, AB ? 2 ,

, SA

? SB ?
BC

3


S

(Ⅰ)证明 S A ?


C B A

(Ⅱ)求直线 S D 与平面 S A B 所成角的大小.
D

考查目的:本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系, 二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 解答过程:解法一: (Ⅰ)作 S O ⊥ 得 S O ⊥ 底面 A B C D . 因为 S A ? S B ,所以 A O ? B O ,
? 又 ∠ A B C ? 4 5 ,故 △ A O B 为等腰直角三角形, A O ⊥ B O ,

BC

,垂足为 O ,连结 A O ,由侧面 S B C ⊥ 底面 A B C D , S

C A

O

B

由三垂线定理,得 S A ⊥ B C .

D

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 S A ⊥ B C ,依题设 A D ∥ B C , 故 S A ⊥ A D ,由 A D ? B C ? 2 2 , S A ?
SO ? 1 , SD ?
△ S A B 的面积 S
3 , AO ?

2 ,得

11 .
?1 ? 2 AB ? SA ? ? AB ? 2 ?2 ?
2

1

?

1

?

2



连结 D B ,得 △ D A B 的面积 S 2 ?

1 2

A B ?A D s in 1 3 5 ? 2

?

设 D 到平面 S A B 的距离为 h ,由于 V D ? S A B ? V S ? A B D ,得
1 3 h ?S 1 ? 1 3 S O ?S 2

,解得 h

?

2


? h SD ?
22 11

设 S D 与平面 S A B 所成角为 ? ,则 s in ?

2 11

?

22 11



所以,直线 S D 与平面 S B C 所成的我为 a rc s in 解法二:



(Ⅰ)作 S O ⊥ B C ,垂足为 O ,连结 A O ,由侧面 S B C ⊥ 底面 A B C D ,得 S O ⊥ 平面 A B C D . 因为 S A ? S B ,所以 A O ? B O .
? 又 ∠ A B C ? 4 5 , △ A O B 为等腰直角三角形, A O ⊥ O B .

z

S 如图,以 O 为坐标原点, O A 为 x 轴正向,建立直角坐标系 O ? x y z ,
A( 2,, ) , B ( 0, 2, ) , C ( 0, 0 0 0 ? ??? 2, ) , S ( 0,, , S A ? ( 0 0 1)

G
2,, 1) , 0 ?

C
x

??? ??? ? ??? ? C B ? ( 0, 2,) , S A ?C B ? 0 ,所以 S A ⊥ B C . 2 0

O

E

B

y

D

A

(Ⅱ)取 A B 中点 E , E ? ?

? 2 2 , ,? 0 ? 2 ? 2 ? ?



连结 S E ,取 S E 中点 G ,连结 O G , G ? ?

2 2 1? , , ? ? 4 4 2? ? ?



? 2 ? 2 2 1? 2 ? OG ? ? , , ? , SE ? ? , ,? , A B ? ( ? 1 ? 4 ? 2 ? 4 2? 2 ? ? ? ?

2, 2 , ) . 0

S E ?O G ? 0 , A B ?O G ? 0 , O G 与平面 S A B 内两条相交直线 S E , A B 垂直.

所以 O G
D(

?

平面 S A B , O G 与 D S 的夹角记为 ? , S D 与平面 S A B 所成的角记为 ? ,则 ? 与 ? 互余. , DS
? (? 2, 2 , . 2 1)

2, 2 , ) 2 0

cos ? ?

O G ?D S OG ?DS

?

22 11

, s in ?

?

22 11



所以,直线 S D 与平面 S A B 所成的角为 a rc s in

22 11



小结:求直线与平面所成的角时,应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系; (2)当直线和平面斜 交时,常用以下步骤:①构造——作出斜线与射影所成的角,②证明——论证作出的角为所求的角,③计算— —常用解三角形的方法求角,④结论——点明直线和平面所成的角的值. 考点 6 二面角 此类题主要是如何确定二面角的平面角,并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行 求解.二面角是高考的热点,应重视. 例 6.如图,已知直二面角 ? ? P Q ? ? , A ? P Q , B ? ? , C ? ? , C A ? C B , ? B A P ? 4 5 ? ,直线 C A 和 平面 ? 所成的角为 3 0 .
?

?

C A Q

P B (I)证明 B C ⊥ P Q ; (II)求二面角 B ? A C ? P 的大小.
?

命题目的:本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 过程指引: (I)在平面 ? 内过点 C 作 C O ⊥ P Q 于点 O ,连结 O B . 因为 ? ⊥ ? , ? ? ? ? P Q ,所以 C O ⊥ ? , 又因为 C A ? C B ,所以 O A ? O B .
? ? ? 而 ? B A O ? 4 5 ,所以 ? A B O ? 4 5 , ? A O B ? 9 0 ,

?

C

H A O Q

P
?

B

从而 B O ⊥ P Q ,又 C O ⊥ P Q , 所以 P Q ⊥ 平面 O B C .因为 B C ? 平面 O B C ,故 P Q ⊥ B C . (II)解法一:由(I)知, B O ⊥ P Q ,又 ? ⊥ ? , ? ? ? ? P Q ,
B O ? ? ,所以 B O ⊥ ? .

过点 O 作 O H ⊥ A C 于点 H ,连结 B H ,由三垂线定理知, B H ⊥ A C . 故 ? B H O 是二面角 B ? A C ? P 的平面角.
? 由(I)知, C O ⊥ ? ,所以 ? C A O 是 C A 和平面 ? 所成的角,则 ? C A O ? 3 0 ,

不妨设 A C ? 2 ,则 A O ?

3 , O H ? A O s in 3 0 ?

?

3 2



? 在 R t △ O A B 中, ? A B O ? ? B A O ? 4 5 ,所以 B O ? A O ?

3 ,

于是在 R t △ B O H 中, ta n ? B H O ?

BO OH

?

3 3 2

? 2.

故二面角 B ? A C ? P 的大小为 a rc ta n 2 . 解法二:由(I)知,O C ⊥ O A ,O C ⊥ O B ,O A ⊥ O B ,故可以 O 为原点,分别以直线 O B, O A, O C 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系(如图) . 因为 C O ⊥ a ,所以 ? C A O 是 C A 和平面 ? 所成的角,则 ? C A O ? 3 0 ? . P 不妨设 A C ? 2 ,则 A O ?
3 ,CO ? 1 .
?

?

C z A Q

B
?

O

y

x

在 R t △ O A B 中, ? A B O ? ? B A O ? 4 5 , 所以 B O ? A O ?
3 .

则相关各点的坐标分别是
0 0 0 O (0,,) , B ( 3,,) , A (0, 3,) , C (0,, . 0 0 0 1) ? 所以 A B ? ( 3, ??? ? ???? 3,) , A C ? ( 0, 0 ? 3, . 1)

?? ??? ? ?? ? n 1 ?A B ? 0, ? 3 x ? 3 y ? 0, ? ? 设 n 1 ? { x, y, z } 是平面 A B C 的一个法向量,由 ? ?? ???? 得? ?? 3 y ? z ? 0 ? n 1 ?A C ? 0 ? ?

1, 取 x ? 1 ,得 n1 ? (1, 3 ) . 0 0 易知 n 2 ? (1,, ) 是平面 ? 的一个法向量. n 设二面角 B ? A C ? P 的平面角为 ? ,由图可知, ? ? ? n1, 2 ? .
?? ?? ? n1 n 2 ? 所以 c o s ? ? ?? ?? ? | n1 |?| n 2 | 1 5 ?1 5 5
5 5

??

?? ?

?? ?? ?

?



故二面角 B ? A C ? P 的大小为 a rc c o s



小结:本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱 的确定有以下三种途径:①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,②由二面角两个平面内的两条平行直线 找出棱,③补形构造几何体发现棱;解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用 方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 考点 7 利用空间向量求空间距离和角 众所周知, 利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套 强有力的工具时,不仅会降低题目的难度,而且使得作题具有很强的操作性. 例 7.如图,已知 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 A A1 上,点 F 在 C C 1 上,且 A E ? F C 1 ? 1 .

(1)求证: E , B, F , D 1 四点共面; (2)若点 G 在 B C 上, B G ?
2 3

,点 M 在 B B 1 上, G M ⊥ B F ,垂足为 H ,求证: E M ⊥ 平面 B C C 1 B1 ;

(3)用 ? 表示截面 E B F D 1 和侧面 B C C 1 B1 所成的锐二面角的大小,求 ta n ? . 命题意图:本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算,考查空间 想象能力、逻辑推理能力和运算能力. 过程指引:解法一:
D1

(1)如图,在 D D 1 上取点 N ,使 D N ? 1 ,连结 E N , C N ,则 AE ? DN ? 1 ,
C1

A1 B1

C F ? N D1 ? 2 .
F

N
M D

E A

因为 A E ∥ D N , N D 1 ∥ C F ,所以四边形 A D N E , C F D 1 N 都为平行四边形. 从而 E N ∥A D , F D 1 ∥ C N .
H

C

G

B

又因为 A D ∥B C ,所以 E N ∥B C ,故四边形 B C N E 是平行四边形,由此推知 C N ∥ B E ,从而 F D 1 ∥ B E . 因此, E , B, F , D 1 四点共面. (2)如图, G M ⊥ B F ,又 B M ⊥ B C ,所以∠ B G M ? ∠ C F B ,
BC 2 3 B M ? B G ?tan ∠ B G M ? B G ?tan ∠ C F B ? B G ? ? ? ? 1. CF 3 2

因为 A E ∥B M ,所以 A B M E 为平行四边形,从而 A B ∥ E M . 又 A B ⊥ 平面 B C C 1 B1 ,所以 E M ⊥ 平面 B C C 1 B1 . (3)如图,连结 E H . 因为 M H ⊥ B F , E M ⊥ B F ,所以 B F ⊥ 平面 E M H ,得 E H ⊥ B F . 于是∠ E H M 是所求的二面角的平面角,即∠ E H M ? ? . 因为∠ M B H ? ∠ C F B ,所以 M H ? B M ?sin ∠ M B H ? B M ?sin ∠ C F B
? BM ? BC BC
2

? 1?
2 2

3 3 ?2
2

?

3 13



ta n ? ?

EM MH

?

13



? CF

解法二:
3 3) 0 1) 3 2 (1)建立如图所示的坐标系,则 B E ? (3,, , B F ? (0,, ) , B D 1 ? (3,, , ???? ? ??? ??? ? ? ???? ? ??? ? ??? ? 所以 B D 1 ? B E ? B F ,故 B D 1 , B E , B F 共面.
z

??? ?

??? ?

???? ?

D1 C1
F M D

A1 B1
E

又它们有公共点 B ,所以 E , B, F , D 1 四点共面.
???? ? ? 2 ? ? 0 (2)如图,设 M ( 0,, z ) ,则 G M ? ? 0, , z ? , 3 ? ?
y

x
A

H

C

G

B

而 B F ? (0,, ) ,由题设得 G M ?B F ? ? 3 2 得z ? 1.

??? ?

???? ??? ? ?

2 3

?3 ? z ?2 ? 0 ,

因为 M (0,, , E (3,, ,有 M E ? (3,,) , 0 0 0 1) 0 1)
0 3) 又 B B1 ? (0,, , B C ? (0,,) ,所以 M E ?B B1 ? 0 , M E ?B C ? 0 ,从而 M E ⊥ B B1 , M E ⊥ B C . 30 ????
????

????

???? ????

???? ????

故 M E ⊥ 平面 B C C 1 B1 . (3)设向量 B P ? ( x, y, ⊥ 截面 E B F D 1 ,于是 B P ⊥ B E , B P ⊥ B F . 3) 而 B E ? (3,, , B F ? (0,, ) ,得 B P ?B E ? 3 x ? 3 ? 0 , B P ?B F ? 3 y ? 6 ? 0 ,解得 x ? ? 1 , y ? ? 2 ,所 0 1) 3 2
? 3) 以 B P ? ( ? 1, 2, .
0 0 又 B A ? (3,,) ⊥ 平面 B C C 1 B1 ,所以 B P 和 B A 的夹角等于 ? 或 π ? ? ( ? 为锐角) . ??? ?
??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ? B P ?B A 于是 c o s ? ? ??? ??? ? ? ? BP ?BA

1 14



故 ta n ? ?

13 .

小结: 向量法求二面角的大小关键是确定两个平面的法向量的坐标, 再用公式求夹角; 点面距离一般转化为 AB 在面 BDF 的法向量 n 上的投影的绝对值.
C

考点 8 简单多面体的有关概念及应用,主要考查多面体的概念、性质,主要以填空、选 择题为主,通常结合多面体的定义、性质进行判断. 例 8 . 如图(1) ,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚 线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底面边长为 时容积最大. [思路启迪]设四边形一边 AD,然后写出六棱柱体积,利用均值不等式,求出体积取最值时 AD 长度即可. 解答过程:如图(2)设 AD=a,易知∠ABC=60°,且∠ABD=30° ? AB= 3 a . BD=2a ? 正六棱柱体积为 V .
2 2 ? V= 6 ? (1- 2 a ) ? sin 60 ? ? 3 a = (1- 2 a ) ? a

A M B N

1

9

2

2 9 8 ( ? 2 3
1 6



9 8

(1 ? 2 a )( 1 ? 2 a ) 4 a ≤

) .

3

当且仅当 1-2a=4a ? a=

时,体积最大,
1 6

此时底面边长为 1-2a=1-2× ∴ 答案为
1 6



2 3

.

.

考点 9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算 棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积,棱柱侧面积转化成求三角形的面积. 直棱柱体积 V 等于底面积与高的乘积. 棱锥体积 V 等于 典型例题 例 9 .(2006 年全国卷Ⅱ)已知圆 O1 是半径为 R 的球 O 的一个小圆,且圆 O1 的面积与球 O 的表面积的比值 为
2 9 1 3

Sh 其中 S 是底面积,h 是棱锥的高.

,则线段 OO1 与 R 的比值为

.

命题目的:①球截面的性质;②球表面积公式. 过程指引:依面积之比可求得
r R

,再在 Rt△OO1A 中即得 O
r R = 2 3 2

解答过程:设小圆半径为 r,球半径为 R 则
?r
2 2

4? R



2 9

?

r

2 2



2 9

?

O1 r

R A

4R
r R 2 3 2

∴ cos∠OAO1=





OO 1

8 1 = sin α = 1- = R 9 3

故填

1 3

<二>选择题辨析 [注]:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×) (可能两条直线平行,也可能是点和直线 等) ②直线在平面外,指的位置关系:平行或相交 ③若直线 a、b 异面,a 平行于平面 ? ,b 与 ? 的关系是相交、平行、在平面 ? 内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×) (射影不一定只有直线,也可以是其他图形) ⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.(×) (并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段) .. ⑦ a , b 是夹在两平行平面间的线段,若 a
? b

,则 a , b 的位置关系为相交或平行或异面.

[注]:①直线 a 与平面 ? 内一条直线平行,则 a ∥ ? . (×) (平面外一条直线) ②直线 a 与平面 ? 内一条直线相交,则 a 与平面 ? 相交. (×) (平面外一条直线) a 与平面 ? 平行,则 ? 内必存在无数条直线与 a 平行. (√) ③若直线 (不是任意一条直线,可利用平行的传递 性证之) ④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. (×) (可能在此平面内) ⑤平行于同一直线的两个平面平行.(×) (两个平面可能相交) ⑥平行于同一个平面的两直线平行.(×) (两直线可能相交或者异面) ⑦直线 l 与平面 ? 、 ? 所成角相等,则 ? ∥ ? .(×) ? 、 ? 可能相交) ( [注]:①垂直于同一平面的两个平面平行.(×) (可能相交,垂直于同一条直线的两个平面平行) .... ..... ②垂直于同一直线的两个平面平行.(√) (一条直线垂直于平行的一个平面,必垂直于另一个平面)

③垂直于同一平面的两条直线平行.(√) [注]:垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.(×)] ⑵射影定理推论:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平 分线上 [注]:①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(×) (斜四面体的两个平行的平面可以为矩形) ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×) (应是各侧面都是正方形的直棱柱才行) . ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.(×) (只能推出对角线相等,推不出底面为矩形) ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. (两条边可能相交,可能不 相交,若两条边相交,则应是充要条件) [注]:①一个棱锥可以四各面都为直角三角形. ②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以 V
棱柱

? Sh ? 3V

棱柱

[注]:i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形) ii. 正四面体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 iii. 正棱锥定义的推论:若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等) ;底面为正多边形. [注]:i. 各个侧面都是等腰三角形,且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.(×) (各个侧面的等腰三角形不知是否 全等) ii. 若一个三角锥,两条对角线互相垂直,则第三对角线必然垂直.
A b a c

简证:AB⊥CD,AC⊥BD ? BC⊥AD. 令 AB ? a , AD ? c , AC ? b

B

C

D

得 BC ? AC ? AB ? b ? a , AD ? c ? BC ? AD ? b c ? a c ,已知 a ? c ? b ? 0 , b ? a ? c ? 0
A O' H B G C

?

?

D

?

?

E

F

? a c ? b c ? 0 则 BC ? AD ? 0 .

iii. 空间四边形 OABC 且四边长相等,则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等,则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证:取 AC 中点 O ' ,则 o o ? ? AC , B O ? ? AC ? AC ? 平面 O O ?B ? AC ? BO ? ? FGH 边形 ? EFGH 为长方形.若对角线等,则 EF
? FG ? EFGH

?

90°易知 EFGH 为平行四

为正方形.
? 0

注:①若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线.(×) [当 b ②向量 a , b , c 共面即它们所在直线共面.(×) [可能异面] ③若 a ∥ b ,则存在小任一实数 ? ,使 a ④若 a 为非零向量,则 0 ? a
? 0
? ?b

时,不成立]

.(×)[与 b
? 0)

? 0

不成立]

.(√)[这里用到 ? b ( b

之积仍为向量]


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