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2017高考领航高三一轮复习理科数学课时规范训练第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布9-6


课时规范训练
[A 级 基础演练] 1.(2016· 北京西城模拟)在区间[0,2]上任取两个实数 a,b,则函数 f(x)=x3 +ax-b 在区间[-1,1]上有且只有一个零点的概率是( 1 A.8 3 C.4 1 B.4 7 D.8 )

解析:∵a∈[0,2],∴f′(x)=3x2+a≥0,∴f(x)是增函数.若 f(x)在[-1,1] 上有且仅有一个零点,则 f(-1)· f(1)≤0,即(-1-a-b)(1+a-b)≤0,则(1+a 1 +b)(1+a-b)≥0.由题意知全部事件的面积为 2×2=4,满足条件的面积为 4-2 7 2 7 7 ×1×1=2,∴所求概率 P=4=8,故选 D. 答案:D 2.(2015· 高考陕西卷)设复数 z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则 y≥x 的 概率为( ) 1 1 B.2+π 1 1 D.2-π

3 1 A.4+2π 1 1 C.4-2π

解析:由题意得|z|= ?x-1?2+y2≤1,即(x-1)2+y2≤1,表示的是圆及其内 1 部,如图所示.当|z|≤1 时,y≥x 表示的是图中阴影部分,其面积为 S=4π×12 π-2 1 -2×1×1= 4 .

π-2 4 1 1 又圆的面积为 π,根据几何概型公式得概率 P= π =4-2π. 答案:C 3.ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点.在长方形 ABCD 内 随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( π A.4 π C.8 π B.1-4 π D.1-8 )

解析:如图所示,当点 M 位于长方形中的半圆以外时,点 M 到 O 的距离大 π 2-2 π π 于 1,该部分的面积是 2-2,故所求的概率为 2 =1-4,故选 B.

答案:B 4.(2016· 开封摸底)已知线段 AC=16 cm,先截取 AB=4 cm 作为长方体的 高,再将线段 BC 任意分成两段作为长方体的长和宽,则长方体的体积超过 128 cm3 的概率为__________. 解析:依题意,设长方体的长为 x cm,则相应的宽为(12-x)cm,由 4x(12 8-4 -x)>128 得 x2-12x+32<0, (x-4)· (x-8)<0,4<x<8, 因此所求的概率等于 12 = 1 3. 1 答案:3 5.如图,在△ABC 中,∠B=60° ,∠C=45° ,高 AD= 3,在∠BAC 内作射 线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的概率________.

解析:由已知可得 BD=1,∠BAC=75° ,当 M 在线段 BD 上,满足 BM<1, 30° 2 即射线 AM 在角∠BAD 内,其概率 P=75° =5. 2 答案:5 6.在区间[-1,1]上任取两数 m 和 n,则关于 x 的方程 x2+mx+n2=0 有两 个不相等实根的概率为________. 解析:由题意知-1≤m≤1,-1≤n≤1.要使方程 x2+mx+n2=0 有两个不 相等实根,则 Δ=m2-4n2>0,即(m-2n)(m+2n)>0.作出可行域,如图,当 m=1 1 1 1 ?1 ? 1?? 1 2 2 - ?? 时,nC=2,nB=-2,所以 S△OBC=2×1×?2-? ? 2??=2,所以方程 x +mx+n ? 1 2×2 2S△OBC 1 =0 有两个不相等实根的概率为 = 4 =4. 2×2

1 答案:4 7.(2016· 南京模拟)甲打靶射击,有 4 发子弹,其中有一发是空弹. (1)求空弹出现在第一枪的概率; (2)求空弹出现在前三枪的概率; (3)如果把空弹换成实弹,甲前三枪在靶上留下三个分别相距 3、4、5 的弹 孔 P,Q,R,第四枪瞄准了三角形 PQR 射击,第四个弹孔落在三角形 PQR 内, 求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过 1 的概率(忽略弹孔大小). 解:设四发子弹编号为 0(空弹),1,2,3, (1)设第一枪出现“空弹”的事件为 A,第一枪有 4 个基本事件,则:P(A) 1 =4. (2)法一: 前三枪出现“空弹”的事件为 B, 则第四枪出现“空弹”的事件为

1 3 B ,那么 P( B )=P(A),P(B)=1-P( B )=1-P(A)=1-4=4. 法二:前三枪共有 4 个基本事件{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},满足条 3 件的有三个,则 P(B)=4. (3)Rt△PQR 的面积为 6,分别以 P,Q,R 为圆心、1 为半径的三个扇形的 π 面积和为2, 1 6-2π 设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过 1 的事件为 C,P(C)= =1 6 π -12. 8.将长为 1 的木棒随机折成 3 段,求 3 段构成三角形的概率.

解:设事件 A 表示“3 段构成三角形”,x,y 分别表示其中两段的长度,则 第 3 段的长度为 1-x-y,则试验的全部结果可构成集合 Ω={(x,y)|0<x<1,0 <y<1,0<x+y<1}, 要使 3 段构成三角形, 当且仅当任意两段之和大于第 3 段, 1 1 1 即 x+y>1-x-y?x+y>2,x+1-x-y>y?y<2,y+1-x-y>x?x<2.
? 1 1 1? ? 故所求结果构成集合 A=??x,y??x+y>2,y<2,x<2? . ? ? ?

由图可知,所求概率为 P(A)= 1 ?1?2 ?2? 2· ? ? 1 =1 =4. 2 2×1

A的面积 Ω的面积

[B 级

能力突破]

?x≤0, 1.(2014· 高考湖北卷)由不等式组?y≥0, ?y-x-2≤0

确定的平面区域记为 Ω1,

?x+y≤1, 不等式组? 确定的平面区域记为 Ω2,在 Ω1 中随机取一点,则该点恰 ?x+y≥-2 好在 Ω2 内的概率为( 1 A.8 3 C.4 ) 1 B.4 7 D.8

解析: 如图, 平面区域 Ω1 就是三角形区域 OAB, 平面区域 Ω2 与平面区域 Ω1 的重叠部分就是区域 OACD,

S四边形OACD ? 1 3? 易知 C?-2,2?, 故由几何概型的概率公式, 得所求概率 P= = 2 ? ? S△OAB 7 =8. 答案:D

1 2-4

2.(2015· 高考湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数 x,y,记 p1 为事件“x+ 1 1 y≤2”的概率,p2 为事件“xy≤2”的概率,则( 1 A.p1<p2<2 1 C.2<p2<p1 1 B.p2<2<p1 1 D.p1<2<p2 )

解析:如图,满足条件的 x,y 构成的点(x,y)在正方形 OBCA 内,其面积为 1 1 1 1 1 1 1 1.事件“x+y≤2”对应的图形为阴影△ODE, 其面积为2×2×2=8, 故 p1=8<2, 1 1 1 1 事件“xy≤2”对应的图形为斜线表示部分,其面积显然大于2,故 p2>2,则 p1<2 <p2,故选 D.

答案:D 3.(2016· 湖北部分学校质量检测)如图,大正方形的面积是 34,四个全等直角 三角形围成一个小正方形,直角三角形的较短边长为 3,向大正方形内抛撒一枚 幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为( )

1 A.17 3 C.17

2 B.17 4 D.17

解析:因为大正方形的面积是 34,所以大正方形的边长是 34,由直角三角 形的较短边长为 3,得四个全等直角三角形的直角边分别是 5 和 3,则小正方形 4 2 边长为 2,面积为 4.所以小花朵落在小正方形内的概率 P=34=17.故选 B. 答案:B 4.在等腰 Rt△ABC 中,过直角顶点 C 在∠ACB 内作一条射线 CD 与线段 AB 交于点 D,则 AD<AC 的概率为______. 解析:射线 CD 在∠ACB 内是均匀分布,故∠ACB=90° 可看成试验的所有 结果构成的区域,在线段 AB 上取一点 E,使 AE=AC,则∠ACE= 67.5 3 67.5° ,可看成事件构成的区域,所以满足条件的概率为 90 =4. 180° -45° = 2

3 答案:4

5. 在半径为 1 的圆内的一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径的弦, 则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为________.

解析:记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”,如图,不妨在 过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦,当弦 为 CD 时, 就是等边三角形的边长,弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距 1 2×2 1 离小于 OF(此时 F 为 OE 的中点),由几何概型概率公式得:P(A)= 2 =2. 1 答案:2 6.(2014· 高考福建卷)如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随 机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.

解析: 由题意知, 所给图中两阴影部分面积相等, 故阴影部分面积为 S=2?1 ?0 (e-ex)dx=2(ex-ex)|1 0=2[e-e-(0-1)]=2. 又该正方形面积为 e2, 2 故由几何概型的概率公式可得所求概率为e2. 2 答案:e2 7.已知集合 A={-2,0,2},B={-1,1},设 M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集 合 M 内随机取出一个元素(x,y). (1)求以(x,y)为坐标的点落在圆 x2+y2=1 上的概率;

?x-y+2≥0, (2)求以(x,y)为坐标的点位于区域 D:?x+y-2≤0, ?y≥-1

内(含边界)的概率.

解:(1)记“以(x,y)为坐标的点落在圆 x2+y2=1 上”为事件 A,则基本事 件总数为 6.因落在圆 x2+y2=1 上的点有(0,-1),(0,1)2 个,即 A 包含的基本事 2 1 件数为 2,所以 P(A)=6=3.

(2)记“以(x,y)为坐标的点位于区域内”为事件 B,则基本事件总数为 6, 由图知位于区域 D 内(含边界)的点有:(-2,-1),(2,-1),(0,-1),(0,1), 4 2 共 4 个,即 B 包含的基本事件数为 4,故 P(B)=6=3.


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