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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第4篇 第1节 平面向量的概念及线性运算课件 理


第四篇
第1节

平面向量(必修4)

平面向量的概念及线性运算

最新考纲 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理 解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示.

4.掌握向量加法、减法的运算,并 理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何 意义,理解两个向量共线

的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其 几何意义.

编写意图

平面向量的概念及线性运算是高考必考内容,难度不

大.本节重点突出平面向量的线性运算及两个向量共线的含义,难点

突破平面向量的有关概念,如零向量与其他向量的关系,向量与实数
的区别等,通过思想方法栏目使学生体会了运用方程思想解有关平 面向量的线性运算问题.

夯基固本

考点突破 思想方法

夯基固本
知识梳理
1.向量的有关概念 (1)定义 既有 大小
(2)表示方法 ①用字母表示:如 a,b,c 等; ②用有向线段表示:有向线段的长度表示向量的 ??? ? ???? 方向 方向表示向量的 .如 AB , CD 等.
(3)模
??? ?

抓主干

固双基

又有 方向 的量叫做向量.

大小 ,箭头所指的

向量的 大小 叫做向量的模,记作|a|,|b|或| AB |,| CD |.

????

2.特殊向量
名称 零向量 单位 向量 平行 (共线) 向量 相等 向量 相反 向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 长度 相等 且方向 相反 的向量 两个向量只有相等或不相等, 不能 比较大小 0 的相反向量为 0 方向相同或 相反 的非零向量 0 与任一向量平行( 或共线) 定义 长度为 零 的向量 长度等于 1个单位 的向量 备注 记作 0,0 的方向是任意的 非零向量 a 的同向单位向量为

a a

3.向量的线性运算 见附表
4.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ ,使得 b=λa .

质疑探究:当 a∥b,b∥c 时,一定有 a∥c 吗?
(提示:不一定.当 b≠0 时,有 a∥c.当 b=0 时,a,c 可以是任意向量,不一定 共线)

基础自测
1.如图,已知 D,E,F 分别是△ABC 的边 BC,AB,AC 的中点,则下列说 法正确的是(

C

)

??? ? ???? (A) AE = AF ??? ? ???? (C) EF = BD

??? ? ???? (B) EF = CD ???? ???? (D) DB = DC

解析:由平面向量相等的概念知选C.

2.如图,e1,e2 为互相垂直的单位向量,则向量 a-b 可表示为( (A)3e2-e1 (B)-2e1-4e2 (C)e1-3e2 (D)3e1-e2

C

)

解析:由题图可知 a=-4e2,b=-e1-e2,则 a-b=e1-3e2.故选 C.

??? ? ???? ???? ???? ???? 3.在△ABC 中, AB =c, AC =b,若点 D 满足 BD =2 DC ,则 AD 等于

( (A)

A

) (B)
5 2 c- b 3 3

2 1 b+ c 3 3

2 1 1 2 (C) b- c (D) b+ c 3 3 3 3 解析:如图所示,
???? ???? ???? ???? 1 ??? ? ???? ? ???? 1 ??? ? 2 ???? 1 ??? AD = AC + CD = AC + CB = AC + ( AB - AC )= AC + AB 3 3 3 3

2 1 = b+ c.故选 A. 3 3

4.给出下列命题:
??? ? ??? ? ①向量 AB 与向量 BA 的长度相等,方向相反; ??? ? ??? ? ② AB + BA =0;

③两个相等向量的起点相同,则其终点必相同; ??? ? ???? ④ AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点共线. 其中不正确的命题的个数是( A ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
??? ? ??? ? ??? ? 解析:①正确;②中 AB + BA =0,而不等于 0;③正确;④中 AB 与 ???? CD 所在直线还可能平行,综上可知②④不正确.故选 A.

5.设 a,b 是两个不共线的向量,且向量 a+λ b 与 2a-b 共线,则λ =

.

解析:由题意存在实数μ,使 a+λb=μ(2a-b), 即 a+λb=2μa-μb.

?2? ? 1, 则? ?? ? ? ? ,
1 ? ? ? , ? ? 2 解得 ? ?? ? ? 1 . ? 2 ?

答案:-

1 2

考点突破
考点一 平面向量的基本概念
【例 1】 (1)下列有关向量相等的命题: ①若|a|=|b|,则 a=b; 边形的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是( ) (A)②③ (B)①② (C)③④ (D)②③④

剖典例

找规律

??? ? ???? ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB = DC 是四边形 ABCD 为平行四

(2)设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述与单位向 量有关的命题中,假命题的个数是( (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (3)下列与共线向量有关的命题: ①相反向量就是方向相反的向量. ②若 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b; ③λ ,μ 为实数,若λ a=μ b,则 a 与 b 共线; ④两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件. 其中错误命题的序号为 . )

解析:(1)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ???? ②正确.∵ AB = DC ,∴| AB |=| DC |且 AB ∥ DC , 又 A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形, ??? ? ??? ? ???? ???? 则 AB ∥ DC 且| AB |=| DC |, ??? ? ???? 因此, AB = DC . ③正确,∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同, 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且|a|=|b|,不一定 a=b 也可以是 a=-b.故|a|=|b|且 a∥b 不 是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件. 综上所述,正确命题的序号是②③.故选 A.

(2)向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相等,但方向不一定 相同,故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是 同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命 题的个数是 3.故选 D.

(3)①不正确.相反向量满足方向相反,长度相等.②不正确,两向量 不能比较大小;③不正确.当λ=μ=0 时,a 与 b 可能不共线;④正确.
答案: (1)A (2)D (3)①②③

反思归纳

解平面向量有关概念问题的关键点

(1)准确理解向量的基本概念.
(2)熟记一些常用结论. ①向量相等具有传递性,向量共线不具有传递性,但非零向量的共线具

有传递性;
②向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负 实数,故可比较大小.

考点二

平面向量的线性运算

??? ? ???? 【例 2】 (1)(2014 南昌模拟)如图,在△ABC 中,设 AB =a, AC =b,AP 的中点 ??? ? 为 Q,BQ 的中点为 R,CR 的中点恰为 P,则 AP 等于( )

(A) (C)

1 1 a+ b 2 2 2 4 a+ b 7 7

(B) (D)

1 2 a+ b 3 3 4 2 a+ b 7 7

(2)(2013 高考四川卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 ??? ? ???? ???? O, AB + AD =λ AO ,则λ = .

??? ? ???? ??? ??? ? ? 解析:(1)如图,连接 BP,则 AP = AC + CP =b+ PR ,① ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP = AB + BP =a+ RP - RB ,② ??? ? ??? ? ①+②,得 2 AP =a+b- RB ,③
??? ? 1 ??? ? ???? ? ? 1 ??? 1 1 ??? 又 RB = QB = ( AB - AQ )= (a- AP ),④ 2 2 2 2 ??? ? ? 1 1 ??? 将④代入③,得 2 AP =a+b- (a- AP ), 2 2 ??? ? 2 4 解得 AP = a+ b.故选 C. 7 7 ??? ? ???? ???? ???? (2)由平行四边形法则有 AB + AD = AC =2 AO , ??? ? ???? ???? 已知 AB + AD =λ AO ,所以λ=2.

答案: (1)C

(2)2

反思归纳

向量线性运算的解题策略

(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则 ,一般共
起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连 向量的和用三角形法则. (2)找出图形中的相等向量、共线向量 ,将所求向量与已知向量转化 到同一个平行四边形或三角形中求解.

【即时训练】 (1)(2014 吉林省实验中学模拟)在△ABC 中,D 是 AB 中点 ,E
??? ? ???? ???? 是 AC 中点,CD 与 BE 交于点 F,设 AB =a, AC =b, AF =xa+yb,则(x,y)为(

)

(A)(

1 1 , ) 2 2

(B)(

2 2 , ) 3 3

1 1 (C)( , ) 3 3

2 1 (D)( , ) 3 2

??? ? ??? ? ??? ? ???? (2)已知 P,A,B,C 是平面内四点,且 PA + PB + PC = AC ,那么一定有( ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (A) PB =2 CP (B) CP =2 PB ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (C) AP =2 PB (D) PB =2 AP

)

解析: (1)如图,连 AF 并延长交 BC 于点 G,则点 G 为 BC 的中点,
???? 2 ???? 且 AF = AG . 3 ???? 2 ???? 2 ? ???? ? 1 ???? 1 ??? 1 ??? 所以 AF = AG = × ( AB + AC )= AB + AC 3 3 2 3 3

1 1 = a+ b.故选 C. 3 3
??? ? ??? ? ??? ? ???? (2)∵ PA + PB + PC = AC , ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ∴ PA + PB = AC - PC = AC + CP = AP , ??? ? ??? ? ∴ PB =2 AP .故选 D.

考点三

共线向量定理及其应用

【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线, ??? ? ??? ? ???? (1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), 求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 同向. ??? ? ??? ? ???? (1)证明:∵ AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), ???? ??? ??? ? ? ???? ∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 AB . ??? ? ???? ∴ AB 、 BD 共线,

又∵它们有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线.

(2)解:∵ka+b 与 a+kb 同向, ∴存在实数λ(λ>0),使 ka+b=λ(a+kb), 即 ka+b=λa+λkb. ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量,

?k ? ? ? 0, ? ?? k ? 1 ? 0, ?k ? 1, ?k ? ?1, 解得 ? 或? ?? ? 1 ?? ? ?1,
又∵λ>0,∴k=1.

反思归纳

利用共线向量定理解题的方法

(1)证明向量共线,对于向量a,b,若存在实数λ,使a=λb,则a与b共线.
??? ? ???? (2)证明三点共线,若存在实数λ,使 AB =λ AC ,则 A,B,C 三点共线.

(3)求参数的值,利用共线向量定理及向量相等的条件列方程 (组)求 参数的值.

【即时训练】 在△ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 的中点,
??? ? ???? ???? AN =λ AB +μ AC ,则λ +μ 的值为

.

解析:法一

∵M 为边 BC 上任意一点, ???? ? ??? ? ???? ∴可设 AM =x AB +y AC (x+y=1), ∵N 为 AM 的中点,
? 1 ??? ? 1 ???? ???? 1 ???? ∴ AN = AM = x AB + y AC , 2 2 2 ??? ? ???? ???? 又∵ AN =λ AB +μ AC ,

1 1 ∴λ+μ= (x+y)= . 2 2

法二

???? ? 1 ??? ? 1 ???? 假设 M 为 BC 的中点,则 AM = AB + AC , 4 2

∵N 为 AM 的中点,
? 1 ??? ? 1 ???? ???? 1 ???? ∴ AN = AM = AB + AC , 2 4 4

∴λ +μ =
1 2

1 . 2

答案:

助学微博
1.(1)进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充 分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等 性质,把未知向量用已知向量表示出来. (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、

合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.

2.A、B、C 三点共线?存在实数λ ,μ ,对任意一点 O(O 不在直线 BC 上), ??? ? ??? ? ???? 有 OA =λ OB +μ OC (λ +μ =1).
3.利用向量共线证明向量所在直线平行时,必须说明这两条直线不重合(可
由图形直观说明). 4.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量

终点的向量.

思想方法

融思想

促迁移

方程思想在平面向量的线性运算中的运用 ? ???? 1 ??? ???? 1 ??? ? 【典例】 如图所示,在△ABO 中, OC = OA , OD = OB ,AD 与 BC 4 2 ??? ? ??? ? ???? ? 相交于点 M,设 OA =a, OB =b.试用 a 和 b 表示向量 OM .

???? ? ???? ???? ???? ???? ? ? ??? ? 解:设 OM =ma+nb,则 AM = OM - OA =ma+nb-a=(m-1)a+nb, AD = OD -

??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 OA = OB - OA =-a+ b. 2 2 ???? ? ???? ∵A、M、D 三点共线,∴ AM 与 AD 共线. ???? ? ???? 故存在实数 t,使得 AM =t AD ,

即(m-1)a+nb=t(-a+

1 b), 2

1 ∴(m-1)a+nb=-ta+ tb. 2
? m ? 1 ? ?t , ? ∴? t n ? , ? 2 ?

消去 t 得 m-1=-2n,即 m+2n=1.



???? ? ???? ? ???? ??? ? ??? ? ???? 1 1 ∵ CM = OM - OC =ma+nb- a=(m- )a+nb, CB = OB - OC = 4 4

1 1 a=- a+b,又 C、M、B 三点共线, 4 4 ???? ? ??? ? ∴ CM 与 CB 共线,可得 4m+n=1.

b-



联立①②,解得 m=
???? ? 1 3 故 OM = a+ b. 7 7

1 3 ,n= . 7 7

方法点睛

在遇到三点共线、向量相等时,常常运用方程思想求解.

如本题,根据向量共线定理及平面向量基本定理,利用待定系数法将

所求向量用已知向量表示,构成方程(组)求解.

【即时训练】 (2013 高考北京卷)已知点 A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区
??? ? ??? ? ???? 域 D 由所有满足 AP =λ AB +μ AC (1≤λ ≤2,0≤μ ≤1)的点 P 组成,则 D 的
??? ? ??? ? ???? 解析:设点 P(x,y),由 AP =λ AB +μ AC ,

面积为

.

得(x-1,y+1)=λ(2,1)+μ(1,2),
2x ? y ? 3 ? ? ? , ? x ? 1 ? 2? ? ? , ? ? 3 得? ? ? y ? 1 ? ? ? 2? , ? ? ? ? x ? 2 y ? 3 , ? 3 ? ? 2x ? y ? 3 1? ? 2, ? ? 3 由 1≤λ≤2,0≤μ≤1 得, ? ?0 ? ? x ? 2 y ? 3 ? 1, ? 3 ?

?3 ? 2 x ? y ? 3 ? 6, 即? ??3 ? x ? 2 y ? 3 ? 0,

作出不等式约束条件下的可行域如图阴影部分所示,点 B(3,0)到直线 x-2y=0 的距离 d=

3 1? 4

=

3 5 ,点 B,M 之间的距离|BM|= 5 ,故阴影部分的面积为 5

|BM|·d= 5 ×

答案:3

3 5 =3. 5


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