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高中数学选修2-2公开课教案1.3.2《函数的极值与导数》


1.3.2

函数的极值与导数(1)

一、教学目标:理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步 体验导数的作用. y f(a) 二、教学重点:求函数的极值. 教学难点:严格套用求极值的步骤. 三、教学过程: f (b) (一) 函数的极值与导数的关系 a x O O x b 1、观察下图中的曲线 a 点的函数值 f(a)比它临近点的函数值都大.b 点的函数值 f(b)比它临近点的函数值都小.
y

2、观察函数 f(x)=2x -6x +7 的图象, 6 思考:函数 y=f(x)在点 x=0,x=2 处的函数值,与它们附近所有各点 4 处的函数值,比较有什么特点? (1)函数在 x=0 的函数值比它附近所有各 点的函数值都大, 2 我们说 f(0) 是函数的一个极大值; 2 (2 )函数在 x=2 的函数值比它附近所有各点的函数值都小, O 则 f(2)是函数的一个极小值. f(2) 函数 y=2x3-6x2+7 的一个极大值: f (0); 一个极小值: f (2). 函数 y=2x3- 6x2+7 的 一个极大值点: ( 0, f (0) ); 一个极小值点: ( 2, f (2) ). 3、极值的概念: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)< f(x0) 我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极 大值=f(x0); 如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f (x0) 我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0). 极大值与极小值统称为极值. 4、观察下图中的曲线 考察上图中,曲线在极值 点处附近切线的斜率情况.

3

2

f(0)

x

f '(a)=0 f '(x)>0
O

y
f '(x)<0 f '(b)=0
O

f '(x)<0

f '(x)>0

a

x

b

x

上图中,曲线在极值点处切线的斜率为 0, 极大值点左侧导数为正,右侧为负;极小值点左侧导数为负,右侧为正. 函数的极值点 xi 是区间[a, b]内部的点,区间的端点不能成为极值点. 函数的极大(小)值可能不止一个,并且函数的极大值不一定大于极小值,极小值不一 定小 于极大值. 函数在[a, b]上有极值,其极值点的分布是有规律的,像相邻两个极大值间必有一个极小 值点. 5、利用导数判别函数的极大(小)值: 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时,判别 f(x0)是极大(小)值的方法是:
-1-

⑴如果在 x0 附近的左侧 f '(x)>0,右侧 f '(x)<0,那么,f(x0)是极大值; ⑵如果在 x0 附近的左侧 f '(x)<0,右侧 f '(x)>0,那么,f(x0)是极小值; 思考:导数为 0 的点是否一定是极值点? 导数为 0 的点不一定是极值点. 如函数 f(x)=x3,x=0 点处的导数是 0,但它不是极值点.

函数f ( x )的定义域为开区间 (a,b),导函数f ' ( x )在(a,b)内的函数 图像如图,则函数f ( x )在开区间(a,b)内存在极小值点 个.
例 1 求函数 y ?

1 3 x ? 4 x ? 4的极值 . 3
y

解:y?=x2-4=(x+2)(x-2).令 y?=0,解得 x1=-2,x2=2. 当 x 变化时,y?,y 的变化情况如下表.

x (-∞, -2) + y? y

-2

(-2, 2)

2

(2, +∞)

10 8 6 4 2 -4

0
极大值



0
极小值

+

28 3

4 ? 3

x O
4

因此,当 x=-2 时, y 极大值=

28 4 ,当 x=2 时,y 极小值=- . 3 3

求可导函数 f (x)的极值的步骤: ⑴ 求导函数 f ?(x); ⑵ 求方程 f ?(x)=0 的根; ⑶ 检查 f ?(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f (x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么 f (x)在这个根处取得极小值. 例 2.求函数 y ? x e
2 ?x

的极值

例 3 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值. 解:定义域为 R,y?=6x(x2-1)2.由 y?=0 可得 x1=-1,x2=0,x3=1 当 x 变化时,y?,y 的变化情况如下表:
0 x (-?,-1) -1 (-1,0) - 0 - 0 y? 无极值 极小值0 y

y
3 2 1

x y? y

(0,1)

1

(1,+?)



0
无极值


-2 -1 1

x
2

当 x=0 时,y 有极小值,并且 y 极小值=0.

x3 ? 2 例 4. y ? 的极值 2( x ? 1) 2
例 5. y ? ( x ? 1)3 x 2 的极值 思考:导数值为 0 的点一定为极值点吗?极值点一定导数值为 0 吗? 练习:求函数 y ? x e
3 ?x

的极值

-2-

(三)课堂小结 1.考察函数的单调 性的方法;2.导数与单调性的关系;3.用导数求单调区间的步骤 . (四)课后作业

-3-


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