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专题 空间几何体的表面积与体积 课后练习二及详解


题1 一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球的半径的 3 倍,则圆锥的高与底面半径 之比为( 4 A. 9 ) 9 B. 4 4 C. 27 27 D. 4

题2 正四棱锥 P—ABCD 的五个顶点在同一个球面上, 若该正四棱锥的底面边长为 2, 侧棱长为 6, 则此球的体积为________.

题3 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.2π+2 3 2 3 C.2π+ 3

B.4π+2 3 2 3 D.4π+ 3

题4 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2.动点 E,F 在棱 A1B1 上,点 Q 是棱 CD 的中点, 动点 P 在棱 AD 上. 若 EF=1, DP=x, A1E=y(x, y 大于零), 则三棱锥 P-EFQ 的体积. ( A.与 x,y 都有关 C.与 x 有关,与 y 无关 B.与 x,y 都无关 D.与 y 有关,与 x 无关 )

题5 3 直角梯形的一个底角为 45° ,下底长为上底长的 ,这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的 2 旋转体的表面积是(5+ 2)π,求这个旋转体的体积.

题6 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ( ) 7 B. πa2 3 11 C. πa2 3 D.5πa2

A.πa2

题7 在球心同侧有相距 9 cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49π cm2 和 400π cm2,求球的表 面积.

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题8 正四棱台的高为 12cm,两底面的边长分别为 2cm 和 12cm. (Ⅰ)求正四棱台的全面积; (Ⅱ)求正四棱台的体积.

题9 如图,已知几何体的三视图(单位:cm). (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.

题10 第 -2- 页

如图,在长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,用截面截下一个棱锥 C ? A?DD? ,求棱锥 C ? A?DD? 的体积与剩余部分的体积之比.

D?

C?
B?
D

A?

C
B

A
题11 已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视 图如图所示,求 该几何体的体积.

题12 如图所示, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 底面为直角三角形, ∠ACB=90° ,AC=6, BC=CC1= 第 -3- 页

2,

P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值是__________.

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课后练习详解
题1 答案:C 详解:设圆锥底面半径为 R1 ,高为 h,球的半径为 R2 ,则圆锥体积为 ? R1 h ,球的体积为
2

1 3

4 3 ? R2 .由题意知圆锥的底面半径是球的半径的 3 倍,即 R1 =3 R2 .由圆锥与球的体积相等有 3

R R3 1 4 h 4 4 2 3 2 ? R1 h = ? R2 ,将 R2 = 1 代入,有 R1 ,故 = 3= . h= 4? 1 3 3 3 3 R1 3 27 3
题2 9 答案: π 2 详解:如图所示,设底面中心为 O′,球心为 O,设球半径为 R,∵AB=2,则 AO′= 2,PO′= PA2-AO′2=2,OO′=PO′-PO=2-R.在 Rt△AOO′中,AO2=AO′2+OO′2?R2=( 2)2+(2- 3 4 9 R)2,∴R= ,∴V 球= πR3= π. 2 3 2

题3 答案:C 详解:由几何体的三视图可知,该几何体是由一个底面直径和高都是 2 的圆柱和一个底面边长 为 2,侧棱长为 2 的正四棱锥叠放而成.故该几何体的体积为 1 2 V=π× 12× 2+ × ( 2)2× 3=2π+ 3,故选 C. 3 3 题4 答案:C 详解: 1 设 P 到平面 EFQ 的距离为 h,则 VP-EFQ= × S · h,由于 Q 为 CD 的中点,∴点 Q 到直线 3 △EFQ EF 的距离为定值 2,又 EF=1,∴S△EFQ 为定值,而 P 点到平面 EFQ 的距离,即 P 点到平面 第 -5- 页

A1B1CD 的距离,显然与 x 有关、与 y 无关,故选 C. 题5 7 答案: π. 3 详解:

如图所示,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠A=90° ,∠B=45° ,绕 AB 边旋转一周后形成一圆 柱和一圆锥的组合体. 3 x 2 设 CD=x,则 AB= x,AD=AB-CD= ,BC= x. 2 2 2 AD2+2π· AD· CD+π· AD· BC S表 = S圆柱底 + S圆柱侧 + S圆锥侧 =π· x2 x x 2 5+ 2 2 =π· +2π· · x+π· · x= πx . 4 2 2 2 4 5+ 2 2 根据题设, πx =(5+ 2)π,则 x=2. 4 所以旋转体体积 π π 2 7 V=π· AD2· CD+ AD2· (AB-CD)=π× 12× 2+ × 1× (3-2)= π. 3 3 3 题6 答案:B 详解:

第 -6- 页

如图,O1,O 分别为上、下底面的中心,D 为 O1O 的中点,则 DB 为球的半径,有 r=DB= OD2+OB2= a2 a2 + = 4 3 7a2 , 12

7a2 7 ∴S 表=4πr2=4π× = πa2. 12 3 题7 答案:2500πcm2. 详解:如图为球的轴截面,由球的截面性质知,AO1∥BO2,且 O1、O2 分别为两截面圆的圆 心,则 OO1⊥AO1,OO2⊥BO2.设球的半径为 R.

∵π· O2B2=49π,∴O2B=7 cm,同理 π· O1A2=400π,∴O1A=20 cm. 设 OO1=x cm,则 OO2=(x+9) cm.在 Rt△OO1A 中,R2=x2+202, 在 Rt△OO2B 中,R2=(x+9)2+72,∴x2+202=72+(x+9)2,解得 x=15. ∴R2=x2+202=252,∴R=25 cm.∴S 球=4πR2=2500π cm2. ∴球的表面积为 2500π cm2. 题8 答案:512 cm2; 688 cm3 详解:(Ⅰ)斜高 h ' ? 12 ? ?
2

? 12 ? 2 ? ? ? 13 cm ? 2 ?

2

S 正四棱台=S 上+S 下+S 侧=22+122+ 12× (2+12)× 13=512 cm2 (Ⅱ)V= 13(S+ SS ' +S′)h= 13(22+ 22 ? 122 +122)× 12=688 cm3 题9 答案:(1)见详解. (2) 表面积 22+4 2 cm2,体积 10 cm3. 详解: (1)这个几何体的直观图如图所示. 第 -7- 页

(2)这个几何体可看成是由正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q—A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= 2,A1D1=AD=2,可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积为: 1 1 S=5× 22+2× 2× 2+2× × ( 2)2=22+4 2 cm2,所求几何体的体积 V=23+ × ( 2)2× 2 2 2 =10 cm3. 题10 答案: 1∶5 详解: 已知长方体可以看成直四棱柱 ADD?A? ? BCC ?B? . 设它的底面 ADD ?A? 面积为 S ,高为 h ,则它的体积为 V ? Sh .

1 S ,高是 h , 2 1 1 1 因此棱锥 C ? A?DD? 的体积 VC ? A'DD' ? ? Sh ? Sh . 3 2 6 1 5 余下的体积是 Sh ? Sh ? Sh . 6 6 所以棱锥 C ? A?DD? 的体积与剩余部分的体积之比为 1:5.
而棱锥 C ? A?DD? 的底面面积为 题11 答案:

17 3

详解:由 三 视 图 知 , 此 几 何 体 可 以 看 作 是 一 个 边 长 为 2 的 正 方 体 被 截 去 了 一 个 棱 台 而 得 到 ,此 棱 台 的 高 为 2 ,一 底 为 直 角 边 长 为 2 的 等 腰 直 角 三 角 形 ,一 底 为 直 角 边 长为 1 的等腰直角三角形,棱台的两底面的面积分别为

1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2, ?1?1 ? 2 2 2

?? 该 几 何 体 的 体 积 是 2 ? 2? 2? ? 2
题12

1 3

?1 ? ? 2? 2 ?

1? 7 17 2 ? ? ? ? 8 ? ? 2? 3 3

第 -8- 页

答案: 5 2 . 详解:

将△BCC1 沿直线 BC1 折到面 A1C1B 上,如图,连接 A1C,即为 CP+PA1 的最小值,过点 C 作 CD⊥C1D 于 D 点,△BCC1 为等腰直角三角形, ∴CD=1,C1D=1,A1D=A1C1+C1D=7,

? A1C ? A1 D 2 ? CD 2 ? 49 ? 1 ? 5 2

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