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江苏省盐城市滨海县八滩中学2013届高三下学期数学周练1


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滨海县八滩中学

2013 届春学期高三数学周练习 1
班级_____________姓名___________________ 一.填空题 1.已知集合 A ? ??1,1,2,4? , B ? ??1,0,2? ,则 A ? B ? 2.设复数 z 满足 z (2 ? i) ? 1 ? 2i ( i

为虚数单位) ,则 z ? 3.一组样本数据 8,12,10,11 ,9 的方差为 . 。 。
开始 S←0

4.有 5 个数成公差不为零的等差数列,这 5 个数的和为 15,若从这 5 个数中随机抽取一个数,则它小于 3 的概率是 。 5.若 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ? 1(? ? 0, | ? |? ? ) 对任意实数 t 都有

x←2

? ? ? f (t ? ) ? f (?t ? ) ,记 g ( x) ? A cos(?x ? ? ) ? 1 ,则 g ( ) ? _____。 S←S+x 3 3 3
2 6.若“ x ? 1 ”是“ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值

x←x-3

S≤-20

N





Y
输出 x

7.右图是一个算法的流程图,最后输出的 x ? ___________。 8.定义在 (0,??) 上的函数 f (x) 的导函数 f ' ( x) ? 0 恒成立,且

结束

f (4) ? 1 ,若 f ( x ? y )≤1 ,则 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y 的最小值是________。
9. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 3OC ? 0 , ?OB 且 则 A 10.设函数 f ( x) ? x 3 ? sin x ,若 0 ? ? ? 与 ?OBC 的面积之比为____。

?
2

时, f (m cos? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则实

数 m 的取值范围是______________________。 11.设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长记为 ai (i ? 1,2,3,4) ,P 是该四边形内任意 一点,点 P 到第 i 条边的距离记为 hi ,若
4 a1 a 2 a3 a 4 2S ? ? ? ? k ,则 ? (ihi ) ? 。类比 1 2 3 4 k i ?1

上述结论,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 S i (i ? 1,2,3,4) ,Q 是该三棱锥内任意 一点, Q 到第 i 个面的距离记为 H i , 点 则相应的正确命题是___________________________。 12. 已知圆 M 过两点 C (1,?1), D(?1,1) 且圆心 M 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 设 上的动点,PA, PB 是圆 M 的两条切线,A, B 是切点, 则四边形 PAMB 面积的最小值为____。

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13.若关于 x 的不等式 a ?

3 2 x ? 3 x ? 4 ? b 的解集恰好是 [a, b] ,则 a ? b ? __________。 4

14.若数列 {an } 满足 an?1 ? (?1) n ? an ? 2n ? 1 ,则 {an } 的前 40 项和为______________。 二.解答题 15.已知向量 a ? (4,5 cos ? ), b ? (3,?4 tan ? ), ? ? (0, (1) | a ? b | ; (2) cos( ? ?

?
2

) , a ? b 。求:

?
4

) 的值。

16.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 F 为 A1D 的中点。 (1) 求证:A1B∥平面 AFC;(2) 求证:平面 A1B1CD ? 平面 AFC。 B1 A1 F C1 D1

A B C

D

17.如图所示,一条直角走廊宽为 a 米。现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形,它的 宽为 b (0 ? b ? a) 米。 (1) 若平板车卡在直角走廊内,且∠ CAB ? ? ,试求平板面的长 l 。 (2) 若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米? B

a

a
b A C

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18. A 是单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 上任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,D 是直线 l 与 x 设 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且 m ? 1) 当点 A 在圆上运动 时,记点 M 的轨迹为曲线 C 。 (1)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标。 (2)过原点斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P, Q 两点,其中 P 在第一象限,且它在 y 轴上的射 影为点 N , 直线 QN 交曲线 C 于另一点 H , 是否存在 m ,使得对任意的 k ? 0 , 都有 PQ ⊥

PH ?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由。

? f ( x) ? 19.设 m 为实数,函数 f ( x) ? 2x 2 ? ( x ? m) x ? m , h( x) ? ? x ?0 ?
(1) 若 f (1) ≥4,求 m 的取值范围; (2) 当 m>0 时,求证 h(x) 在 [m,??) 上是单调递增函数;

x?0 x?0



(3) 若 h(x) 对于一切 x ? ?1,2?,不等式 h(x) ≥1 恒成立,求实数 m 的取值范围。

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20.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1=1,a2=6,a3=11,且

(5n ? 8)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? An ? B , n ? 1,2,3,? ,其中 A,B 为常数。
(1)求 A 与 B 的值; (2)证明数列 {an } 为等差数列; (3)证明不等式 5amn ? am an ? 1 对任何正整数 m、n 都成立。

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八滩中学 2013 届春学期高三数学周练习 1

参考答案
1. {?1,2} ; 8. 16;

2 ; 5. ? 1 ; 6. ? 1 ; 7. ? 10 ; 5 4 S S S S 3V 3 m 9. : 1 ; 10. ? 1 ; 11. 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? K , ? (i ? H i ) ? 若 则 ; 1 2 3 4 K i ?1
2.1; 3.2; 4. 13.4; 14.820。

12. 2 5 ;

15.(1) 5 2 ;(2) 16.略

2 10

17.解如图,设矩形为 ABEF 工,直线 EF 分别交 直线 AC, BC 于 M , N ,过点 D 作 DP ? AC 于 P 过点 D 作 DQ ? BC 于 Q ,则

a a , DN ? sin ? cos ? b MF ? , EN ? b tan ? tan ? DM ?
所以 l ? DM ? DN ? MF ? EN ? (2)设 t ? sin ? ? cos ? ?

a a b a(sin ? ? cos ? ) ? b ? ? b tan ? ? ? sin ? cos ? tan ? sin ? cos ?

2 sin(? ?

?
4

) ? (1, 2 ] ,则

2at ? 2b 2a 2a ? 2b ? ? 2 t ?1 t 2 ?1 t ?1 2a 2a ? 2b 因为函数 y ? 和y? 2 在区间 (1, 2 ] 上均为减函数 t ?1 t ?1 2at ? 2b 2a 2a ? 2b ? ? 所以 l ? 在 (1, 2 ] 上单调递减 2 t ?1 t 2 ?1 t ?1 2a ? 2a ? 2b ? 2 2a ? 2b 所以 l min ? 2 ?1 l?
故平板车的长度不能超过 2 2a ? 2b 米 18. (1)如图 1,设 M ( x, y ) , A( x0 , y0 ) ,则由 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) , 可得 x ? x0 , | y |? m | y0 | ,所以 x0 ? x , | y0 |? 因为 A 点在单位圆上运动,所以 x0 2 ? y0 2 ? 1 . 将① 式代入② 式即得所求曲线 C 的方程为 x2 ?
2

1 | y |. m

① ②

y ? 1 (m ? 0, 且m ? 1) . m2 因为 m ? (0, 1) ? (1, ? ?) ,所以,当 0 ? m ? 1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为 (? 1 ? m2 , 0) , ( 1 ? m2 , 0) ;

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当 m ? 1时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 (0, ? m2 ? 1) , (0,

m2 ? 1) .

(2)解法 1:如图 2、3, ?x1 ? (0, 1) ,设 P( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 Q(? x1 , ? y1 ) , N (0, y1 ) ,
?m2 x 2 ? y 2 ? m 2 , ? 因为 P , H 两点在椭圆 C 上,所以 ? 2 1 2 1 2 两式相减可得 2 ?m x2 ? y2 ? m , ?
m2 ( x12 ? x22 ) ? ( y12 ? y22 ) ? 0 .



依题意,由点 P 在第一象限可知,点 H 也在第一象限,且 P , H 不重合, 故 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 . 于是由③ 式可得

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?m2 . ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )
又 Q , N , H 三点共线,所以 kQN ? kQH ,即 于是由④ 式可得 k PQ ? k PH ?



2y1 y1 ? y2 . ? x1 x1 ? x2

y1 y1 ? y2 1 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) m2 ? ? ? ?? . x1 x1 ? x2 2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 2

而 PQ ? PH 等价于 kPQ ? kPH ? ?1 ,即 ?

m2 ? ?1 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 , 2

故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 x2 ? y A

y2 ? 1 上,对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH . 2

y H
M

y H

N
P
x
Q

N
D x
Q

P

O

O

O

x

图1

图 2 (0 ? m ? 1)

图 3 (m ? 1)

解法 2:如图 2、3, ?k ? 0 ,设 P( x1 , kx1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 Q(? x1 , ? kx1 ) , N (0, kx1 ) , 直线 QN 的方程为 y ? 2kx ? kx1 ,将其代入椭圆 C 的方程并整理可得
(m2 ? 4k 2 ) x2 ? 4k 2 x1 x ? k 2 x12 ? m2 ? 0 .

依题意可知此方程的两根为 ? x1 , x 2 ,于是由韦达定理可得

? x1 ? x2 ? ?

4k 2 x1 m2 x ,即 x2 ? 2 1 2 . m2 ? 4k 2 m ? 4k
2km 2 x1 . m 2 ? 4k 2

因为点 H 在直线 QN 上,所以 y2 ? kx1 ? 2kx2 ?

???? ??? ? 4k 2 x 2km 2 x1 ). 于是 PQ ? (?2x1 , ? 2kx1 ) , PH ? ( x2 ? x1 , y2 ? kx1 ) ? (? 2 1 2 , 2 m ? 4k m ? 4k 2

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??? ???? 4(2 ? m 2 )k 2 x12 ? ? 0, 而 PQ ? PH 等价于 PQ ? PH ? m 2 ? 4k 2

即 2 ? m 2 ? 0 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 , 故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 x2 ? 19.解(1) f (1) ? 2 ? (1 ? m)1 ? m ? 4 当 m ? 1 时, (1 ? m)(m ? 1) ? 2 ,无解;?????????????2 分 当 m ? 1 时, (1 ? m)(1 ? m) ? 2 ,解得 m ? 1? 2 。?????????????3 分 所以 m ? 1? 2 。????????????4 分 (2)由于 m ? 0, x ? m 。所以 h( x) ? 3x ?

y2 ? 1 上,对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH . 2

m2 ? 2m 。 x

任取 m ? x1 ? x2 , h( x2 ) ? h( x1 ) ? ( x2 ? x1 )(

3x1 x2 ? m 2 ) ???????5 分 x1 x2

x2 ? x1 ? 0,3x1 x2 ? m2 ? 3m2 ? m2 ? 0, x1 x2 ? 0 (7 分)
所以 h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 ????????????8 分

即: h(x) 在 ?m,?? ?为单调递增函数。
2 2 2 (3) 、① m ? 1 时, x ? ?1, 2? , f ( x) ? 2 x ? ( x ? m)( x ? m) ? 3 x ? 2mx ? m , ?

h( x ) ?

f ( x) ? 1 恒成立 ? f ( x) ? x 恒成立 , x
2 2

即: g ( x) ? 3x ? (2m ? 1) x ? m ? 0 由于 y ? g ( x) 的对称轴为 x ?

2m ? 1 ?1 6

故 g ( x) 在 ?1, 2 ? 为单调递增函数,故 g (1) ? 0 ? m2 ? 2m ? 2 ? 0 。 ? 所以 m ? 1 。 ????????????11 分

? m2 x ? 2 ? 2m ? ? x ② 当 1 ? m ? 2 时, h( x) ? 2 ?3 x ? m ? 2m ? x2 ?
m2 易证 y ? x ? 2 ? m 在 ?1, m ? 为递增, ? x

1? x ? m m? x?2

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由②得 y ? 3x ?

m2 ? 2m 在 ? m, 2? 为递增, ? x

所以, h(1) ? 1 ,即 0 ? m ? 2 , 所以 1 ? m ? 2 。????????????14 分 ③当 m ? 2 时, h( x) ? x ?

m2 ? 2m (无解)????????????15 分 x2

综上所述 m ? 2 。 ????????????16 分 20.解:(1)由 a1 ? 1 , a2 ? 6 , a3 ? 11 ,得 S1 ? 1 , S2 ? 2 , S3 ? 18 .
? A ? B ? ?28, 把 n ? 1, 2 分别代入 (5n ? 8)Sn?1 ? (5n ? 2)Sn ? An ? B ,得 ? ?2 A ? B ? ?48

解得, A ? ?20 , B ? ?8 .???????????4 分 (2)由(1)知, 5n(Sn?1 ? Sn ) ? 8Sn?1 ? 2Sn ? ?20n ? 8 , 即 5nan?1 ? 8Sn?1 ? 2Sn ? ?20n ? 8 , 又 5(n ? 1)an? 2 ? 8Sn? 2 ? 2Sn?1 ? ?20(n ? 1) ? 8 . ② ②-①得, 5(n ? 1)an? 2 ? 5nan?1 ? 8an? 2 ? 2an?1 ? ?20 , 即 (5n ? 3)an? 2 ? (5n ? 2)an?1 ? ?20 . 又 (5n ? 2)an?3 ? (5n ? 7)an? 2 ? ?20 . ④-③得, (5n ? 2)(an?3 ? 2an? 2 ? an?1 ) ? 0 , ∴ an?3 ? 2an? 2 ? an?1 ? 0 , ∴ an?3 ? an? 2 ? an? 2 ? an?1 ? ? ? a3 ? a2 ? 5 ,又 a2 ? a1 ? 5 , 因此,数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 5 的等差数列.???????????10 分 (3)要证 5amn ? am an ? 1 只要证 5a mn ? 1 ? a m an ? 2 am an 因为 an ? 5n ? 4 所以 amn ? 5mn ? 4 , am an ? (5m ? 4)(5n ? 4) ? 25mn ? 20(m ? n) ? 16 故只要证 5(5mn ? 4) ? 1 ? 25 mn ? 20 ( m ? n) ? 16 ? 2 a m a n 即只要证 20m ? 20n ? 37 ? 2 am an 又因为 2 a m a n ? a m ? a n ? 5m ? 5n ? 8 ? 5m ? 5n ? 8 ? 15(m ? n) ? 29 ? 20 m ? 20 n ? 37 所以原命题为真。??????????????????????16 分 ③ ④ ①


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