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北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之解三角形的进一步讨论


第三课时§2.1.3 解三角形的进一步讨论 一、教学目标 1、知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或 无解等情形;三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。 2、过程与方法:通过引导学生分析,解答三个典型例子,使学生学会综合运用正、余弦定 理,三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。 3、情感态度与价值观:通过正、余弦定理,在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和 三角函数的关系, 反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能, 从而从本质上 反映了事物之间的内在联系。 二、教学重点:在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等 情形;三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。 教学难点:正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情景]思考:在 ? ABC 中,已知 a ? 22 cm , b ? 25cm , A ? 1330 ,解三角形。 (由学生阅读课本第 9 页解答过程) 从此题的分析我们发现, 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时, 在某些条 件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 Ⅱ.探析新课

b ,A ,讨论三角形解的情况 [探索研究]:例 1.在 ? ABC 中,已知 a ,
分析:先由 sin B ? 则 C ? 1800 ?(A ? B )

b sin A 可进一步求出 B; a a sinC 从而 c ? A

1.当 A 为钝角或直角时,必须 a ? b 才能有且只有一解;否则无解。 2.当 A 为锐角时, 如果 a ≥ b ,那么只有一解; 如果 a ? b ,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若 a ? b sin A ,则有两解; (2)若 a ? b sin A ,则只有一解;

(3)若 a ? b sin A ,则无解。 (以上解答过程详见课本第 9 ? 10 页) 评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A 为锐角且

b sin A ? a ? b 时,有两解;其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习 1] (1)在 ? ABC 中,已知 a ? 80 , b ? 100 , ?A ? 450 ,试判断此三角形的解的情况。 (2)在 ? ABC 中,若 a ? 1 , c ?

1 , ?C ? 400 ,则符合题意的 b 的值有_____个。 2

(3)在 ? ABC 中, a ? xcm , b ? 2 cm , ?B ? 450 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,求 x 的取值范围。 (答案: (1)有两解; (2)0; (3) 2 ? x ? 2 2 ) 例 2.在 ? ABC 中,已知 a ? 7 , b ? 5 , c ? 3 ,判断 ? ABC 的类型。 分析:由余弦定理可知

a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是直角 ? ?ABC是直角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是钝角 ? ?ABC是钝角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是锐角? ?ABC是锐角三角形
(注意: A是锐角? ?ABC是锐角三角形 ) 解:? 72 ? 52 ? 32 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 , ∴ ?ABC是钝角三角形 。 [随堂练习 2] (1)在 ? ABC 中,已知 sin A:sin B :sinC ?1:2:3 ,判断 ? ABC 的类型。 (2)已知 ? ABC 满足条件 a cosA ? b cosB ,判断 ? ABC 的类型。 (答案: (1) ?ABC是钝角三角形 ; (2) ? ABC 是等腰或直角三角形) 例 3.在 ? ABC 中, A ? 600 , b ? 1 ,面积为

3 a ? b ?c ,求 的值 2 sin A ? sin B ? sinC 1 1 1 分析:可利用三角形面积定理 S ? ab sinC ? ac sin B ? bc sin A 以及正弦定理 2 2 2

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?

a ? b ?c sin A ? sin B ? sinC

1 3 解:由 S ? bc sin A ? 得c ? 2 , 2 2
则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A =3,即 a ? 3 ,

从而

a ? b ?c a ? ?2 sin A ? sin B ? sinC sin A

Ⅲ.课堂练习 (1)在 ? ABC 中,若 a ? 55 , b ? 16 ,且此三角形的面积 S ? 220 3 ,求角 C (2)在 ? ABC 中,其三边分别为 a、b、c,且三角形的面积 S ? (答案: (1) 600 或 1200 ; (2) 450 ) Ⅳ.课时小结: (1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无 解等情形; (2)三角形各种类型的判定方法; (3)三角形面积定理的应用。
0 Ⅴ.课后作业: (1)在 ? ABC 中,已知 b ? 4 , c ? 10 , B ? 30 ,试判断此三角形的解的情

a 2 ? b 2 ?c 2
4

,求角 C

况。 (2)设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长,求实数 x 的取值范围。 (3)在 ? ABC 中, A ? 600 , a ? 1 , b ?c ? 2 ,判断 ? ABC 的形状。 (4)三角形的两边分别为 3cm,5cm,它们所夹的角的余弦为方程 5x 2 ? 7x ? 6 ? 0 的根, 求这个三角形的面积。 五、教后反思:


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