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14 洛必达法则


第三章
第二节

微分中值定理与导数的应用
洛必达法则

1

?未定式
在函数商的极限中 , 如果分子和分母同是无穷小或 同是无穷大? 那么极限可能存在? 也可能不存在? 这种极 0 ? 限称为未定式, 记为 或 . 0 ? 还有其它类型的未定式? 0??、???、00、1?、?0?

r />
2

?未定式举例 下列极限都是未定式?

0 型) sin x ( lim 0 x ?0 x
x ??0

? 型) ln x ( lim n (n?0) x ??? x ?
ln 0 ? ??

lim xn ln x (n?0) (0??型)

lim (sec x ? tan x) (???型)
x?

三角函数在无定义处 极限为无穷大 lim (1? 1 ) x (1?型) x ?? x

?

2

x ? ?0

lim x x (00型)
1 lim (x2 ? a 2 ) x 2 x ??

(?0型)
3

?定理[洛必达(L’Hospital)法则] 如果函数f(x)和g(x)满足如下条件? (1) f(x)和g(x)都是当x?a时的无穷小(或无穷大)? (2) f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g?(x)?0? f ?( x) (3) lim 存 在(或 为 无 穷 大 ), x ?a g ?( x) 那么

f ( x) f ?( x) lim ? lim . x ?a g ( x ) x ?a g ?( x)

说明: 把定理中的“ x?a ”换成“ x?? ” ? 把条件(2)换成 “当|x|>X时f(x)和g(x)都可导且g?(x)?0”? 结论仍然成立?
4

0 ? f ( x) f ?( x) 型或 型洛必达法则 : lim ? lim x ?a g ( x) x ?a g ?( x) 0 ?
sin 3 x . 例1 求 lim x ?? sin 4 x

0 ( ) 0

3 cos 3 x 3 (sin 3x)? 解 原式 ? lim ? lim ?? . x ?? 4 cos 4 x x ?? (sin 4 x )? 4

x 3 ? 3x ? 2 0 例2 求 lim 3 . ( ) 2 x ?1 x ? x ? x ? 1 0

3x 2 ? 3 3 6x 解 原式 ? lim 2 ? . ? lim x ?1 3 x ? 2 x ? 1 x ?1 6 x ? 2 2
5

3 0 x ? 3x ? 2 例2 求 lim ( ) . 0 x ?1 x 3 ? x 2 ? x ? 1


例2-1

6x 3 3x 2 ? 3 ? lim ? . 原式 ? lim 2 x ?1 6 x ? 2 x ?1 3 x ? 2 x ? 1 2

x3 ? 3x ? 2 求 lim 3 x ?0 x ? x 2 ? x ? 1

?2
?1

x3 ? 3x ? 2 求 lim 3 x ?? x ? x 2 ? x ? 1

6

0 ? f ( x) f ?( x) 型或 型洛必达法则 : lim ? lim x ?a g ( x) x ?a g ?( x) 0 ?
ln x ? x ? 1 0 . ( ) 例3 求 lim 2 x ?1 x ? 2 x ? 1 0 1 1 ?1 ? 2 1 x x ?? . ? lim 解 原式 ? lim x ?1 2 x ? 2 x ?1 2 2

e x ?1 ? x . 例4 求 lim x ?0 1 ? cos x

0 ( ) 0



ex ex ?1 ? 1. ? lim 原式 ? lim x ?0 cos x x ?0 sin x
7

练习
x ? sin x (1). lim x ?0 x3
?
( 2). lim 2
x ? ??

? arctanx 1 x

8

0 ? f ( x) f ?( x) 型或 型洛必达法则 : lim ? lim x ?a g ( x) x ?a g ?( x) 0 ?

0 x ? sin x 例 例 35 ? 求 lim ? ( ) 3 x?0 x 0 x ? sin x x x ? ? 1 sin sin ? cos x x 1 ? cos sin x x 1 sin x 1 解 lim 解 lim ? lim 3 ? lim ? lim 2 ? ? lim ? ? 解 ?? lim ? 3 3 2 2 x?0 ?0 0 x?0 x ?0 0 x?0 x x? ?0 0 6x x xx? x 3x xx? 3x6x 6 6
例 例 46 ? 求 lim 2
x ???

? ? arctan x

1 x ? ? arctan x 1 ? 2 2 x 1 ? x 2 解 ? lim ?1 ? ? lim 解 ? lim 2 1 x??? 1? x x ??? x??? ? 12 x x
9

0 ?( ) 0

0 ? f ( x) f ?( x) 型或 型洛必达法则 : lim ? lim x ?a g ( x) x ?a g ?( x) 0 ?

? ln x 例 例 57 ? 求 lim n (n>0)? ( ) x ??? x ? 1 1 ln lnx x? 1 1 x x 解 lim lim ? ? lim lim ? ? 0 0 ? lim lim 解 解?? ?? n n n n n n ? ? 1 1 xx ? ? ?? ?? x xx ? ? ?? ??nx xx ? ? ?? ??nx nx x nx n ? x 例 例 68 ? 求 lim ?x (n 为正整数? ?>0)? ( ) x ??? e ? n?2 n n ?1 n ( n ? 1 ) x x nx 解 ? lim 解 ? lim ?x ? lim ???? 2 ? x ? x x ??? e x??? ?e x??? ?e n ! ? lim n ?x ? 0 ? x??? ? e
10

0 ? f ( x) f ?( x) 型或 型洛必达法则 : lim ? lim x ?a g ( x) x ?a g ?( x) 0 ?
tan x ? 例9 求 lim . ( ) 三角函数无穷大要变 ? tan3x ? x? 2 1 cos 2 3 x sec 2 x ? lim 解1 原式 ? lim 2 ? 3 x ? ? cos 2 x x ? 3 sec 3 x
2
2

sin 6 x 1 ? 6 cos3x sin 3x ? lim ? lim 3 x?? ? 2 cos x sin x x?? sin 2 x
2

2

6 cos6 x ? 3. ? lim ? x ? 2 cos 2 x 2 2 ? 3 csc 3 x cot 3x ? 3. ? lim 解2 原式 ? lim 2 ? ? cot x ? csc x x? x? 2
2
11

0 ? f ( x) f ?( x) 型或 型洛必达法则 : lim ? lim x ?a g ( x) x ?a g ?( x) 0 ?
注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 但与其它求极限方法结合使用,效果更好.
tan x ? x . 例10 求 lim 2 x ? 0 x tan x tan x ? x 解 原式 ? lim x ?0 x3

sec 2 x ? 1 ? lim x ?0 3x 2

tan2 x 1 ? lim ? . 2 x ?0 3 x 3
12

思考题: 以下解法对否? x ? cos x 1. 求 lim . x ?? x 1 ? sin x 解 原式 ? lim ? lim(1 ? sin x). x ?? x ?? 1 x ? cos x lim 不存在 . x ?? 极限不存在 x
ex ?1 2. 求 lim . x ?0 arccosx

解 原式 ? lim
x ?0

e

x

洛必达法则失效.
? ?1.

1? x2 注意:洛必达法则的使用条件.
13

?

1

思考题: 以下解法对否? x ? cos x 1. 求 lim . x ?? x cos x 解 原式 ? lim(1 ? ) ? 1. x ?? x
ex ?1 2. 求 lim . x ?0 arccosx 0 解 原式 ? ? 0.

?

2

注意:洛必达法则的使用条件.
14

0 ? 0 ? ? 型、 ? ? ? 型极限计算 : 化为 型或 型. 0 ?
例11 例 7? 求 lim xn ln x (n>0)? ( 0 ? ? ) x ??0 11 1 1 n n nn ln x ? x ln ln ln x x x ? x ? ? x x x x x x n n n n ? 0 .0 解 lim ? lim ? 0 ? ? ? lim lim lim ?? ? ? ? lim lim lim ? ? ? lim ln ? lim lim lim xxx x ln ln ln xxx x? ? ? ? lim lim lim 解 ??? 解 解 解 ?? ?? lim ?0 n ? n ? 1 n ? ? n n ? n ? ? n 1 n ? ? 1 1 xx ? ? 0 xx ? ? 0 xx ? ? 0 xx ? ? 0 x? x ? ? ? 0? ? 00 x? x ? ? ? 0? ? 00 x? x ? ? ? 0? ? 00 x ? ? ? 0? ? 00 x ? nx nn n n x x x x? ? ? nx ? nx nx
1 ? ?1 例12 求 lim? ? x ?. ( ? ? ? ) x ?0 x e ?1 ? ? e x ?1 ? x ex ? 1 解 原式 ? lim ? lim x x x ?0 x(e ? 1) x?0 e ? 1 ? xex

1 ex ? lim x ? . x x ? 0 2e ? xe 2
15

0 ? 0 型、 1 型、 ? 型极限计算 : 取对数化为 型或 型. 0 ?
0 ? 0

0 ? ?0 ? ln 0 ? 取对数 ? ? 1 ? ???? ?? ? ln 1 ? 0 ? ?. ?0 ? ln ? ?0 ? ? ?
0

0 ? ln u ln lim u ? lim v ln u ? lim ?1 ? 型或 型 0 ? v
v

16

0 ? 0 型、 1 型、 ? 型极限计算 : 取对数化为 型或 型. 0 ?
0 ? 0

tan x 0 求 lim x . 例13 ( 0 ) x ?0 ?

解 ln lim x tan x ? lim ln x tan x ? lim tan x ln x x?0 x?0 x ?0 1 ln x x ? lim ? lim x?0 ? csc 2 x x?0 cot x sin 2 x ? ? lim ? 0, x ?0 x lim x tan x ? e0 ? 1.
? ?
?

?

?

?

x?0?

0 ? ln u ln lim u ? lim v ln u ? lim ?1 ? 型或 型 0 ? v
v

17

0 ? 0 型、 1 型、 ? 型极限计算 : 取对数化为 型或 型. 0 ?
0 ? 0

? 求 lim (cos x ) . (1 ) 例14
x ?0

1 x2



ln lim (cos x)
x?0

1 x2

ln cos x ? lim x?0 x2
1 ? tan x ?? . ? lim x?0 2 2x

lim (cos x) ? e .
x?0

1 x2

?

1 2

0 ? ln u ln lim u ? lim v ln u ? lim ?1 ? 型或 型 0 ? v
v

18

0 ? 0 型、 1 型、 ? 型极限计算 : 取对数化为 型或 型. 0 ?
0 ? 0

(cot x) 例15 求 lim ?
x ?0

1 ln x

. ( ?0 )



ln lim (cot x) ?
x ?0

1 ln x

ln cot x ? lim x ?0 ? ln x

1 ? (? csc2 x) ?x cot x ? lim ? lim ? ?1, ? ? x ? 0 cos x ? sin x x ?0 1 x 原式 ? e?1.

0 ? ln u ln lim u ? lim v ln u ? lim ?1 ? 型或 型 0 ? v
v

19

课后练习
习题3?2 (P138): 1.(2)(4)(5)(7)(10)(12)(15)(16) ; 2、4.

20


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