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2013年广东省深圳(高中)数学老师教学论文(17份)


2012 年广东理科高考试题第 20 题的新视角探究?
? ? ? 深圳市龙城高级中学? ? 庄素娟? ? ? 摘要: 一道高质量的高考试题不仅能够考察学生的双基功底,更要突出其选拔功 能,其基础性的信息量和开放性的问题设置以及其求解方法上的不同视角,要给 人以站的稳、 飞的高、 看的远的多方位、 立体性的感受, 让思维展开想象的翅膀, 自由的翱翔!2012 年广东理科

高考试题第 20 题提供的信息量和问题的设置激发 了我的求解思维(本文只对本题的第二问求解进行探究研究) ,以超出常规的求 解视角大胆探索,收获了“圆锥曲线与圆”类似问题的一般性的求解方法,体会 到教学研究其乐无穷。? 关键词:椭圆,圆,离心率,曲线的方程,曲线的切线? 题目(2012 年高考广东理科第 20 题) : x2 y2 在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C : 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率 e = a b 且椭圆 C 上的点到 Q(0,2) 的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M (m, n) 使得直线 l : mx + ny = 1 与圆 O : x 2 + y 2 = 1 相交于不同的两点 A、B ,且 ?OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相 对应的 ?OAB 的面积;若不存在,请说明理由。 为了解决这个问题,我从以下几个方面着手探究,使得问题迎刃而解! 一、预设问题,知识铺垫 预备知识一:若圆 x 2 + y 2 = r 2 和直线 mx + ny = r 2 相交于 A、B 两点,则点
2 , 3

M (m, n) 一定在圆外。
预备知识二:若点 M (m, n) 在圆外,则直线 mx + ny = r 2 是过点 M (m, n) 向圆

x 2 + y 2 = r 2 作两条切线的切点连线方程(苏教必修 2 第 106 页探究拓展题目结
论)

1

预备知识三: 过圆 x 2 + y 2 = r 2 外一点 M (m, n) 向圆引两条切线, 切点分别为 A、B , 连接 OA、OB ,记 ?OAB 的面积为 S ?OAB ;记 OM = R( R > r ) (如图 1) 结论: 则有如下

(1) S ?OAB = r 3

1 r2 ? 4 ; R2 R 1 r2 ? 4 为关于 R 的递增函数; R2 R

(2) r < R ≤ 2r 时, ?OAB = r 3 当 S

当 R > 2r 时 S ?OAB = r 3

1 r2 ? 4 为关于 R 的递减函数 R2 R

(3)当 R = 2r 时(此时 ?AOB 为等腰直角三角形) ( S ?OAB ) max = , 证明: (1)设 ∠AOB = 2θ ,则 sin θ =

1 2 r 2

r R2 ? r 2 , cos θ = , R R

所以 S ?OAB =

1 2 1 r2 ? 4 r sin 2θ = r 2 sin θ cos θ = r 3 2 R2 R 1 2r 2 r2 ? 4 ) ,对 R 求导得 f ′( R) = 5 (2r 2 ? R 2 ) R2 R R r2 1 ? ) 为关于 R R2 R4

(2)令 f (R) = S 2 ?OAB = r 6 (

显然, r < R ≤ 2r 时, f ′( R) > 0 ,所以 f ( R) = S 2 ?OAB = r 6 ( 当 有

的增函数,即 S ?OAB = r 3

1 r2 ? 4 为关于 R 的递增函数; R2 R 1 r2 ? 4 ) 为关于 R 的减函 R2 R

当 R > 2r 时,有 f ′( R) < 0 ,所以 f ( R) = S 2 ?OAB = r 6 ( 数 即 S ?OAB = r
3

1 r2 为关于 R 的递减函数 ? R2 R4 1 2 r 2

(3)由(2)易得,当 R = 2r 时, ( S ?OAB ) max =

1

本文将从以上三点预备知识入手,不同于《广东省 2012 年普通高等学校考试试 题参考答案》展开了新的求解旅程,以全新的视野求解 2012 年广东理科高考试 题第 20 题的第(2)问。? 二、依据预备知识,求解问题 (本文开头提出的问题的第(2)问)

x2 解:由(1)易得椭圆的方程为 + y2 = 1 3
当点 M (m, n) 在椭圆

x2 + y 2 = 1 上时,由“预备知识一,预备知识二”知,直线 3

l : mx + ny = 1 是过点 M (m, n) 向圆 O : x 2 + y 2 = 1 引的两条切线的切点连线 AB 的
方程(如图 2) 。由“预备知识三(3) ”知当点 M (m, n) 位于圆 x 2 + y 2 = 2 与椭圆

x2 + y 2 = 1 的交点处时, ? AOB 的面积 S ?OAB 最大,此时 r = 1 ,三角形最大面积 3
为 ( S ?OAB ) max =

1 2 1 r = 2 2

(如图 2)

?x 2 + y 2 = 2 ? 解方程组 ? x 2 得 M 点的坐标为 2 ? + y =1 ?3
? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? , , ,? ,? ? ?或? ? ?或? ?或? ? ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? 附:广东省 2012 普通高等学校招生考试参考答案,如下:? 解:由(1)解得 C的方程为

? 存在点 M 满足要求,使 ?OAB 的面积最大.? 假设直线 l : mx + ny = 1 与圆 O : x 2 + y 2 = 1 相交于不同的两点 A、B ,则圆心 O 到 l 的? 距离 d =
1 m + n2
2

x2 + y2 = 1 3

< 1 .?

1

因为点 M (m, n) ∈ C , 所以

m2 + n 2 = 1 < m 2 + n 2 ,于是 0 < m 2 ≤ 3 .? 3

Q| AB |= 2 1 ? d 2 = 2

m2 + n2 ?1 ,? m2 + n2
m2 + n2 ?1 ?? = m2 + n2 2 2 |m| |m| 1 3 3 ≤ = .? 2 2 2 2 1+ m 2 1? m2 3 3

∴ S ?OAB

1 = ? | AB | ?d = 2

上式等号成立当且仅当 1 = 因此当 m = ±

2 2 3 m ? m 2 = ∈ (0,3] ,? 3 2

6 2 时等号成立.? ,n = ± 2 2

所以满足要求的点恰有四个,其坐标分别为:?

(

6 2 6 2 6 2 6 2 , ) ,( ,? ) , (? , ) 和 (? ,? )? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 .? 2

此时对应的三角形的面积均达到最大值 两种解法对比说明:

《参考答案》 的证明方法, 从点 M 的坐标入手, 利用点到直线的距离将 ?OAB 的面积表达成关于 m 的函数, 再利用基本不等式求出面积最值, 利用代数方法解 决了几何问题,体现了解析几何的精髓所在。 笔者的方法是利用几何法发现了三角形面积与题中圆的半径之间的关系, 寻 找面积最大值,直观形象,且下面的拓展可解决同类相关动态问题,体现了数形 结合的思想,同时抓住了圆锥曲线这一同类问题的相通之处,在本质上理解圆锥 曲线的相关问题。? 三、大胆设想,静中求动? 在对广东理科高考第 20 题第(2)问的探求过程中利用预设知识,解决了如下两 类问题: 1.“在椭圆

x2 y2 + 2 = 1(a ≥ 2b > 0) 上,求点 M (m, n) 使得直线 mx + ny = b 2 与圆 2 a b

x 2 + y 2 = b 2 相交于不同的两点 A、B ,且 ?OAB 的面积最大。 (2012 年广东理科
1

高考试题第 20 题属于这一类) 2.在椭圆

x2 y2 + 2 = 1(b < a < 2b) 上,求 M (m, n) 使得直线 mx + ny = b 2 与圆 2 a b

x 2 + y 2 = b 2 相交于不同的两点 A、B ,且 ?OAB 的面积最大。
对于问题(1)依据“预备知识三(3) ”找到了一种简便的求解方法,即把求解

x2 y2 M (m, n) 点的坐标转化为求椭圆 2 + 2 = 1(a ≥ 2b > 0) 与圆 x 2 + y 2 = 2b 2 的交 a b
点,此时三角形 AOB 为等腰直角三角形,显然此时面积最大。 对于问题(2)依据“预备知识三(2) ”易得满足 ?OAB 的面积最大时, M (m, n) 点位于椭圆

x2 y2 + = 1(b < a < 2b) 的长轴的两个顶点处。 a2 b2

至此,圆与椭圆有关的类似问题从动态(这里的动态主要体现在“预备知识 三”中的 R 变化引起三角形面积的变化)的观点得到了圆满的解决。于是本人又 在设想,如果把问题中的椭圆改为抛物线或者双曲线,利用预设知识是否可以同 样使问题得到解决。事实上,在预设知识中,我们会发现 ?OAB 的面积变化只与 R 的变化有关,而与点 M (m, n) 是否在椭圆或抛物线或双曲线上是无关的。也就 是说,如果把问题中的椭圆,改换为抛物线或者双曲线,或者其它类型的曲线, 在求解此类问题时,利用预设知识问题可以同样得到解决。这样就找到了以不变 应万变的解决此类问题的通用的方法,为教师的变式教学提供了广阔的空间。? ? 参考文献:? 1.《数学? 必修二》? 江苏教育出版社? 2.《广东省 2012 年普通高等学校招生考试试题及参考答案》? 广东高等教育出版 社?

1

?

以退求进思想与解题能力培养
深圳市高级中学数学科组
摘 要

平光宇

本文通过对中学数学中一些具体问题的解决,揭示以 退求进思想这一数学方法在解题过程中的地位,并指 出该方法的思想对培养学生解题能力有重要的作用。 By solving some of the specific questions of high school mathematics, this article revealed the main role that the idea “solving the complicated one from an simple one” has played in the problem solving process and pointed how important the idea is in improving students’ problem-solving skills.

关键词 中学数学教育;以退求进思想

1

解题遇到一些疑惑费解或难于入手的困难时, 将问题退回到较为简单易解的地步, 或许 可以从中得到能反应问题本质属性的东西,或解题的新思路,或得到问题的结果,这就是以 退求进的思想在解题过程中的作用。 本文旨在通过应用函数思想解决中学数学的部分具体问题, 阐述函数思想方法的方法论 意义,表明其对培养、提高学生解题能力的重要作用。 1 应用以退求进思想解题的几个途径 1.1 从抽象到具体的思想方法 例 1 设 A、B 都是含有 10 个元素的集合,A∩B 含有 5 个元素,集合 C 满足: (1)C ? A∪B,且 C 含有 3 个元素; (2)C∩A ≠ φ 。问这样的集合 C 有多少个? 分析:不妨将原问题具体化为:某班物理(A)和化学(B)两兴趣小组各有 10 人,其 中有 5 人同时参加了两个小组(A∩B) ,现从这些人中选出 3 位组成代表队(C)参加学校 比赛,要求至少有一人是物理兴趣小组的成员,问一共可组成多少种这样的代表队?
1 2 3 2 1 这是一个具体的组合问题,易知: C10 + C10 C 5 + C10 C 5 = 120 + 225 + 100 = 445(个) 3 3 或者为 C15 ? C 5 = 455 – 10 = 445(个) 。

解:满足条件的集合 C 有 445 个。 例2 已知 f ( x + y ) + f (x – y ) = 2 f ( x ) f ( y ) 对 x、y ∈R 都成立,且 f ( 0 ) ≠ 0。试判断 函数 f ( t )的奇偶性。 分析: 考虑到所给式子的形态, 可联想到三角函数的和差化积公式, 不妨将函数具体化, “退”为 f?(?t?)?=?cost,有 cos?(?x?+?y?)?+?cos?(x?–?y?)?=?2cosxcosy,cos0?=?1?≠?0,易知原函数 f?(?t?) 是一个偶函数。? 解:令 x?–?y?=?t? ,因为对 x、y?∈R 式子都成立,所以? f?(?t?)?=?f?(?x?–?y?)?=?2?f?(x)?f?(?y?)?–?f?(x?+? y?)? 于是 f?(?–?t?)?=?f?(?y?–?x?)?=?2?f?(?y?)?f?(?x?)?–?f?(x?+?y?)?=?f?(?t?)? ,即原函数 f?(?t?)是一个偶函数。? 在上面两例中, 我们将抽象的问题具体化, 从抽象或不易理解退到容易理解且具体的问 题(例 1)或式子(例 2)上,这样做有利于启迪我们的思维,找到与抽象问题有关的具体 数学模型或结果可能的情况。但在实际操作时,我们还应当注意: (1)不可改变原问题的实 质性条件; (2)在具体解证过程中应就原问题的抽象性进行严格论证。 1.2 从一般退到特殊的思想方法 例3 证明:不论 m、n 为任何实数,方程 x 2 + y 2 – 2mx – 2ny + 4( m – n – 2 ) = 0 所表 ①

示的曲线必通过一定点,并求出这个定点。 证:令 m = n = 0,有方程 x2 + y2 – 8 = 0

令 m = 0,n = 1,有方程 x2 + y2 – 2y – 12 = 0 ② 令 m = 1,n = 0,有方程 x2 + y2 – 2x – 4 = 0 ③

联立方程①、②,解得交点(2,–2)和(–2,–2) 。再联立方程①、③,解得交点(2,2) 和(2,–2) 。比较知只有(2,–2)可能是欲求的定点,将该点坐标代入曲线系验证得:4 + 4 – 4m + 4n + 4m – 4n – 8 = 0,所以(2,–2)为所求的定点。

例 4 设数列{an}与{bn}的通项公式分别是 an = 2 n,bn = 3n + 2,它们的公共项从小到大 排列成数列{cn},求{cn}的前 n 项和。 解:由{cn}的定义知 c1?=?8,设 cn?=?am?=?bk? ,m、k?∈N,即有 cn?=?2m?=?3?k?+?2。于是由于 这表明 am+1??{bn},? 亦有 am+1??{cn}。 am+2?=?2m+2? 而 am+1?=?2m+1?=?2?2m?=?2??(3k?+?2)?=?3?(2k?+?1)?+?1, =?4???2m?=?4?(3?k?+?2)?=?3?(?4?k?+?2?)?+?2,即有 am+2?∈{bn},亦有 am+2?∈{cn}是{cn}中的第 n?+?1 项, 即 cn+1?=?am+2。? 于是

c n +1 2 m + 2 = m =? 4,故{cn}是首项为 8、公比为 4 的等比数列,其前 n 项和为? S? n? = cn 2

8(2 2 n ? 1) 。? 3
从一般退到特殊, 就是利用事物的共性通常寓于事物的个性之中的特征来解决问题。 在 处理一些较复杂的问题时,如果从一般角度难以解决,那么就可以用这一方法,去讨论问题 的特殊情况, 进而发现规律和解题的思路。 3 将对一般曲线的讨论退到讨论两对具体曲线 例 相交的情况,使问题得到解决。在取具体曲线时既不失一般性,又便于计算。例 4 将数列的 一般通项退到特殊项,并由对特殊情况的分析,认识数列{cn}的结构,从而明确了解题的目 标和途径。 1.3 从多退到少的思想方法 例5 平面上有 2n + 3 个点,其中任三点不共线,任四点不共圆。问能否过其中三点作

一个圆,使其余 2n 个点,一半在圆内,一半在圆外? 分析:看看 n = 1,即有 5 个点的情况。如右图,A、B、C、D、E 是满足条 件的 5 个点, 则总有两点 (如 A、 使其余的点均在这两点连线的同侧。 AB, B) 连 C、D、E 对 AB 的张角依次记为∠C、∠D、∠E,由于无四点共圆,则这三个张 角不相等,不妨设∠E < ∠D <∠C,则过 A、B、D 的圆为所求。 解:设平面上 2n + 3 个点中有 A、B 两点,可使其余 2n + 1 个点(分别记为 C1、C2、…、C 2n、C 2n+1)均在连线 AB 的同侧。C1、C2、…、C 2n、C 2n+1 对 AB 的张角依 次记为 ∠C1、∠C2、…、∠C2n、∠C
2n+1,由于无四点共圆,则这些张角互不相等,不妨设

∠C1 < ∠C2 < …< ∠C2n < ∠C2n+1,则过 A、B、Cn+1 的圆为所求。 例6
2 2 2 设 a1、a2、…、an 均为实数,且 a1 + a 2 + L + an =

(a1 + a2 + L + an ) 2 ,求证: n

a1 = a2 = … = an 。
2 2 a 分析: n = 3 时, 12 + a 2 + a 3 = 当

(a1 + a 2 + a 3 ) 2 1 2 2 2 = (a1 + a 2 + a 3 + 2a 1 a 2 + 2a 1 a 3 + 2a 3 3

2a 3

2 2 ), 所以 2a12 + 2a 2 + 2a 3 ? 2a1 a 2 ? 2a1 a 3 ? 2a 2 a 3 = 0 , ( a 1 – a 2 ) 2 + ( a 1 – a 3 ) 2 + 即

( a 2 – a 3 ) 2 = 0,有 a 1 – a 2 = a 1 – a 3 = a 2 – a 3 = 0,故 a 1 = a 2 = a 3。
解 : 由 于 a1 + a2 + L + an =
2 2 2

(a1 + a2 + L + an ) 2 2 2 2 , 所 以 n( a1 + a2 + L + an ) n

2 = a12 + a2 +L

2 + an +2a 1 a 2 + … + 2a1an + 2a2a3 + … +2a2a

n

+ … +2a

n – 1

a

n

) ,所以 ( n – 1 )

2 2 (a12 + a 2 + L + a n ) ? 2a1a2 – … – 2a1an – 2a2a3 – … –2a2a n – … –2a n – 1 a n = 0,即 ( a1 –

a2 ) 2 + … + ( a1 – an ) 2 + ( a2 – a3)2 + … + ( a2 – an ) 2 + … + ( an – 1 – an ) 2 = 0,有 a1 – a2 = … = a1 – an = a2 – a3 = … = a2 – an = … = an – 1 – an = 0,故 a1 = a2 = … = an。
当一个问题呈现的元素或对象较多时,情况就会变得较复杂,处理起来也就较麻烦。 若我们先对元素或对象较少的简单情况进行分析, 所得到的解决方式对原问题的解答将有很 大的帮助。例 5 和例 6 都是运用了从多退到少的方法使问题得到解决。值得注意的是“少” 要少得适宜,不是越“少”越好,应以有利于原问题的解决为度。 1.4 从高维退到低维的思想方法 例 7 设凸 n 面体的 n 个面的面积为 S
i

(i = 1、2、3、…、n) P 为 n 面体内任一点, ,

且 P 到各个面的距离为 hi i = 1、 、 、 n) S1∶S2∶…∶S n = 1∶2∶…∶n, ( 2 3 …、 , 求证: 为定值。

∑ (ih )
i i =1

n

分析:将问题退到平面上来,考虑平面上凸 n 边形的 n 条边长为 a i (i = 1、2、3、…、

n) P 为 n 边形内任一点,且 P 到各条边的距离为 hi(i = 1、2、3、…、n) a1∶a2∶…∶a , ,
n = 1∶2∶…∶n,求证: ∑ (ihi ) 为定值。由边长的比例关系可设
i =1 n

ai = k ,即 ai = ik (i = 1、 i

2 、 3 、 … 、 n) , 将 n 边 形 的 面 积 剖 分 成 n 个 小 三 角 形 的 面 积 之 和 , 有 S =

k n 1 n 1 n a i hi = ∑ (ik )hi = ∑ ( ihi ) , 所以 ∑ 2 i =1 2 i =1 2 i =1
证:由面积的比例关系有

∑ (ihi ) =
i =1

n

2S (定值) 。 k

Si = k ,即 Si = i k (i = 1、2、3、…、n),将 n 面体的体积剖 i
V = 1 n 1 n k n ∑ S i hi = 3 ∑ (ik )hi = 3 ∑ (ihi ) , 所 以 3 i =1 i =1 i =1

分成 n 个小锥体的体积之和,有

∑ (ihi ) =
i =1

n

3V (定值) 。 k

例 8? 已知 n?∈?N,实数? a?>?1,解关于 x 的不等式:? log?a?x?–?4 log a 2 x + L + n(?2) n ?1 log a n x ? >

1 ? (?2) n log?a?(?x?2?–?a?)。? 3

略解:依据换底公式有: log a x ? 4log a 2 x + L + n(?2) n ?1log a n x ?

= log a x + 2(?2) log a 2 x + L + n(?2) n ?1 log a n x ?

= log a x + (?2) log a x + L + (?2) n ?1 log a x ? = [1 ? 2 ? L + (?2) n ?1 ] log a x =
所以原不等式可等价地转化为:

1 ? (?2) n log a x ? 3

1 ? (?2) n 1 ? (?2) n log?a?x?> ? log?a?(?x?2?–?a?)(*) 。? 3 3

解 (*) 可得: n 为奇数时, a <?x?< 当 有

1 1 (1 + 1 + 4a ) ; n 为偶数时, x?> (1 + 1 + 4a ) 。 当 有? ? 2 2

从高维退到低维的思想方法, 就是面对高维问题去研讨相应的低维问题, 从中获得处理 高维问题的启示,这种思想方法具有一般的意义。处理立体几何问题时,我们常常会对平面 几何中的相应问题展开讨论,以实现“从高维退到低维”的转换,并运用类比的方法解决原 立体几何问题,如例 7。在处理代数问题时, “降幂”方法则是“从高维退到低维”的典型 表现。将高次幂问题退为低次幂问题,使问题的形式简化并获解决,如例 8。两例子属不同 类型的问题,但我们却用了相同的思想方法来处理。? 1.5 从整体退到部分 例 9? 从同一点出发的三条射线中, 每两条所成角的平分线与第三条射线确定一个平面, 如此所得的三个平面必相交于一直线。? 证:如右图,设点 O 为三条射线的交点,在三条射线上依次取点 A、B、 C,且使 OA?=?OB?=?OC,则可得△ABC,取 G 为△ABC 的重心,连 AG、BG、CG 分别交对边 BC、CA、AB 于中点 D、E、F。? 因为? OA?=?OB,所以? △OAB 为等腰三角形,OF 是△ABC 中 AB 边上的中 线也是∠AOB 的角平分线,而 OF 与第三条射线 OC 决定的平面必过 OG。? 同理,有 OD 与 OA、OE 与 OB 决定的平面也必过 OG,即知题设的三个平 面共线于 OG。? 例 10? 在锐角△ABC 中,求证:sinA?+?sinB?+?sinC?>?cosA?+?cosB?+?cosC? 。? 证: 因为? △ABC 是锐角三角形, 所以? A?+B?=?π?–?C?> 依正弦函数在[?0?,?

π π π π , A?> –?B, 0?< –?B?<?A?< , 即 2 2 2 2

π π ]的增减性知? sinA?>?sin?( –?B?)?=?cosB。 同理, sinB?>?cosC, sinC?>?cosA. 将 2 2 三式相加得? sinA?+?sinB?+?sinC?>?cosA?+?cosB?+?cosC? 。?
不少数学问题不便从整体上解决, 但若退一步来研究其部分, 则可从对部分的处理结果 出发,以促进问题的整体解决。例 9 通过对两条射线讨论处理,得到了具有代表性的部分结 果,并使问题得到整体解决。例 10 若从整体上解答,较难于入手,但从部分——一个或两 个角的三角函数——入手,情况就变得简单了。? 2 以退求进思想方法的方法论意义 以退求进的思想方法是数学中重要的解题方法,也是中学数学在解证问题方面的重要 内容,是唯物辨证思想的一种体现,有着明显的数学方法论意义,对培养、提高学生解决数

学问题的能力有积极的影响。 2.1 以退求进思想方法蕴涵着唯物辩证思想 数学与哲学有着密切的关系, 用哲学中的辩证思想来分析数学中的思想方法, 对我们深 入了解数学的实质,特别是了解与掌握数学思想方法,提高解决数学问题的能力,都是十分 有益的。 以退求进思想方法蕴涵着大量的唯物辩证思想, 这从运用该方法处理的具体问题中 可以看到,如抽象与具体、一般与特殊、多与少、高维与低维、整体与部分等对立统一辩证 思想。从宏观上看,以退求进思想方法总体上体现出复杂与简单之间的对立统一。 “从抽象退到具体”的方法体现出“形式”与“内容”间的辩证思想。数学具有高度的 抽象性, 这种抽象性表示为数学的形式化。 形式与内容是哲学中的一对矛盾, 形式比较稳定、 简洁,而内容则是比较活跃、复杂。通常我们习惯于用形式处理内容, “从抽象退到具体” 的思想方法则在一定程度上表现出用内容说明形式。? “从一般退到特殊”的思想方法,实际上应用了“一般”的外延大内涵小而“特殊”的 外延小内涵大的特性,一定程度上增加了我们分析解决问题的条件。? “从多退到少” “从整体退到部分” 和 的方法体现出 “全局” “局部” 与 间的辩证关系。 全局虽然由各个局部组成, 但并不是简单的总和, 局部虽然是全局的部分, 但对全局有影响, 甚至是具有决定性的影响。两种方法正是利用了这一特性,达到以局部影响全局的目的。? “从高维退到低维”的思想方法体现了问题结构的“分解”与“延拓”间的辩证关系。 “低维”延拓成“高维”可提高对事物的认识层次,而“高维”分解为“低维”可加深对事 物的认识程度,正是这种认识程度的加深,使我们可找到解决问题的途径。 2.2 以退求进思想方法是处理数学问题最基本的方法 一个数学方法被称为是最基本的方法, 一个重要的衡量标准是它能体现出具有应用的广 泛性和高度的抽象性。 从前面应用以退求进思想方法处理的各个例子我们看到, 这种方法在处理中学数学问题 时所带来的方便。该方法几乎可运用于中学数学中如代数、几何、三角等内容的各个部分, 其应用范围相当广泛。 另外, 以退求进思想方法让我们能迅速地从繁杂费解的解题困境中摆 脱出来,在一个简单易解的环境中找出能反映问题本质属性的东西,或获得答案,或产生解 题的灵感,以达到认识上的飞跃。这表明它是一个数学“抽象”的过程——向着较初始并保 持原问题重要特征的地方抽象。 因此, 以退求进思想方法具有应用的广泛性和高度的抽象性, 所以说以退求进思想方法是解决中学数学问题最基本的方法。 2.3 以退求进思想方法具有某些数学美的特征 简单美是数学美的基本形式,主要特征表现在:方法简单、逻辑简单、概念简单和表述 简单。从具体操作以退求进思想方法的过程中,根据所处理数学问题的需要,我们可灵活地 采用不同方式实施“退” ,从而在原数学问题的基础上退到一个易于解决的简单问题,并通 过对这个简单问题的处理,实现对原数学问题的“进” 。施行“退”以后,所要解决的数学 问题往往变得或者可利用的条件环境更加充分——使得处理的方法简单; 或者问题的结构组 成变得简洁清晰——使得逻辑性简单; 或者问题的实质得到转化——使得所需的概念原理简 单; 或者处理步骤操作起来更加方便——使得表述方式简单。 以退求进思想方法使解决一个 较复杂的问题变得简便,这表明它体现了数学的简单美。另外,由于以退求进思想方法的一

个重要特征是它在一定程度上反映了某些哲学范畴间的相互关系和基本规律, 因此它体现出 哲学美就是显然的了。 2.4 以退求进思想方法的数学方法论意义 以退求进思想方法的数学方法论意义主要表现为类比思想和化归思想。 类比法是数学方法的主要代表之一,其特征就是通过两个对象类似之处的比较由已获 得的知识去引出新的认识,而以退求进思想方法正是具有这一特征的数学方法。因此,从某 种意义上说以退求进思想方法应属于类比法的范畴,或者说它是类比方法的一种具体形式。 事实上,从前面对各个例子的处理可以看到, “退”到的新问题的处理仅仅是我们解决原问 题的一个手段,我们所关心的不是对新问题的解答,而是解答新问题的方法步骤,以便我们 能将这些方法步骤“类比”到原问题中。也就是说,应用以退求进思想方法解决问题实质上 是应用类比方法解决问题。 一个数学问题经过以退求进思想方法的处理后,使原问题的解决在很大程度上转变成 对另外一个新问题的解决, 尽管我们没有利用将新问题的解答反演出原问题的解答, 但这种 转变的过程还是充分反映出化归的思想。 著名数学大师华罗庚先生曾告诉我们: “善于‘退’ ,足够地‘退’‘退’到最原始而不 , 失去重要性的地方,是学习数学的一个诀窍。 ”他又说: “先足够地退到我们最容易看清楚的 地方,认透了,钻深了,然后再上去。 ”这充分说明在以退求进的思想方法中, “退”是手段 而“进”是目的,以及该思想方法对学习数学、解决数学问题的重要性。因此,作为一名数 学教师,要培养、提高学生解决数学问题的能力,理解并掌握以退求进思想方法这一最基本 的解题工具是很有必要的。

参考文献
[1] 汪江松. 高中数学解题方法与技巧.武汉:湖北教育出版社,1995. [2] 张奠宙. 过伯祥.数学方法论稿.上海:上海教育出版社,1996. [3] 郑毓信. 数学方法论入门.杭州:浙江教育出版社,2006.

完成于 2012 年 1 月 1 日

(作者简介:平光宇,男,1963 年 1 月生,汉族,河南新乡人,深圳市高级中学数学科组长,中学数学高级教师,大学本 科学历。 )

?

化解学生立体几何认知困难的几点教学策略?
深圳外国语学校 袁智斌

摘要:立体几何成为高一新生的学习难点是多因素作用的结果;其中一个不可忽视的
因素乃是高一新生缺乏立体几何“有意义学习”所需的“认知结构” 、从而导致高一新生对 立体几何对象的无限性以及对涉及无限性的“如果…,那么…”形式的推理不同程度地存在 认知困难.为此提出化解这些认知困难的几点立体几何教学策略.

关键词:立体几何;认知困难;教学策略

1 引子——立体几何难在何处
立体几何是高一新生在《必修 2》 的学习中的一个常见难点.人们常说高一新生缺乏 立体感或空间想象力. 试问是什么因素导致了高一新生在立体几何学习中难点重重或缺乏空 间想象力呢?或者试问立体几何的教学内容成为学生学习的难点的深层原因何在?我们应 该采取什么策略来帮助学生消减立体几何的学习难度??
[1]

为回答以上问题,我们不妨先来看看教材《必修 2》 上的一些内容:? 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面
[1]

内.《必修 2》 (

[1]

P20 )

公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他的公共点,这些公共点的集合 是经过这个公共点的一条直线.《必修 2》 (
[1]

P21 )

从公理 1 的文字表述中,我们可以看到“直线”“点”“平面”和“一条直线上的两点 、 、 在平面内”“直线上所有的点都在这个平面内”等概念与命题,以及从“…直线上的两点在 、 一个平面内”到“…直线上所有的点都在这个平面内”的推理(备注:此“这条直线上所有 的点”构成了无限集) .? 同样,从公理 2 的文字表述中我们也可以看到“平面”“公共点”“公共点的集合” 、 、 、 “一条直线”和“两个平面有一个公共点”“它们还有其他的公共点,这些公共点的集合是 、 经过这个公共点的一条直线”等概念与命题,以及从“…两个平面有一个公共点”到“…它 们还有其他的公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线”的推理(备注:此 “…,这些公共点的集合”是无限集) .? 公理 1、2 等中的这些概念与命题涉及到了几何对象的无限性,或者说这些几何对象构 成了无限集合.同时,公理 1、2 等中蕴含有前一个命题为条件、后一个命题为结论的 “如 果…,那么…”形式
[ 2]

P 5

的产生出涉及到无限性的新命题的推理.?

在立体几何学习中, 高一新生对这些涉及无限性的命题, 以及这些涉及无限性的 “如果…, 那么…”形式
[ 2]

P 5

的推理,客观上存在认知困难.?

2 思路——从化解无限性等认知困难入手来消减立几教学难度
“数学概念…,它是最基本的思维形式.判断是由概念构成的,推理和证明又是由判断 构成的. ”
[ 3]

P48“判断是肯定或否定思维对象及其属性的思维形式. ”

[3]

P “判断…具有 ‘若… 54

则…’或‘如果…那么…’的形式.、 ”“表达判断的陈述语句称为命题. ” 经过证明为真实的命题叫做定理. ” 过程. ”
[3] [ 3]

[3]

P “在数学中,… 56

P 65

“推理是从一个或几个判断得出一个新判断的思维

P 67

“依据一个或一些真实的判断,进而判定另一个判断(是否)真实的推理,就
[3]

叫做论证. ”

P 71

在初中平面几何学习阶段,学生们所接触到的几何对象和对几何内容进行数学判断中,

多只涉及到相应几何对象的有限性或在对几何内容进行判断中只需进行有限步的数学操作. ? 比如,初中阶段学习的两个三角形全等的 SSS、SAS、ASA 判定定理等,就只涉及到几何 对象的有限性或说只需通过有限步的操作就能进行相应数学判断. 即学生在运用 SSS、 SAS、 ASA 等定理来判定两个三角形是否全等时, 只要看两个三角形的有关边角的三个条件是否同 时满足就可以进行相应的数学判断.? 而当学生们从初中的平面几何学习阶段迈入高一立体几何的学习阶段, 就会面临诸多涉 及到无限性的几何认知对象.比如,立体几何公理 1、2( 《必修 2》
[1]

P20?21 )等所涉及到的

“这条直线上所有的点” “这些公共点的集合”等几何认知对象,而这些几何对象往往具 、 有无限性或其构成的集合是无限集合.? 面对从初中平面几何到高中立体几何的过渡中发生的这些由几何对象的有限性上升到 无限性等的深刻变化,高一新生客观上缺乏开展立体几何“有意义学习”所必需的“认知结 构”?
[3]

P 87

,从而使得不少高一新生一时无法适应高中数学学习中应具备对立体几何对象的

无限性等的认知能力的要求, 以及无法适应高中数学学习中应具备较强的合情推理能力和较 强的以计算推理为核心要素的演绎推理能力等的要求.? 从而导致高一新生们在立体几何学习中普遍存在, 对几何对象的无限性以及对涉及无限 性的“如果…,那么…”形式
[ 2]

P 5

的推理,不能正确感知与理解的认知困难.若这些认知困

难未能及时、科学、有效地化解就会导致立体几何成为高一数学的教学难点.? 试问如何化解立体几何这一教学难点?我们主张从为高一新生铺垫或搭建立体几何 “有 意义学习”所需的“认知结构”的途径来帮助学生化解不能正确感知与认识几何对象的无限 性等的认知困难的角度入手来化解立体几何教学难点. 主张多从学生的认知角度来关注几何 对象的无限性并通过揭示教材的字里行间所蕴涵的立体几何知识、 方法的精髓等方式来科学 消减学生在立体几何学习中的认知困难.?

3 策略——从化解对无限性等的认知困难入手的教学策略
立体几何成为高一新生数学学习的难点是多因素作用的结果;但几何对象的无限性以及 涉及无限性的 “如果…, 那么…” 形式
[ 2]

P 5

的推理是这些因素中的两个不可忽视的重要因素.?

门捷列夫将大千世界里的无机物分解为化学元素并将对无机物的研究化归为对构成其 的化学元素的研究.? 这启发我们也应该将立体几何教学难点分解、化归为最基本的要素来进行研究.为此, 我们提出化解学生立体几何认知困难的几点教学策略与大家分享.?

3.1 策略一——阐明平面具有烘托立体感的功效
立体几何教学中,特别是高一立体几何起始教学阶段,我们主张教师要科学引导学生观 察现实空间以及阅读立体几何教材上的直观图示.在这一观察现实空间以及 阅读直观图示的进程中,尤其是学生阅读立体几何教材上的直观图示的过程 中, 教师应该适时巧妙地向学生们提问: 什么因素使得这些图示具有立体感?? 由此引导学生去思考与体会导致直观图具有空间立体感的因素是什么. 在 图1 这个过程中,为了让学生们更真切更深刻地感受与体会到平 面具有烘托立体感的功效,我们可以先画出如图 1 所示的两 条线段并询问学生们:这两条线段所在的直线会相交吗??
a 图2

紧接着将图 1 补上如图 2 所示的平面后,再让学生对比观察图 1 与图 2.从中让学生直 接、深刻体会:平面有助于营造与烘托几何对象的立体感.?

3.2 策略二——解读平面的无限延展性
立体几何教学中,我们主张要向学生们解读与展示平面的无限延展性.因为及时科学地 为学生们解读平面的无限延展性, 将有利于学生们更好地学习、 理解和掌握好立体几何的相 关知识与方法.? 我们主张通过对立体几何公理 1 的深入解读来阐述平面的无限延展性. 具体 方法如下:? ①公理 1? 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点
a 图3

b

都在这个平面内.《必修 2》 (

[1]

P20 ) ;

②直线是向其两端无限延长的;? ③从而,此直线所在的平面至少也应该沿着这条直线的方向无限延长.? ④又因为过一个平面上任何一点有各个不同方向的无穷条直线, 从而平面就 向四面八方无限延展.? 这就阐述了平面是无限延展的.? 现在依据平面的无限延展性并运用两张纸片来动态演示公理 2.具体演示操作: ? ①先制作出两张纸片:这两张纸片上均已剪开了一条缝(如图 3 所示) .? ②将此两张纸片如图 4 的方式摆放,其意义就是说明此两个纸片所表示的两个 平面恰有一个公共点.? ③因为平面是无限延展的,故由图 4 所示的状态开始,将一张纸片沿着另外一 张纸片上所剪开的缝往下插并运动成为如图 5 所示的状态.? ④再接着从图 5 所示的状态开始,将那一张纸片继续沿着另外一张纸片上所剪 开的缝往下插并运动成为图 6 所示情形.? 这就说明了公理 2“如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他的公共点,
a

b

图4

b

a 图5

b

a 图6

这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.《必修 2》 (

[1]

P21 ) ”的几何意义. ?

[点评]:动态地将一张纸片由如图 4 所示的状态开始,沿着另外一张纸片上所剪开的缝 下插并运动成图 6 所示的情形,从而直观、深刻地体现与说明了公理 2 的几何意义.不断下 插纸片的几何操作生动、直观地体现了平面的无限延展性的数学本质.? 这一解读与演示,将有助于高一学生结合公理 1 与异面直线所成角的定义在课后独立运 用平面的无限延展性去更好地解答如下习题:如图 7,在直三棱柱
A M N B C

ABC ? A1 B1C1 中,AC = BC = 2CC1 ,M , N 分别为棱 AC , BC 的
中点,且 ∠ACB = 90 .求异面直线 AM 与 C1 N 所成角的大小.? 简要解答提示:延展平面 AA1C1C 成为如图 8 的情形,其中
A M N B

°

A1 C1 B1 图7
C M1

M 1C = MC 并连接 NM 1 构成三角形 C1M 1 N , 即可求出异面直线 AM 与 C1 N 所成角的大小.具体解答此略.?
同样, 若高一学生们灵活地运用平面的无限延展性将会更好地
A1

C1 B1 图8

解答教材上的习题 10 “如图 (限于篇幅, 此略图) 设 M 是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱 BB1 , 的中点,试作出平面 A1C1M 与平面 ABCD 的交线.( ”《必修 2》
[1]

P29 ) .

3.3 策略三——将教室视为立体几何模型
毛泽东曾说: “我们的实践证明,感觉到了的东西,我们不能立刻理解它,只有理解了 的东西才更深刻地感觉它.感觉只解决现象问题,理论才解决本质问题. [4] P ? ” 1 我们主张将教室视为立体几何模型并充分灵活地运用这一模型开展教学.这样将更易于 学生形成立体几何认知和学习、掌握立体几何相关知识和方法.? 比如,当讲授两个平面平行的性质定理时,我们引导学生观察身处的教室的天花板和地 板: 首先得出此天花板和地板各自所在的两个平面是平行的, 其次此两个平面同时和墙壁相 交,其三由此产生的两条交线是平行的.? 学生们在教师引导下通过观察教室这一直观、 具体的立体几何教学模型, 将会更加真切、 清晰、 具体地感知到两个平面平行的性质定理所涉及到的立体几何对象及其条件与结论. 这 一过程既易于学生学习两个平面平行的性质定理, 又利于学生们理解和记忆之. 这是由于将 教室视为立体几何模型这一策略有利于学生们直观、 具体地将立体几何中抽象的定理等转化 为可视、可触及的几何实体了.实现了化抽象为具体的目的.? 再比如,运用将教室视为立体几何模型的策略,可以轻松地、富有创意地和同学们一起 从教室这一模型中解读出立体几何的各个公理、概念、定理、公式等.略举两例如下:? ①解析讲台上的木条的安装过程,从中可以解读出公理 1.具体解析:在木条左右两端 各钉一个钉子就可以将木条固定在讲台这个面所在的平面内了. 若将此木条视为直线、 将那 两颗钉子视为木条所在的直线上的两个点的话,就可以形象解读出公理 1 的几何意义.? ②解析锁门过程,从中可以解读出公理 3.具体解析:我们将固定在门侧的两个铰链视 为两个不同的点,将门锁视为第三个点.锁门意味着将门上的第三个点也固定.一旦此门上 的不共线的三点均固定(确定) ,即只要门上的锁锁好了就意味着唯一确定了一个平面且此 被唯一确定的平面是无法再改变位置的. 即上了锁的门是任何人都不能徒手推开的. 从中可 以解读出公理 3“? 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面” .同时,学生也会逐 步真切感受到利用教室这一模型将会更易更好地理解和记忆公理 3 等立体几何知识、方法. ?

3.4 策略四——解读立体几何对象的无限性
立体几何教学中,我们主张要引导学生深入研读公理、定义、定理的文字表述,尤其是 引导学生从公理、定义、定理的文字表述中解读出其所涉及到的几何对象的无限性.? 比如,直线与平面垂直的定义:? 如果一条直线 a 与一个平面 α 内的任意一条直线都垂 直,我们就说直线 a 垂直于平面 α ,记作 a ⊥ α .《必修 2》 (
[1]

P ) 33

从“平面 α 内的任意一条直线”这一表述中,我们可以解读出其蕴含有几何对象的无 限性——“任意一条直线” .若我们注重引导学生从此直线与平面垂直的定义中解读其文字 表述蕴含的无限性的话, 将有利于学生进一步理解这一定义, 将帮助学生更好地理解为何要 学习直线与平面垂直的判断定理以及帮助学生在处理对直线与平面是否具有垂直关系的判 断上更自觉地运用此判断定理进行相应简明的数学操作进而来判定二者是否具有垂直关系. ? 再比如,设 a, b 是两条异面直线,经过空间任意一点 O ,作直线 a′ / / a , b′ / / b ,我们

把直线 a′ 和 b′ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角( 《必修 2》

[1]

P27

) .?

我们应引导学生从 “经过空间任意一点 O , 作直线 a′ / / a ,b′ / / b ” 中解读出此处的 “任 意一点 O ”蕴含了在选择与确定此“点 O ”上客观存在无限多个可能性,从而在每次确定 了此“点 O ”后并如上要求均可作出一对直线 a′ 、 b′ .即确定此“任意一点 O ”有无限多 个可能性导致了相伴而生的满足如上要求的直线 a′ 、 b′ 也必有无数对.? 这就导致出两个问题: “直线 a′ 和 b′ 所成角” ① 的大小是否与所选择的 “任意一点 O ” 无关?②在实际解题中这 “任意一点 O ” 是海阔天空般地随意选取还是有具体要求或技巧?? 对于第一个问题,我们的回答是:根据等角定理
[1]

P25 可知, “直线

a′ 和 b′ 所成角”的大

小与所选择的“任意一点 O ”无关.? 对于第二个问题,文[4]中已明确给出了选择此“任意一点 O ”的三种方法或类型—— 线段中点、线段的端点或题设中的已知点
[5]

.?

3.5 策略五——解读公理、定理蕴含的从有限到的无限的推理结构
立体几何教学中,我们主张既要引导学生从公理、定义、定理的文字表述中解读出其所 涉及到的几何对象的无限性, 又要引导学生从通过对这些几何对象中的有限个元素进行数学 判断或进行有限步数学操作后上升到对这些几何对象的无限性的判断. 即从存在性命题上升 到全称命题的推理过程与结构.? 现以直线与平面平行的定义、 判断定理的教学为例来解析从有限上升到无限的推理结构. ? 直线与平面平行的定义: 如果一条直线 a 和一个平面 α 没有公共点, 我们就说直线 a 与 一个平面 α 平行.《必修 2》 (
[1]

P ) 30

点评: 因为从点的集合的角度看, 此定义中的 “直线 a ” 和 “平面 α ” 均是无限点集. 要 判断“直线 a ” 和“平面 α ”这两个无限点集之间是否存在公共元,就需运用全称命题来 加以判断.若期盼直接通过对“直线 a ” 和“平面 α ”这两个无限点集中的元素逐一考察 看其是否有公共元素后再来对“直线 a 与平面 α ”是否具有平行关系来下判断的话,这条 途径几乎是不可能实现的.? 怎么办?这就内在呼唤一种科学、简明的操作机制来解决这一问题.? 直线与平面平行的判断定理:如果平面外的一条直线 a 和这个平面 α 内的一条直线 b 平行,那么这条直线 a 和这个平面 α 平行.《必修 2》 (
[1]

P ) 30

a ?α? ? 用符号表示为: b ? α ? ? a / /α . a / /b ? ?
点评: 虽然我们无法直接按照直线与平面平行的定义来对直线与平面是否具有平行位置 关系进行操作性判断;但我们可以运用直线与平面平行的判断定理进行相应判断.? 试问处在初学立体几何阶段的高一学生能从自己的认知角度真正接受和自如地运用这 一判断方法吗?或说我们如何开展教学, 才能更好地让学生们理解和掌握这一判断方法呢?? 在直线与平面平行的判断定理的教学中, 我们主张引导学生从直线与平面平行的判断定

a ?α? a ?α? ? ? 理“ b ? α ? ? a / /α ”中解读出,从对有限个对象的有限步的数学判断操作“ b ? α ? ” a / /b ? a / /b ? ? ?
上升到对含有无限个元素的几何对象的性质的判断“ a / /α ”的认识上去.在此特别指出按 照直线与平面平行的定义可知, “直线 a ” 和“平面 α ”均是无限点集, a / /α ”的含义 “ ,即“直线 a (无限点集)和平面 α (无限点集)没有 乃是“直线 a 和平面 α 没有公共点” 公共点”? .? 即引导学生从中解读出立体几何中的公理、 定理蕴含的从有限到无限的推理结构. 对这 一推理结构的解读以及成功使得学生对这一推理结构的真正深入理解, 将有助于学生自觉运 用这些判断定理进行立体几何的问题解答.否则,学生们要么对判断定理百思不得其解,要 么照猫画虎地使用这些判断定理进行简单机械地模仿般的判断操作但心中对这一判断定理 始终带有不解或抵触情绪,从而不能真正理解、接受和自如运用之.?

3.6 策略六——解读教材的编排结构
奥苏贝尔曾说“当学生把教学内容与自己的认知结构联系起来时, (有)意义学习便发 生了.所以,影响课堂教学中(有)意义学习的最重要的因素,是学生的认知结构.所谓认 知结构,就是学生现有知识的数量、清晰度和组织方式,它是由学生眼下能回想出的事实、 概念、命题、理论等构成的. ”
[6]

P234?235 .?

奥苏贝尔的“当学生把教学内容与自己的认知结构联系起来时, (有)意义学习便发生 了. ”
[6]

P234?235 这一观点对教学具有积极的指导意义.?

故,在立体几何《直线与平面的位置关系》《平面与平面的位置关系》 、

[1]

P ?48 章节的教 30

学中, 我们主张引导学生解读与理解教材知识的编排结构. 因为若教师引导学生解读了此部 分教材的编写结构的话,将会更加有利于学生理解和掌握此部分立体几何知识的来龙去脉. ? 立体几何《直线与平面的位置关系》《平面与平面的位置关系》 、
[1]

P ?48 这部分的教材编 30

写结构为:首先是给出定义,其次介绍判断定理,其三介绍性质定理.? 同时, 先定义、 再判断定理、 最后性质定理的这种教材编写结构与顺序是科学合理的. 这 种结构与顺序的逻辑关系是十分清晰且蕴含有解题策略. 如前所述, 定义往往涉及到几何对 象的无限性, 而要直接对无限集合中的元素逐一进行数学判断的话, 这几乎是不可能实现的; 于是内在呼唤与要求出现新的简便易行的方法, 从而此部分教材的编写结构就启发与引导学 习者借助判断定理进行相应的有效的数学操作与判断.? 点评: 当学生们在教师引导下解读出这些内在的逻辑关系与策略后, 学生们将会更好地 领悟此部分立体几何知识的内在联系和自觉运用这些知识、 方法进行相应的数学学习和开展 更加有效的数学解题.?

3.7 策略七——运用“切片”定位
在立体几何学习中,高一新生在面临需确定立体几何对象的点、线、面等几何元素之间 的具体位置关系问题时常感到困难,且这种困难往往还随着问题复杂性的增加而徒然增加. ? 如何帮助学生们克服这一困难呢?? “切片:①把物体切成薄片.②用特制的刀具把生物体的组织或矿物切成的薄片.切片
D C

A T D1

B

C1

A1 图9

B1

用来在显微镜下进行观察和研究. [7] P 受生物学或探矿中人们运用切片来有效观察与研 ” 1102 究动植物组织或矿物成分的方式、方法的启发,我们提出运用“切片”定位的立体几何教学 策略.这一策略中,我们以立体几何公理、定理、概念等为依据,通过作出立体几何问题中 的一些局部截面, 来将立体几何问题转化为平面几何问题, 从而使得学生易于确定相关几何 元素的位置关系.为了进一步说明此策略,现提供一个具体问题的简要解答如下:? 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 (如图 9 所示) 设其体对角线 BD1 与截面 DA1C1 交于点 ,

T .试求线段 D1T 与线段 TB 的长度之比

D1T 的值.? TB
D C D B

简要解答:如图 10,作出“切片”——矩形 BDD1 B1 (其中 O1 为 线段 D1 B1 的中点) ,从而利用三角形相似,易得

D1T D1O1 1 = = . (备 TB DB 2

A T D1

B T C1 D1 O1 O1 B1

注:此运用“切片”定位的策略可以广泛运用到诸多需要确定几何元素 之间位置关系的立体几何问题的解答中,限于篇幅此略.读者不妨试试 看. )?

A1

B1 图10

4 案例——举例展示新的立体几何教学
立体几何教学中,我们常见许多同学能背诵出直线与平面垂直的定义、判断定理和性质 定理等;但却不会运用这些定义、定理等来解答相关问题.试问我们应该如何引导学生科学 地运用这些知识去有效解题呢?或说如何通过有限步的数学操作来实现对立体几何中具有 无限性的问题的判断呢?? 这就涉及到数学知识、方法的学习与数学解题能力培养之间的关系
[8]

.我们主张通过引

导和帮助学生搭建“有意义学习”所需的“认知结构”的途径、采取? “开口动脑记公式, 悟其结构巧解题”?
[9]

、 “动手用心导公式、悟其结构巧解题”?

[8]

? 的方法来科学开展教学.?

同时,这也体现出了立体几何中数学化解决问题的策略与智慧——以有限步的数学操作 来解答具有无限性的数学问题——的? “以少胜多”的策略与智慧.? 下面我们通过直线与平面垂直的判定为例,进一步阐述以有限步的数学操作解答具有无 限性的数学问题的策略与智慧.? 《必修 2》 的直线与平面的位置关系中的 “2.直线与平面垂直” 部分有如下教学要点: (直线与平面垂直的定义)? 如果一条直线 a 与一个平面 α 内的任意一条直线都垂直,
[1]

( 我们就说直线 a 垂直于平面 α ,记作 a ⊥ α .《必修 2》

[1]

P ) 33

直线与平面垂直的判断定理? ? 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线(都)垂直, 那么这条直线垂直于这个平面.《必修 2》 (
[1]

P ) 34

直线与平面垂直的性质定理? ? 如果两条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平 行.《必修 2》 (
[1]

P )? 34

试问我们应如何来判断或证明直线与平面是否垂直呢? 如果仅仅直接依靠直线与平面垂直的定义( 《必修 2》
[1]

P )来进行判断的话,就需要对 33

这个平面内的任意条直线与那条直线的位置关系进行判断. 这项工作将会十分困难乃至无法 完成.因为平面内必有无数条直线,故我们无法直接去穷尽平面内的所有直线,以及我们无 法确定这无数条直线是否均与那条直线垂直.? 难道就没有捷径可循?在无法直接运用直线与平面垂直的定义来判断直线与平面是否 垂直的情况下,就需要运用直线与平面垂直的判断定理来简明判断直线与平面是否垂直.? 直线与平面垂直的判断定理? ? 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线(都)垂直, 那么这条直线垂直于这个平面.《必修 2》 ( 此判断定理( 《必修 2》
[1] [1]

P ) 34

P )告诉我们一个判断直线与平面垂直的简明方法(算法) : 34

第一步,先判断直线 l 能否与平面 α 内的(某)两条相交直线均垂直.? 第二步,确定此直线 l 是否与平面 α 垂直.? 解题导航:此判断定理启示我们在证明直线与平面是否垂直的问题时,我们的解题探索 应单刀直入地直接聚焦到能否在平面 α 内寻找到与直线 l 均垂直的(某)两条相交直线.? 这一解题导航体现了通过寻找平面 α 内的(某)两条相交直线并判断它们是否均和那一 条直线 l 垂直的有限步的数学操作来达到对立体几何中具有无限性的几何对象的判断.? 综上,我们的教学中应该向学生们揭示教材中蕴含的这些深层的内容,且我们揭示这些 深藏在教材字里行间的立体几何知识、方法的精髓的过程就是为开展“有意义学习”而铺垫 必要的“认知结构”?
[3]

P 87

,从而这一教学措施将会有助于学生们更好地理解这些精髓并更

好地学习和掌握立体几何的知识与方法,进而消减立体几何的教学难度、促进学生发展. [参考文献]?
[1]单 墫等.普通高中课程标准实验教科书(必修)数学 2[M].南京:江苏教育出版社,2005.6. [2]单 墫等.普通高中课程标准实验教科书(选修)数学 2-1[M].南京:江苏教育出版社,2008.8. [3]喻 平等.数学教育导引[M].桂林:广西师范大学出版社,1998.3. [4]张道真.实用英语语法(第二次修订本)[M].北京:商务印书馆,1979.9. [5]袁智斌.结合 95 广东会考题谈数学解题技巧[J] . 《深圳数学研究》 (总 7 期) ,1995, (7) . [6]施良方.学习论——学习心理学的理论与原理 [M].北京:人民教育出版社,1994.5 [7]中国社会科学院语言研究所词典编辑室.现代汉语词典(第 5 版) [M].北京:商务印书馆,2009. [8]袁智斌.探讨数学知识、方法的学习与数学解题能力培养的关系[C] .中国教育学会中学数学专业委员 会第十三届学术年会交流和获奖论文,2007 年 10 月 27 日—31 日山西太原 [9]袁智斌.数学学习与解题对联[J] .数学通讯,2004, (17) .

?

怎样认识新课标中的基本不等式 深圳市南头中学 1 背景介绍 基本不等式 ab ≤ 方亚斌

a+b (a > 0, b > 0) (basic inequality)是高中数学 2
1~3]

中最重要的一个不等式.在现行教材编排的体系中,基本不等式首先出现在 《数学 5》 (必修)[
1~3]

之后在 《数学 4—5》 (选修)[4 ] 又再次出现.必修教材 [

对基本不等式的研究,都是从背景引入、抽象提炼、证明方法、几何意义、

变式引申、拓展应用等六个方面进行展开的,如 《数学 5》 (必修) [1] 的第三 章“不等式”的基本不等式,首先以 2002 年北京市召开的第 24 届国际数学大 会会标(图 1)为问题背景引入,提出“你能在这个图中找出相等式或不等式 关系吗?”通过抽象概括,提炼出重要不等式 a 2 + b 2 ≥ 2ab(a, b ∈ R) 并给出 几何解释,在此基础上,又通过演绎替换,数形结合,证明探究及实际应用 等四种不同的角度引导学生认识基本不等式, 最后将此会标作为封面插图 [1] .

图 1 《数学 4—5》 (选修) [4 ] “不等式和绝对值不等式”中的基本不等式,则首先 是将学生已学过的重要不等式 a 2 + b 2 ≥ 2ab(a, b ∈ R) 命名为定理 1, 再通过几 何角度解释定理 1,然后作简单的恒等变形得出基本不等式(basic inequality) ab ≤ 意义和实际应用. 基本不等式结构简单,均匀对称,两个正数通过加法,乘法,除法和开 方四种运算,产生了它们的算术平均数 arithmetic mean)和几何平均数 (geometric ( ab ≤ mean)的内在规律,实现了概念原理(基本不等式) 、符号语言

a+b (a > 0, b > 0) 并命名为定理 2,最后后再介绍其几何 2

a+b ) 、图形语言(几何图形,图 5)与自然语言(直角三角形斜边 2

上的高不大于斜边之半)的有机结合和高度统一,数学之美,数学之奇,数 学之简,数学之趣尽在其中,蕴含了丰富的数学文化特征和多样的数学智慧 因素,尝试选用基本不等式作为“数学探究”的素材,引导学生通过观察,

探索,归纳和验证,适当进行扩充或引伸,可以从中获得新的思想,新的方 法,新的结果,体验数学发现和创造的历程,对于激发学生数学热情,扩大 学生数学视野,领悟数学神韵,启迪学生数学心智,理解数学本质,认识数 学的科学价值、 应用价值和文化价值, 优化认知结构, 崇尚科学的理性精神, 体会数学的美感都具有十分重要的意义. 然而, 在实际教学中, 一般教师认为基本不等式的学习价值在于其应用, 而对它的证明方法, 无论是代数证法中的作差法 [ 还是几何证法 [
1~5] 2]

, 分析法 [

1~2]

, 综合法 [

1~5]

,往往是一带而过,舍不得花时间进行探究反思,对它的变

式引申,深化拓展也只是就题证题, 没有系统观念,缺乏理性思考,无法产 生兼有厚重与锐利的思维力量.因此, 他们对 《数学 5》 (必修) 《数学 4—5》 和 (选修)两处都出现基本不等式,认为是教学内容的简单雷同和重复,于是在 高二上学期 《数学 5》必修) ( 中学完基本不等式后,到了高二下学期 《数学 4—5》 (选修)的“基本不等式”时,为了节省教学时间,就直接跳过此节内容, 进行下一节的教学.如此“失之交臂”,实在可惜.新课标明确指出: “教师应 根据不同的内容目标及学生的实际情况, 给学生留下拓展延伸的空间和时间.” 对基本不等式的教学,特别提出了“探索并了解基本不等式的证明过程”的 要求. 《数学 5》 (必修)的引言中“特别强调不等式及其证明的几何意义与 背景,以加深学生对此不等式的数学本质的理解,提高学生的逻辑思维的能 力和解决问题的能力.”
[1]

为彰显新课程的这些教学理念,笔者在进行高二

下学期《数学 4—5》 (选修)中的“基本不等式”教学时,从基本不等式的 认识视角,引申拓展和组合延伸等四个方面设计了一个教学案例,现介绍如 下. 2 认识视角 对基本不等式的证明,我们撇开现行教材所介绍的比较法、分析法、综合法 以及几何模型 [ 2.1
1~5]

,还可以从下列各方面获得新的认识.

代数视角

2.1.1 平均值换元法 令

a=

a +b a?b a +b a ?b , b= ( 其 中 a, b > 0 ) , 则 + ? 2 2 2 2

ab =

(

a +b a ?b a +b a ?b a +b 2 a ?b 2 a+b 2 + ? )×( ) =( ) ?( ) ≤( ) ∴ 2 2 2 2 2 2 2

ab ≤

a+b . 2

2.1.2 增量换元法 不妨设 a ≥ b, 令 t = a ? b ,则 t ≥ 0 ∴ b = a + t , 其中 a > 0, b > 0 .则

t t2 t t a+b . ab = a (a + t ) = a 2 + at = (a + ) 2 ? ≤ (a + ) 2 , 得 ab ≤ a + = 2 4 2 2 2
2.2 方程视角 构造以

a ,

b 为 根 的 一 元 二 次 方 程 ( x ? a )( x ? b ) = 0 , 即

x 2 ? ( a + b ) x + ab = 0 ( a > 0, b > 0 ) , 此 方 程 有 两 个 实 根 , 故 其 判 别 式 ( a + b ) 2 ? 4 ab ≥ 0, 即 ab ≤
2.3 函数视角 2.3.1 构造函数 f ( x) = x +

a+b . 2

1 (x >0) x 1 显然, f ′( x) = 1 ? 2 , ∴ 0 < x < 1 时, f ' ( x) < 0 , f ( x) 单调递减; x ≥ 1 x

时, f ' ( x) ≥0, f ( x) 单调递增. 故 x = 1 时, f ( x) 取得最小值 f ( x) = 2 ,即 x > 0 时, f ( x) = x + ∴ f(

1 ≥2. x b b a a+b a+b )= . + ≥2? ≥ 2 ? ab ≤ a a b 2 ab

a x +1 + b x + `1 2.3.2 构造函数 f ( x) = ( a > 0, b > 0, a ≠ b ) ax + bx a a( ) x + b b?a a =a+ 不 妨 令 a > b , 则 f ( x) = b . ∵ >1 a x a x b ( ) +1 ( ) +1 b b a x b?a 也为增函数,故 f ( x) 在 R 上为增函数. ( ) + 1 为增函数, a x b ( ) +1 b
1 a +b a+b a+b ,∴ ab < . < ∴ f (? ) < f (0) ? 1 1 ? ? 2 2 2 2 2 a +b
1 2 1 2



2.3.3 构造函数 f ( x) = ( ax + b ) 2 + ( bx + a ) 2

∵f ( x) = ( ax + b ) 2 + ( bx + a ) 2 = (a + b) x 2 + 4 abx + (a + b) ≥ 0 对 x ∈ R 恒 成 立. ∴ ? = (4 ab ) 2 ? 4(a + b) 2 ≤ 0 ? ab ≤ 2.3.4 构造凹凸函数 我们知道,如果函数 f ( x) 是下凸函数,则有 f ( x) + f ( y ) ≥ 2 f ( ∵ ∴ 若构造函数 f ( x) = e , f ( x) 是下凸函数, e + e ≥ 2e
x

a+b . 2 x+ y ) 成立. 2

x

y

x+ y 2

,由 a > 0, b > 0 ,

可令 a = e x , b = e y , a + b ≥ 2 ab . 若构造函数 f ( x) = lg x ,易知 f ( x) 是下凹函数,则 f ( x) + f ( y ) ≤ 2 f ( 类似可得 lg a + lg b ≤ 2 lg( 2.4 统计视角 2.4.1 构造方差 如果 x 为一组数据 x1 , x2 , ???, xn 的平均数, s 2 为这组资料的方差,易知
s2 =
2 1 n 1 n 2 ( xi ? x) 2 = (∑ xi ? n x ) ∑ n i =1 n i =1

a+b a+b ) ? ab ≤ . 2 2

x+ y ), 2

今视 a , b 为一组数据,由方差公式
1 a+ b 2 s 2 = [( a ) 2 + ( b ) 2 ? 2( ) ] 2 2 1 a + b + 2 ab 1 a+b = (a + b ? )= ( ? ab ) ≥ 0 2 2 2 2

∴ ab ≤

a+b . 2

2.4.2 构造分布列 视 a , b 为一组随机变数,其分布列为

ξ
p

a

b

1 2

1 2

则 Eξ =

a+ b a+b , Eξ 2 = 2 2 a+b a+ b 2 a+b ) ? ab ≤ ≥( 2 2 2

由 Eξ 2 ≥ ( Eξ ) 2 得 2.5 向量视角

构造向量 α = ( a , b ) , β = ( b , a ) ,则由 |α |?| β | ≥ |α ? β | 知
a + b ? a + b ≥ 2 ab ? ab ≤ a+b . 2









→ →

2.6 复数视角 记
z1 = a + bi



z2 = b ? ai



a > 0, b > 0

) , 则

z1 ? z2 = 2 ab + (b ? a )i ,

∵ z1 ? z2 = z1 z2 ≥ Re ( z1 ? z2 ) ,∴ a + b ≥ 2 ab ,即 ab ≤ 2.7 解几视角 2.7.1 借助点到直线的距离 ∵ 直线 ax + b y = 0 过原点( a > 0, b > 0 ),

a+b . 2

∴ 点 ( b , a ) 到直线 ax + b y = 0 的距离一定小于或等于该点到原点的 距离, ∴
| ab + ab | a+b . ≤ a + b ? ab ≤ 2 a+b

2.7.2 借助面积 在直角坐标中,构造关于 x 轴对称两点
A( a , b ), B ( a , ? b ) (如图 2),

则 AB =2 b , S?AOB = 又

1 | AB || x A |= ab , 2

图 2?

1 1 a+b | OA | ? | OB | sin ∠AOB = a + b ? a + b ? sin ∠AOB ≤ 2 2 2 a+b ∴ ab ≤ . 2 S?AOB =

2.7.3 借助曲线 当 x > 0, y > 0 时,考虑直角坐标系中固定直线
l : x + y = 2m 及双曲线族 xy = c(c > 0) (如图 3).

令直线 y = x 交双曲线于点 P( x p , y p ) ,交直线 l 与 点 Q( xQ , yQ ) .设直线 l 与双曲线 C 相交,交点为 M (a, b) , 则 ab = x p y p = c ,又 x p = y p ∴ ab = x p y p = x p 由 xQ = m =
a+b a+b . , x p ≤ xQ 可得 ab ≤ 2 2
图 3?

2.8 三角视角 2.8.1 借助三角函数定义 构造两点 A( a , b ) , B( b , a ) (如图 4), 设 ∠xOA = α , ∠xOB = β (α , β ∈ (0, ) ) , 2 由三角函数的定义知:
? a = a + b cos α , ? ? ? b = a + b sin α , ? ? b = a + b cos β , ? ? ? a = a + b sin β , ?

π

则 2 ab = a + b cos α ? a + b cos β + a + b sin α ? a + b cos β
= (a + b) cos(α ? β ) ≤ a + b ,
图 4?

∴ ab ≤

a+b . 2

2.8.2 借助余弦定理 在直角坐标系中,构造两点 A( a , b ), B( b , a ) (如图 4),则 OA = OB = a + b ,
AB = 2( a ? b ) 2 = 2 | a ? b | .
?AOB 中,由余弦定理,有

cos ∠AOB =

| OA |2 + | OB |2 ? | AB |2 2( a + b) ? 2( a ? b ) 2 2 ab = = , 2 | OA || OB | 2( a + b) a+b

∵ ∠AOB ∈ [0, ) ∴∠AOB ≤ 1 ,即 ab ≤ 2 2.9 平几视角

π

a+b . 2

2.9.1 直角三角形斜边上的高不小于中线模型 如图 5, DA = a, DB = b , OC =
OC > CD ? ab ≤ a+b . 2 a+b , CD = ab , 2

2.9.2 切割线定理模型 如图 6, AB = a, AC = b ,
AE =
a +b , AD = ab , 2 a+b AD < AE ? ab < . 2
A
图 6?

2.9.3 赵爽弦图模型 如图 7, AE = BF = CG = DH = a ,
AH = BE = CF = DG = b (a > b) , EF = FG = GH = HE = a ? b . S ?ABE + S?BCF + S ?CDG + S?DAH < S正方形ABCD
图 7?

aH G B b E F

D

C
G B

4?

1 a+b ab < (a + b) 2 ? ab < 2 2

A

b

2.9.4 正方形正交切割模型 如图 8, AB = BC = CD = DA = a ,
AG = GI = b , HI = IF = a ? b S 矩形ABFE + S矩形ADHG ? S 正方形AGIE < S 正方形ABCD
2 ab ? b < a ? ab <
E b

I

F a b

D

H

C

a+b . 2

图 8?
D

b

F

C

2.9.5 正方形单向切割模型 如图 9, = DC = a , AE = EG = b (a > b) , AD
G

a b
A

a

b
图 9?

E

B

由 S ?ADC + S ?AEG > S 矩形AEFD ?

a b + > ab . 2 2 a+b 2

2.9.6 直角三角形直角边小于斜边模型 如图 10, BC < AB ? ab <
C a b 2 A ab

a+b 2
图 10?

B

2.9.7 自相似直角三角形翻折模型 如 图 11,
RT ?ADC ≌ RT ?AEC ,

RT ?BDC ≌ RT ?BFC

AD = a, DB = b, CD = CE = CF = ab , EF < AB ? ab < a+b . 2

2.9.8 梯形模型 如图 12, BC = a, AD = b ,
AE = EB, DF = FC , EF = a+b , 2

梯形 AGHD ∽梯形 GBCH 则
AD GH = ? GH = ab GH BC AG DH AD AE DF = = <1= = GB HC GH EB FC a+b ∴ GH 在 EF 上方, ab < . 2

2.9.9 矩形单向切割模型 如图 13,AE= AE = b , AD = EB = a ? b ,
S矩形ABCD > S矩形AEFD ? a + b > 2 ab . ? a ( a ? b) > b( a ? b)
a D b b A E a b B F C

图 13?

3 引申拓展 《数学 5》 (必修)第 94 页习题 13.4 的第 1 题和第 2 题 [ ] 的结果,可得
2

已知 a, b 都是正数,求证
2 1 1 + a b ≤ ab ≤ a+b a 2 + b2 ≤ 2 2



当且仅当 a = b 时等式成立. 作为基本不等式的引申和拓展, 不等式链①即为 [ ] 的第 11 页习题 6.2 的第
5

3 题的结论,它是高等数学中 n 个正实数的四种平均值大小关系: H n(调和平均 值) ≤ Gn (几何平均值) ≤ An (算术平均值) ≤ Qn (方幂平均值)特例,曾被 选作 2009 年太原市高中数学竞赛题.多年来, 不等式链①是我国中学数学课本中 唯一的一个基本不等式链,蕴含了数学的统一简洁之美,倍受数学教师和数学爱 好者的青睐,人们对寻求它的几何证明更感兴趣,下面介绍几种它的无字证明方 法. 3.1 不等式链
2ab a+b a 2 + b2 ≤ ab ≤ ≤ 的无字证明 2 2 a+b

3.1.1 直角模型
AC = BD = a ?b ,, 2

a+b a 2 + b2 AD = ab , , , BC = AB = 2 2 ?ADE ∽ ?BAD ? DE =
2 1 1 + a b

, (图 14)

ED < DA < AB < BC ?

2 1 1 + a b

< ab <

a+b a 2 + b2 < 2 2
P A

G

3.1.2 切割线模型

H

Q

M

R

图 15?

PM = a, QM = b, a > b > 0 , AR = a ?b a+b , AM = (图 15). 2 2 GM 2 2ab = , MA a + b

MG 2 = MQ ? MP ? MG = ab , HM = a 2 + b2 . 2

RM = AM 2 + AR 2 =
HM < MG < AM < RM

a+b a 2 + b2 ? < ab < < 1 1 2 2 + a b 2

3.1.3 半圆模型
AC = a, CB = b , OF = a+b a ?b , CD = ab , OC = 2 2 a +b 2 a ?b 2 a 2 + b2 ) +( ) = 2 2 2

FC = (

DE =

DC 2 ab 2 = = (图 16) OD a + b 1 + 1 2 a b

ED < DC < DO = OF < FC ?

2 1 1 + a b

< ab <

a+b a 2 + b2 < 2 2

注:2010 年湖北省高考理科数学第 15 题即取材于此模型. 第 15 题:设 a > b > 0 ,则
2ab 为 a, b 的调和 a+b

平 均 数 . 如 图 17 , C 为 线 段 AB 上 的 点 ,
AC = a, CB = b ,O 为 AB 的中点,以 AB 为直

径作圆.过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D ,连 接 OD , AD , BD ,过点 C 作 OD 的垂线,
图 17?

垂足为 E .则图中线段 OD 的长度为 a, b 的算术平均数, 线段_____的长度是 a, b 的 几何平均数,线段_____的长度是 a, b 的调和平均数. 3.2 不等式链
2ab a+b a 2 + b2 ≤ ab ≤ ≤ 的其它证法 2 2 a+b

3.2.1 三角模型 设 a + b = r ,可令 a = r cos 2 θ , b = r sin 2 θ , θ ∈ (0, ) 2
r a 2 + b2 r 2ab r 2 = 1 + cos 2 2θ , 于是 ab = r sin θ cos θ = sin 2θ , = sin 2θ . 2 2 2 a+b 2 r r r r ∵sin 2 2θ ≤ sin 2θ ≤ 1 ≤ 1 + cos 2 2θ ,∴ sin 2 2θ ≤ sin 2θ ≤ ≤ 1 + cos 2 2θ , 2 2 2 2

π



2ab a+b a 2 + b2 ≤ ab ≤ ≤ . 2 2 a+b

3.2.2 函数模型 构造函数 f ( x) =
a x +1 + b x +1 (不妨设 a > b > 0 ) ax + bx
x

a b + a( ) b = a+ b?a 则 f ( x) = a a 1 + ( )x 1 + ( )x b b a ∵ >1 b a b?a ∴ ( ) x + 1 为增函数, 也为增函数 a x b 1+ ( ) b

故 f ( x) 在 R 上为增函数
1 ∴ f (1) > f (0) > f (? ) > f (?1) 2 1 可证 f (1) ? f (0) > f (0) > f (? ) > f (?1) 2

此即

2ab a+b a 2 + b2 ≤ ab ≤ ≤ 2 2 a+b

3.2.3 梯形模型 以 a 为下底, b 为上底,作一个梯形 ABCD ,再作 4 条均平行于两底的直线,分

别交两腰于 Ai , Bi ( i = 1, 2,3, 4 )(图 18) 其中 A1 B1 平分梯形面积,有 A1 B1 =
A2 B2 为中位线,有 A2 B2 = a+b ; 2 a 2 + b2 ; 2

A3 B3 分梯形为两个相似的梯形, A3 B3 = ab ; 有 A4 B4 过两对角线的交点,有 A4 B4 =
2ab ; a+b
图 18?

由 AB < A4 B4 < A3 B3 < A2 B2 < A1 B1 < CD , 有
2ab a+b a 2 + b2 ≤ ab ≤ ≤ . 2 2 a+b

3.3. 四类平均数性质的拓展 设 a, b 都是正数,且 a ≥ b, 记
M2 =

a 2 + b2 a+b 2 a 2 + b2 2 , H2 = , G 2 = ab , A 2 = , Q2 = , C2 = , 1 1 2 a+b a ?2 + b ?2 2 + a b

它们分别称为两个正数 a, b 的负二次幂平均值,调和平均值,几何平均值,算术平 均值,方幂平均值和反调和平均值,这六个平均值的大小关系具有如下性质: 由上两节内容我们得知 (1) (2)
b ≤ M 2 ≤ H 2 ≤ G 2 ≤ A 2 ≤ Q 2 ≤ C2 ≤ a ; G2 ? H 2 ≤ A2 ? G 2 ;

(3) Q2 ? A2 ≤ A2 ? G2 ; (4) A2 ? H 2 ≤ Q2 ? G2. 上述结论(1)的证明及几何意义参见 [ ] ,(2)~(4) 的证明及几何意义参见 [ ] ,限于
6 7

篇幅,在此不赘.

4

组合延伸

《数学通报》2010 年 8 月号问题 1866

已知 a > 1, b > 1 ,证明:

1 a + b 2ab + a+b 2

+

a + b 2ab 1 + ≥ 2 ab + a+b 2 2 ab

易知函数 f ( x) = x +

1 在 (1, +∞) 上单调递增, x a + b 2ab 由 a > 1, b > 1 及 + > 1, 2 ab > 1 , 2 a+b

令x= 故

a + b 2ab a + b 2ab + ,则 x ≥ 2 ? = 2 ab , 2 a+b 2 a+b 1 + a + b 2ab 1 + ≥ 2 ab + . a+b 2 2 ab

a + b 2ab + a+b 2

5

感悟反思 数学知识不是孤立离散的单点,数学方法不是各自无关的一招一式,它们

血肉相连组成一条一条的知识链或方法链.基本不等式是数形结合的典范,是真 善美的高度统一体: 基本不等式之真,在于它的精准深刻;基本不等式之善,在 于它的丰富实用;基本不等式之美, 在于它的简洁和谐.数学教学要欣赏数学文化 和数学思维的真,善,美,而教科书中许多内容的陈述往往是美丽而冰冷的, 火 热的思考被淹没在演绎的海洋里,数学的真,善,美,点燃和激起学生火热的思 考,需要大力挖掘,用心体察发现,感受,体验和欣赏数学的真,善,美, 是数学教学中的一项基本任务. 数学教学过程决定学生怎样看待数学学习以及对数学本质的认识,注重教学 过程,使学生理解知识的来龙去脉,寻求知识相互间的内在联系,建构完善的知 识结构,那么学生就会逐渐认识到数学知识是有着内在联系的整体,有着自身发 展规律,而这些又可以通过自己努力去探究获得,这样的观念将会鼓励他们消除 数学知识的神秘感,激发他们勇于探索的勇气,感受数学知识诱人的魅力,引导 他们寻找数学知识与现实世界的联系, 这正是一个优秀数学教师所追求的理想的 教学效果.

参考文献 [1]刘绍学.普通高级中学课程标准实验教科书. 数学 5(必修)[M].北京:人 民教育出版社,2007. [2]单墫.普通高级中学课程标准实验教科书.数学 5(必修)[M].南京:江苏教

育出版社,2004. [3] 严士健.普通高级中学课程标准实验教科书.数学 5(必修)[M].北京:北京 师范大学出版社,2004. [4] 刘绍学.普通高级中学课程标准实验教科书.数学 4-5(选修 A)[M].北京: 人民教育出版社,2007. [5]全日制普通高级中学教科书.数学第二册上[M].北京: 人民教育出版社, 2004. [6]汪言信.基本不等式链的加细与几何证明[J]. 数学通讯,2008,(7):34-35. [7] 刘 晓 东 . 再 谈 一 道 高 考 题 几 何 背 景 的 拓 展 [J]. 育,2011,(12),28-29. 中国数学教

例谈数学探究式课堂教学的设计?
深圳大学师范学院附属中学

周后来

《普通高中数学课程标准》(实验)的课程的基本理念中明确指出:“在教学中,教师应 根据高中数学课程的理念和目标, 学生的认知特征和数学的特点, 积极探索适合高中学生数 学学习的教学方式。有效的数学学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习,还应倡导自主探 索、动手实践、合作交流等学习数学的方式。”因此,为进一步深化新课改,数学教学必须 将深化课改的重点集中在课堂教学改革上,以构建“高效课堂”为目的,逐步形成以“自主、 合作、探究”为主流课堂教学形式,为学生营造多样化、开放式的学习环境,使学生逐渐形 成积极主动、勇于探索的学习方式,以激发学生的数学学习兴趣。? 数学探究是数学新课程中引入的一种新的学习方式,是指学生围绕某个数学问题,自 主探究、学习的过程。探究式课堂教学是以问题为核心的教学,它的突出特征是以提出问题 的方式引导学生主动学习与思考, 更多的关注学生探究的习惯和意识, 更多的关注学生学习 数学的过程,而不是结果。 本人曾承担了广东省数学骨干教师培训班的一堂观摩课—— 《圆锥曲线的统一定义》 (苏 教版《数学选修 2‐1》),以探究课的形式,对数学结论的推广和深入进行了一堂探究式课堂

教学实验课,本文就以此案例探讨数学探究式课堂教学的设计,谈几点本人的看法和体会。 ? 在教学实践中,有效的探究活动可划分为四个基本环节:?

(一)创设情景,提出问题——提出问题?
所有的探究活动均起源于问题的提出. 创设良好的问题环境, 有效的激发学生的探究兴 趣,促使学生积极的“提出问题”。? 问题情景: 抛物线的定义为平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 的(F 不在 l 上)距离相等 的点的轨迹叫做抛物线.? ? 问题探究 1:根据抛物线的定义,适当改变条件,你能提出哪些“有价值”的问题?? 让学生分组进行合作讨论,以小组为单位提出一些的问题,将“有价值”评价权交给学 生,分组讨论并尝试解决这些问题:? 1.? 若定点 F 在定直线 l 上,轨迹会是什么呢?? 2.? 平面内到两个定点 F1、F2 的距离相等的点的轨迹会是什么呢?? 3.? 平面内到两条定直线 l1、l2 的距离相等的点的轨迹会是什么呢?? 4.? 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 的(F 不在 l 上)距离不等的点的轨迹会是什么呢?? 对于问题 1~3,学生可较易解决,重点引导学生分析问题 4:? 距离相等即比值 | PF | 为 1,距离不相等即 | PF | =常数≠1,问题 4 即此比值是不为 1 的常
d d

数时,动点 P 的轨迹又是什么呢?当这个比值常数大于 1、小于 1 时,动点 P 的轨迹又会有 什么变化呢?? 评析:“学起于思,思起于疑” ,学生的思维活动过程是从问题开始的。创设良好的问 题环境,充分调动学生学习的积极性,培养学生提出问题的能力。事实上,学生能够发现问 题、提出问题比解决一个问题更为重要,引导、帮助和鼓励而不是代替学生发现和提出探究 问题。数学问题可以是某些数学结果的推广和深入,不同数学内容之间的联系和类比,也可 以是在学习数学知识、技能、方法、思想的过程中发现和探索对自己来说是新的数学结果。 问题的选择是完成探究式课堂的关键, 问题应具有一定的开放性, 问题的预备知识最好不超 出学生现有的知识范围,并能有助于学生体验数学研究的过程,有助于学生形成发现、探究 问题的意识,有助于鼓励学生发挥自己的想像力和创造性。 课堂上采用“小组合作学习”的形式,以小组成员合作性活动为主体,学生在小组内相互 讨论、评价、倾听、激励,加强学生之间的合作与交流,充分发挥学生群体磨合后的智慧, 充分发挥群体之间的互补作用,必将大大拓展学生思维的空间。

(二)引导探究,推测结论——分析问题?
在问题的引导下,师生共同探索讨论解决问题方案,通过实验、操作、观察、分析、讨 论、类比、归纳、猜想等自主探索活动自己“发现”数学结论,获得数学活动经验。? 问题探究 2:你能设计问题 4 的解决方案吗??

课堂上,各小组都给出了形形色色的研究方案,教师作为探究式课堂教学的指导者,应 通过评价研究方案,把握探究的深度,引导学生探索解决问题的可行方案。? 1.? 直观感知:让学生观察、类比、分析、讨论,发现和提出合理的数学结论。? 利用几何画板演示:当比值 | PF | 变化时动点 P 的轨迹的变化情况.?
d

? ? ? ? ? ? ? ? 2.? 特例验证:以特例设计练习,让学生进一步探究:?
PF = 2.62厘米 PA= 2.62厘米 PF PA = 1.00 P A

P

A

PF = 1.96 厘米 PA = 2.52 厘米 PF PA = 0.78 P A

PF = 6.84 厘米 PA = 3.28 厘米 PF PA = 2.08

连续变化圆锥曲线 变为椭圆 变为抛物线 变为双曲线
运动 点 运动点 运动 点

F

连续变化圆锥曲线 变为椭圆 变为抛物线 变为双曲线
运动 点 运动点 运动 点

F

连续变化圆锥曲线 变为椭圆 变为抛物线 变为双曲线
运动 点 运动点 运动 点

F

[练习 1]? 点 P 到定点 F(2,0)的距离与它到定直线 l:?x?=?8 的距离的比是 1 ,求点 P 的轨迹
2

方程,并说明轨迹是什么图形以及定点 F(2,0)、比值常数 1 的几何意义.?
2

评析:数学探究活动中,使用信息技术等工具进行实验观察,教师示范实验或学生亲 自实验, 获取知识, 它能抽象问题具体化, 枯燥问题生动化, 通过实验方式得出的结论直观, 学生易于接受,同时还能培养学生的动手能力、思维能力,激发学生的学习兴趣。教师作为 探究式课堂教学的组织者、 指导者、 合作者, 应该为指导学生进行数学探究做好充分的准备, 考虑尽可能的适应学生的研究, 通过精心设计教学程序来调控探究的开展, 在必要时指导学 生探索解决问题的方案来分析问题。当然,解决数学问题往往有多种方法,在探究数学知识 的过程中,教师通过引导学生,打破定式,寻求新的解决问题的思路,从而培养学生的创新 意识和创新能力。

(三)解释论证,总结构建——解决问题?
让学生合作交流,抓住事物的本质特征,尝试理论论证,然后指导学生有效地概括、抽 象出数学概念,构建有关的数学理论。? 问题探究 3:你能将[练习 1]结论推广到一般形式,并证明吗?? 3.? 推理论证:让学生合作交流,运用合情推理——归纳、类比推理,寻求结论的一般 形式,并尝试理论论证。? 在此基础上,引导学生归纳、探究下列问题:? (1)? 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 的(F 不在 l 上)距离之比为 1 的点的轨迹为_____.?

(2)? 平面内到定点 F(c,0)的距离与它到定直线? l:?x?= a 的距离的比是常数 c ( a > c > 0) 的点的 a c
2

轨迹为______.?
2 (3)? 平面内到定点 F(c,0)的距离与它到定直线? l:?x?= a 的距离的比是常数 c (c > a > 0) 的点的 a c

轨迹为______.? 问题探究 4:椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线,你还能发现它们的统一性吗?? 通过上述探究,再有前面的感知作基础,学生对结论稍加分析,就可概括、抽象出数学 概念,构建数学理论,收到点石成金,水到渠成的效果。? 由此,探索出圆锥曲线的统一定义: 平面内到一定点 F 和到一定直线 l?(F 不在 l?)的距离之比是常数 e 的点的轨迹.? 当 0<e<1 时,它表示椭圆;当 e=1 时,它表示抛物线;当 e>1 时,它表示双曲线.? 其中 e 是圆锥曲线的离心率,定点 F 是圆锥曲线的焦点,定直线 l 是圆锥曲线的准线.? 这样, 让学生从更高的形式上揭示了圆锥曲线之间的内在联系, 从总体上进一步认识了 三种圆锥曲线的共性.? 圆锥曲线在多方面达到统一:方程(二次)、图形(平面截圆锥面所得)、 统一定义、性质(焦点、准线、离心率、对称性等)、研究方法(内容、思想),使学生充分感 受到了数学内在的、和谐的美。? 评析:通过观察,学生已获得较为清晰的表象,然后进一步提高要求,这既是一个理 解教学关系的过程,也是一个训练概括的过程,两个过程互相促进。通过试验、观察分析, 逐步深入,促进学生的思维展开冲突,将学生带入最近发展区,使学生对问题有一个粗略的 总体认识,在必要时还需要引导学生找出解决问题的方案,以此帮助学生提高分析问题、解 决问题的能力。

(四)应用创新,引申发展——拓展创新?
对所学知识系统归纳之后,设计相应的问题,让学生自觉迁移知识、方法去解决问题, 再进一步提出思考、探索或可持续发展的数学问题,以激发学生的探索热情,形成思维的风 暴,使数学学习进一步向纵深发展。? [练习 2]? 双曲线

x2 y2 P ? = 1 上一点 P 到右焦点的距离等于 4, 到右准线的距离为___,? 64 36

P 到左准线的距离为____.? [练习 3]? 求下列曲线的准线方程: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)?x2+4y2?=16? ? ? ? ? ? ? (2)?x2‐y2?=?4? ? ? ? ? ? (3)?x2?=?‐?8y? ? 问题探究 5:你还能将命题或方法进行延伸拓展吗?又会有些怎样的结论呢?? 评析:学生通过对结论的探究,构建了有关的数学理论,这并不是探究的结束,也不 是探究式教学的结束,此时应趁热打铁,让学生运用理论联系实际,灵活掌握数学理论,鼓 励学生去思考这个结果还能延伸拓展吗?还能在其他问题上运用这个结果或方法吗?还有

其他的结论吗?让留有余力的学生从课堂走向课外,鼓励学生利用图书馆、上网检索等等, 就研究的问题进行再研究,从而达到举一反三,触类变通的教学效果,并有助于后续学习。 可见,通过这种探究式课堂教学方式,丰富和改善了教与学的方式,教师作为探究式课 堂教学的导师,其任务是调动学生的积极性,促使他们自己去获取知识、发展能力,做到自 己能发现问题、提出问题、分析问题、解决问题;与此同时,还要为学生的学习设置探究的 情境,建立探究的氛围,促进探究的开展,把握探究的深度,评价探究的成败。因此,教师 在教学内容的准备上应当充分,丰富,灵活,对学生的基础和认知水平有一个比较准确的估 计。学生作为探究式课堂教学的主人,积极的思考参与是保证课堂成功高效的基础,鼓励学 生积极参与到教学活动中,师生共同探索讨论,帮助学生用内心的体验与创造来学习数学, 又使学生初步了解了数学概念和结论产生的过程, 初步尝试了数学研究的过程, 从而获得对 相关数学内容较为全面的体验和理解, 而且培养了学生勇于质疑和善于反思的习惯, 提高了 学生发现、提出、解决数学问题的能力以及创新意识和实践能力。? 在某种意义上来说, 数学探究课更能体现新课程的理念和思想, 促使学生形成以“自主、 合作、探究”为主的学习方式,在满足不同水平、不同兴趣学生的学习需要,发展学生的创 新意识,提高数学素养,形成积极的情感态度上,起着非常重要的作用,这是传统的课堂教 学所无法比拟的。当然,随着课程改革的深入推进,数学探究课还存在一些问题急待我们去 思考和研究,需要我们在教学实践中不断探索与完善。?

高中数学课堂教学的有效预设与生成
? ? ? 广东省深圳外国语学校? ? ? 谢增生? [摘 要]:课堂教学既需要精心预设,更需要精彩生成,预设与生成是课堂教学的两翼,缺 一不可. 为使高中数学课堂教学更有效,预设要立足于学本位、要“详略”得当、要着眼于 动态生成。在课堂教学中必须创设宽松的学习和活动环境,让学生在自主探索中生成、让学 生在亲身体验中生成;必须为精彩生成提供契机。让生成在求异思维中产生,精彩在真实真 切中产生,创新在挑战碰撞中产生.从而达到预设中生成,生成中创造. [关键词]:课标 教学 预设 生成? 数学课堂教学不仅仅是传授数学知识,它实际上是教师从学生实际出发,创设有助于学 生自主学习的问题情景,引导学生通过实践、思考、探索、交流,获得知识,形成技能,发 展思维,学会学习,促使学生在老师的指导下生动活泼地、主动、富有个性地学习;从而促 进学生全面、持续、和谐的发展.也就是说,高中数学课堂教学是在师生互动中教师根据对 学生的需要、课程内容的需要、兴趣的观察及所做的价值判断不断生成课程活动、不断调整 课程计划,以及师生共同建构课程的过程,它需要教师进行有效预设并动态生成的.? ? 一、预设与生成概念的界定 “预设”顾名思义就是“预先设计”,是一种“预案”,是教师在课前根据一定的教学 内容和目标以学生为主体创设的一种对课堂教学的规划、设计、安排的方案. “生成” 就是生长和构建,是指在教学的展开过程中由教师和学生根据不同的教学情境, 自主构建教学活动的过程. “生成”—包括“预设生成”和“非预设生成”两种.所谓“预 设生成”就是学生的“生成”与教师的“预设”相同.即学生的思考过程或想法与教师的设 计相符.“非预设生成”就是在教师预想之外而又有意义的学习过程,即“情理之中,且意 料之外”.

二、预设与生成的关系? 凡事预则立,不预则废.教师课前必须对教学目的、 任务和过程有一个清晰、 理性的思考 和安排.而课堂教学是教与学交往互动的过程,师生双方相互交往、相互沟通、相互启发、 相互补充, 分享彼此的思考、 经验和知识, 交流彼此的情感、 体验与价值观, 丰富教学预设, 觅得新的发现.由此可见,预设体现了教学的静态性和封闭性, 生成体现了教学的动态性和开 放性,两者具有互补性.预设体现对文本的尊重,生成体现对人本的尊重;在“预设”中体现 教师的匠心,在“生成”中展现师生智慧互动的火花.预设要为生成而设,生成是对预设的丰 富、拓展、延伸、超越或重建,二者融为一体,但二者都要服从于有效的教学和学生的发展. 三、如何进行有效的预设和生成? (一)精心预设——精彩生成的保障 教学是一项复杂的活动,它需要教师课前做出精心预设.基于课堂生成的教学预设应该注 意以下三个方面. 1、预设要立足于学本位 课程标准强调“关注学生的全面发展、突出学生主体地位.”因此,教学预设应强调“学 本位” ,把以学生为本的教学理念反映到教学设计中, 确立以 “学生的学为本位” 的教学观, “为学习而设计、以学习为中心”的学程设计观. 这种设计观的实现,必须强调学生在具体 环境中的互动影响, 主张学习系统的开放性和生成性, 着重培养学生思维的多样性和发散性. 因此, “学程设计”就必须充分考虑学生的需要与可能,充分尊重学生的主体地位,教学设 计须立足于学生的起点能力和知识的准备情况. 例如了解学生已经具备了哪些知识与技能 以推导出还没有掌握的知识与技能有哪些; 哪些知识是通过努力自己能学会的; 哪些知识是 需要在教师点拨和引导下才能学会;怎样的引导更符合学生的认知水平等等.其次, 教师应 尽可能深入地了解每个学生的精神世界, 他们的“情感态度与价值观” 在教学设计中得到充 分的尊重,让学生参与到教学设计当中.? 2、预设要“详略”得当 在教学中,要充分预设还须做到“详略”得当.“详”是指必须把“知识与技能、过程与方法、 情感态度价值观”落实途径考虑周到,以便为课堂教学的不断深入准确导航,并要尽量多地 预想好可能出现的生成状况及相应的调控对策. 对于教学中的重、难点,一题多解等,教师 在预设过程中要尽可能地进行多种考虑,才能在具体的教学过程中做到游刃有余.如在解题 教学中,要求教师在教学预设中,既要预设审题中存在的各种阅读体验,又要预设存在的各 种困难;既要预设正确解法,又要预设错误解法;既要预设教师的解法,又要预设学生的解 法;既要预设解题中的问题,又要预设解题后的反思.这样的教学预设,内在地“包含”着 课堂生成,潜在地“隐藏”着教学创造. “略”是指教学设计要粗犷、大气,以多维的、灵活 的、开放的、简洁的板块式设计,为真正的课堂生成留足空间、留下时间.这样,在教学程 序设计方面, 教师应着眼于宏观设计, 将教学流程中的各个环节和可能出现的各种情况设计 成活的板块,为教学的动态推进和有效生成创设条件. 3、预设要着眼于动态生成 传统的教学设计以书本知识为本位, 从教师的主观判断或教学经验出发, 往往侧重于教 学活动程序的选择、 教学方法的确定、 教学组织形式的安排等一系列程序化、 细节化的准备. 在这种设计观下, 教学在过程实施之前就已经有了理性设计和程序规定, 教学活动只能依据 预设程序按部就班地展开,从而使“过程”演变成了“流程”.这种倾向于“静态”方案的 教学设计,试图对教学的“生成性”有计划、有目的地加以严格控制,这势必就会造成教学 的呆板化和模式化,师生的创造力和主动性得不到有效的开发.教学过程的动态性、复杂性 和生成性, 决定了教学设计要由传统的静态设计转向动态设计, 这是以学生的学习为本位的 教学观和以学生的发展为本位的价值观的必然选择.教师只有在教学情境中及时对教学进行

感知、判断和操作,按照在教学情境中生成的问题和过程特点动态地设计教学方案,并将成 果适时地应用到教学实践中, 使教学方案在实践中不断地调整并引导着教学走向深入, 才能 更好地促进个体知识的生成和发展,才能真正使得课堂生成的基本理念得到落实.当然,强 调教学方案的动态设计,并非要全盘否定静态方案的设计,而是要以此为基础,根据课堂教 学情境的具体情况, 动态地调整静态的教学方案, 使得预设的教学方案随着教学过程的推进 不断得到改变和重建. (二)创设宽松的学习环境,让学生在自主探索中生成 课堂教学展开的过程是师生之间、生生之间知识、思考、见解和价值取向交流与碰撞的 过程,更是一个动态生成的过程.好的学习情境往往又会使学生产生亲切感,使他们心情愉 快、心理轻松,能激发出他们的探究欲望和潜能,拓宽他们的思路,从而奇妙的问题、精彩 的见解会源源不断涌现.因此,教师应努力创设一种轻松愉快的学习环境,让他们带着自已 的知识、经验、思考、灵感参与课堂教学;具有生命色彩的动态生成一定能得以表征,并活 跃在活动过程中和活动结果上.例如: 例 1? ?(2006 年福建高考第 (22) 题) 已知数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = 2an + 1( n ∈ N ), ?
*

?

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II) (Ⅲ)略? 教师在给出题让学生思考几分钟后,请学生回答各自的解答思路(实录如下).? 生 1:可用不完全归纳法得出 an = 2n ? 1 ,然后用数学归纳法加以证明.? 生 2:用阶差法,由 an +1 = 2an + 1 , an = 2an ?1 + 1 得 an +1 ? an = 2( an ? an ?1 ) ,即阶差数列

是公比为 2 的等比数列.由等比数列的通项公式及累加法易解(略).? 生 3:没那么复杂, an +1 = 2an + 1, 得 an +1 + 1 = 2( an + 1) ,即数列 {an + 1} 是首项为 2 , 公比为 2 的等比数列,∴ an + 1 = 2 . ?
n



an = 2n ? 1(n ∈ N * ). ?

师: 这三个同学都解的很好, 特别是生 3 解答更简洁, 请问生 3, 你是怎样发现 an + 1 成 等比数列,这个 1 怎么来的?? 生 3:看出来的.? 师:好!若将 an +1 = 2an + 1, 改为 an +1 = 2an + d , 能否找到一个数 α ,使得 {an + α } 成 等比数列?? 生 3:知道,这个数就是 d ? 师:很好!若改为 an +1 = can + d , a1 = a, c, d 为常数,且c ≠ 0,c ≠ 1,d ≠ 0 ? 生 3:这个… 师:没关系,这个一时想不出来是正常,大家一起思考吧.过一会,? 生 4:我知道:设 an +1 + α = 2( an + α ) ,解得 α = d .现在可设 an +1 + α = c( an + α ) ,解 得 : α= d
c ?1

, 即 数 列 {an + α } 是 首 项 为 a + α , 公 比 为 c 的 等 比 数 列 .

d d ac n + ( d ? a )c n ?1 ? d = (a1 + )c n ?1 ? ? an = .? c ?1 c ?1 c ?1 师: 4 从生 3 的解题思路和到启示, 生 而得出一般解, 这种方法实际上是我们熟悉的 “待 定系数法” .同时, 我们体验了从特殊到一般的重要的数学推理方式. 见生 5 手托腮在沉思, ( 于是,走近生 5,关切地问:你还有什么问题?? )? an +
生 5:您刚才推出的 an +1 = can + d ,中 c, d为常数,若它们不为常数?例如 2003 年全国 高考卷第 22 题:? 设 a 0 为常数,且 a n = 3 ? ? ? (Ⅰ)证明对任意 n ≥ 1, a n = 振,都跃跃欲试)? ? ? ? ? 师:生 5 的问题提的很好,它的结构与 an +1 = can + d 相似,只是 d = 3n?1 了,能转化已 知形式?哪位同学能解决这个问题?(让学生思考,也可以分组讨论)? 生 6:两边同除以 3n 就化成刚才的形式,即:
n ?1

? 2a n ?1 (n ∈ N ) ?

1 n [3 + (?1) n ?1 ? 2 n ] + (?1) n ? 2 n a 0 .(这时全班同学为之一 5

an an 2 an?1 1 = ? ? n?1 + ,令 bn = n 即可.? n 3 3 3 3 3

师:生 6 通过两边同除以 3n 就化成 an +1 = can + d 形式,问题就迎刃而解,化归思想是 数学的重要思想,我们一定要掌握好.(这时生 7 按捺不住)? 生 7:2012 年广东高考题就没有这么简单哟,设 b > 0 ,数列 {an } 满足 a1 = b ,

an =

nban ?1 (n ≥ 2) . (I)求数列 {an } 的通项公式.? an ?1 + 2n ? 2
师: 是哦, 这里最麻烦是右边分母也是关于 n 与 an?1 的表达式, 不过好在分子是单项式,

a 事实上已知条件可以化为: n = n

ban?1 , 大家看怎么办? (这时学生七嘴八舌议论开了) an?1 + 2( n ? 1)

生 8:我知道了,将两边取倒数就会变成 an +1 = can + d 形式了,即 n = 2 ? n ? 1 + 1 an b an ?1 b 师:很好!大家把它完成.(这时老师巡查,发现大家公认头脑灵活的生 9 快速地解完 了,但没有讨论 b ,于是叫生 9 把解法写在黑板上) 生 9:设
n 2 n ?1 1 , n + 1 = 2 ( n ?1 + 1 ) +α = ( +α) ?α = an b an?1 2 ? b an 2 ? b b an ?1 2 ? b
2?b 2 b(2 ? b)

当 n = 1 时, n + 1 =
an

∴ { n + 1 } 是以
an 2?b

2 2 为首项, 为公比的等比数列∴ n + 1 = 1 ? ( 2 )n b b(2 ? b) an 2 ? b 2 ? b b
∴ an = n(2 ? b)b
2n ? bn
n

∴n =
an

2n 1 2n ? b n , ? = (2 ? b)bn 2 ? b (2 ? b)b n

师:生 9 同学快速地解完了,大家觉得怎样,有不有不同意见?(部分说没有,部分说

有,请有不同看法的生 10 回答) 生 10: 当 b = 2 时,α =

1 n 无意义,事实上,当 b = 2 时, n ? n ? 1 = 1 ,则 { } 是 2?b an an an ?1 2



1 1 为首项, 为公差的等差数列,∴ n = 1 + (n ? 1) × 1 ,即 an = 2 2 2 an 2 2

? n(2 ? b)b n 综上所述 a = ? 2n ? b n ,  b > 0且b ≠ 2 ? n ?2,   b = 2   ? 师:很好!这就完整了,在解题时,遇到“字母常数”要对字母进行讨论,这也是数学 的一个重要思想—分类讨论思想;一个具有优秀品质的人必将注重细节.这样可以对这类递 推式给出一般性的结论. Anan?1 ( A, B, C 为 常 数 , 且 生 11 : 已 知 数 列 {an } 满 足 满 足 a1 = b an = Ban?1 + C ( n ? 1) ,
ABC ≠ 0, A ≠ C ) , n = C ? n ? 1 + B ,令 bn = n ,于是转化为 bn +1 = cbn + d 的形式, {an } 的
an A an?1 A

an

通项公式可求. 师:我们从一个特殊题而得出一般的形式、一般的解法,这也是解决问题发现问题的一 般方法,特别感谢生 5、生 7 敢于提出新的问题,使我们知识得到升华,我们这样学习,不 仅能把数学学好,而且会使我们发现问题解决问题的能力得到升华.? 教师在教学中应给予学生足够的发展空间.学生拥有自己独立思考的能力和认知系统, 当他们遇到一个新的待解决的问题情境时, 他们会自觉而主动地从已有的知识架构和认知经 验中摸索、收集、调动处理问题的方法和策略,并不时进行某种对比、猜想、证明,直至问 题解决.这个过程从有意和无意之间完善了学生自身的知识结构和容量,自动生成了新的认 知内容,促进课堂教学的有效生成. (三)创设特殊的活动环境,让学生在亲身体验中生成 ? 课堂教学改革的核心,就是有效地转变学生的学习方式,把学习变成人的主体性、能 动性、独立性不断生成、张扬、发展、提升的过程,从而实现新课程标准三位一体目标.随着 计算机、 互联网等现代技术的普及与发展,? 改变了纸质的学习方式的单一结构.教师应当鼓励 学生运用现代信息技术工具来学习,快速地对大量信息进行获取、分析和处理,为知识发生 过程的再现和模拟现实的实验、探索、猜想、论证.? 例如,在统计的学习中,利用 Excel 软件来完成各种统计图表的制作和拟合函数的确立, 利用计算机来验证算法设计的合理性等.? 如在学习指数函数时,只要通过几何画板,就可以 看到随着底数 a 的变化与其对应的函数图象随之变化的情况;通过 flash 软件就可让函数图 象平移旋转真动起来,使得正弦曲线、余弦曲线的图形变化如此直观,使立体几何中的切割 得以直观的展现;? 利用图形计算器研究函数的各种性质.教师充分利用幻灯片和几何画板等 电教手段促成动态生成.同时现代教育技术的运用也为特色化交流、个性化辅导、探究性学 习提供了极大的便利.在教学中, 教师运用现代教育技术手段, 为学生创设探究的预设情境, 让学生在真实(或模拟)的环境下去感受、理解、发现,并对大量的信息进行归纳、分析, 有利于促进“动态生成”,把学生的思维推向了一个新的台阶. (四)把握课堂节外生枝,为精彩生成提供契机 再精心的预设也无法预知整个课堂的全部细节, 因为课堂上可能发生的情况, 不是教师 可以主观决定的,也不是都能预料到的,哪怕你预设再充分,但由于学生的不同,教学环境 的变化以及其他诸多因素的影响,也会发生意外的情况.一旦出现“节外生枝”,教师都应有

心理准备,能够灵活应对,不一味拘泥于课前的教案,有时巧妙利用意外的“生成”,也能成 为我们课堂的一个预料之外的精彩之举. 例如笔者在备“实际问题的函数表示”课时,预设了 4 个例题,主要是通过这 4 个题来 了解实际问题的函数表示的各种类型, 初步了解数学建模.可我刚讲完例 1 苏教版 《数学· 必 修 1》中第 31 页例 3),就出现了“节外生枝”,这时,笔者没有去追求完成“课程预设” ,而是 果断地打破“预设” ,结果收到了很好的效果.现实录如下:? 例 2 (苏教版《数学·必修 1》中第 31 页例 3)某市出租汽车收费标准如下:在 3km 以 内(含 3km )路程按起步价 7 元收费,超过 3km 以外的路程按 2.4 元/ km 收费.试写出收费 额关于路程的解析式. 解 设路程为 xkm 时,收费额为 y 元,则由题意得:当 x ≤ 3 时, y = 7 ;当 x > 3 时, 按 2.4 元/ km 所收费用为 2.4 × ( x ? 3) ,那么有 y = 7 + 2.4 × ( x ? 3).
0 < x ≤ 3, ?7, 于是,收费额关于路程的函数解析式为: y = ? x > 3. ?2.4 x ? 0.2,

课本选这样一道实际应用的分段函数题是非常好的.我刚讲完这道题,一个学生就站起 来反对. 生 1:这道题与实际不符. 师: 为什么与实际不符?你说说看. 生 1:实际上,我们坐出租车行程 3.5 km 与 4 km 收费是一样,都是 9.4 元. 师:哦!是哟.可见这道题与实际不符罗!那么,你怎样完善它呢? 生 1:我还没想好. 师:有谁想好了?就告诉我. 这时,教室里就像炸开的油锅,同学们七嘴八舌地议论开了.过了几分钟,终于有学生站 起来说. 生 2:题应修改为:“某市出租汽车收费标准如下:在 3km 以内(含 3km )路程按起步价 7 元收费, 超过 3km 以外的路程按 2.4 元/ km 收费(不足 1 km 按 1 km 计费).试写出收费额关 于路程的解析式.” 师:好,改的很好!现在大家写出收费额关于路程的解析式吧. 教师巡视约三分钟,教师请二个典型解答的同学在黑板上将各自得到的表达式写出,让 大家讨论.
?7, ?9.4, ? 学生 3: y = ?11.8 ? ?14.2 ? ?L ? 0 < x ≤ 3, 3 < x ≤ 4, 4 < x ≤ 5, 5 < x ≤ 6, LL

?7, 学生 4: y = ? ?7 + 2.4 × ([ x] ? 2),

0< x≤3 x>3

师生共同讨论:对于学生 3 来说他只得出 0 < x ≤ 6 的部分,是一个不全的解答.对于学生 4 来说,能把我们昨天学过的高斯函数结合起来这很好.我的话音刚落,同学 5 举手说话了,老 师:他的表达式是不对的,显然,当 x = 4 时,按理只收 9.4 元,可按他的解析式,函数值为 11.8, 多收了 2.4 元.这时有一个调皮学生插话说:这样好了,我开出租车学生 4 来坐.学生 4 也不示 弱,你开出租车,我每次都愿意多给你 2.4 元,也不枉我们同学一场嘛! 师:我们不能让别人吃亏,也不能让自己上当,只要一个公平就行了.今天我们必须把问 题找出来. 生 6:其实学生 4 只是对于 x 为整数不成立,加一个限制条件,添一个表达式就可以了,即:

?7, ? y = ?7 + 2.4 × ([ x] ? 2), ? ?7 + 2.4 × ( x ? 3)

0< x≤3 x > 3且x ? Z x ∈ N * 且x ≥ 4

师:这答案是全了,能不能有别的表示方式?请同学们想一想. 0< x≤3 ?7, 生 7: y = ? 7 ? 2.4 × ([? x] + 3), x>3 ?
0 < x ≤ 3, ?7, 生 8: y = ? * ?7 + 2.4(n ? 3), n ? 1 < x ≤ n (n ≥ 4, n ∈ N ).

师:生 7 与生 8 的表达式都准确,你们都动了一番脑子,对于生 7,如果不对 [x ] 真正理解 是很难想到的.学生 8 把表达式转化用自然数 n 来表示,这就跳出思维定势.同学们:与之相 类似的函数还有哪些? 生:“寄信邮资问题”,“电话计费问题”等. 师: 那好,今天的作业就是:请你就“寄信邮资问题”,“电话计费问题”,“出租车计费 问题”对我市这三个行业作一次市场调查,并得出相关的表达式;特别是手机电话费问题, 现在有中国移动、中国联通、中国电信三家公司在经营,他们针对不同的客户推出了各式优 惠套餐,请你调查分析,怎样选择套餐最合算. 苏霍姆林斯基说过: “教学的技巧不在于能预测到课的所有细节, 而在于根据当时的具 体情况,巧妙地在学生不知不觉中作出相应的调整和变动”.这堂课虽然没有完成预设的教 学计划,但从学生的 “节外生枝” 中,收到了异想不到的效果.激活了学生的思维,培养学生的 批判精神,紧密联系了实际,学生学之有味,老师教之有劲.这不正是 《高中数学课程标准》 所 倡导的:好的数学教学应该是从学习者的生活经验和自己的知识背景出发,提供给学生充分 进行数学实践活动和交流的机会, 使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握数学知识、 思 想和方法,同时获得广泛的数学活动经验. 学起于思,思源于疑.学生有疑问才会去进一步思考问题,才能有所发现,有所创造. 质疑是科学创新的起点, 也应该是课堂教学中动态生成的基点, 所以教师在课堂上也必须重 视学生的质疑问难.学生的质疑问难有教育价值大小之分,有的生成性问题可能偏离甚至完 全背离课堂教学的内容和主题,因此教师要善于引导学生评估和筛选,但决不能置之不理. 如果质疑归质疑,教学归教学,质疑和教学是“两条道上跑的车”,那么课堂教学生成的机 会便会错失.? 教师应不失时机把握这“无法预约的美丽”. 新课程呼唤生成的课堂,然而,不少老师简单的、机械的解读了“生成” ,从而将“预 设”完全摒弃.在“放羊式”的课堂里,远离文本、任意生成的局面有之;旁逸斜出、无所 谓争辩的局面有之;陷于一点,纠缠不清的局面有之;漫无边际的生成挤占了学生有效学习 的时间;或许学生活跃了,课堂热闹了,但是表面的浮华终究掩盖了实质的苍白.动态生成 的课堂,给我们一线老师带来新的挑战.正如华东师大叶澜教授所说: “课堂应是向未知方向 挺进的旅程, 随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景, 而不是一切都必须遵循固定线路 面而没有激情的行程”.? 精彩生成课程需要“三点” ,即生成点、精彩点、创新点.生成在求 异思维中产生,精彩在真实真切中产生,创新在挑战碰撞中产生. 当前,随着课程标准的推 进,中学课程越来越强调预设与生成的统一,预设和生成的和谐,从而达到预设中生成,生 成中创造. 参考文献: 1.Elizabeth Jones.Jone Nimmo Emergent Curriculum

2.刘兼、黄翔、张丹.《数学课程设计》高等教育出版社 2004 年 3.黎奇.《新课程背景下的有效课堂教学策略》首都师范大学出版社 2010 年 3 月 4.任勇.《你能成为最好的数学老师》华东师范大学出版社 2010 年 11 月 ?

创设有效“问题串”

培养学生学习能力

深圳市新安中学吕正军

摘要:问题是数学的心脏,问题中承载并蕴含了丰富的数学信 息.问题串是指问题与问题的精心连接与递进。构建、运用适当的问 题串是有效教学的基本线索, “用问题引导学习”应当成为教学的一 条基本准则。在教学中,针对具体的教学内容和学生知识、能力的实 际,设计并运用问题串,不仅可以激发学生的求知欲望,搭起学生学 习的“脚手架” ,帮助学生寻找解决问题的途径,引导学生自主探究 问题,突破教学的重点、难点,培养学生的思维能力,而且能够优化 课堂教学结构,提高课堂教学效益. 关键词:数学教学;问题串;探究教学;思维能力;教学效益 《普通高中数学课程标准》明确指出:“高中数学课程应倡导自 主探索、动手实践、合作交流、阅读自学的学习方式,发挥学生学习 的主动性,使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造”。数学的 本质是探究,其活动方式是问题研究,是通过问题研究来体现探究过 程,实现探究目标的。“问题研究”与“探究过程”的实现是探究教 学的核心所在。在新课程的教学实践中,我们发现探究教学存在着许 多问题。例如,在探究教学中,学生会产生许多问题,教师也会提出 一些问题引导学生进行探究。这种相对开放、自由的课堂教学环境一 方面有利于调动学生自主学习的主动性和积极性, 激发学生探究和创 新的欲望,给学生较大的自主发挥空间。但另一方面,面对学生提出 的问题,有的教师不知所措,采用置之不理的态度,回到已设置好的

教案设计上;有的教师疲于回答学生一个又一个的问题,被学生“牵 着走”,不知如何将学生的讨论引向探究活动的核心;有的教师想通 过问题引导学生积极思考,但不知该如何引导才是有效的;还有的教 师对在学生探究活动中生成的问题,急于告知问题的结论,不懂得通 过对这些问题的深入讨论来逐步发展学生对数学问题的理解。因此, 研究数学探究活动中教师如何设计问题、 如何通过一系列问题实施有 效引导就成为新课程课堂教学实施中十分重要的问题。 在目前我国班级授课的限制下, 课堂教学都是以课时内容来完成 的,每节课时间一般为 40 分钟或 45 分钟,在这种时间限制下,若以 课本一节的内容作为一个探究单位,往往因时间限制,无法完成。而 将一个问题作为一个探究单位,进行局部探究性学习,一节课可由一 个主干问题联起来几个问题组成 “问题串” 以 , “问题串” 组织教学, 可解决时间受限制问题,在课堂教学中有效开展局部探究性学习。 问题串指在一定的学习范围或主题内, 围绕一定目标或某一中 心问题, 按照一定逻辑结构精心设计的一组 (一般在 3 个以上) 问题。 波普尔指出: “知识的增长永远始于问题,终于问题——愈来愈深化 的问题,愈来愈能启发大量新问题的问题. ”在探究教学中利用“问 题串”进行教学,就是围绕探究目标,通过设置有针对性的问题串引 导学生反应,教师在识别学生反应的基础上,采取有效指导,促进学 生不断达成探究目标的一种有效方法。 在利用“问题串”进行探究教 学时,教师首先通过设置一些引导性问题,引导学生主动思考问题、 表达对问题的看法;其次,教师利用向学生反馈或者继续提问的方式 来识别学生的回答,确认学生对问题的不同理解状态;第三步,采取 一系列的措施,引导学生反思自己的解释,关注并参考他人的观点, 努力形成自己对问题新的解释,最终达成探究活动的目标。这个过程

可以看作是一个循环,在每一个问题解决的进程中,教师都可以利用 “问题串”来引导、帮助学生获得对问题的深刻理解,获得探究能力 的发展以及对探究本身的理解。 下面结合案例, 就探究教学中如何应用“问题串”进行一些探讨。

一、设计问题串,在概念学习中培养学生知识建构能力
数学概念、定理、法则的教学是数学教学的重要组成部分,由 于这些内容的抽象性、复杂性,学生在学习、理解和掌握时会遇到很 多困难,以至于感到枯燥乏味,对学习产生畏难情绪。如果给出相应 的问题情境,提供相应的直观载体,再创设与之相应的问题串,将难 点知识分解为许多小问题,再现知识的发生和形成过程,引导学生从 情境信息出发层层深入,步步逼近,则会另有一番课堂景象。 案例 1 “函数的单调性概念”的教学

如图 1 是某城市某日 24 小时气温变化图,请同学们回到以下问 题: 问题 1:如何描述气温 θ 随时间 t 的变化情况? 问题 2:在区间[4,14]上, θ 随 t 的增大而增 大这一特征用数学符号来刻画,该如何表述呢? 问题 3:能不能说,取 t 1 =5,t 2 =6,t 3 =8,t 4 =10,得到相对应 的θ1,θ2,θ3,θ4 的值,有θ1<θ2<θ3<θ4,所以在[4,14]上,θ 随 t 的增大而增大? t t …, 问题 4: 能不能说, 取该子区间内所有的输入值 t 1 , 2 , 3 , t n ,得到相对应的θ1,θ2,θ3,…,θn 的值,有θ1<θ2<θ3<…< θn,所以在[4,14]上,θ随 t 的增大而增大? 问题 5:如何用数学语言来准确地表述函数的这一特征? 【评析】 教材原来是直接通过气温变化图导入函数
图 1?

单调性,空间比较大,也给学生参与下定义带来了较大的障碍,因此 针对气温变化图这个问题分设了 4 个小问题, 搭设探究问题合理的台 阶,有效分解了难点,解决了问题。 案例 2 “异面直线的概念” 的教学

问题 1:平面内两条直线有何位置关系? 问题 2:空间两条直线有何位置关系? 问题 3:如图 2,直线 AA1 与 CC1,DC 与 D1E,AA1 与 BC 的位置关系如 何? 问题 4:利用原有知识能证明你们的判断吗? 问题 5:观察各种实物模型,能判别异面直线并陈述理由吗? 【评析】 问题 1 是一个可以诱发知识回忆的问题, 问题 2 是一个较为 开放的问题,两个问题仅仅相差两个字,需要阅读比较能力、类比联 想能力,问题 3 要求学生建构一个正方体模型(如图 2) ,判断直线 的关系, 问题 4 利用原有知识证明学生自己的判断, 问题 5 观察各种 实物模型,判别异面直线并陈述理由。这样通过丝丝入环、层层相扣 的问题串,使学生对异面直线的概念逐渐清晰、生动,在思考问题的 过程中迅速激发想像、 刺激思维、 诱发行动, 而且在整个教学过程中, 师生之间、生生之间充分互动,培养学生自主、合作、探究的能力。
图 2?

二、设计问题串,在命题探索中培养学生推理论证能力
问题串的设计要根据教学目标、重点、难点,把教学内容编织成 一组组、一个个彼此关联的问题,使前一个问题作为后一个问题的前 提,后一个问题是前一个问题的继续或结论,这样每一个问题都成为 学生思维的阶梯, 许多问题形成一个具有一定梯度和逻辑结构的问题 链,使学生在明确知识内在联系的基础上获得知识,提高能力。 案例 3 “等比数列的前 n 项和”的教学

问题 1:你能求出 S n = 1 + 2 + 22 + ... + 2n ? 2 + 2n ?1 吗? 问题 2:类比等差数列的求和,这个问题能用“倒序相加”法解 决吗? 问题 3:你对问题 1 的结果能给出一个较为合理的猜想吗? 问题 4:把 S n = 2 n ? 1 与 S n = 1 + 2 + 2 2 + ... + 2 n?2 + 2 n ?1 比较,你有什么 发现吗? 问题 5:怎样求等比数列 {a n } 的前 n 项和? 【评析】 教材上推导 “等比数列的前 n 项和公式” 直接利用了 “错 位相减”法,但从学生的知识结构看,他们很难探索出这种方法。这 位教师在教授这节课时, 没有局限于教材, 而是从学生认识问题的基 本规律出发, 利用一个特殊的等比数列求和问题作铺垫, 通过猜想结 果和比较分析,得出“错位相减”法,然后再把问题退回到一般,利 用这种方法, 学生便会很自然地推导出公式。 学生在课堂中实实在在 地经历和体验了公式推导的探究过程, 提炼了数学思想方法, 锻炼了 思维品质,深化了理性认识。教师能把“现成”的数学变为“活动” 的、学生能够自己建构的问题串,是教师“用教材教” ,而不是“教 教材”的具体体现。 案例 4 “函数 y=Asin( ωx + ? )的图像”的教学

本节课教学的重点是探究函数 y=Asin( ωx + ? )(A>0, ω >0)的图 像与正弦曲线的关系。 难点是①函数 y=sin ωx 的图像与正弦曲线的关 系;②函数 y=Asin( ωx + ? )与 y=sin ωx 的图像之间的关系。 为了突出重点,突破难点,教师充分利用教材提供的素材,将本 节课设计为如下几个问题,以“问题”组织教学,开展探究性学习。 主干问题:函数 y=Asin( ωx + ? )与 y=sin x 的图像之间有什么关 系?

问题 1:函数 y=sin(x+1)与 y=sinx 的图像有什么关系? 问题 2:函数 y=3sinx 与 y=sinx 的图像有什么关系? 问题 3:函数 y=sin2x 与 y=sinx 的图像有什么关系? 问题 4:函数 y=sin(2x+1)与 y=sin2x 的图像有什么关系? 【评析】本节课是以一个主干问题联起来的 4 个问题组成的“问 题串”来组织课堂教学,开展探究性学习的活动。问题 1、问题 2, 完全由学生独立解决,自己归纳得出函数 y=sin( x + ω )与 y=sinx 图 像间的关系,函数 y=Asinx 与 y=sinx 图像间关系;问题 3、问题 4, 教师组织学生进行充分思考、讨论、探究。课堂上学生思维活跃,积 极参与课堂活动。 学生通过对图像对应点坐标关系的分析、 函数对应 法则的分析,再通过多媒体( “几何画板” )动态演示等系列活动,从 特殊到一般, 从感性认识到理性认识, 在此过程中既使用了合情推理, 又用到了逻辑推理, 构成了一个学生自己探究发现的过程。 这一过程 使学生感受到了:特殊到一般研究解决问题的方法;化整为零,分解 问题, 各个击破的研究解决问题的策略。 学生不但较好的掌握了基础 知识, 而且亲身经历了探究发现的学习过程, 体会了由特殊到一般研 究解决问题的方法。

三、运用问题串,在问题解决中培养学生解题能力
我国数学教育家傅种孙先生有一句脍炙人口的名言: 几何之务不 在知其然,而在知其所以然;不在知其所以然,而在知何由以知其所 以然。 “何由以知其所以然”就是要知道如何想到这个结论和解证方 法的,也就是要探索获取结论和方法的途径及思维过程。在教学实践 中,教师应站在数学方法论的高度,通过设计并运用问题串,引导学 生加强对解题方法、解题规律的探究,使学生不仅掌握一类问题的解 题规律,而且领悟一类问题的思想方法,达到解一类通一片的目的。

案例 5 (2008 陕西)已知抛物线 C:y=2x ,直线 y=kx+2 交 C 于 A, B 两点,M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N。 (1)证明:抛物 线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (2) 是否存在实数 k 使 NA · NB =0,若存在,求 k 的值;若不存在,说 明理由。 问题 1:当直线 y=kx+2 的斜率 k 确定,N 点的坐标确定吗? 问题 2:既然 N 点的坐标由斜率 K 确定,那么如何用 k 表示 N 点 的坐标呢? 问题 3: 抛物线 C 在点 N 处的切线怎么求? 问题 4: 所有的 N 点中,是否有一点使得 NA · NB =0?如何求 得该点? 【评析】 本案例设计思路是以问题串的形式, 站在数学方法论的 高度引导学生对解题方法的探究, 通过引导, 学生不仅掌握这一类问 题的解题规律,领悟了方程、函数等数学思想方法,更重要的是学会 了如何探究解题规律, 学会了解决问题的思想方法, 提高了解题能力。 案例 6 已知 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图象如图 4 所示,试确定 a、b、
图 3?
2

c、d 的正负。 问题 1:图象能直观反映函数 的性质,你能从中获取哪些信息? 问题 2:由 x 1、 x 2、 x 3,考虑一 下 f( x )又能怎样表示……, 能否直接确定 a、 b、 c、d 的符号? 问题 3: 上述方法虽然能解决问题, 但比较麻烦,
图 4?

有无新解? 问题 4:如果 f( x )的图象变化为如图 5,则结论如何? 问题 5:试一试,对如图 6 所示的函数 f ( x) = ax + bx 3 + cx 2 + dx + e 的图
4

象,怎样确定 a、b、c、d、e 的符号? 问题 6:从中你能得出哪些有价值的发现? 【评析】从本案例中可以看出,通过创设问题链,使课堂教学 形成有层次结构的开放性系统,学生在对问题探究中所容纳的信息 量不断增加,逐渐产生“有阶可上,步步攀登”的愉悦感,能兴趣 盎然地参与知识探究的过程,体验知识所带来的乐趣,从而体现出 问题的层次性是使不同层次学生能有效参与探究学习的重要保证。

四、设计问题串,在知识拓展中培养学生创新能力
学习的目标是达到对知识的深层理解。要对知识形成深层理解, 就意味着学习者所获得的知识必须是整合过的、结构化的,而不是 零碎的、只言片语的。通过利用问题串,对问题加以引申和推广, 能使学生结合自己原有经验体系来学习探索新知识,将新知识与原 有的知识经验联系起来,将所学知识的不同部分联系起来,解决它 们之间的冲突。在探究的过程中,使学生逐渐明了通过引申和推广 能覆盖所学的重要知识点、基本的题型、常规的解法和技巧,对教 学中所展现和揭示的数学思想方法有更深层次的理解。 案例 7 天津市 2004 年的一道高考数学试题是这样的:椭圆的
2 ,相应于焦点

中心是原点 O,它的短轴长为 2

F(c,0)(c>0)的准

| 过点 A 的直线与椭圆相交于 P、 线 L 与 x 轴相交于点 A, OF|=2|FA|,

Q 两点。 (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP·OQ = 0 ,求直线 PQ 的
方程; (3)设 AP = λ AQ(λ>1) ,过点 P 且平行于准线 L 的直线与椭圆相 交于另一点 M,证明 FM
= ?λ FQ.

本题第(1)(2)个问容易解决,第(3)问的核心是证明点 P 、 关于 x 轴对称点 M、点 Q 及焦点 F 三点共线。在高考复习课中,一位 教师曾以此题为基本素材, 编拟了一个探究性问题串引导学生一步一 步地深入研究。 问题 1: 已知椭圆方程为 x
2

6

+

y2 = 1, 过点 2

A(3,0)的直线与椭圆相

交于 P、Q 两点,设点 P 关于 x 轴的对称点为 M,F 为右焦点。证明: 点 M、Q、F 三点共线,你能想到几种证法? 问题 2:能否把问题 1 推广为一般情形? 问题 3: 能否把问题 2 再推广? (例如点 A 的位置能否灵活些?) 问题 4:能否把问题 3 中的椭圆推广为双曲线和抛物线呢? 问题 5:从以上讨论得到了三种圆锥曲线的统一结论,这是数学 的和谐美,还能列举出数学和谐美的例子吗? 【评析】 教师从一个比较简单的问题出发, 通过问题串对问题逐 步推广、延伸和拓展。虽然这一内容用了 2 课时,但经过这样的问题 过程,学生经历的是探索的过程,领悟的归纳与类比、推广与拓展的 方法,得到的是自己探索的成果,体验的是成功的喜悦。同时渗透了 数学文化。

五、运用问题串,在反思提炼中培养学生概括能力
数学思维就是解决数学问题的心智活动, 思维过程总是表现为不 断地提出问题、分析问题和解决问题,因此数学问题是数学思维目的 性的体现,也是数学思维活动的核心动力.如果问题串的设计能从学 生知识可接受性的实际出发,确定合理的难度和适当的思维强度,就 能有效促进学生求异思维和发散思维的发展, 引导学生自己进行思考、 比较、 思辩. 如果再从数学方法论的角度, 加入一些元认知的提示语, 如: 你认为该问题可能涉及哪些知识?解决该问题需要什么条件?我们

还疏漏了什么没有?该问题的解决方法有推广价值吗?可推广到哪些 方面?还可以促进学生自己发现问题、提出问题,对数学有所感悟, 实现学生思维深度参与的自动发生机制。 案例 8 “等比数列前 n 项求和公式”的教学,当推导出求和公式 Sn=
a1 (1 ? q n ) 后,设计以下问题,让学生对此公式进行反思总结。 1? q

问题 1:公式 Sn=

a1 (1 ? q n ) 适合求所有等比数列前 n 项的和吗? 1? q a1 (1 ? q n ) ,除了教科书给出的推导方法——“错 1? q

问题 2:对于公式 Sn=

位相减法”之外,还有其它的推导方法吗? 问题 3: 等比数列前 n 项和的求和公式 Sn= Sn=
a1 (1 ? q n ) (q≠1)可以表示为 1? q

a1 ? (?q n ) a a n + 1 ,即 Sn=aq -a (其中 a=- 1 )的形式。反之,若 1? q 1? q 1? q
n

一个数列前 n 项和为 Sn=aq -a,则此数列是等比数列吗? 问题 4: “错位相减法”除了能求等比数列前 n 项的和外,还能求其 它数列的和吗?若能,这些数列又有什么样的特征呢? 【评析】教师在施教过程中,通过问题串,加入方法、能力的渗 透式培养,通过教师的“变教为诱”“变教为导” 、 ,来实现学生的“变 学为思”“变学为悟” 、 ,而使教学探究达到“以诱达思”的境界,从 而调动学生探究性思维的主动性和积极性。 当然,设计与运用的问题串应具有目的性、趣味性、渐进性、探 究性、情境性、过程性等特征。? 案例 9 “余弦定理的发现与证明”的教学 余弦定理的发现与证明是教学的重点和难点,学生已有知识主要 包括正弦定理、平面向量的数量积、三角函数的定义及坐标法的初步

知识等. 问题 1:正弦定理给出了三角形边角的数量关系,正弦定理是怎 样证明的?正弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题? 问题 2:在三角形中已知两边及夹角,怎样求第三边? 问题 3:在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c. (1)若 A=90°,b=3,c=4,求 a 的值; (2)若 A=60°,b=3,c=4,求 a 的值; (3)若 A=150°,b=3,c=4,求 a 的值。 问题 4:一般地,在△ABC 中,已知 b、c 和 A。怎样求 a? 问题 5:你发现了什么结论?你能用文字语言和符号语言表述出 来吗?能给出证明吗? 问题 6:若已知三角形的三边,如何求它的三个角? 问题 7:在上述结论的证明方法中,哪种证法更简捷? 【评析】问题 1 提供了 “先行组织者” ,为学生发现并证明余弦 定理提供了研究方法的指导。 问题 2 体现了目的性, 问题 3 体现了直 观性, 问题 4、 问题 5 及问题 6 体现了开放性, 问题 7 体现了体验性。 问题 2 和问题 3 从学生现有发展水平提出问题, 通过这些问题达到一 种可能达到的新的发展水平, 即潜在发展水平, 在此水平上再提出问 题 4 和问题 5,引导学生达到另一个潜在发展水平,如此形成余弦定 理的发现和证明的问题串,引领学生自主探究、获得新知,发展了学 生的思维,加深了学生对数学的理解。 美国一位教育家曾说过:“教师教学效率的高下,大部分可以从 他们所问问题的性质和发问的方法中考查出来。”在运用“问题串”进 行探究教学时,教师所设置的问题要对准探究目标,突出探究内容的 重点;要问在学生有疑问的地方,促进学生对问题的理解,帮助学生

将证据与结论联系起来;要能引起学生的积极思考,将学生的观点引 入到课堂,促进学生的参与和讨论;还要能为学生的进一步学习留有 空间。只有这样,探究才能有效地开展。

参考文献: 「1」程新展.数学概念教学的十种常用策略[J].中国数学教育(高中版) ,2010 (4) :13-14 「2」肖凌戆.高中数学有效教学的几点思考[J].中国数学教育(高中版),2007 (12) :13-15 「3」张健.潜心教材研究,促进专业成长——谈数学教师如何提高对教材的研究 水平[J].数学通报,2009(10):15-19 和 21 「4」杨志文.高中数学新教材探究性学习的实践与认识[J].中学数学教学参考 (上旬) ,2009(6) :17—19 「5」陈宗遂,王祝好.试论数学教学中“问题”设计的优化[J].中学数学教学参 考,2004(8)

课堂导入“吹皱一池春水”
深圳市龙华中学 刘勃
【摘? 要】 :课堂导入是课堂教学的前奏,好的课堂导入应是新、旧知识的纽带,应能启 发学生的思维,激发学生的学习兴趣,唤起学生的求知欲望,让学生快速达到精神兴奋,积 极投入到新知识的探索和研究中。 本文是我在教学的实践中, 对高中数学课堂导入方法的归 纳和总结。? 【关键词】 :导入? ? ? ? 高中数学? ? ? 课堂导入方法? 课堂教学是一门艺术,而课堂导入是课堂教学的重要环节。 “导”就是引导, “入”就是 进入学习。课堂导入是指教师以教学内容为目标,在课堂教学的起始阶段,用巧妙的方法集 中学生的注意力,激发学生求知欲,引导学生积极投入课堂学习的教学活动。课堂导入的理 论依据是启发式教育,中外许多伟大的教育家都十分强调“启发”教育,从孔子的“不愤不 启,不悱不发” ,苏格拉底的“产婆术” ,到杜威的“思维五步教学法”等均蕴涵着启发式教 学思想。? 教师精心设计导入,以新颖有趣的导入触发学生的好奇心,增强学生的探索心理,从而 吸引学生的注意力,使其迅速进入学习状态,这才是学生真正需要的数学课堂。如何设计课 堂导入,激发学生的学习兴趣已成为一线教师迫切需要研究的问题。在此,我将总结高中数 学课堂导入的几种常见方法。 一、 复习导入法。复习导入法是在复习旧知识的基础上提出新问题,是教师经常应用 的一种课堂导入方法, 这种方法不但符合学生的认知规律, 而且为学生学习新知识作好铺垫。 霍姆林斯基说: “教给学生能借助已有知识去获取新知,这是最高的教学技巧。 ”教师在导入 时应注意抓住新旧知识的联系,在提问旧知识时引导学生思考、联想、分析,使学生感受到

新知识就是旧知识的引申和拓展。例如:我们在学习对数函数前,教师可以引导学生复习刚 刚学过的指数函数相关知识,如指数函数的概念,指数函数 y = a ( a > 0且a ≠ 1) 分 a > 1
x

和 0 < a < 1 两种情况, 它们的图象分别怎么画, 定义域和值域是什么, 单调性有什么区别, 图象恒过哪个定点等等,有此引出对数函数的概念和相关性质。这样新、旧知识就能有效串 联在一起,让学生找出两者的区别和联系,促进新知识的理解和掌握。 二、直接导入法。直接导入法又叫“开门见山”导入法,是教师开门见山的点出课题, 这样简洁明快,直奔主题。例如:我们知道,角可以用度为单位进行度量,1 度角等于周角 的 ,这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。为了使用方便,数学上还采用另 一种度量角的单位制——弧度制: 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角, 用 符号 rad 表示,读作弧度。 直接给出弧度制概念,它是不同于角度制的另外一种度量角的 单位,这样导入能很快抓住学生的兴奋点,激发学生对新知的学习兴趣。 三、类比导入法。类比导入法是以已知的数学知识类比未知的数学新知识,以简单的 数学现象类比复杂的数学现象,使抽象的问题形象化,引起学生丰富的联想,激发学生的思 维活动。例如在学习《数列》一章时,学生可以类比等差数列定义得出等比数列定义,由等 差数列通项公式 a n = a1 + ( n ? 1) d 类比得到等比数列通项公式 an = a1q
?

n ?1

,由等差数列的

类比得到等比数列的性质: 性质: p + q = m + n( p, q, m, n ∈ N ), 则a p + a q = a m + a n ; 若 若 p + q = m + n( p, q, m, n ∈ N ), 则a p ? a q = a m ? a n 等等。 类比导入通过比较两个数学对象的共同属性,发现新旧知识间的区别和联系,有利于 学生将知识和技能从已知对象迁移到未知对象上去, 有利于培养学生的探究和创新能力。 虽 然由类比得到的结论不一定可靠, 但是类比是科学研究得普遍方法之一, 是提出新问题和获 得新发现的重要途径 四、情景导入法。情景导入是指根据教学内容的特点创设一定的情景渲染课堂气氛,使 学生在潜移默化中进入新课学习。前苏联著名教育学家赞可夫说: “教学法一旦触及学生的 情绪和意志领域,触及学生的精神需要,这种教学法就能发挥高度有效的作用。”例如在学 习数学归纳法时,通过播放多米诺骨牌录像,让学生认识到问题的关键:(1) 第一张牌被推 倒; (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下. 于是, 我们可以下结论: 多米 诺骨牌会全部倒下. 布鲁纳的发现学习理论认为,“有指导的发现学习”强调知识发生发 展过程.这里通过创设多米诺骨牌倒下的情景,让学生发现数学归纳法的雏形,是一种再创 造的发现性学习. 五、设疑导入法。设疑导入法是根据高中学生的心理特点,课前给学生创设疑问,设置 悬念,引起思考,使学生产生迫切学习的愿望的一种方法。如:在讲授《等比数列的前 n 项和公式》 时, 我对学生说: “同学们, 我愿意在一个月 (按 30 天算) 内每天给你们 1000 元,但在这个月内,你们必须:第一天给我返回 1 分钱,第二天给我返回 2 分钱,第三天 给我返回 4 分钱……即后一天返回的钱数是前一天的 2 倍, 你们愿不愿意?” 此问题一出 立即引起学生极大的兴趣, 这么“ 诱人 ”的条件到底有没有陷阱?只有算出收入与支出, 才 能 回 答 愿 不 愿 意 。 他 们 的 收 入 是 1000 × 30=30000 元 , 支 出 是
?

0.01 + 0.01 × 2 + 0.01 × 2 2 + L + 0.01 × 2 29 元, 这是一个等比数列的求和的问题,如何求

出这个等比数列的前 30 项和呢?这就需要我们探索出等比数列的求和方法及求和公式了。 六、 故事导入法。 瑞士教育心理学家皮亚杰说过 “所有智力方面的工作都要依赖兴趣, 兴趣是能量的调节者,它能支配内在动力,促成目标的实现”。兴趣是最好的老师,兴趣是 学习的动力,所以用趣味的故事导入新课,旨在激发学生学习的兴趣,调动学生学习的积极 性。例如,讲授《等差数列的求和公式》时,可以以十八世纪的大数学家高斯小时候的一个 故事入题。有一次,高斯的小学老师想考考学生,就让学生算“1+2+3+…+100”。一会儿, 高斯就举手回答:“5050。”我问学生:“高斯是怎样很快算出结果的呀?”马上有同学站 起来回答:“高斯以首尾两数相加为 101,共有 50 对,结果自然是 101×50=5050。”我接 着问: “那么对一般的等差数列{ a n }前 n 项和如何求呢?这节课我们就来研究这个问题。 ” 经过引导探讨, 学生较容易地掌握了数列的求和方法----倒序相加法, 得出了等差数列的前 n 项和公式。 七、实验导入法。实验导入是指通过直观教具进行演示实验或引导学生一起动手实验 或利用电教手段来巧妙地导入新课。一位数学家说过: “抽象的道理是重要的,但要用一切 办法使它们能看的见摸的着。”实验演示导入能使抽象空洞的教学内容具体化、形象化,让 学生在实践中体会,这样导入印象深刻,有利于培养学生从形象思维逐步过渡到抽象思维, 培养学生的感性认识,同时培养显学生的观察动手能力。 在学习椭圆时,我从演示 “ 钉线法 ” 画图开始,用一条长为 2a 的细线和图钉在 黑板上画出一圆,半径是 a(细线长的一半),让学生观察画图过程,并归纳出圆的轨迹: “圆是平面内到定点(O)的距离为定长(2a)的动点(M)的轨迹。” 然后,我在黑板上 钉上两板图钉 F1 和 F2 ,将原来的一条长为 2a 的细线两端分别套在 F1 和 F2 上。按上面方 法作图, 学生纷纷说: 这是椭圆” “ ,接着问: “椭圆是怎样动点轨迹?” 学生不难发现:“ 椭 圆是平面内到两定点(和)的距离之和等于定值(2a)的动点(M)的轨迹”从演示中学生 可以发现,只有当定值 2a> F1 F2 时,动点(M)会是椭圆:相当于三角形两边之和大于第三边 时才会是椭圆。于是我接着问:当 2a= F1 F2 时,动点(M)的轨迹还是椭圆吗?把学生的思 维推向更深的层次。使学生再次回到演示(实验)中去寻找答案。? 八、 数学史导入法。 数学史导入法是利用数学家的传记或数学发展史导入新课的方法。 这种方法可以通过榜样的力量去感染学生,调动他们的学习积极性,唤起他们的探索热情。 如我们在讲授《对数与对数运算》时可以先介绍对数的发明历史:16、17 世纪之交,随着 天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急。苏格兰数学家 纳皮尔在研究天文学的过程中, 为了简化其中的计算而发明了对数。 对数的发明是数学史上 的重大事件,恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立并称为 17 世纪数 学的三大成就。让学生了解对数发明的背景,发明的过程以及历史意义,感受数学文化的熏 陶,增强学习的热情。 教学有法,教无定法,课堂导入也是如此。在设计课堂导入时,要考虑三个问题: (1) 选择哪种导入方法?(2)为什么要这样导入?(3)这样导入效果如何?在实际教学中,我 们要根据数学学科的特点、内容及课的类型选择合适的导入方法,充分调动内在积极因素, 激发学生的求知欲,提高课堂效率。

参考文献? [1]? 孔凡哲.新课程典型课案型与点评[M].长春:东北师范大学出版社,2003﹒7.? [2]? 涂荣豹.数学教学认识论[M].南京:南京师范大学出版社,2004.? [3]? 胡庆彪.导入设计就在“灯火阑珊处”[J]? .中学数学教学参考,2001,(7)? .?

活泼的作业形式能活跃学生的数学思维
———普通高中数学课后作业的设计策略 深圳市光明中学 刘桂敏

作者简介:刘桂敏,高中数学特级教师,从事中学数学教学 30 年, 在省级重点高中指导高考 21 年。一直致力于有效课堂教学和有效作 业设计的探索和研究,主持的安徽省级课题: 《高中数学有效作业设 计模式之探索》已经顺利结题。现任教于深圳市光明中学高中部。

[摘 要]:

普通高中数学教学一直以来都是“授课—随堂训练

—课后作业”三步曲。大多数高中老师都在进行着“改变课堂教学方 式、提高课堂教学效率”的探索,但课后作业的形式对学好数学的作 用却很少被大家重视。高中生把课后数学作业视为沉重的学习负担, 这与我们的作业设计不符合学生基础、大量重复、缺少探究、脱离实 际等情况有关。新课程背景下,传统方式的数学作业已不能适应培养 学生的创造性思维能力。数学课后作业设计若能切合学生的基础、理 解、情感、思维,采用生动活泼的形式,让学生的思维活跃起来,他 们就会以更加主动的姿态和饱满的热情投入到作业之中。

[关键词]:

作业设计

层次性

全面性

探索性

开放性

我国现阶段高中学生的生活现状是‘课程多+作业重=会考试’ , 而经济快速发展的中国需要的是复合型、创新型的高素质人才。如何 解决这一矛盾?那就是我们正在实行的课程改革。 单就高中数学教学

而言,长期被认为对考试有效的‘题海战术’已不符合新课程的育人 目标。新课程背景下,只有丰富课后作业的类型,把数学作业与学生 的生活实际相结合,与培养学生的探索创新能力相结合,采用生动活 泼的形式,让学生的思维活跃起来,才能充分发挥课后作业应有的作 用。笔者就多年的教学实践谈谈自己的作业设计策略。 一、新课程背景下高中数学作业的设计特点 新课程背景下, 数学课后作业设计要遵循学生学习数学的心理规 律,强调从学生已有的数学基础和生活经验出发。具体说来,数学作 业设计应突出以下特点: 层次性:现在高中学生的数学基础是有很大差别的,至少可以分为 高、中、低三个不同的层次。我们在设计数学作业时,要改变作业统 一化和单一化的模式,设计和布置适宜不同层次学生的分档作业,科 组建立‘数学作业库’ ,提供层次丰富、形式多样的作业,使学生可 以自主选择作业形式和难度, 让各种基础的学生都能体验到成功的乐 趣,只有这样,才能有效提高作业质量和学习效率。 生活性: 数学课后作业设计可以与学生的课外生活及其他各科的 学习活动结合起来,构成一个和谐的学习整体。例如:学习概率统计 知识后,可以让学生组成调查小组,开展‘深圳市某街口通过车辆的 情况分析’调查活动,并写出分析报告。这样的课后作业,涉及到多 项训练,且富有生活性,让具有不同基础、不同方法、不同个性的学 生都有机会表达自己的数学思想。 综合性:数学是‘一种普遍适用的技术’ ,它的这一性质给其作业 设计提供了更为广阔的空间。例如:学习了‘正弦定理、余弦定理解 三角形、立体几何’知识后,我们可以设计这样的作业: ‘我区新城 公园内小山的高度如何测量?’ 、 ‘河对岸那棵大树有多高?不过河能 测量大树的高度吗?’ 等等, 这些设计正是数学知识综合应用的体现。 探究性:探究性的作业设计,有助于学生的求知兴趣持续发展,以

至于延伸课堂空间,使学生研究、探讨数学的潜力在课后得以充分发 掘。对于高中生而言,探究性的作业更是让他们学习数学的过程成为 生动活泼、主动学习的过程。例如:我们设计了“你知道多面体欧拉 定理是如何被发现的吗”等探究性作业,充分激发了学生的对数学探 究的欲望。 二、新课程背景下高中数学课后作业的具体形式 学生常常把数学课后作业视为沉重的学习负担, 这与数学作业设 计不符合学生基础、 大量重复、 缺少探究、 脱离学生实际生活等有关。 数学作业设计若能切合学生的基础、理解、情感、思维,采用生动活 泼的形式,学生就会以更主动的姿态投入到作业中。除了设计‘为加 强公式、定理的应用’必要的强化训练外,我们尝试的数学课后作业 的补充形式还有: 1、实践型作业 高中数学教学内容中有许多抽象性强, 需要通过实践才能解决的 内容,有些实验操作在课堂上又受到条件限制,我们就设计了实践型 的课后作业。如我们要测量‘中间有障碍的两颗树之间的距离’‘底 、 部不能到达的电视塔的高度’ ,采取什么办法?用了什么知识?学生 在这样的活动中,要观察、测量、绘图、计算、归类总结等,此时, 他们所学的知识得到了运用,丰富的情感得到了体验。实践型的课后 作业是课堂教学的极好补充和延续,它提高了学生的学习积极性,培 养了学生的动手能力。 2、创作型作业 数学创作可以拓展学生的想象空间,增强和丰富他们的想象力。 它可以是数学设计、模型制作、数学小论文等不同形式。我们尝试着 把 ‘数学周记’ 作为一种创作形式, 让学生把学习中发现的数学规律、 解题新思路、公式新的推导方法、对某个知识点产生的疑问等每周记 录分析,鼓励学生把生活中遇到的数学问题、产生的想法在周记中表

达出来,特别提倡有创意的作品,如‘立体几何中多面体摸型制作’ 等,学生们每周互相交流、互相评价、互相借鉴。在此过程中,他们 通过阅读、思考、交流,体会了‘学数学用数学’的思想,从而养成 他们善于观察、善于思考、善于总结的好习惯。 3、调查型作业 现在的社会是一个知识经济社会,其特征是信息化、开放性、创 新性。为让学生大量地获取信息,我们把‘社会调查’作为一种课后 作业类型。调查的内容要与数学内容有关,并有一定的现实意义。如 ‘对深圳市光明中学学生上网情况的调查统计’ 、 ‘高中学生手机使用 情况的调查’‘使用什么卡,手机话费更省钱’等等,学生可以实地 、 查看、实人查问,也可以通过网络调查等,并把调查结果和建议形成 书面报告。 通过调查型的课后作业, 把数学内容和社会生活联系起来, 使学生们提高了人际交往能力、获取信息能力及交流合作能力。 4、研究性学习渗透型(探究型)作业 探究型作业, 是以课堂教学内容为基础, 以日常实际问题为载体, 通过‘学习小组’的合作,对问题进行探索与研究,并形成书面报告 的一种作业类型。教师根据学习内容,从技能、数学思想、方法等方 面引导学生整理‘研究材料’ ,针对日常生活中遇到的数学问题,选 取与数学应用有关的力所能及的问题进行研究。如“银行利率变化对 存款有何影响?” “分期付款买房子怎样付款最合算?” ‘高一某学生 家长打算为孩子存款 4 万元以备上大学用, 请你为他设计最优存款方 案’等等。为体现学生的自主性,老师只在方法、程序上给予指导, 学生们可通过查阅资料、走访、调查等活动,形成一个开放式的研究 程序。探究类的课后作业,创设一个科学研究的情境,让学生们通过 “课题研究” ,在提出问题、分析问题、解决问题的过程中,初步体 验到科学研究的方法和程序。 三、新课程背景下数学作业设计要注重的问题

1、 数学作业要避免单一化,突出层次性与全面性。 多年来, 无论在课堂上还是在课后, ‘全班学生做相同数学题’ (布 置课本第几页、第几题,练习册第几题)已经习惯成自然。这种‘一 刀切’的作业形式显然不能满足不同数学基础学生的成长需要,不利 于学生的个性发展,也不利于新课程的实施。因此,新课程教学中教 师要改变作业单一化的模式, 设计和布置适宜不同层次学生的分档作 业。分档作业要按学生学习程度分类对待,使学生能够根据自己的学 习水平和解决问题的能力,选择能够独立完成的作业,并且努力向更 高一层次的作业题挑战。 分档作业的设计要遵循对低层次的学生: 低 ‘ 起点、拉着走’ ;对中层次的学生: ‘有变化、小步走’ ;对高层次的 学生: ‘多变化、主动走’ 。作业题数‘保底但不封顶’ ,成绩分类‘定 层次但不定人数’ ,让不同层次的学生在‘跳一跳’的过程中各有所 得,不断提高学习能力,激发学生对数学学习的兴趣,最终达到全体 学生充分、自由、和谐发展。尤其对于基础相对薄弱的普通高中,这 种方法特别有利于高考成绩的‘低进高出’ 。 2、 数学作业要摆脱重复性,注重新颖性与训练性。 为了提高学生的学习热情, 作业设计要摆脱无思维价值的重复练 习。要做到‘背景趣、题型活、形式新’ ,通过多种渠道,把丰富知 识、训练和发展创造性思维寓于作业之中,让生动有趣的作业内容取 代重复呆板的机械练习, 以激发学生的作业兴趣、 拓宽学生的知识面, 使之产生一种需求感,成功感,自觉主动地完成作业,从而更好地促 使学生接受知识并进行再创造学习。 3、 数学作业要克服封闭性,追求探索性与开放性。 ‘在每个人的心灵深处都有一种需要,就是希望自己是一个发现 者、研究者、探索者。 ’长期要求学生按课本、按练习册一题不漏地 做习题、做大量的强化训练套题,期望能考出好成绩,事实上只能是 ‘事倍功半’ 。新课程教学中,我们必须把学生从不利于他们发展的

‘题海’中解放出来,精心设计能体现数学学习的探索性、开放性的 课后作业,开发学生的思维潜能,提高他们的探究能力和应用能力。 在全国普通高中已经全面实施新课程的今天, 高中数学教学片面 追求‘课堂形式的活跃’已被证实不能真正达到开发智力、提高能力 的教学目的,只有让学生们的‘思维活跃’才能真正达到数学教学的 育人目标。要使学生们的‘思维活跃’起来,需要以数学作业设计策 略为突破口。高中数学课后作业设计,对老师们来说,是一件具有创 造性、挑战性和艰巨性的工作。我们必须在严峻的高考形势下,研究 如何消除或减少学生对高中数学的畏惧感, 如何提高初中数学基础薄 弱学生的高考成绩,如何更好地完善学生的人格,最大限度地开发学 生的潜能,这些都是摆在我们面前的课题。让我们为了每一位学生都 成功而付出自己的探索和努力。

[参考文献]: 1. 教育部: 普通高中数学课程标准(实验) 人教社 《 》 2.《普通高中新课程实验数学教材》 人教版、 北师大版 3. 杜文平: 《数学教学新策略》 教育科学研究 2001.9. 4. 钱源伟: 《基础教育改革研究》上海科技出版社 2003.3

数学教学中培养学生的批判性思维
深圳中学 刘岩

批判性思维就是指审慎地运用推理去断定一个断言是否为真.无论是举足轻重的还 是微不足道的事情.你越多地运用批判性思维,你的思维就越经得起考验。培养批判性思维 的习惯和提高运用批判性思维的技能会让人变得更聪慧. 因此, 中学数学教育必须重视培养 学生的批判性思维,以达培养创新思维之目的.创新是在批判的基础上产生的,批判是创新 的前提, 没有批判思维就不可能形成完善的创新思维. 那么在数学教学中该如何培养学生的 批判性思维呢? (一)转变教学观念,创设新型的“教学文化” 传统教育是一种占有式教育,其特征就是教师主体观,教师作为教育活动的主宰者,是 知识的占有者和传授者,并且课本上的知识都是正确的.于是,教师成为绝对的知识权威, 不容怀疑,学生作为教育活动的客体,是知识的接受者,被动而盲目地接受知识,在这个过 程中,学生没有怀疑,没有思考,所获得的知识只是借助于头脑贮存,并没有融为自己的思 想,更不会形成批判和质疑.因此,培养学生批判性思维的关键是教师在观念上必须符合批 判性思维的要求.其次,教师是教学活动中的主导,除了知识结构和人格素养上的要求外, 也应该提倡批判的教学态度,有批判意识的教师才谈得上培养批判性思维的学生。最后,传 统的教学是一种“记忆型教学文化”.这种文化环境培养的是学生被动地接受知识的倾向, 而不是积极地探寻和评价信息, 这当然不利于批判性思维的培养。 教师应该设计一种新型的 教学模式——“思维性教学文化”.在这种文化中,教师不再是“话语霸权者”,不再同化 学生的思想, 而是鼓励多元和发散, 鼓励从不同的视角考察问题, 正如英国思想家密尔所说: “对于异于寻常的个人,不应该阻止他们,而应该鼓励他们的与众不同”,让个体进行独立 的判断和选择,培养他们对已知知识的质疑和挑战. (二)改革教学评价,激励批判性思维 教学评价是依据教学目标对教学过程及结果进行价值判断并为教学决策服务的活动, 对 教学质量进行有效监控并做出准确导向的必要手段, 它应该以促进人的整体发展为目的. 教 师应该意识到,教学评价功能要重在帮助学生发现和发展潜能、认识自我、展示自我。实践 告诉我们,科学的、全面的评价能起到激励和教育作用,树立自信、体验成功,从而转化为 继续进步的动力。评价过程应该注重诊断、激励、发展,尊重个体和个体差异,激发个体的 主体精神,促进学生的反思和总结,记录主体的成长.教师应该通过主体与客体、定性与定 量的有机结合,实现评价多元化、民主化、多层次化.教学中要关注个体成长的独特性和潜

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在性,教师要善于发现个体发展的可能性,发现个体的“多元成功”,不断引领个体超越自 我.因此,教学中对学生的评价可以根据每次讨论时学生发言的次数、完成任务的质量及口 头回答、 书面作业进行综合评估, 从基础知识到解决问题的方法、 思路、 能力等多角度考查, 重视对学生认识过程、情感、动机、人格、价值观等非量化因素的评价.同时,让学生主动 参与,使评价过程与教学过程统一起来,不要随意定论学生观点的对错,而要把重点放在对 学生的解释、分析、评估、推理、判断和自我调节上,以不断提高学生批判性思维能力.? (三)调整教学模式,训练学生的批判性思维? (1)适当进行开放题的训练,有助于拓宽学生知识面,激发学生学习数学的兴趣。?

批判性思维的训练是需要有合适的载体.作为批判性思维训练的载体应有利于调动学 生学习数学的积极性,有利于学生批判潜能的发挥.实践证明,数学开放题是合适的.自 70 年代日本、 美国在中小学教学中较为普遍地使用数学开放题以来, 数学开放题已逐渐被数学 教育界认为是最富有教育价值的一种数学问题, 因为数学开放题能够激起学生的求知欲和学 习兴趣,而强烈的求知欲望浓厚的学习兴趣是创新,批判能力发展的内在动力.

数学开放题的常见题型,按命题要素的发散倾向分为条件开放型、方法开放型、结论 开放型、综合开放型;按解题目标的操作摸式分为规律探索型、量化设计型、分类讨论型、 数学建模型、问题探求型、情景研究型;按信息过程的训练价值分为信息迁移型、知识巩固 型、知识发散型;按问题答案的机构类型分为有限可列型、有限混沌型、无限离散型、无限 连续型.

数学开放题体现数学研究的思想方法,解答过程是探究的过程,数学开放题体现数学 问题的形成过程, 体现解答对象的实际状态, 数学开放题有利于为学生个别探索和准确认识 自己提供时空,便于因材施教,可以用来培养学生思维的灵活性和发散性,以及批判性.使 学生体会学习数学的成功感,使学生体验到数学的美感.因此数学开放题用于学生批判性思 维是十分有意义的。 (2)采用一题多变的形式,可以培养学生辨析的能力。? 在教学中,采用一题多变,引导学生进行辨析对比.让他们根据自身原有的思维水平和知识 经验,对新的问题从结构上、内容上的进行辨别比较,并分析出由此导致结论上的不同.?

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如:○过点 A(1,0)作抛物线 y = x 的切线,则切线方程为??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;? 1
2

2 ○若直线 y = k ( x ? 1) 与抛物线 y = x 相切,切线方程为
2 2



3 ○设直线 L 经过点 A(1,0),并且与抛物线 y = x 只有一个公共点,求直线 L 的方程. 通过前面两题中少直线与多直线的训练,在第三题中,大部分同学都能冷静思考,带着批判 的意识,排除习惯性臆想,得出正确的结果,所求直线有三条: y = 0, y = 4 x ? 4, x = 1 . 学生从失败中吸取教训,自我评价解题思路和方法,调整错误的思维结构,培养了思维的批 判性.? (3)? 通过数学解题的反思训练,培养学生的自我反思能力.? ???? 所谓反思,就是反省思维。这种思维乃是对某个问题进行反复,严肃,持续不断的深思。 哥伦布之所以能够提出他的新思想, 正是由于它并非不加怀疑的接受传统理论, 而是富有怀 疑和探索的精神。长久以来习惯上认为是最确定无疑的事物,他也敢怀疑;人们认为似乎不 可能发生的,他也相信其可能发生。他就是这样继续的思考着,直到他得到他能够确信或不 能相信的证据为止。在数学学习中,特别需要学生具备这种反思能力,能够主动地对已完成 的解题过程进行周密且有批判性的再思考, 是对已形成的数学思想、 方法和知识从另一角度, 以另一方式进行再认识, 或提出疑问作为新的思考起点. 教师通过引导学生积极反思自己的 学习活动并逐渐使这种反思成为自觉的学习习惯,就能达到培养学生独立思考、勇于质疑、 敢于创新的目的.? 1 ○反思解题思路.? 对一道数学题, 往往由于审题的角度不同得出多种解题方法. 解完一道题后不能停留在所得 出的结论上, 应引导学生再回过头来思考. 重视学生的思维过程并引导学生根据题目的基本 特征,进行多角度观察、联想,去探索更好的解题途径.如不等式的证明中,这样一道题: ? 已知 a > b > 0 ,求证:

b+m b > a+m a

就可以从不同的角度对其做出证明,如从化学浓度,分析法,综合法; 2 ○反思解题规律.? 同一类型的数学问题, 其求解方法往往有其规律性. 解完一道题要学生思考此题可否 作一般性推广和引申, 这样学生能解决的就会完成由会解“一道题”到会解“一类题”的转 变.如:“若 2 x ? y + 3 = 0 ,求 ( x ? 4) + ( y + 5)
2 2

的最小值”,转化为求点 B(4,-5)
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到 直 线 2 x ? y + 3 = 0 的 最 短 距 离 ; 还 可 以 把 y = ?2 x ? 3 代 入 所 求 式 子 , 转 化 为

8 36 2 2 来求也可以,但碰到求 y = x + 1 + x ? 4 x + 8 这样的题就不好做了, 5( x ? ) 2 + 5 5
所以还是把这类问题用数形结合的方法来解决比较好, 转化为求(x,0)到两定点(2,2)与(0,1) 的距离之和最小,或求(x,1)到(0,0)与(2,-1)的距离之和最小. 3 ○反思解题结果.? 解完一道题后, 还须引导学生思考: 解题结果是否合理?解题过程有没有漏洞?有很大一部 分学生把作业当成任务, 完成数学作业后没有对结果反思的习惯, 以致常会有体积是零或是 负值之类的错误.? (4)通过错因分析,培养学生纠错能力 在解题中总会出现这样那样的错误, 养成对这些错误原因进行分析的习惯是培养学生思 维批判性的重要途径; 对数学习题进行错误分析是发展学生纠错能力的前导. 英国剑桥大学 心理学教授巴特利特说过:“测定智力技能的唯一最佳标准可能是检测并摒弃谬误的速度” 纠错能力是与学生的思维正确性,严密性,完整性,批判性密切相关的. (5)通过数学研究性学习,锻炼学生的批判性思维。 “批判性思维” “研究性学习” 与 是现阶段中学教学创新中出现频率最多的两个词. “批 判性思维”是要改变学生的思维方式,“研究性学习”是要改变学生的学习方式.研究性学 习优势在于打破传统格局和学科限制,允许在数学课上研究和数学相关的其他问题。它通过 学生综合数学知识,或者数学知识与其它知识的综合来解决一个研究课题。学生综合地运用 各科知识和技能,形成综合解决问题的能力;培养自己发现问题的意识、思考判断能力,掌 握信息的收集、调查、总结的方法;培养以问题解决、探究活动为主的创造能力。? “批判性思维”与“研究性学习”二者的目标是统一的,即都要培养学生的创新精神与创造 力.因此,这两者是相辅相成的,教师可以把它们有机地结合起来.批判性思维可以给学生的 研究性学习提供课题,研究性学习可以成为学生对所学知识进行“批判”的一种载体.? 总之, 中学生蕴藏着极为丰富和巨大的批判潜能, 关键是我们的教育能否营造适合他们 发展的环境,能否为他们创设发展的空间,提供更多发挥其批判潜能的机会。培养学生不盲 从权威,不迷信书本,敢于标新立异,敢于在否定中创新,不拘囿于传统思维定势的批判性 思维,是时代赋予我们教师的重任.或许《礼记,中庸》中“博学之,审问之,慎思之,明 辨之,笃行之”的教诲,才真正道出培养中学生批判性思维的深远意义.

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参考文献: 【1】约翰.杜威.《 我们怎样思维—经验与教育 》 ,姜文闵译 人民教育出版社 2010

【2】 【美】M.Nell Browne.Stuart.M.Keeley 【M】 A Guide to Critical Thinking:Asking the Right Questions 翻译:赵玉芳 向晋辉 中国轻工业出版社

【3】钟启泉.“批判性思维”及其教学【J】 全球教育展望 2002.1 【4】罗情旭. 批判性思维的结构,培养模式及存在的问题 【J】江苏教育研究 2000.4 【5】林崇德,辛涛.智力的培养-----关于思维的批判性【M】.浙江人民出版社 【6】袁振国.教育新理念【M】 北京:北京师范大学出版社 【7】朱慕菊,走进新课程【M】北京:北京师范大学出版社 2002 【8】孔令翠.试论批判性思维能力的培养[J].乐山师范学院学报,2001(1):23. 【9】邹从清.论大学生批判性思维的培养[J].太原理工大学学报,2003,(1):67-69. 作者简介:姓名:刘岩? ? 女? ? 东北师范大学硕士研究生? ? 2005 年毕业参加工作进入深圳中学,一直从事高中数学教学,教过高一,高二,高三。?

高中数学探究式教学初探
——一题多解(变)在探究式教学思维培养中的运用 深圳第二外国语学校 陈乾美 【摘要】探究式教学是新课改的一种创新教学模式,注重学习者的深入参与,强 调学习主体的自我感悟与发现。探究式教学关注思维过程,在教学中教师要确定 好教学思路和用心设计好教学预案和教学环节, 要交给学生学习数学的方法和技 巧,讲究教学策略,能最大限度地激发学生的求知欲望, 要注重培养学生的逻 辑思维能力。 【关键词】 探究式教学 一题多解 (变) 思维培养 数学教学应注重自主探索与合作交流,数学学习是学生自己的活动过程。建 构主义学者认为, 学习是主体在现实的特定操作过程中对自己活动过程的性质作 反省、抽象而产生的,学习数学是一个"做数学(doing mathematics)"的过程。 学生用自己的活动建立对已有的数学知识的理解。数学教学是数学活动的教学, 数学学习不是单纯的知识的接受,而是以学生为主体的数学活动。笔者在数学教 学中一直在思考什么是探究式教学?如何开展探究式教学才能促进学生思维能 力的培养。 探究式教学是一种积极的教学模式,与传统式教学相比,探究式教学更注 重学习者的深入参与,并突出强调学习主体自我感悟与发现,使认知活动和情感 活动自然地交织在一起,达成认知变化与情感变化的统一,从而促进知识理解, 加深掌握。笔者的理解是探究式教学也应有个度,并非所有课型都选用探究式教 学。应在学生拥有相应的基础和知识准备的前提下选择合适的时机,开展探究式 教学才有意义,或者说才是有效的探究。下面笔者从如何搞好探究式教学?以一
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题多解,一题多变为手段开展探究式教学,促进学生思维能力的培养几个方面进 行阐述。 一、教师角色的转变 要搞好探究式教学,教师必须从知识传授者的角色向学生能力发展的促进者 转变,教师要有更大的适应性和灵活性来面对教学工作,教师要深入理解探究式 教学的本质,并掌握一些教学策略和技巧。如怎样提问、怎样设置问题情境、怎 样收集信息及解决问题的方法等下功夫。 二、要营造一个有利于探究式教学的环境。 在日常的教学中要营造一个有利于探究式教学的环境,要不断渗透,让学生 养成自主探究的习惯。要将探究式教学与其它多种教学方法有机结合。事实上, 灵活多样的教学方法有助于提高学习效率。从另外一个角度来看,探究式教学需 要花费很多时间,如果所有的内容都用探究的教学方法,不仅教学时间不允许, 也不一定符合教育的原则。实施探究式教学是当前教育改革的重要方向,教师只 有真正领会其实质才能运用自如,才能真正完成课程改革的目标,也才能使素质 教育、创新教育真正落到实处。 三、探究式教学应从基础入手,以能力培养为导向 探究式教学的总体安排应有一定的梯度。在具体活动的安排上,应遵循由易 到难的原则, 逐步加大探究力度, 逐步激发学生的探究欲。 高中数学大量的定义、 定理、公理令很多学生望而生畏、心灰意冷,对性质的理解一知半解,对定理、 性质的运用牵强附会。 对于高中数学高度的抽象性和严密逻辑性让很多学生都望 而却步。探究式教学,应从基础(定义和基本性质)入手,以能力培养为导向, 进行探究才具有重要意义。比如:引领学生经历概念的形成过程,充分理解概念 的内涵和外延,善于挖掘其性质和定理的引申。 四、鼓励学生打破常规,提倡一题多解和一题多变 在教学中,要想学生能够打破常规,把一题多解和一题多变当成是数学学习 的一种习惯。 就必须要让学生的思维得到发散, 摒弃传统的教学方法。 遇到问题, 让学生凭借自己掌握的知识和拥有的思维能力来解决问题, 教师要给予学生信心, 有时学生的思维能超越教师的思维,提出前所未有的新颖想法,甚至老师都没有 想到。 这个时候, 教师不要急于否定学生的想法, 要耐心听学生把想法表达完整, 学生讲的有理,要给予充分肯定和及时表扬;学生讲的没有道理,也要帮助学生 找出错因。鼓励学生在解决问题上标新立异,有助于加深学生对知识的理解和掌 握,提高学生的解题技巧,有助于培养学生的发散思维、创造思维和灵活运用的 思维。因此,在教学中,教师要多给予学生发表自己想法的机会,对于有独特见 解的学生要给予肯定和表扬,促进学生的数学思维发展。 五、高考强调思维能力的培养 高考把思维能力的考查放在重要的位置。 其原因是思维能力是数学能力的核 心,是人们进行思维活动的基础,是一个人基本素质的主要标志。思维能力是指 使用形式逻辑的思维方式,正确合理地进行判断、推理的思考能力。在数学中思 维能力是使用数学素材进行训练和培养的。因此,在日常的课堂教学中,笔者喜 欢以问题链的形式贯穿课堂,问题导学使课堂具有严密的逻辑性;为了加深知识 点的理解,笔者在合适时机会创设情境,让同学们以一题多解(证) ,以及变式 训练为契机来促进掌握。高考对思维能力的考查提出了三个层次的要求:会对问 题或材料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括;会用演绎、归纳和类比进 行推理;能准确、清晰、有条理地进行表述。
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六、一题多解,一题多变,合作探究 数学的学习既要力求结果正确, 也要讲究方法策略. 一题多变, 一题多解, 优化解题方案是探究式教学的另一主要特点。 由于学生的数学思维有所差异, 思考问题的角度有所侧重,所以采用的解题方法自然有所不同。数学是思维的体 操,培养学生解题的“应变”能力,可以让学生更加巩固、灵活运用所学知识, 增强学习数学的信心。以下笔者结合三个案例的“一题多解,一题多变” ,诠释 它在探究式教学中对思维培养的作用。 案例 1 已知函数 f(x)= x 2 ? 2 x + 3, 其x ∈ [? 1,2], 求f(x)的最大值

分析:该题是一个二次函数的定轴定区间问题,其难度低。选用该例的目的是 让学生明白要求函数最值,就要结合单调性。从而同学们回顾判断函数单调性的 几种方法,结合该二次函数在此区间并非一直单调,而是先单调递减再单调递增 的,于是要通过分段考虑,才能求出 f ( x )在x ∈ [? 1,2]上的的最大值 。只有让学生 一一体验这几种解法,他们亲身经历这几种求解过程,才能区分不同解法在思维 上的联系与区别。对比分析自然就能决策出解此类问题的通用通法,其中最佳解 决方案是数形结合法和导数法。 方 法 一 : 该 题 可 以 利 用 函 数 单 调 性 的 定 义 先 证 明 : 函 数 f(x)=
x 2 ? 2 x + 3, 在x ∈ [? 1,2] 上的单调性,再结合单调区间求 f(x)
max ;

方法二:该题可用二次函数图像,运用数形结合思想,得函数
f ( x ) = x 2 ? 2 x + 3, 在x ∈ [? 1,2] 上的单调性,再结合单调区间求 f(x) max ;

方法三:利用导数方法确定函数 f ( x ) = x 2 ? 2 x + 3, 在x ∈ [? 1,2] 上的单调性,再结 合单调区间求 f(x) max ; 变式教学重在“理解” 在变式教学中,数学认知理解要经历三个层次:其 。 一,操作性理解,即学生懂得了数学的基本概念、原理和方法,能运用所学知识 解决一些识记性与操作性较强的问题;其二,内联性理解,即学生对数学知识的 本质有较深刻的认识,能够把握数学知识之间的内在联系和规律,能够运用所学 知识解决一些综合性问题;其三,应用性理解,即学生深刻理解数学知识,能将 数学思想方法以及所学数学知识迁移到别的情景, 能灵活运用数学知识解决问题。 变式 1:已知函数 f(x)= x 2 ? 2tx + 3, 其x ∈ [? 1,2], 求f(x)的最大值 分析:变式 1 和原例对比只有一次项系数增加了一个参数 t 这一微小的差别,但 这样就由一个二次函数的定轴定区间问题演变成了一个二次函数的动轴定区间 问题,其难度比原题要大些。选用该例的目的是让学生明白影响此题单调性的关 键在于对称轴 x=t(极值点)与所给区间 [? 1,2]的相对位置。自然就联想到分类 讨论思想在本题中的运用。 变式 2:已知函数 f(x)= x 2 ? 2 x + 3, 其x ∈ [t , t + 1], 求f(x)的最大值 分析:变式 2 和原例题对比是由 x ∈ [? 1,2]变为了 x ∈ [t , t + 1] 这一微小的差别,但
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这样就由一个二次函数的定轴定区间问题演变成了一个二次函数的定轴动区间 问题,其难度比原题要大些。选用该例的目的是让同学们明白影响此题单调性的 关键在于对称轴 x=1(极值点)与所给区间 [t , t + 1] 的相对位置。自然也会想到分 类讨论思想在本题中的运用。 变式 3:已知函数 f(x) = x 2 ? 2tx + 3, 其t ∈ [? 1,3]恒有f(x) ≥ 0, 求x的最大值 分 析 : 变 式 3 和 变 式 1 对 比 , 函 数 f(x)= x 2 ? 2tx + 3,由x ∈ [? 1,2]变为了
t ∈ [? 1,3]上恒有 f(x) ≥ 0,求解 x的取值范围。 解此题的关键在于已知变量 t 的范围,

由恒成立问题解不等式。于是此题就不能再停留在以上二次函数的单调性,应变 换主元为:g(t)= (-2x)t+( x 2 + 3) ;将该函数看成是以 t 为变量的一次型函数。 由一次型函数的图像是一条直线,那么它在区间 t ∈ [? 1,3] 上就是单调的。结合这 一特征,要 t ∈ [? 1,3]上恒有f(x) ≥ 0, 只要 g(-1) ≥ 0 且 g(3) ≥ 0,通过解关于 x 的 不等式组得出 x 的取值范围。
x2 ? 2x + 3 变式 4:已知函数 f(x)= , 其x ∈ (0,2], 求f(x)的最小值 x

分析:变式 4 不容易直接作出 f(x)的图像,于是用数形结合思想求 f(x)的最小 值不合适。 方法一: 因为 f ′( x ) =
x2 ? 3 , 易知当 0<x< 3时, f ′( x ) <0;当 x> 3时, f ′( x ) >0. x2

由此可利用求导的思想确定函数在 x ∈ (0,2] 上的单调性,便于求出 f (x ) min 。 方 法 二 : 分 离 变 量 法 得 到
f ( x) = x +

3 ?2 x

, 发 现

3 “ x" 与" " 满足" 一正, 二定, 三相等" ,即符合均值不等式成立的条件,于是借用 x 均值不等式很方便快捷。

变式 5:已知函数 f(x)=

x2 ? 2x + 3 , 其x ∈ [3,4], 求f(x)的最小值 x

分析:变式 5 与变式 4 对比,导数方法仍然简便可行。但分离变量法 3 , f ( x) = x + ? 2 x 3 在x ∈ [3,4)上,其中" x" 与" " 满足" 一正, 二定" , 不满足" 三相等" ,即不符合均值 x 不等式成立的条件。只能用对勾函数图像,来确定单调性,求出 f (x ) min

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七、一题多解重在“通法” 一题多解是培养学生解题能力和发散思维的好方法,但应把握度。其前提是 必须考虑到学生的可接受性,全体学生在教学时间内能够掌握的通法必须讲,而 且要讲清讲透。 某些入口窄、 思路独特的方法、 特殊技巧只适合个别优生学懂的, 可少讲或在课堂上不讲。教学力求体现层次性,要兼顾不同层次的学生,给学生 构建一条“能走的走、能跑的跑、能飞的飞”的多维发展轨道。一题多解的目的 主要是发散学生思维,提升理解,促进对知识的灵活掌握,以达到触类旁通的效 果。这样的课堂往往学生的参与度很高,因为各种解题思路的严谨性和灵活的变 通性对学生的要求比较高。这样的课堂适合自主探究与合作探究相结合, 1 4 案例 2 已知 + = 1 ,且 a > 0, b > 0 ,求 a + b 的最小值. a b 解法 1 (巧用“1” 代换) 1 4 因为 a > 0, b > 0 且 + = 1 得: a b
?1 4? a + b = ( a + b ) ? 1 = ( a + b )? + ? ?a b? b 4a > 0, 符合均值不等式) (多项式展开后, > 0, a b

5+

b 4a b 4a + ≥ 5+ 2 ? = 9 (当且仅当 a = 3, b = 6 取等号). a b a b

解法 2 (构造常数法) 1 4 由 + = 1 且 a > 0, b > 0 。 a b 1 4 + = 1可化为 : ab ? 4a ? b = 0 a b 故可通过凑常数得 ( a ? 1)(b ? 4) = 4 ,又因为 0 < 所以 a > 1, b > 4 .所以 a ? 1 > 0, b ? 4 > 0 . 所以 (a ? 1) + (b ? 4) ≥ 2 (a ? 1) ? (b ? 4) = 4 ,所以 a + b ≥ 9 . 解法 3 (构造增量法) 1 4 1 4 因为 + = 1 且 a > 0, b > 0 ,所以 0 < < 1,0 < < 1 . a b a b 则 a > 1, b > 4 .令 a = 1 + x, b = 4 + y ( x > 0, y > 0) , 代入
1 4 + = 1 得, xy = 4 , a b 1 4 < 1,0 < < 1 , a b

所以 a + b = (1 + x) + ( 4 + y ) = 5 + x + y ≥ 5 + 2 xy = 9 , 当且仅当 x = y = 2 时,即 a = 3, b = 6 时, (a + b )min = 9 .

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解法 4 (消元法) 4a 且 a > 1, 由已知得, b = a ?1 所以 a + b = a +

4 4a 4 + 5 = 9. = a ?1+ + 5 ≥ 2 (a ? 1) ? a ?1 a ?1 a ?1

解法 5 (利用配方法) 1 4 由 + = 1 ( a > 0, b > 0 )得, ( a ? 1)(b ? 4) = 4 ( a > 1, b > 4 ). a b 则 a + b = (a ? 1) + (b ? 4) + 5 = ( a ? 1 ? b ? 4 ) 2 + 2 (a ? 1)(b ? 4) + 5
= ( a ?1 ? b ? 4)2 + 9 ≥ 9 .

解法 6 (利用参数方程三角代换)因为

1 4 1 4 + = 1 且 0 < < 1,0 < < 1 . a b a b 1 4 π 4 1 令 = cos 2 a, = sin 2 a (0 < a < ) , a = . ,b = 2 sin 2 a cos a 2 a b

所以灵活利用“ sin 2 a + cos2 a =1”

a+b=

1 4 sin 2 a + cos2 a 4(sin 2 a + cos2 a ) + 2 = + . cos2 a sin a cos2 a sin 2 a

= 5 + tan 2 a + 4 cot 2 a ≥ 5 + 2 tan 2 a ? 4 cot 2 a = 9
以上六种解法都用到通法“均值不等式”这个工具来实现解题,值得注意的 是这几种解法用均值不等式公式都符合 “一正, 二定, 三相等” 这几个前提条件。 解法 7 (构造二次方程用判别式法) 1 4 设 a + b = s ,则 b = s ? a .将 b = s ? a 代入 + = 1 a b 1 整理得, a 2 + (3 ? s )a + s = 0 .因为 0 < < 1 ,所以 a > 1 . a 所以方程 f ( a ) = a 2 + (3 ? s )a + s = 0 应在 a ∈ (1,+∞ ) 上有实解, 则由函数 f ( a ) = a 2 + (3 ? s )a + s 的草图, 可推理出方程 a 2 + (3 ? s )a + s = 0 根的分布情况:
? ?? = (3 ? s ) 2 ? 4 s ≥ 0 ? 或 f (1) ≤ 0 ? f (1) > 0 ? 3? s ?? >1 2 ?

解得, s ≥ 9 . 解法 8: (先消元,再用导数法判断函数的单调性求最值)
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由已知得, b =
则a + b = a +

4a 且 a > 1, a ?1

a ( a ? 1) + 4a a 2 + 3a 4a = = a ?1 a ?1 a ?1 2 a + 3a a 2 ? 2a ? 3 ( a + 1)( a ? 3) 令f ( a ) = , 运用导数法可得: f ′( a ) = = a ?1 ( a ? 1) 2 ( a ? 1) 2

因为a > 1, 所以( a ? 1) 2 > 0 故当1 < a < 3时,f ′( a ) < 0; 当a > 3时,f ′( a ) > 0 即在a > 1上,f ( a ) min = f (3) = 9 1 4 且 求 + = 1 , a ≥ 9, b > 0 , a + b 的最小值呢?此时解题要注意什么? a b 选用什么解法更合适? 八、由变式引申谈探究式学习 变式是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。如果我们能对已有 的例习题进行变式、拓展、引申,那么一方面可以培养学生积极思考的习惯,提 高学生学习的兴趣, 同时也达到深化理解数学知识、 方法、 思想的目的, “纵 实现 向到底”的功效。运用这种方法的关键是师生要有强烈的问题意识,敢于猜想, 大胆提问,小心求证 3 案例3 已知f(x)=x2-2x+b2,若 ? x∈[0, ] ,f(x)>1成立,求实数b 的 2 取值范围。 3 变式: ? x0∈[0, ] ,f(x0)>1 成立,求实数b 的取值范围。 2 1 引申:已知f(x)=x2,g(x)=( ) x -m,若对于 ? x 1 ∈[-1,3] ? x 2 ∈[0, , 2 2]使得

变式: 已知

f(x 1 )≥g(x 2 ),求m 的取值范围。 总之,探究式教学可以充分挖掘学生分析和解决问题的能力,使学生自身成 为学习的主体,教师为学习的主导。探究解题思路,探究学习方法,通过师生交 流、生生沟通,取长补短,优势互补。在学习过程中,教师要精选习题,有针对 性地进行练习,鼓励一题多解、一题多变,打破常规思维,寻求解题捷径。 只 有这样, 才能让学生充分享受探究的过程,学生才会真正发现数学的乐趣,学 生的思维才能得到锻炼和培养,数学的价值才会大放异彩。 参考文献: [1]徐进勇.高中数学探究式学习.《教学与管理》,2011 (9 ) [2]胡兴勇.高中数学课堂探究式教学之浅谈初探. 现 代 阅 读,2012 (7 ) [3]孟凡举.浅谈高中数学创造性思维的培养.中国校外教育.教学研究 2010(12)

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在立体几何教学中实现数学的教育价值
深圳市光明新区高级中学 韩苗 【摘要】数学教育的核心是“数学”还是“教育”?明确这个问题首先要明确数学的教育价 值。数学的教育价值在于培养学生的数学素质从而提高学生的科学素质,实现素质教育。而 数学素质包括多方面的素质:逻辑思维能力,推理运算能力,视觉观察能力,空间想象能力 和创造力等。而这些能力的获得在中学立体几何教学中可以通过有效的教学设计来实现。 【关键词】立体几何,教育价值,素质,能力 一、借助模型、画图工具等进行立体几何教学,培养学生的空间想象能力 立体几何教学对培养学生的空间想象能力具有独特而显著的作用, 空间想象能力与学生 的知识水平、逻辑思维能力的强弱有密切关系。由于空间想象能力是比较复杂、抽象的思维 过程, 在教学中可以选择实物教学、画图、构造等方法来突破。 例:用一平面截正方体,截面可能会是什么形状?最大面积的截面形状是什么呢? 首先通过感性初探猜想,列出预计猜想到 得截面, 其次进行画图或实践 (用萝卜做模型) 等方法证明猜想的正确与否。 再通过网络的资 料查询,寻找未猜想到的情况。进而引导发现 规律:要得到 n 边形的截面,就要经过正方体 的 n 个面。 该问题起点低,步步加深,给不同层次的考生有发挥能力的余地。通过该问题的思考、探 索与解决, 锻炼了学生的实际操作能力, 培养了学生的空间想象能力和全面考虑问题的能力, 使学生经历了知识的发现过程, 体会到了规律或理论的形成过程, 激发了学生的探索精神与 欲望,提高了学生学习数学的兴趣。 二、落实数学命题教学,强化用数学语言表达逻辑思维过程,锻炼学生的逻辑思维能力 在立体几何的演绎推理证明教学方面, 要改变学生单纯模仿教材中几何推理证明的状况, 首先把学生带入几何思维的世界, 然后引导学生学会运用几何逻辑推理 的规范行使表达数学思维过程,可以有效培养学生运用图形记号、数学 符号语言和逻辑思维能力。
α
A
P

D
B

例:如图,已知PA ⊥ α , PB ⊥ β , 垂足分别为A、B,且α ∩ β = CD,求证:CD ⊥ AB.
C

β

分析:证明异面直线垂直,结合本题已知的垂直条件,思路是转化为定义的应用—线面垂直
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即证明一条直线垂直于另外一条直线所在的平面, 由线面垂直的判定定理可知问题又转化为 证明两组线线垂直。

PA ⊥ CD ? PA ⊥ α ? ? CD ⊥ 平面PAB ? 证明: ? ? PB ⊥ CD ? ? CD ⊥ AB ?? PB ⊥ β ? AB ? 平面PAB ? ? PA ∩ PB = P ?
可以引导学生用下面模式来形象表达自己的逻辑思维过程:

依据 (理由) ?

几何图形

条件 M?

结论 N

三、体验数量关系与位置关系的相辅相成,通过猜想推理,计算验证,提升推理运算能力 物质世界之中数量之间的关系和位置之间的关系,有其一定的规律,揭示这些规律并用 关系式表示出来就构成了数学定式 立体几何主要研究空间中的位置关系, 。 学生会产生错觉: 位置关系是孤立于数量关系而存在的,其实而数量关系和位置关系同时并存,一一对应的。 用数量关系来论证位置关系, 可以很好的锻炼学生的推理运算能力。 下面的例子很好的说明 了数量关系与位置关系规律的对应,特定的位置关系决定了特定的数量关系。 其 b、 如: 在直角△ABC 中,∠C 是直角, 3 边 a、 c 的关系有勾股定理:c = a + b
2 2 2



生猜想:在立体几何里,四面体 D—ABC 中,顶点 D 的三面角 是直三面角.它的四个表面积 S d , S a , S b , S c 的关系按照形 式猜想就可能有: S d = S a + S b + S c
3 3 3 3

此时,在更特殊的情况下检验:取 DA=DB=DC=1,可得: S d =

3 1 , S a = S b = S c = ,从 2 2

而有 S d =
3

3 3 3 3 3 3 , S a + S b + S c = ,猜想被否定。 8 8

但是凭直觉,我们仍相信 S d , S a , S b , Sc 的关系按照形式猜想就可能之间存在着某 种关系。 既然 “立方和” 的关系不对, 那么会不会仍象直角三角形中那样, 是一种 ‘平方和” 的关系呢?注意到在上述特殊情形中,有: S d =
2

3 3 2 2 2 , S a + S b + S c = 。于是我们把猜想 4 4

改为: S d = S a + S b + S c ,我们找不到反例,就要设法证明,而证法也可以类比考虑勾股
2 2 2 2

77

定理的证法:如图(甲)所示,作 CD ⊥ AB于D,则a = BC = AB ? BD,
2 2

b 2 = AC 2 = AB ? AD,从而 :

c 2 = AB 2 = AB( AD + BD) = AB ? AD + AB ? BD = a 2 + b 2,
对于直三面角构成的四面体可作类似的证明:如图(乙)所示,作 DE⊥BC 于 E,因为 AD⊥ 平面 BCD,连 AE,容易证得 AE⊥BC,从而就有:

1 1 ? ?1 ? ?1 S = ? BC ? AE ? = BC 2 ? DE 2 + ( DB 2 + DC 2 ) ? AD 2 = ? BC ? DE ? + 4 4 ?2 ? ?2 ?
2 d

2

2

? ?1 ? ?1 2 2 2 ? AD ? DC ? + ? AD ? DB ? = S a + S b + S c 2 2 ? ? ? ?
本题说明数量关系虽然过程较复杂,但它具有说服性,可以很好的论证位置关系。结合 平面几何, 利用类比教学引导学生猜想得到空间当中存在的类似结论并给出严格证明, 不仅 锻炼了学生的猜测推理能力,获得成就感,也提升了学生的运算能力。 四、巧设开放题,培养学生的创造力,同时有助于培养学生思维的深刻性、广阔性、灵活 性、周密性和批判性 【结论开放型】如图所示,已知三棱锥 S-ABC 中,SA=SB=SC,且 AC + BC = AB .写出你认 为正确的一个结论___________. 【分析】此题为结论开放型填空题,要求学生在分析利用条件的基 础上透彻分析、推理、发现规律,获取结论.比如,通过引 SO⊥平面 ABC,O 为垂足,连接 CO,学生容易发现: 结论 1:O 为⊿ABC 的外心; 结论 2:SO 在平面 SAB 内; 结论 3:平面 SAB⊥平面 ABC 或者其他更有意义的结论. 当底面四边形 ABCD 【条件开放题】 如图, 在直四棱柱 A1 B1C1D1-ABCD 中, (注:填上你认为正确的一种条件即可,不 满足条件____时,有 A1C⊥B1D1。 必考虑所有可能的情形。 ) 【分析】此题为条件开放型填空题,可填入答案有 AC⊥BD 或四边形 ABCD 为菱形或正方形. 数学开放题在传授学科知识、发展综合能力、培养思维品质等方面都具有重要价值。具 体体现在:能保障学生的主题地位,有利于调动学生学习的积极性;有利于实现教学的民主
A
O?

2

2

2

2

2

S

B?

C

78

性,有利于培养学生与人交流和合作的能力;能够促使学生掌握的思想方法、科学的思维方 式以及形成优良的思维品质、正确的数学观和提高数学表达能力,有利于培养创新意识、探 索精神、创造能力;开放题的教学有利于学生体验成功,树立信心,激发兴趣;有利于培养 学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力。 综上,我们数学教育的核心是“数学”还是“教育”的问题已经解决。数学教师要站在 一个高的角度来审视数学课堂教学活动, 重视数学的教育价值, 实现数学在学生终身发展中 的作用和意义。 参考文献:
[1]

程华.浅析合情推理的数学教育价值[J]. 2006.(1). 张文俊.面向新课程的—数学开放题教学[J]. 2011.2. 张力民.浅析立体几何教学中学生综合能力的培养[J].职业教育研究.2007.(2) 方莉萍.再问数学教育的价值[J].教学大观.2009.(20) 苏燕玲.数学教育与素质培养[J].金融科学—中国金融学院学报.1998.(3) 吴国林.在立体几何教学中,重视培养学生的几种意识[J].数理化学习.2008.(5)

[2]

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解密“穆宾巴效应”? ?

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