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【步步高】(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 第四篇 第8讲 推理与证明、复数、算法


8.推理与证明、复数、算法

1.推理方法 (1)合情推理 合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),实验和实践的结果, 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,归纳和类比是合情推理常见的方法,在 解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有利于创新意 识的培养. [问题 1] 图 1 有面积关系:

S△PA′B′ PA′·PB′ = , 则图 2 有体积关系: __________________. S△PAB PA·PB

(2)演绎推理 演绎推理是指如果推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推 理称为演绎推理. 演绎推理的一般模式是“三段论”,包括:①大前提;②小前提;③结论. 2.证明方法 (1)直接证明 ①综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.综合法又叫顺推法或由因导果法. ②分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、 定义、 定理、 公理等), 这种证明方法叫分析法. 分 析法又叫逆推法或执果索因法. (2)间接证明——反证法 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证 明原命题成立,这种证明方法叫反证法.
1

(3)数学归纳法 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: ①(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0∈N )时命题成立; ②(归纳递推)假设 n=k (k≥n0,k∈N )时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.上述证明方法叫 做数学归纳法. [ 问题 2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”时,应假设
* *

________________________________________________________________________. 3.复数的概念 对于复数 a+bi(a, b∈R), a 叫做实部, b 叫做虚部; 当且仅当 b=0 时, 复数 a+bi(a, b∈R) 是实数 a;当 b≠0 时,复数 a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,复数 a+bi 叫做纯虚数. [问题 3] 若复数 z=lg(m -m-2)+i·lg(m +3m+3)为实数,则实数 m 的值为________. 4.复数的运算法则与实数运算法则相同,主要是除法法则的运用,另外复数中的几个常用结 论应记熟: 1+i 1-i 2 4n 4n+1 4n+2 4n+3 (1)(1±i) =±2i;(2) =i; =-i;(3)i =1;i =i;i =-1;i =-i; 1-i 1+i i +i =0. 1- 3i [问题 4] 已知复数 z= , z 是 z 的共轭复数,则| z |=________. 3+i 5.算法 (1)控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件. 在解答这类题目 时首先要弄清楚这两个变量的变化规律,其次要看清楚循环结束的条件,这个条件由输出要 求所决定,看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束. (2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的, 其中没有遗漏也没有重复, 在解 题时对判断条件要仔细辨别,看清楚条件和函数的对应关系,对条件中的数值不要漏掉也不 要重复了端点值. [问题 5] 执行如图所示的程序框图,如果输出 a=341,那么判断框中可以是( )
4n 4n+1 2 2

+i

4n+2

+i

4n+3

1 3 0 2 3 2 =0;(4)设 ω =- ± i,则 ω =1;ω = ω ;ω =1;1+ω +ω 2 2

2

A.k<4? C.k<6?

B.k>5? D.k<7?

易错点 1 复数概念不清 例 1 设复数 z1=1-i,z2=a+2i,若 的虚部是实部的 2 倍,则实数 a 的值为( A.6 B.-6 C.2 D.-2 错因分析 本题易出现的问题有两个方面,一是混淆复数的实部和虚部;二是计算 时,错 用运算法则导致失误. 解析

z2 z1

)

z2 z1

z2 a+2i a+ = = z1 1-i -

+ +



a-2+
2

+a

,故该复数的实部是

a-2
2

,虚部是

a+2
2

.

由题意,知

a+2
2

=2×

a-2
2

.

解得 a=6.故选 A. 答案 A 易错点 2 循环结束条件判断不准 例 2 如图所示是一算法的程序框图,若此程序运行结果为 S=720,则在判断框中应填入关 于 k 的判断条件是( )

3

A.k≥6? C.k≥8?

B.k≥7? D.k≥9?

错因分析 本题可以按照开始的输入值、程序执行的规律和输出结果进行综合解决.容易出 错的就是不清楚这个判断条件是什么,本题是当不满足判断框中的条件时结束循环,当判断 框中的条件满足时执行循环,故应该从 k=10 开始按照递减的方式逐步进行,直到 S 的输出 结果为 720. 解析 第一次运行结果为 S=10,k=9,第二次运行结果为 S=10×9=90,k=8;第三次运 行结果为 S=720, k=7.这个程序满足判断框的条件时执行循环, 故判断条件是 k≥8?.故选 C. 答案 C 易错点 3 类比不当 例 3 已知圆的面积 S(R)=π R ,显然 S′(R)=2π R 表示的是圆的周长:C=2π R.把该结论 类比到空间,写出球中的类似结论:________________________________________. 错因分析 该题易出现的问题是从平面圆类比到空间球的结论时缺乏对应特点的分析,误以 为是球的表面积的导数问题,而无法得到正确的结论. 解析 平面图形的面积应该和空间几何体的表面积问题类比;平面图形的周长应和空间几何 4 4 3 2 体的表面积类比.所以半径为 R 的球的体积为 V(R)= π R ,其导函数 V′(R)= ×3π R = 3 3 4π R ,显然表示的是球的表面积. 4 3 所以结论是: 半径为 R 的球的体积为 V(R)= π R , 其导函数表示的是球的表面积: S=4π R2. 3 4 3 2 答案 半径为 R 的球的体积为 V(R)= π R ,其导函数表示的是球的表面积:S=4π R 3 易错点 4 归纳假设使用不当 1 1 1 * 例 4 用数学归纳法证明: + 2+…+ n<1(n∈N ). 2 2 2
4
2 2

1 1 错因分析 解答本题时,归纳假设使用不当,如果直接应用归纳假设到 n=k+1 有 + 2+… 2 2 1 1 1 1 + k+ k+1=f(k)+ k+1<1+ k+1<1 不成立,就会致使证明中断或随便下结论. 2 2 2 2 1 证明 (1)当 n=1 时,f(1)= <1 成立; 2 1 1 1 * (2)假设当 n=k(k∈N 且 k≥1)时,f(k)<1 成立,即 + 2+…+ k<1 成立,则当 n=k+1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 时,f(k+1)= + 2+…+ k+ k+1= + ( + 2+…+ k)= + f(k)< + ×1=1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 即当 n=k+1 时,命题也成立. 由(1)(2),知不等式对任意 n∈N 都成立.
*

1+ai 1.(2015·青岛质检)设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 的值为( 2-i A.2 1 C.- 2 B.-2 D. 1 2

)

2.(2015·温州五校联考)集合 M={4,-3m+(m-3)i}(其中 i 为虚数单位),N={-9,3}, 若 A∩N≠?,则实数 m 的值为( A.-1 B.-3 C.3 或-3 ) D.3

3.(2015·北京海淀区期末)阅读如图所示的程序框图,如果输入的 n 的值为 6,那么运行相 应程序,输出的 n 的值为( )

A.3 C.10

B.5 D.16
5

4.观察下列各式:1=1 2+3+4=3 3+4+5+6+7=5 4+5+6+7+8+9+10=7 ,…, 可以得出的一般结论是( )
2

2,

2,

2,

2

A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n

B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1) C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n
2

2

D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1) 5.设 f(n)=?

2

?1+i?n+?1-i?n(n∈N*),则集合{f(n)}中元素的个数为( ? ? ? ?1-i? ?1+i?

)

A.1 B.2 C.3 D.无数个 6. (2015·沈阳质量监测)有如图所示的程序框图, 则该程序框图表示的算法的功能是( )

A.输出使 1×2×4×…×n≥1 000 成立的最小整数 n B.输出使 1×2×4×…×n≥1 000 成立的最大整数 n C.输出使 1×2×4×…×n≥1 000 成立的最大整数 n+2 D.输出使 1×2×4×…×n≥1 000 成立的最小整数 n+2 7.(2015·广东七校联考)将全体正整数排成一个三角形数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 … 根据以上排列规律,数阵中第 n(n≥3)行的从左至右的第 3 个数是________. 8.若复数 z1=4+29i,z2=6+9i,其中 i 是虚数单位,则复数(z1-z2)i 的实部为________. 9.在平面上有如下命题“O 为直线 AB 外的一点,则点 P 在直线 AB 上的充要条件是:存在实

6

→ → → 数 x,y,满足OP=x·OA+y·OB,且 x+y=1”,类比此命题,给出在空间相应的一个正确 命题是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 10.(2014·湖北)设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将组成 a 的 3 个 数字按从小到大排成的三位数记为 I(a),按从大到小排成的三位数记为 D(a)(例如 a=815, 则 I(a)=158,D(a)=851).阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个 a, 输出的结果 b=________.

7

学生用书答案精析 8.推理与证明、复数、算法 要点回扣 [问题 1]

VP-A′B′C′ PA′·PB′·PC′ = VP-ABC PA·PB·PC

[问题 2] 三角形三个内角都大于 60° [问题 3] -2 [问题 4] 1 [问题 5] C [根据程序框图,

第一次循环,a=0+1=1,k=1+1=2; 第二次循环,a=4×1+1=5,k=2+1=3; 第三次循环,a=4×5+1=21,k=3+1=4; 第四次循环,a=4×21+1=85,k=4+1=5; 第五次循环,a=4×85+1=341,k=5+1=6. 要使输出的 a=341,判断框中可以是“k<6?”或“k≤5?”. 故选 C.] 查缺补漏 1+ai 1.A [∵ = 2-i ∴ +a - + + = 2-a 2a+1 + i, 5 5

2-a 2a+1 =0, ≠0,∴a=2.] 5 5

2.D [由题意可知-3m+(m-3)i 必为实数,则 m=3,经检验符合题意.] 6 3.B [输入 n=6 时,第一次循环,有 n= =3,i=0+1=1;第二次循环,有 n=3×3+1 2 10 =10,i=1+1=2;第三次循环,有 n= =5,i=2+1=3,退出循环,此时 n=5.] 2 4.B [1=1 ,2+3+4=3 ,3+4+5+6+7=5 ,4+5+6+7+8+9+10=7 ,…,由上述式
2 2 2 2

子可以归纳: 等式左边为连续自然数的和, 有 2n-1 项, 且第一项为 n, 则最后一项为 3n-2, 等式右边均为 2n-1 的平方.] 5.C [f(n)=? =i +(-i) ,
n n

?1+i?n+?1-i?n ? ? ? ?1-i? ?1+i?

8

f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2, f(5)=0,…
∴集合中共有 3 个元素.] 6.D [依题意与题中的程序框图可知,该程序框图表示的算法的功能是输出使

1×2×4×…×n≥1 000 成立的最小整数 n+2.] 7.

n2-n+6
2

[1+ n- 解析 前 n-1 行共用了 行的最后一个数就是 也就是

n-
2

个数,即

n n-
2

个数,也就是说第 n-1

n n-
2

, 那么, 第 n(n≥3)行的从左至右的第三个数是

n n-
2

+3,

n2-n+6
2

.

8.-20 解析 (z1-z2)i=(-2+20i)i=-20-2i, 故(z1-z2)i 的实部为-20. → → 9. O 为平面 ABC 外一点, 则点 P 在平面 ABC 上的充要条件是: 存在实数 x, y, z, 满足OP=x·OA → → +y·OB+z·OC,且 x+y+z=1 10.495 解析 取 a1=815? b1=851-158=693≠815? a2=693; 由 a2=693? b2=963-369=594≠693? a3=594; 由 a3=594? b3=954-459=495≠594? a4=495; 由 a4=495? b4=954-459=495=a4? b=495.

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