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2016版《一点一练》高考数学(理科)专题演练:第十一章 选修4系列(含两年高考一年模拟)


第十一章 选修 4 系列 考点 38 选修 4-1 几何证明选讲 两年高考真题演练 1.

(2015· 湖北)如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线, AB 且 BC=3PB,则AC=________. 2.(2015· 广东)如图,已知 AB 是圆 O 的直径,AB=4,

EC 是圆 O 的切线,切点为 C,BC=1,

过圆心 O 做 BC 的平行 线,分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P,则 OD=________. 3.(2015· 重庆)

如图,圆 O 的弦 AB,CD 相交于点 E,过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P,若 PA=6,AE=9,PC=3,CE∶ED=2∶1, 则 BE=________. 4.(2014· 广东)

如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=2AE,AC △CDF的面积 与 DE 交于点 F,则 =________. △AEF的面积 5.(2014· 湖南)如图,已知 AB,BC 是⊙O 的两条弦,AO⊥BC, AB= 3,BC=2 2,则⊙O 的半径等于________.

第 5 题图

第 6 题图

6.(2014· 陕西)如图,△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆 分别交 AB,AC 于点 E,F,若 AC=2AE,则 EF=________. 7.(2014· 重庆)过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点),再作割 线 PBC 依次交圆于 B, C.若 PA=6, AC=8, BC=9, 则 AB=________. 8.(2014· 湖北)

如图,P 为⊙O 外一点,过 P 点作⊙O 的两条切线,切点分别为 A,B 过 PA 的中点 Q 作割线交⊙O 于 C,D 两点.若 QC=1,CD= 3,则 PB=________. 9.(2014· 新课标全国Ⅰ)

如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (1)证明:∠D=∠E; (2)设 AD 不是⊙O 的直径, AD 的中点为 M, 且 MB=MC, 证明: △ADE 为等边三角形.

10.(2014· 新课标全国Ⅱ)

如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于 点 E.证明: (1)BE=EC; (2)AD· DE=2PB2.

考点 38

选修 4-1 几何证明选讲 一年模拟试题精练

1. (2015· 湖南十三校模拟)如图, 已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交 于点 F,E 是 AB 延长线上一点,且 DF=CF= 2,AF=2BF,若 CE 7 与圆相切,且 CE= 2 ,则 BE=________. 2.(2015· 湖南长沙模拟)

如图,PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B,C 两点, PA= 3,PB=1,则∠PAB=________. 3. (2015· 湖北孝感模拟)如图, AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D, C,AC 经过圆心 O,且 BC=2OC=4,则 AD=________.

第 3 题图

第 4 题图

4. (2015· 湖北襄阳模拟)如图, △ABC 中 AB=AC, ∠ABC=72°, 圆 O 过 A,B 且与 BC 切于 B 点,与 AC 交于 D 点,连 BD.若 BC=2, 则 AC=________.

5.(2015· 宁夏银川模拟)如图所示,已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A、 B 两点,过 A 点作⊙O1

的切线交⊙O2 于点 C, 过点 B 作两圆的割线, 分别交⊙O1、 ⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD∥EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的 长.

6.(2015· 吉林省吉林市模拟)如图,AB 是⊙O 的一条切线,切点 为 B,ADE,CFD,CGE 都是⊙O 的割线,已知 AC=AB. (1)证明:AD· AE=AC2; (2)证明:FG∥AC.

考点 39

选修 44 坐标系与参数方程 两年高考真题演练

1.(2014· 安徽)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为 极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l
? ?x=t+1, 的参数方程是? (t 为参数),圆 C 的极坐标方程是ρ =4cos ?y=t-3 ?

θ ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. 14 B.2 14 C. 2

) D.2 2

? ?x=-1+cos θ , 2 . (2014· 北京 ) 曲线 ? (θ 为参数 ) 的对称中心 ?y=2+sin θ ?

(

) A.在直线 y=2x 上 C.在直线 y=x-1 上 B.在直线 y=-2x 上 D.在直线 y=x+1 上

3.(2014· 江西)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系,则线段 y = 1 - x(0≤x≤1) 的极坐标方程为 ( ) π 1 A.ρ = ,0≤θ ≤ 2 cos θ +sin θ π 1 B.ρ = ,0≤θ ≤ 4 cos θ +sin θ π C.ρ =cos θ +sin θ,0≤θ ≤ 2 π D.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤ 4

4.(2014· 广东)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρsin2 θ =cos θ 和 ρsin θ =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标 为________. 5.(2014· 天津)在以 O 为极点的极坐标系中,圆 ρ=4sin θ 和直 线 ρsin θ =a 相交于 A,B 两点.若△AOB 是等边三角形,则 a 的值 为________. π 6.(2014· 湖南)在平面直角坐标系中,倾斜角为 4 的直线 l 与曲
? ?x=2+cos α , 线 C:? (α 为参数)交于 A,B 两点,且|AB|=2.以坐标 ?y=1+sin α ?

原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 l 的极坐标 方程是________.
? ? π? π? 7.(2014· 陕西)在极坐标系中,点?2, ?到直线ρ sin?θ - ?=1 6? 6? ? ?

的距离是________.
?x=2+t, ? 8. (2014· 重庆)已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数), 以 ? ?y=3+t

坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐 标方程为 ρsin2θ -4cos θ =0(ρ≥0,0≤θ <2π ),则直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 ρ=________. 9.(2015· 重庆)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为
?x=1+3cos t, ? ? (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相 ? ?y=-2+3sin t

同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,直

? π? 线 l 的方程为 2ρ sin?θ - ?=m(m∈R). 4? ?

①求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; ②设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值.

考点 39

选修 44 坐标系与参数方程 一年模拟试题精练

? π? 1.(2015· 江西重点协作体模拟)在极坐标系中,过点?2, ?且垂 6? ?

直于极轴的直线的极坐标方程是( A.ρ = 3sin θ C.ρ sin θ = 3

) B.ρ = 3cos θ D.ρ cos θ = 3

? π? 2.(2015· 四川成都模拟)在极坐标系中,过点?2, ?且与极轴平 2? ?

行的直线方程是(

) C.ρ cos θ =2 D.ρ sin θ =2

π A.ρ =2 B.θ = 2

? ?x= 2cos t, 3. (2015· 江西师大模拟)已知曲线 C 的参数方程为? (t ? ?y= 2sin t

为参数),C 在点(1,1)处的切线为 l,以坐标原点为极点,x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为( )

? ? π? π? A.ρ = 2sin?θ + ? B.ρ sin?θ + ?= 2 4? 4? ? ? ? ? π? π? C.ρ sin?θ + ?=2 D.ρ =sin?θ + ? 4? 4? ? ?

4.(2015· 湖南十三校模拟)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数
? ?x= t, 方程为? (t 为参数),在以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为 ?y=2t ?

极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ -ρsin θ +1=0. 则 l 与 C 的交点直角坐标为________.

5.(2015· 湖北襄阳模拟)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=6sin θ, 以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线 l

?x=2t, 的参数方程为? (t 为参数),求直线 l 被曲线 C 截得的线段 3 ?y= 2 t+1
长度________. 6.(2015· 湖南长沙模拟)已知直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数
? ?x=t-3, 方程为? (t 为参数). 以直角坐标系 xOy 中的原点 O 为极点, ? ?y= 3t

1

x 轴的非负半轴为极轴,圆 C 的极坐标方程为 ρ2-4ρcos θ +3=0, 则圆心 C 到直线 l 距离为________.

?x=t-5, 2 7. (2015· 安徽江南十校模拟)已知直线 l 的参数方程是? ?y=2t
(t 为参数),曲线 C 的极坐标方程是 ρ=8cos θ +6sin θ ,则曲线 C 上到直线 l 的距离为 4 的点个数有________个.

?x=1+2t, 8.(2015· 山西师大模拟)已知直线 l:? (t 为参数), 曲 3 ? y= 2 t
? ?x=cos θ , 线 C1:? ?y=sin θ ?

1

(θ 为参数).

(1)设 l 与 C1 相交于 A,B 两点,求|AB|; 1 (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的2倍, 纵坐标压缩为 3 原来的 2 倍,得到曲线 C2,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到

直线 l 的距离的最小值. 考点 40 选修 4-5 不等式选讲

两年高考真题演练 1. (2014· 安徽)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3, 则实数 a 的值为( )

A.5 或 8 B.-1 或 5 C.-1 或-4 D.-4 或 8 2.(2014· 江西)对任意 x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最 小值为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2014· 广东)不等式|x-1|+|x+2|≥5 的解集为________. 5 1? ? 4. (2014· 湖南)若关于 x 的不等式|ax-2|<3 的解集为?x|-3<x<3?,
? ?

则 a=________. 5.(2014· 陕西)设 a,b,m,n∈R,且 a2+b2=5,ma+nb=5, 则 m2+n2的最小值为________. 1 6. (2014· 重庆)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+2a+2 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 7.(2015· 新课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范 围.

1 1 8.(2014· 新课标全国Ⅰ)若 a>0,b>0,且a+b= ab. (1)求 a3+b3 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由.

考点 40

选修 4-5 不等式选讲

一年模拟试题精练 1. (2015· 江西师大模拟)若关于 x 的不等式|x-1|+|x-3|≤a2-2a -1 在 R 上的解集为?,则实数 a 的取值范围是( A.a<-1 或 a>3 B.a<0 或 a>3 C.-1<a<3 D.-1≤a≤3 2.(2015· 江西重点协作体模拟 )若存在 x∈R,使|2x-a|+2|3- x|≤1 成立,则实数 a 的取值范围是( A.[2,4] B.(5,7) C.[5,7] D.(-∞,5]∪[7,+∞) 3. (2015· 湖南长沙模拟)不等式|x-4|+|x-3|≤a 有实数解的充要 条件是________. 4. (2015· 湖北襄阳模拟)已知 a, b 均为正数且 acos2θ +bsin2θ ≤ 6,则 acos2θ + bsin2θ 的最大值为________. 5.(2015· 湖南十三校模拟)设 x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0 则(x -1)2+(y+2)2+(z-3)2 的最小值为________. 6.(2015· 吉林省吉林市模拟)已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R, 且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (1)求 m 的值; 1 1 1 (2)若 a, b, c∈(0, +∞), 且a+2b+3c=m, 求证: a+2b+3c≥9. ) )

7.(2015· 山西师大模拟)设函数 f(x)=|2x-1|-|x+2|. (1)求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥t2-3t 在[0,1]上无解,求实数 t 的取 值范围.

8.(2015· 宁夏银川模拟)已知 a,b 均为正数,且 a+b=1,证明: (1)(ax+by)2≤ax2+by2; 1?2 ? 1?2 25 ? (2)?a+a? +?b+b? ≥ 2 .
? ? ? ?

第十一章 选修 4 系列 考点 38 【两年高考真题演练】 1 1.2 [由切割线定理知 PA2=PB· PC, 且 BC=3PB, 所以 PA=2PB 1 = 2 PC. 由弦切角定理知 ∠PAB = ∠PCA ,又 ∠APC = ∠BPA ,所以 AB PA 1 △PAB∽△PCA.所以AC=PC=2.] 2.8 [如图所 选修 4-1 几何证明选讲

示,连接 OC,因为 OD∥BC,又 BC⊥AC,所以 OP⊥AC.又 O 1 1 1 为 AB 线段的中点, 所以 OP=2BC=2.在 Rt△OCD 中, OC=2AB=2, OC2 22 由直角三角形的射影定理可得 OC =OP· OD,即 OD= OP = 1 =8, 2
2

故应填 8.] 3.2 62 [首先由切割线定理得 PA =PC· PD,因此 PD= 3 =12,
2

CD=PD-PC=9,又 CE∶ED=2∶1, 因此 CE=6,ED=3,再有相交弦定理 AE· EB=CE· ED,所以 BE= CE·ED 6×3 AE = 9 =2.] [依题意得△CDF∽△AEF,由 EB=2AE 可知 AE∶CD=

4.9 1∶3.



△CDF的面积 ?CD?2 =? ? =9.] △AEF的面积 ? AE ?

3 5.2 [如图, 由已知 AO⊥BC, 可得 E 是 BC 的中点, 即 BE= 2, 故 AE= AB2-BE2=1, 在 Rt△BOE 中, OB2=BE2+OE2, 即 r2=( 2)2 3 +(r-1)2,解得 r=2.]

6.3

[∵四边形 BCFE 内接于圆,

∴∠AEF=∠ACB,又∠A 为公共角, ∴△AEF∽△ACB, EF AE ∴BC=AC, 又∵BC=6,AC=2AE, ∴EF=3.] 7.4 [设 PB=x,由切割线定理得 x(x+9)=62,解得 x=3 或 x

AB PB AB 3 =-12(舍去).又易知△PAB∽△PCA,于是AC= PA ,即 8 =6?AB =4.] 8. 4 [由切割线定理得 QA2=QC· QD=1×(1+3)=4, ∴QA=2,

∵Q 为 PA 的中点,∴PA=2QA=4.故 PB=PA=4.] 9.证明 (1)由题设知 A,B,C,D 四点共圆,所以∠D=∠CBE.

由已知 CB=CE 得∠CBE=∠E,故∠D=∠E. (2)设 BC 的中点

为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC,故 O 在直线 MN 上. 又 AD 不是⊙O 的直径,M 为 AD 的中点,故 OM⊥AD,即 MN⊥AD. 所以 AD∥BC,故∠A=∠CBE. 又∠CBE=∠E,故∠A=∠E. 由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE 为等边三角形. 10. 证明 (1)连接 AB, AC.由题设知 PA=PD, 故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠PAD=∠BAD+∠PAB, ∠DCA=∠PAB, ︵ ︵ 所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC. 因此 BE=EC. (2)由切割线定理得 PA2=PB· PC. 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理得 AD· DE=BD· DC,所以 AD· DE=2PB2. 【一年模拟试题精练】

1 1 1.2 [由 AF· BF=DF· CF 得 BF=1,又 CE2=BE· AE,得 BE=2.] 2. 30° [连接 AO, PA 为圆 O 切线, A 为切点, ∴∠PAO=90°, ∴AP2+AO2=PO2,即 3+r2=(1+r)2?r=1. 由 AP= 3,PO=2,AO=1 及∠PAO=90°可得∠POA=60°, ∴AB=1,AB=PB,∠P=30°,∴∠PAB=30°.] 8 3.3 [由题意可知 BD 与 BC 相等,BD=BC=4, 1 5 OB= OC2+BC2=2 5,∴sin2∠B= 5 , 1 3 cos∠B=1-2sin22∠B=5, ∵AC⊥BC,∴AB= BC 20 =3, cos∠B

20 8 ∴AD=AB-BD= 3 -4=3.] 4.1+ 5 [设 AB=AC=x,在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2

+BC2-2AB· BCcos 72°=AC2, 1 即 x2+4-4xcos 72°=x2,∴x= ,而由 sin 36°=cos cos 72° 54°, 得 2sin 18 ° cos 18 °= 4cos318 °- 3cos 18 °, 2sin 18 °= 4cos218°-3, 2sin 18°=4-4sin218°-3,4sin218°+2sin 18°-1=0,解得 sin 18°= 1.] 5.(1)证明 连接 AB,∵AC 是⊙O1 的切线,∴∠BAC=∠D, 5-1 1 4 ,所以 x = = = 5+1,即 AC= 5+ 4 sin 18° 5-1

又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC.

(2)解

设 BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2,

∴xy=12.① 9+x 6 DP AP ∵AD∥EC,∴ PE =PC,∴ y =2②
? ?x=3, ? ?x=-12, 由①②可得? 或? (舍去). ? ?y=4, ? ?y=-1

∴DE=9+x+y=16,∵AD 是⊙O2 的切线. ∴AD2=DB×DE=9×16,∴AD=12. 6.证明 (1)∵AB 是⊙O 的一条切线,AE 为割线,

∴AB2=AD· AE, 又∵AB=AC,∴AC2=AD· AE; AD AC (2)由(1)有AC=AE , ∵∠EAC=∠CAD,∴△ADC∽△ACE, ∴∠ADC=∠ACE, ∵∠ADC=∠EGF,∴∠EGF=∠ACE, 考点 39 ∴GF∥AC.

选修 4-4 坐标系与参数方程

【两年高考真题演练】
?x=t+1, ? 1.D [由? 消去 t 得 x-y-4=0, ? ?y=t-3

C:ρ=4cos θ?ρ2=4ρcos θ,∴C:x2+y2=4x, 即(x-2)2+y2=4,∴C(2,0),r=2. ∴点 C 到直线 l 的距离 d= |2-0-4| = 2, 2

∴所求弦长=2 r2-d2=2 2.故选 D.] 2.B
? ?x=-1+cos θ, [曲线? (θ 为参数)的普通方程为(x+1)2 ? ?y=2+sin θ

+(y-2)2=1,该曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,其在直 线 y=-2x 上,故选 B.] 3. A
? ?x=ρcos [∵? ? ?y=ρsin

θ, θ,

∴y=1-x 化为极坐标方程为 ρcos θ+

1 ρsin θ=1,即 ρ= .∵0≤x≤1,∴线段在第一象限内 cos θ+sin θ (含端点), π ∴0≤θ≤ 2 .故选 A.] 4.(1,1)
2

[由 ρsin2 θ=cos θ得 ρ2sin 2θ=ρcos θ,其直角坐

2 ? ?y =x, 标方程为 y =x,ρsin θ=1 的直角坐标方程为 y=1,由? 得 ? ?y=1

C1 和 C2 的交点为(1,1).] 5.3 [圆的直角坐标方程为 x2+y2=4y,直线的直角坐标方程为 a a2 y=a,因为△AOB 为等边三角形,则 A(± ,a),代入圆的方程得 3 3 +a2=4a,故 a=3.] 6.ρ (cos θ -sin θ )=1 [由题意得曲线 C 的方程为(x-2)2+ (y-1)2=1,又|AB|=2,故直线 l 过曲线 C 的圆心(2,1),则直线方程 为 y-1=x-2,即 x-y-1=0,故直线 l 的极坐标方程为 ρ(cos θ- sin θ)=1.] 7.1 1? ρ?
? 3 sin ?2 ? ? π? π? [点?2, ?化成直角坐标为( 3,1),直线 ρsin?θ- ?= 6? 6? ? ?

θ-2cos θ?=1 化成直角坐标方程为2x- 2 y+1=0, ?

1

?

1

3

1 3 |2× 3- 2 ×1+1| 故点到直线的距离为 d= =1.] ? 3?2 ?1?2 ? - ? +? ? 2 ? ?2? ? 8. 5 [直线 l 的普通方程为 y=x+1,曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x,故直线 l 与曲线 C 的交点坐标为(1,2).故该点的极径 ρ= x2+y2= 5.] 9.解 =9.
? π? 由 2ρ sin?θ - ?=m,得 4? ?

①消去参数 t,得到圆 C 的普通方程为(x-1)2+(y+2)2

ρ sin θ -ρcos θ -m=0. 所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y+m=0. ②依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2, 即 |1-(-2)+m| =2, 2

解得 m=-3± 2 2. 【一年模拟试题精练】 π 1.D [由题可知 ρcos θ=2×cos 6 即 ρcos θ= 3.]
? π? 2.D [先将极坐标化成直角坐标表示,?2, ?化为(0,2), 2? ?

过(0, 2)且平行于 x 轴的直线为 y=2, 再化成极坐标表示, 即 ρsin

θ=2.故选 D.]
3. B
? ?x= 2cos t, [由? (t 为参数), 两式平方后相加得 x2+y2=2, ? ?y= 2sin t

∴曲线 C 是以(0,0)为圆心,半径等于 2的圆. C 在点(1,1)处的切线 l 的方程为 x+y=2,

令 x=ρcos θ,y=ρsin θ,
? π? 代入 x+y=2, 并整理得 ρcos θ+ρsin θ-2=0, 即 ρsin?θ+ ? 4? ? ? π? = 2或 ρcos?θ- ?= 2, 4? ? ? ? π? π? 则 l 的极坐标方程为 ρsin?θ+ ?= 2或 ρcos?θ- ?= 2,故 4? 4? ? ?

选 B.] 4.(1,2) [ 曲线 C 的普通方程为 y=2x2,直线 l 的直角坐标方 程是 y=x+1,二者联立,求出交点坐标.] 5.4 2 [曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-6y=0,x2+(y-3)2 =9 ,它表示以(0,3)为圆心,3 为半径的圆;直线 l 的直角坐标方 程为 3x-y+1=0,圆心到直线 l 的距离为 d= |-3+1| ( 3)2+(-1)2

=1,所以直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 2 r2-d2=2 9-1= 4 2.] 5 3 6. 2 [直线 l 的普通方程为 y= 3(x+3)? 3x-y+3 3=0,

圆 C 的普通方程为(x-2)2+y2=1,圆心 C 到直线 l 距离为 d= 5 3 2 .] 7.2 [直线 l 的方程是 2x-y+5=0,曲线 C 的方程:(x-4)2

+(y-3)2=25,即以(4,3)为圆心,5 为半径的圆. |2×4-3+5| 又圆心到直线 l 的距离是 d= =2 5,故曲线 C 上到 5 直线 l 的距离为 4 的点有 2 个.] 8.解 (1)l 的普通方程为 y= 3(x-1),

C1 的普通方程为 x2+y2=1.

?y= 3(x-1), ? 联立方程组? 2 2 解得 l 与 C1 的交点为 A(1,0), ?x +y =1, ? ?1 3? B? ,- ?,则|AB|=1. 2? ?2

?x=2cos θ , (2)C 的参数方程为? (θ 为参数).故点 P 的坐标是 3 ?y= 2 sin θ
2

1

?1 ? 3 ? cos θ , sin θ ?, 2 ?2 ? ? 3 ? 3 ? cos θ - sin θ - 3? 2 ? 2 ?

从而点 P 到直线 l 的距离是 d=
? ? π? 3? ? 2sin?θ - ?+2?, 4? 4? ? ?

2



? π? 6 由此当 sin?θ - ?=-1 时, d 取得最小值, 且最小值为 4 ( 2- 4? ?

1). 考点 40 【两年高考真题演练】 a 1.D [令 x+1=0 得 x1=-1;令 2x+a=0 得 x2=-2, a ①当-1>-2,即 a>2 时, 选修 4-5 不等式选讲

? ? a f(x)=? 其图象如图所示, x+a-1,-2≤x≤-1, ? ?3x+a+1,x>-1,
? a? ? a ? 则 fmin(x)=f?-2?=?-2+1?+|-a+a|=3,解得 a=8. ? ? ? ?

a -3x-a-1,x<-2,

a ②当-1<-2,即 a<2 时,

-3x-a-1,x<-1, ? ?-x+1-a,-1≤x≤-a, 2 f(x)=? a ? 3 x + a + 1 , x >- ? 2, 其图象如图所示,
? a? ? a ? 则 fmin(x)=f?-2?=?-2+1?+|-a+a|=3 解得 a=-4. ? ? ? ?

a ③当-1=-2,即 a=2 时,f(x)=3|x+1|≥0 不符合题意. 综上所述,a=-4 或 8.] 2.C [∵|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+ y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3, 当且仅当(1-x)· x≥0,(1-y)· (1+y)≥0,即 0≤x≤1,-1≤y≤1 时等号成立, ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为 3.] 3.{x|x≥2 或 x≤-3} [原不等式可化为以下三个不等式组:

?x≥1, ? (1)? ?x-1+x+2≥5; ? ? ?x≤-2, (2)? ?1-x-(x+2)≥5; ? ? ?-2<x<1, (3)? ? ?1-x+x+2≥5

解(1)得 x≥2;解(2)得 x≤-3; (3)无解,因此原不等式的解集为{x|x≥2 或 x≤-3}.] 4.-3 [依题意,知 a≠0.|ax-2|<3?-3<ax-2<3?-1<ax<5,

? 1 5? 当 a>0 时,不等式的解集为?-a,a?, ? ?

5 1 ? ?a=3, 从而有? 此方程组无解. 1 5 ? ?-a=-3, 1? ?5 当 a<0 时,不等式的解集为?a,-a?, ? ? 5 5 ? =- ?a 3, 从而有? 解得 a=-3.] 1 1 ? ?-a=3, 5. 5 [由柯西不等式,得(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,将已知

代入得 m2+n2≥5? m2+n2≥ 5.] 1? ? 6.?-1,2?
? ?

5 [令 f(x)=|2x-1|+|x+2|,易求得 f(x)min=2,依题意

1 5 1 得 a2+2a+2≤2?-1≤a≤2.] 7.解 (1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0.

当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解;

2 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得3<x<1; 当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2.
? ?2 ? 所以 f(x)>1 的解集为?x?3<x<2?. ? ? ?

x-1-2a,x<-1, ? ? (2)由题设可得,f(x)=?3x+1-2a,-1≤x≤a, ? ?-x+1+2a,x>a. 所以函数 f(x) 的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A?
? ?2a-1

3

,0?,B(2a+1,0),C(a,a+1),
?

?

2 △ABC 的面积为3(a+1)2. 2 由题设得3(a+1)2>6,故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2,+∞). 8.解 号成立. 故 a3+b3≥2 a3b3≥4 2,且当 a=b= 2时等号成立. 所以 a3+b3 的最小值为 4 2. (2)由(1)知,2a+3b≥2 6· ab≥4 3. 由于 4 3>6,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6. 【一年模拟试题精练】 1.C [|x-1|+|x-3|的几何意义是数轴上与 x 对应的点到 1、3 对应的两点距离之和,故它的最小值为 2, ∵原不等式解集为?, ∴a2-2a-1<2. 即 a2-2a-3<0, 解得- 1<a<3. 故选 C.] 1 1 2 (1)由 ab=a+b≥ ,得 ab≥2,且当 a=b= 2时等 ab

2. C [∵|2x-a|+2|3-x|=|2x-a|+|6-2x|≥|2x-a+6-2x|=|a -6|,∴|a-6|≤1,∴5≤a≤7.] 3.a≥1 [a≥|x-4|+|x-3|有解?a≥(|x-4|+|x-3|)min=1.]

4. 6 [由于(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),所以( acos2θ+ bsin2

θ)2≤(acos2θ+bsin2θ)(cos2θ+sin2θ)≤6,
∴ acos2θ+ bsin2θ≤ 6,所以 acos2θ+ bsin2θ的最大值 为 6. ] 5.9 [[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](22+22+12)≥[2(x-1)+2(y+

2)+(z-3)]2=(2x+2y+z-1)2=81.] 6.(1)解 因为 f(x+2)=m-|x|,

所以 f(x+2)≥0 等价于|x|≤m, 由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1. (2)证明 1 1 1 由(1)知a+2b+3c=1,又 a,b,c∈(0,+∞),

1? ?1 1 ∴a+2b+3c=(a+2b+3c)?a+2b+3c?≥ ? ?
? ? ?

1 a·a+

1 2b · 2b+

1 ?2 ? =9.∴a+2b+3c≥9. 3 c· 3c
?

7.解

x-3,x≥2, ? ? 1 ,所以原不等式转化为 (1)f(x) = ? -3x-1,-2≤x<2 ? ?3-x,x<-2,

1

?x≥1, ?-2≤x<1, ? ?x<-2, 2 或? 或? 所以原不等式的解集为 ? 2 ? ?3-x≥3, ?x-3≥3, ?-3x-1≥3,
4? ? ?-∞,- ?∪[6,+∞). 3? ?

(2)只要 f(x)max<t2-3t, 3+ 5 3- 5 由(1)知 f(x)max=-1<t2-3t 解得 t> 2 或 t< 2 .
? ? 3- 5? ?3+ 5 ?∪? ?. 即 t 的取值范围是?-∞, ,+∞ 2 ? ? 2 ? ?

8.证明 2abxy,

(1)(ax + by)2 - (ax2 + by2) = a(a - 1)x2 + b(b - 1)y2 +

因为 a+b=1,所以,a-1=-b,b-1=-a, 故(ax+by)2-(ax2+by2)=a(a-1)x2+b(b-1)y2+2abxy =-ab(x2+y2-2xy)=-ab(x-y)2≤0, 当且仅当 a=b 时等号成立. 1?2 ? 1?2 1? ? ?1 (2)?a+a? +?b+b? =4+a2+b2+?a2+b2?
? ? ? ? ? ?

(a+b)2 (a+b)2 =4+a +b + + a2 b2
2 2

2b b2 a2 2a =4+a +b +1+ a +a2+b2+ b +1
2 2

(a+b) a? ?b a? ?b =4+(a +b )+2+2?a+b? +?a2+b2? ≥4+ + 2 +4 +2 2 ? ? ? ?
2 2

2

2

2

25 = 2 .当且仅当 a=b 时等号成立.


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