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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.5 双曲线


§ 9.5





1.椭圆的概念 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点 叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 a>c,则集合 P 为椭圆; (2)若 a=c,则集合 P 为线段; (3)若 a<c,则集合 P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 + =1 (a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1 (a>b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系 [知识拓展] 点 P(x0,y0)和椭圆的关系
2 x2 y0 0 (1)点 P(x0,y0)在椭圆内? 2+ 2<1. a b

-a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

性 质

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c c e= ∈(0,1) a c2=a2-b2

-1-

2 x2 y0 0 (2)点 P(x0,y0)在椭圆上? 2+ 2=1. a b 2 x2 y0 0 (3)点 P(x0,y0)在椭圆外? 2+ 2>1. a b

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( × ) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1,F2 构成△PF1F2 的周长为 2a+2c(其中 a 为椭圆的长半轴长,c 为椭圆的半焦距).( √ ) (3)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆.( × ) (4)方程 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ y x (5) 2+ 2=1 (a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( × a b
2 2

)

)

x2 y2 y2 x2 (6) 2+ 2=1 (a>b>0)与 2+ 2=1(a>b>0)的焦距相同.( √ ) a b a b

x2 y2 1.椭圆 + =1 的焦距为 4,则 m 等于( 10-m m-2 A.4 C.4 或 8 答案 C 解析 当焦点在 x 轴上时,10-m>m-2>0, 10-m-(m-2)=4,∴m=4. B.8 D.12

)

当焦点在 y 轴上时,m-2>10-m>0,m-2-(10-m)=4,∴m=8. 1 2. (2013· 广东)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1, 0), 离心率等于 , 则 C 的方程是( 2 x2 y2 A. + =1 3 4 x2 y2 C. + =1 4 2 答案 D c 1 x2 y2 解析 由题意知 c=1,e= = ,所以 a=2,b2=a2-c2=3.故所求椭圆方程为 + =1. a 2 4 3 x2 y2 3. 设 P 是椭圆 + =1 上的点, 若 F1、 F2 是椭圆的两个焦点, 则△PF1F2 的周长为________. 25 16 答案 16 解析 △PF1F2 的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2| x2 y2 B. + =1 4 3 x2 y2 D. + =1 4 3 )

-2-

=2a+2c=10+6=16. x2 y2 4.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两焦点为 F1、F2,以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分 a b 正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________. 答案 3-1

解析 设过左焦点 F1 的正三角形的边交椭圆于 A,则|AF1|=c,|AF2|= 3c,有 2a=(1+ 3)c, c 2 ∴e= = = 3-1. a 1+ 3

题型一 椭圆的定义及标准方程 例 1 (1)已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,且点 N(2,0),线段 AN 的垂 直平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3 倍,并且过点 P(3,0),则椭圆的方程为 ________________. (3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P1( 6,1)、P2(- 3,- 2),则 椭圆的方程为________. 思维点拨 (1)主要考虑椭圆的定义; (2)要分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况; (3)可以用待定系数法求解. x2 y2 x2 答案 (1)B (2) +y2=1 或 + =1 9 81 9 x2 y2 (3) + =1 9 3 解析 (1)点 P 在线段 AN 的垂直平分线上, 故|PA|=|PN|, 又 AM 是圆的半径, ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|, 由椭圆定义知,P 的轨迹是椭圆. x2 y2 (2)若焦点在 x 轴上,设方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 32 02 ∵椭圆过 P(3,0),∴ 2+ 2=1,即 a=3, a b x2 又 2a=3×2b,∴b=1,方程为 +y2=1. 9 )

-3-

y2 x2 若焦点在 y 轴上,设方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 02 32 ∵椭圆过点 P(3,0).∴ 2+ 2=1,即 b=3. a b y2 x2 又 2a=3×2b,∴a=9,∴方程为 + =1. 81 9 x2 2 y2 x2 ∴所求椭圆的方程为 +y =1 或 + =1. 9 81 9 (3)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n). ∵椭圆经过点 P1、P2,∴点 P1、P2 的坐标适合椭圆方程.
?6m+n=1, ? 则? ?3m+2n=1, ② ?



?m=9, ①、②两式联立,解得? 1 ?n=3.
x2 y2 ∴所求椭圆方程为 + =1. 9 3 思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要

1

注意常数 2a>|F1F2|这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点 所在位置,然后再根据条件建立关于 a,b 的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两 解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为 mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n)的形式. (1) 过点 ( 3 ,- 5) ,且与椭圆 ________. y2 (2)(2014· 安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过点 F1 的直线交椭 b 圆 E 于 A,B 两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为______________________. y2 x2 答案 (1) + =1 20 4 3 (2)x2+ y2=1 2 y2 x2 + = 1 有相同焦点的椭圆的标准方程为 25 9

y2 x2 解析 (1)方法一 椭圆 + =1 的焦点为(0,-4),(0,4),即 c=4. 25 9 由椭圆的定义知,2a= ? 3-0?2+?- 5+4?2+ ? 3-0?2+?- 5-4?2,解得 a=2 5. 由 c2=a2-b2 可得 b2=4. y2 x2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 20 4 方法二 ∵所求椭圆与椭圆 y2 x2 + =1 的焦点相同, 25 9

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∴其焦点在 y 轴上,且 c2=25-9=16. y2 x2 设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b ∵c2=16,且 c2=a2-b2,故 a2-b2=16.① 又点( 3,- 5)在所求椭圆上, ∴ ?- 5?2 ? 3?2 + 2 =1, a2 b

5 3 即 2+ 2=1.② a b 由①②得 b2=4,a2=20, y2 x2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 20 4 (2)设点 B 的坐标为(x0,y0). y2 ∵x2+ 2=1, b ∴F1(- 1-b2,0),F2( 1-b2,0). ∵AF2⊥x 轴,∴A( 1-b2,b2). → → ∵|AF1|=3|F1B|,∴AF1=3F1B, ∴(-2 1-b2,-b2)=3(x0+ 1-b2,y0). 5 b2 ∴x0=- 1-b2,y0=- . 3 3 5 b2 - 1-b2,- ?. ∴点 B 的坐标为? 3? ? 3 5 b2 y2 - 1-b2,- ?代入 x2+ 2=1, 将 B? 3? ? 3 b 2 得 b2= . 3 3 ∴椭圆 E 的方程为 x2+ y2=1. 2 题型二 椭圆的几何性质 例 2 (2014· 江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别是椭圆 x2 y2 + =1(a>b>0)的左,右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2 并 a2 b2 延长交椭圆于点 A, 过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C, 连接 F1C. 4 1? (1)若点 C 的坐标为? ?3,3?,且 BF2= 2,求椭圆的方程; (2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值. 思维点拨 (1)根据椭圆的定义,建立方程关系即可求出 a、b 的值.

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(2)求出 C 的坐标,利用 F1C⊥AB 建立斜率之间的关系,解方程即可求出 e 的值. 解 设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为 B(0,b),所以 BF2= b2+c2=a. 又 BF2= 2,故 a= 2. 4 1? 因为点 C? ?3,3?在椭圆上, 16 1 9 9 所以 2 + 2=1,解得 b2=1. a b x2 故所求椭圆的方程为 +y2=1. 2 (2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上, x y 所以直线 AB 的方程为 + =1. c b

解方程组

? ?x y ?a +b =1,
2 2 2 2 2

x y + =1, c b



? ? ? b?c -a ? ? ?y = a +c ,
x1=
1 2 2 2 2 2 2

2a2c , a2+c2

?x2=0, ? ? ? ?y2=b.

? 2a c b?c -a ?? 所以点 A 的坐标为? 2 2, 2 2 ?. a +c ? ? a +c
又 AC 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性,

? 2a c b?a -c ?? 可得点 C 的坐标为? 2 2, 2 2 ?. a +c ? ? a +c
2

2

2

b?a2-c2? -0 a2+c2 b?a2-c2? 因为直线 F1C 的斜率为 2 = 2 , 2a c 3a c+c3 2 2-?-c? a +c b 直线 AB 的斜率为- ,且 F1C⊥AB, c b?a2-c2? ? b? 所以 2 ·- =-1. 3a c+c3 ? c? 又 b2=a2-c2,整理得 a2=5c2. 1 5 故 e2= ,因此 e= . 5 5 思维升华 求椭圆的离心率的方法: (1)直接求出 a、c 来求解 e,通过已知条件列方程组,解出 a、c 的值; (2)构造 a、c 的齐次式,解出 e,由已知条件得出 a、c 的二元齐次方程,然后转化为关于离心 率 e 的一元二次方程求解; (3)通过特殊值或特殊位置,求出离心率.

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(1)已知点 F1,F2 是椭圆 x2+2y2=2 的两个焦点,点 P 是该椭圆上的一个动点, → → 那么|PF1+PF2|的最小值是( A.0 B.1 C.2 D.2 2 x2 y2 (2)(2013· 辽宁)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,椭圆 C 与过原点的直线相交于 a b 4 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF= ,则 C 的离心率 e=________. 5 5 答案 (1)C (2) 7 → 解析 (1)设 P(x0,y0),则PF1=(-1-x0,-y0), → → → PF2=(1-x0,-y0),∴PF1+PF2=(-2x0,-2y0), → → 2 ∴|PF1+PF2|= 4x2 0+4y0
2 =2 2-2y2 0+y0

)

=2 -y2 0+2. ∵点 P 在椭圆上,∴0≤y2 0≤1, → → ∴当 y2 0=1 时,|PF1+PF2|取最小值 2.故选 C. 4 (2)如图,在△ABF 中,|AB|=10,|AF|=6,且 cos∠ABF= , 5 设|BF|=m, 由余弦定理,得 4 62=102+m2-20m· , 5 ∴m2-16m+64=0,∴m=8. 1 因此|BF|=8,AF⊥BF,c=|OF|= |AB|=5. 2 设椭圆右焦点为 F′,连接 BF′,AF′, 由对称性,得|BF′|=|AF|=6, ∴2a=|BF|+|BF′|=14. c 5 ∴a=7,因此离心率 e= = . a 7 题型三 直线与椭圆位置关系的相关问题 x2 y2 5 例 3 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 B(0,4),离心率 e= ,直线 l 交椭圆于 M,N a b 5 两点. (1)若直线 l 的方程为 y=x-4,求弦 MN 的长. (2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F,求直线 l 方程的一般式.
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思维点拨

直线与圆锥曲线的位置关系问题,一般可以直接联立方程,“设而不求”,把方

程组转化成关于 x 或 y 的一元二次方程,利用根与系数的关系及弦长公式求解. c 5 c2 1 解 (1)由已知得 b=4,且 = ,即 2= , a 5 a 5 a2-b2 1 ∴ 2 = ,解得 a2=20, a 5 x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 20 16 则 4x2+5y2=80 与 y=x-4 联立, 40 消去 y 得 9x2-40x=0,∴x1=0,x2= , 9 ∴所求弦长|MN|= 1+12|x2-x1|= 40 2 . 9

(2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0),设线段 MN 的中点为 Q(x0,y0), 由三角形重心的性质知 → → BF=2FQ, 又 B(0,4),∴(2,-4)=2(x0-2,y0),故得 x0=3,y0=-2, 即得 Q 的坐标为(3,-2). 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1+x2=6,y1+y2=-4,
2 2 x1 y1 x2 y2 2 2 且 + =1, + =1, 20 16 20 16

?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? 以上两式相减得 + = 0, 20 16 y1-y2 4 x1+x2 ∴kMN= =- · 5 y1+y2 x1-x2 4 6 6 =- × = , 5 -4 5 6 故直线 MN 的方程为 y+2= (x-3), 5 即 6x-5y-28=0. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方

程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问 题常常用“点差法”解决,往往会更简单. (2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 1 ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2](k 为直线斜率). k
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提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式. x2 y2 (2014· 课标全国Ⅱ)设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,M a b 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. b2 解 (1)根据 c= a2-b2及题设知 M(c, ), a b2 a 3 = ,2b2=3ac. 2c 4 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac, c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意,得原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点, b2 故 =4,即 b2=4a.① a 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则

? ? ?x1=-2c, ?2?-c-x1?=c, ? 即? ?-2y1=2, ? ? ?y1=-1.
9c2 1 代入 C 的方程,得 2+ 2=1.② 4a b 9?a2-4a? 1 将①及 c= a -b 代入②得 + =1. 4a2 4a
2 2

3

解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2 7.

高考中求椭圆的离心率问题 1 x2 y2 典例:(1)(2014· 江西)过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A,B 2 a b 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________. x2 y2 (2)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点 P 使 a b

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a c = ,则椭圆的离心率的取值范围为______. sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 思维点拨 (1)利用点差法得出关于 a,b 的方程. (2)由正弦定理将已知等式转化为|PF1|、|PF2|的等量关系.

解析 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ?x y ?a +b =1,
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 2+ 2=1, a b

∴ ∴ ∵

?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? + =0, a2 b2 y1-y2 b2 x1+x2 =- 2· . a y1+y2 x1-x2 y1-y2 1 =- , 2 x1-x2

x1+x2=2,y1+y2=2, b2 1 ∴- 2=- , a 2 ∴a2=2b2.又∵b2=a2-c2, c 2 ∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2,∴ = . a 2 (2)依题意及正弦定理, 得 即 ∴ |PF2| a = (注意到 P 不与 F1F2 共线), |PF1| c |PF2| a = , 2a-|PF2| c 2a c 2a c 2a -1= ,∴ = +1> , |PF2| a |PF2| a a+c

2 即 e+1> ,∴(e+1)2>2. 1+e 又 0<e<1,因此 2-1<e<1. 答案 (1) 温馨提醒 2 (2)( 2-1,1) 2 离心率是椭圆的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点.这类问题一般有

两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范 围.无论是哪类问题,其难点都是建立关于 a,b,c 的关系式(等式或不等式),并且最后要把 其中的 b 用 a,c 表达,转化为关于离心率 e 的关系式,这是化解有关椭圆的离心率问题难点 的根本方法.

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方法与技巧 1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解、掌握定义是关键,应注意定义中的常数大 于|F1F2|,避免了动点轨迹是线段或不存在的情况. 2.求椭圆方程的方法,除了直接根据定义外,常用待定系数法. x2 y2 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,设方程为 + =1 (m>0,n>0,且 m≠n) m n 可以避免讨论和烦琐的计算,也可以设为 Ax2+By2=1 (A>0,B>0,且 A≠B),这种形式在解 题中更简便. 3.讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点,求离心率的常用方法有以下两种: c (1)求得 a,c 的值,直接代入公式 e= 求得; a (2)列出关于 a,b,c 的齐次方程(或不等式),然后根据 b2=a2-c2,消去 b,转化成关于 e 的 方程(或不等式)求解. 失误与防范 1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x2 与 y2 的分母大小. x2 y2 2.注意椭圆的范围,在设椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上点的坐标为 P(x,y)时,则|x|≤a,这往往在 a b 求与点 P 有关的最值问题中用到,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) x y 1.“2<m<6”是“方程 + =1 表示椭圆”的( m-2 6-m A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B x2 y2 解析 若 + =1 表示椭圆. m-2 6-m m-2>0, ? ? 则有?6-m>0, ? ?m-2≠6-m, B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

)

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∴2<m<6 且 m≠4. x2 y2 故“2<m<6”是“ + =1 表示椭圆”的必要不充分条件. m-2 6-m 2.若椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,且长轴长是短轴长的两倍.则 m 的值为( 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 答案 A y2 解析 将原方程变形为 x2+ =1. 1 m 1 由题意知 a2= ,b2=1,∴a= m ∴ 1 1 =2,∴m= . m 4 1 ,b=1. m )

x2 3.(2014· 福建)设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 +y2=1 上的点,则 P,Q 两点间的 10 最大距离是( A.5 2 C.7+ 2 答案 D 解析 如图所示,设以(0,6)为圆心,以 r 为半径的圆的方程为 x2 x2 +(y-6) =r (r>0),与椭圆方程 +y2=1 联立得方程组,消掉 10
2 2

) B. 46+ 2 D.6 2

x2 得 9y2+12y+r2-46=0. 令 Δ=122-4×9(r2-46)=0, 解得 r2=50,即 r=5 2. 由题意易知 P,Q 两点间的最大距离为 r+ 2=6 2,故选 D. x2 y2 4. 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右顶点分别是 A、 B, 左、 右焦点分别是 F1、 F2, 若|AF1|, |F1F2|, a b |F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( 1 5 1 A. B. C. D. 5-2 4 5 2 答案 B 解析 由题意知|AF1|=a-c, |F1F2|=2c, |F1B|=a+c, 且三者成等比数列, 则|F1F2|2=|AF1|· |F1B|, 即 4c2=a2-c2,a2=5c2, 1 5 所以 e2= ,所以 e= . 5 5 )

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x2 y2 5.已知圆 M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为 2,椭圆 C: 2+ =1 的左焦点为 F(-c,0), a 3 若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切,则 a 的值为( 3 A. B.1 C.2 D.4 4 答案 C 解析 圆 M 的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2, 则由题意得 m2+3=4,即 m2=1(m<0), ∴m=-1,则圆心 M 的坐标为(1,0). 由题意知直线 l 的方程为 x=-c, 又∵直线 l 与圆 M 相切,∴c=1,∴a2-3=1,∴a=2. x2 y2 6.(2013· 福建)椭圆 Г: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3 a b (x+c)与椭圆 Г 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________. 答案 3-1 )

解析 由直线方程为 y= 3(x+c), 知∠MF1F2=60° ,又∠MF1F2=2∠MF2F1, 所以∠MF2F1=30° , MF1⊥MF2, 所以|MF1|=c,|MF2|= 3c, 所以|MF1|+|MF2|=c+ 3c=2a. c 即 e= = 3-1. a x2 y2 7.(2014· 辽宁)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称 9 4 点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=________. 答案 12 x2 y2 解析 椭圆 + =1 中,a=3. 9 4 如图,设 MN 的中点为 D, 则|DF1|+|DF2|=2a=6. ∵D,F1,F2 分别为 MN,AM,BM 的中点, ∴|BN|=2|DF2|, |AN|=2|DF1|, ∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12. x2 8.椭圆 +y2=1 的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 为椭圆上一动点,若∠F1PF2 为钝角,则 4
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点 P 的横坐标的取值范围是________. 2 6 2 6 答案 (- , ) 3 3 解析 设椭圆上一点 P 的坐标为(x,y), → → 则F1P=(x+ 3,y),F2P=(x- 3,y). → → ∵∠F1PF2 为钝角,∴F1P· F2P<0, 即 x2-3+y2<0,① x2 x2 ∵y2=1- ,代入①得 x2-3+1- <0, 4 4 3 2 8 x <2,∴x2< . 4 3 2 6 2 6 2 6 2 6 解得- <x< ,∴x∈(- , ). 3 3 3 3 x2 y2 2 9.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,其中左焦点为 F(-2,0). a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 M 在圆 x2+y2=1 上, 求 m 的值. c 2 = , ? ?a 2 (1)由题意,得? c=2, ? ?a =b +c .
2 2 2



?a=2 2, 解得? ?b=2.

x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)设点 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 线段 AB 的中点为 M(x0,y0), x y ? ? 8 + 4 =1, 由? 消去 y 得,3x2+4mx+2m2-8=0, ? ?y=x+m. Δ=96-8m2>0,∴-2 3<m<2 3, x1+x2 2m m ∵x0= =- ,∴y0=x0+m= , 2 3 3 ∵点 M(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上, 2m m 3 5 ∴(- )2+( )2=1,∴m=± . 3 3 5
2 2

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x2 y2 10.(2014· 重庆)如图,设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2, a b 点 D 在椭圆上,DF1⊥F1F2, (1)求椭圆的标准方程; (2)设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相 互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径. 解 (1)设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c2=a2-b2. 由 |F1F2| |F1F2| 2 =2 2,得|DF1|= = c. |DF1| 2 2 2 |F1F2| 2 =2 2,△DF1F2 的面积为 . |DF1| 2

1 2 2 从而 S△DF1F2= |DF1||F1F2|= c2= , 2 2 2 故 c=1. 从而|DF1|= 2 , 2

9 由 DF1⊥F1F2,得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2= , 2 因此|DF2|= 3 2 ,所以 2a=|DF1|+|DF2|=2 2, 2

故 a= 2,b2=a2-c2=1. x2 因此,所求椭圆的标准方程为 +y2=1. 2 x2 (2)如图,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交,P1(x1,y1),P2(x2, 2 y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2. 由圆和椭圆的对称性,易知 x1=-x2,y1=y2,|P1P2|=2|x1|. 由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0), → → 所以F1P1=(x1+1,y1),F2P2=(-x1-1,y1).
2 再由 F1P1⊥F2P2,得-(x1+1)2+y1 =0.

x2 1 由椭圆方程得 1- =(x1+1)2, 2 4 即 3x2 1+4x1=0,解得 x1=- 或 x1=0. 3 当 x1=0 时,P1,P2 重合,此时题设要求的圆不存在. 4 当 x1=- 时,过 P1,P2 分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C. 3 由 F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2, 知 CP1⊥CP2,又|CP1|=|CP2|,

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故圆 C 的半径|CP1|=

2 4 2 |P P |= 2|x1|= . 2 1 2 3 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟)

x2 y2 3 11.(2014· 大纲全国)已知椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 ,过 a b 3 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( x y A. + =1 3 2 x2 y2 C. + =1 12 8 答案 A 解析 ∵△AF1B 的周长为 4 3,∴4a=4 3, ∴a= 3,∵离心率为 3 ,∴c=1, 3
2 2

)

x B. +y2=1 3 x2 y2 D. + =1 12 4

2

x2 y2 ∴b= a2-c2= 2,∴椭圆 C 的方程为 + =1. 3 2 x2 y2 12.(2013· 四川)从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭 a b 圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭 圆的离心率是( A. 2 4 )

1 2 3 B. C. D. 2 2 2

答案 C 解析 由题意可设 P(-c,y0)(c 为半焦距), y0 b kOP=- ,kAB=- ,由于 OP∥AB, c a y0 b bc ∴- =- ,y0= , c a a

?bc?2 2 ?a? bc ? - c ? ? 把 P? ?-c, a ?代入椭圆方程得 a2 + b2 =1,
c? 2 1 c 2 而? ?a? =2,∴e=a= 2 .选 C. 13.已知 F1、F2 是椭圆 C 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,且满足|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30° , 则椭圆的离心率为________. 答案 3 3

解析 在三角形 PF1F2 中,由正弦定理得

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π sin∠PF2F1=1,即∠PF2F1= . 2 设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F2F1|= 3. 2c 3 ∴离心率 e= = . 2a 3 x2 y2 14.点 P 是椭圆 + =1 上一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,且△PF1F2 的内切圆半径为 1, 25 16 当 P 在第一象限时,P 点的纵坐标为________. 答案 8 3

解析 |PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=6, 1 S△PF1F2= (|PF1|+|PF2|+|F1F2|)· 1=8 2 1 8 = |F1F2|· yP=3yP.所以 yP= . 2 3 x2 y2 15.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4), 25 16 则|PM|+|PF1|的最大值为________. 答案 15 解析 |PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|, |PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|, 易知 M 点在椭圆外,连接 MF2 并延长交椭圆于 P 点, 此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|, 故|PM|+|PF1|的最大值为 10+|MF2|=10+ ?6-3?2+42=15. 1 3 16.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,且经过点 M(1, ). 2 2 (1)求椭圆 C 的方程; → → →2 (2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,满足PA· PB=PM ?若存 在,求出直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由. x2 y2 解 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b + =1, ? ?a 4b 由题意得?c 1 = , a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2 2 2

1

9

解得 a2=4,b2=3.

x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3
- 17 -

(2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在, 设满足条件的方程为 y=k1(x-2)+1,代入椭圆 C 的方程得,
2 2 (3+4k2 1)x -8k1(2k1-1)x+16k1-16k1-8=0.

因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B, 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
2 2 所以 Δ=[-8k1(2k1-1)]2-4(3+4k1 )· (16k1 -16k1-8)=32(6k1+3)>0,

1 所以 k1>- . 2 8k1?2k1-1? 16k2 1-16k1-8 又 x1+x2= , 2 ,x1x2= 3+4k1 3+4k2 1 → → →2 因为PA· PB=PM , 5 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= , 4 →2 5 所以(x1-2)(x2-2)(1+k2 1)=PM = . 4 5 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2 1)= . 4 16k2 8k1?2k1-1? 1-16k1-8 所以[ -2· +4]· (1+k2 2 1) 3+4k1 3+4k2 1
2 4+4k1 5 1 = 2= ,解得 k1=± . 4 2 3+4k1

1 1 因为 k1>- ,所以 k1= . 2 2 1 于是存在直线 l1 满足条件,其方程为 y= x. 2

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