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【优化指导】2015高考数学总复习 第10章 第4节 变量间的相关关系、统计案例课时跟踪检测 理(含解析)


【优化指导】2015 高考数学总复习 第 10 章 第 4 节 变量间的相关 关系、统计案例课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

1.(2014·石家庄质检)设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本 点, 直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程(如图), 以下结论中正确的 是( )

A.x 和 y 正相关 B.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C.x 和 y 的相关系数在-1 到 0 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 解析:选 C 由图知,回归直线的斜率为负值,所以 x 与 y 是负相关,且相关系数在- 1 到 0 之间,所以 C 正确. ^ 2.(2014·杭州月考)工人月工资 y(元)依劳动生产率 x(千元)变化的回归方程为y=50 +80x,下列判断正确的是( )

A.劳动生产率为 1 000 元时,工资为 130 元 B.劳动生产率提高 1 000 元时,工资平均提高 80 元 C.劳动生产率提高 1 000 元时,工资平均提高 130 元 D.当月工资为 210 元时,劳动生产率为 2 000 元 ^ 解析:选 B 由y=50+80x 可知,随 x 增大,y 增大,故劳动生产率提高 1 000 元时, 工资平均提高 80 元. 3.为了评价某个电视栏目的改革效果,在改革前后分别从居民点抽取了 100 位居民进 行调查,经过计算 K ≈0.99,根据这一数据分析,下列说法正确的是( A.有 99%的人认为该电视栏目优秀 B.有 99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 C.有 99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 D.没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
2

)

1

解析: 选 D 只有 K ≥6.635 才能有 99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系, 而即使 K ≥6.635 也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大 小的结论,与是否有 99%的人等无关.故选 D. 4.(2014·烟台诊断性测试)若回归直线方程的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心为 (4,5),则回归直线方程是( ^ A.y=1.23x+4 ^ C.y=1.23x+0.08 ) ^ B.y=1.23x+5 ^ D.y=0.08x+1.23
2

2

^ 解析:选 C 由题意设回归直线方程为y=1.23x+a,把(4,5)代入回归直线方程得 5= ^ 1.23×4+a,解得 a=0.08,所以回归直线方程是y=1.23x+0.08.故选 C. 5.(2014·辽宁六校联考)某产品在某零售摊位上的零售价 x(单位:元)与每天的销售 量 y(单位:个)的统计资料如下表所示:

x y

16 50

17 34

18 41

19 31

^ ^ ^ ^ 由上表可得回归直线方程y=bx+a中的b=-4,据此模型预计零售价定为 15 元时,每 天的销售量为( A.48 个 C.50 个
- -

) B.49 个 D.51 个

^ ^ 解析:选 B 由题意知x=17.5,y=39,代入回归直线方程得a=109,所以y=-4x+ ^ 109,当 x=15 时,y=109-15×4=49,故选 B. 6.(2014·临沂模拟)春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随 机询问 100 名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表: 做不到“光盘” 男 女 45 30 能做到“光盘” 10 15

附:

P(K2≥k) k

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

2

K2=

a+b

n ad-bc 2 c+d a+c

b+d
)

参照附表,得到的正确结论是(

A.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有 关” B.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无 关” C.有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D.有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 解析:选 C 由公式可计算 K 的观测值 k =
2 2

a+b

n ad-bc 2 c+d a+c

b+d



- 55×45×75×25

≈3.03>2.706,所以有 90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光

盘’与性别有关”,故选 C. 7. 在一项打鼾与患心脏病的调查中, 共调查了 1 671 人, 经过计算 K 的观测值 k=27.63, 根据这一数据分析,我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(有关,无关). 解析: 有关 由观测值 k=27.63 与临界值比较, k>6.635, 在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为打鼾与患心脏病有关系. 8.某化工厂为预测某产品的回收率 y,需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的相关 关系,现取 8 对观测值,计算得 ?xi=52,?yi=228,?xi=478,?xiyi=1 849,则 y 对 x
2 8 8 8 8 2

i=1

i=1

i=1

i=1

的回归直线方程是________.(精确到 0.01)

?xiyi-8xy
^ ^ 解析:y=2.62x+11.47 由回归系数的计算公式,得b=
i=1 i-8 x ?x2 i=1
8 -2

8

--

^ ^ ≈2.62,a=y-b





x=11.47,
^ 故所求的回归直线方程为y=2.62x+11.47. 9.(2014·成都外国语学校月考)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关, 现随机抽取 50 名学生,得到如下 2×2 列联表: 理科 男 女 13 7 文科 10 20 合计 23 27

3

合计

20

30

50

已知 P(K ≥3.841)≈0.05,P(K ≥5.024)≈0.025.根据表中数据,得到 K 的观测值 k= - 23×27×20×30 ________. 解析:5% 由 K 的观测值 k≈4.844>3.841,故认为选修文科与性别有关系出错的可能 性约为 5%. 10.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元),有如下的统计资料: 使用年限 x 维修费用 y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0
2 2

2

2

2

≈4.844 , 则 认 为 选 修 文 科 与 性 别 有 关 系 出 错 的 可 能 性 约 为

^ ^ ^ ^ 若由资料可知 y 和 x 呈相关关系, 由表中数据算出线性回归方程y=bx+a中的b=1.23, 据此估计,使用年限为 10 年时的维修费用大约是________万元.

?xiyi-nxy
^ (参考公式:b=
i=1 i-n x ?x2 i=1 n
-2

n

--

^ ^ ,a=y-bx)









解析:12.38

x=4,y=5,故样本中心点是(4,5),故a=y-bx=5-1.23×4=0.08,

^



^



^ 所以y=1.23x+0.08,所以使用年限为 10 年时的维修费用大约是 1.23×10+0.08=12.38. 11. (2014·石家庄模拟)为了调查某大学学生在周日上网的时间, 随机对 100 名男生和 100 名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果: 表 1:男生上网时间与频数分布表 上网时间 (分钟) 人数 [30,40) 5 [40,50) 25 [50,60) 30 [60,70) 25 [70,80] 15

表 2:女生上网时间与频数分布表 上网时间 (分钟) 人数 [30,40) 10 [40,50) 20 [50,60) 40 [60,70) 20 [70,80] 10

(1)若该大学共有女生 750 人,试估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数;
4

(2)完成下面的 2×2 列联表, 并回答能否有 90%的把握认为“大学生周日上网时间与性 别有关”? 表3 上网时间少 于 60 分钟 男生 女生 合计 上网时间不 少于 60 分钟 合计

附:K =

2

a+b
0.40 0.708

n ad-bc 2 c+d a+c
0.25 1.323 0.15 2.072

b+d
0.10 2.706 0.05 3.84 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.83

P(K2
≥k0)

0.50 0.455

k0

解:(1)设估计上网时间不少于 60 分钟的人数为 x,

x 30 依题意有 = , 750 100
解得 x=225, 所以估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数是 225. (2)根据题目所给数据得到如下列联表: 上网时间少于 60 分钟 男生 女生 合计 60 70 130 上网时间不少于 60 分钟 40 30 70 合计 100 100 200

其中 K =

2

- 100×100×130×70

2



200 ≈2.198<2.706, 91

因此,没有 90%的把握认为“大学生周日上网时间与性别有关”. 12. (2012·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价, 将该产品按事先 拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单价 x(元) 销量 y(件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

5

^ (1)求回归直线方程y=bx+a,其中 b=-20,a=y-bx; (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是 4 元/ 件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
- 1 解:(1)由于x= (x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5, 6 -





y= (y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80,
- -

1 6

所以 a=y-bx=80+20×8.5=250, ^ 从而回归直线方程为y=-20x+250. (2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得

L=x(-20x+250)-4(-20x+250)
=-20x +330x-1 000
2

? 33?2 =-20?x- ? +361.25, 4? ?
所以当 x=8.25 时,L 取得最大值. 故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润.

1.(2013·福建高考)已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:

x y

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4

^ ^ ^ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y=bx+a.若某同学根据上表中的前两组数 据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y=b′x+a′,则以下结论正确的是( ^ ^ A.b>b′,a>a′ ^ ^ C.b<b′,a>a′


)

^ ^ B.b>b′,a<a′ ^ ^ D.b<b′,a<a′ 1+2+3+4+5+6 7 = , 6 2

解析:选 C x=


y=

0+2+1+3+3+4 13 = , 6 6

?xiyi-nxy
^
i=1

n

--

b=
i-n x ?x2 i=1 n
-2

5 ^ - ^- 1 = ,a=y-bx=- , 7 3

6

2-0 ^ ^ 所以 b′= =2>b,a′=-2<a.故选 C. 2-1

2.(2014·揭阳模拟)一般来说,一个人脚掌越长,他的身高就越高,现对 10 名成年人 的脚掌长 x 与身高 y 进行测量,得到数据(单位均为 cm)如下表,作出散点图,发现散点在 一条直线附近,经计算得到一些数据: ? (xi-x)(yi-y)=577.5, ? (xi-x ) =82.5.某
2 10 - - 10 -

i=1

i=1

刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚 印,量得每个脚印长为 26.5 cm,则估计案发嫌疑人 的身高为________cm. 身高 141 146 154 160 169 176 181 188 197 203

?
i=1

10





xi-x
10 -

yi-y
- - 577.5 = =7,x=24.5,y= 82.5 2

解析:185.5 回归方程的斜率 b=

?
i=1
- -

xi-x

^ ^ 171.5,截距 a=y-bx=0,即回归方程为y=7x,当 x=26.5 时,y=185.5. 3.(2014·梅州模拟)在 2013 年 8 月 15 日那天,某市物价部门对本市的 5 家商场的某 商品的一天销售量及其价格进行调查, 5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如 下表所示: 价格 x 销售量 y 9 11 9.5

m
8

10.5 6

11 5

n

由散点图可知, 销售量 y 与价格 x 之间有较强的线性相关关系, 其线性回归直线方程是: ^

y=-3.2x+40,且 m+n=20,则其中的 n=________.


解析:10


x=

9+9.5+m+10.5+11 m =8+ , 5 5

y=

11+n+8+6+5 n =6+ , 5 5
- -

线性回归直线一定经过样本中心(x,y), 所以 6+ =-3.2?8+ ?+40,即 3.2m+n=42, 5 ? 5?
? ?3.2m+n=42, 又 m+n=20,由? ?m+n=20, ?

n

?

m?

解得?

? ?m=10, ?n=10, ?

故 n=10.

7


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