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1.1.1任意角


初中是如何定义角的?
从一个点出发引出的两条射线构成的几

何图形.
这种概念的优点是形象、直观、容易理

解,但它是从图形形状来定义角,因此角的
范围是[0? , 360? ),

生活中很多实例不在该范围。 体操运动员转体720? ,跳水运动员向内、 向外转体1080? ; 经过1小

时,时针、分针、秒针各转了多 少度? 这些例子不仅不在范围[0? , 360? ) ,而且 方向不同,有必要将角的概念推广到任意角, 想想用什么办法才能推广到任意角? 关键是用运动的观点来看待角的变化。

一、角的概念的推广(任意角)
1、任意角-------“旋转”形成角(概念) 一条射线由原来的位置OA, B 绕着它的端点O按逆时针方向 旋转到另一位置OB,就形成 角 α. O 旋转开始时的射线OA叫做角α的始边,旋 转终止的射线OB叫做角α的终边,射线的端点 O叫做角α的顶点.

A

旋转方向和旋转量

2、角的分类 (1).按旋转方向分为“正角”、“负角”、 “0? 角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做 正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角,如图,以OA为始边的角α=210°,β= -150°,γ=660°,
2100
6600

-1500

特别地,当一条射线没有作任何旋转时,
我们也认为这时形成了一个角,并把这个角

叫做零度角(0? ).
角的记法:角α或可以简记成∠α.

注:
1、角的概念推广以后,它包括任意大小 的正角、负角和零角. 2、正角和负角是表示具有相反意义的旋 转量,它的正负规定纯属于习惯,就好象与正 数、负数的规定一样,零角无正负,就好象数 零无正负一样.

(2)角按照终边位置分为 “象限角”和 “轴线角”

为了研究方便,我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点,角的始边与x轴 的非负半轴重合,那么,角的终边落在第几象 限,我们就说这个角是第几象限的角;如果角 的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个 象限,称为轴线角 例如:30?、390?、?330?是第Ⅰ象限角, 300?、 ?60?是第Ⅳ象限角, 585?、1300?是第Ⅲ象限角, 135 ? 、?2000?是第Ⅱ象限角等

二.终边相同的角
探究:将角放在坐标系中后,给定一个角, 就有唯一的一条终边与之对应,反之对于直 角坐标系内任意一条射线OB,以它为终边的 角是否唯一?,如果不唯一,那么终边相同 y 的角有什么关系? B
30?

0

x

结论: 所有与?终边相同的角连同?在内可以构 成一个集合:{β| β=α+k· 360? ,(k∈Z) } 即:任何一个与角?终边相同的角,都可 以表示成角?与整数个周角的和

{β| β=α+k·360?,(k∈Z) }
注意以下四点: ① k∈Z; ② ?是任意角; ③ k· 360? 与?之间是“+”号,如k· 360? -30? ,应 看成k· 360? +(-30? ); ④ 终边相同的角不一定相等,但相等的角,终 边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们 相差360? 的整数倍.

例1. 在0? 到360? 范围内,找出与下列各角终边
相同的角,并判断它是哪个象限的角.

(1) -120? ;(2) 640? ;(3) -950? 12′.
解:⑴∵-120? =-360? +240? , ∴240? 的角与-120? 的角终边相同, 它是第三象限角. ⑵ ∵640? =360? +280? , ∴280? 的角与640? 的角终边相同, 它是第四象限角.

⑶ ∵-950?12′=-3×360? +129? 48′, ∴129? 48′的角与-950? 12′的角终边相同, 它是第二象限角.

变式.: 写出与下列各角终边相同的角的集合
S,并把S中在-360? ~720? 间的角写出来:

(1) 60? ;(2) -21? ;(3) 363? 14′.
解:(1) S={β| β=k· 360? +60? (k∈Z) }, S中在-360? ~720? 间的角是 -1×360? +60? =-280? ; 0×360? +60? =60? ; 1×360? +60? =420? .

(2) S={β| β=k· 360? -21? (k∈Z) } S中在-360? ~720? 间的角是 0×360? -21? =-21? ;

1×360? -21? =339? ;
2×360? -21? =699? . (3) β| β=k· 360? + 363? 14 ′ (k∈Z) } S中在-360? ~720? 间的角是 -2×360? +363? 14′=-356? 46′; -1×360? +363? 14′=3? 14′; 0×360? +363? 14 ′ =363? 14 ′ .

例2、写出终边在y轴上的角的集合.

变式、写出终边在x轴上的角的集合.

例3、写出终边在直线y=x上的角的集 合S,并把S中适合不等式 -360? ? ? ? 720? 的元素β 写出来.

变式、写出终边在第二、四象限角平分 线上的角的集合.

? 例 4.已知 ? 角是第三象限角,则 是第几象限角? 2
y

0

x

小结
任意角的概念

1、任意角

角的分类

按旋转方向分
按终边位置分

2、终边相同的角
所有与?终边相同的角连同?在内可以构成

一个集合:{β| β=α+k·360? ,k∈Z}

课堂练习
1.锐角是第几象限的角?第一象限的角是 否都是锐角?小于90? 的角是锐角吗?区间 (0? ,90? )内的角是锐角吗? 答:锐角是第一象限角;第一象限角不一定 是锐角;小于90? 的角可能是零角或负角,故 它不一定是锐角;区间(0? ,90? )内的角是锐

角.

2.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边
落在x轴的正半轴上,作出下列各角,并指

出它们是哪个象限的角?
(1)420? ,(2) -75? ,(3)855? ,(4) -510? . 答:(1)第一象限角; (2)第四象限角,

(3)第二象限角,
(4)第三象限角.

3、已知α,β角的终边相同,那么α -β的终边 在( ) A B y轴的非负半轴上 A x轴的非负半轴上

C x轴的非正半轴上

D y轴的非正半轴上

4、终边与坐标轴重合的角的集合是( C ) A {β|β=k· 360? (k∈Z) } B {β|β=k· 180? (k∈Z) } C {β|β=k· 90? (k∈Z) } D {β|β=k· 180? +90? (k∈Z) }

5 、已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是 ( C ) A 第一象限角 C 第一、三象限角 B 第一、二象限角 D 第一、四象限角 )

6、若α是第四象限角,则180? -α是( AC 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角

7、在直角坐标系中,若α与β终边互相垂直,

那么α与β之间的关系是(
A. β=α+90o

)D

B β=α±90o
C β=k· 360o+90o+α,k∈Z

D β=k· 360o±90o+α, k∈Z
8、若90? <β<α<135? ,则α-β的范围是 (0? ,45? ) ,α+β的范围是___________; (180? ,270? ) __________

9、若β的终边与60? 角的终边相同,那么在 ? [0? ,360? ]范围内,终边与角 的终边相同的角
3

为______________; 解:β=k· 360? +60? ,k∈Z. 所以
?
3

=k· 120? +20? , k∈Z.

当k=0时,得角为20? ,

当k=1时,得角为140? ,
当k=2时,得角为260? .


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