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数学理卷·2014届浙江省杭州二中高三上学期第二次月考(2013.11)


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杭州二中 2013 学年第一学期高三年级期中考试数学试卷
注意事项:考试时间:120 分钟;满分:150 分。本场考试不得使用计算器,请考生用 水笔或钢笔将所有试题的答案填写在答题纸上,答在试卷上的无效。 一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1. 设 a、 为向量,则“ b

? ? ? ? a ? b ? a b ”是“ a // b ”的(

) D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

1 2.在△ABC 中, a =3 2, b =2 3, cosC = ,则△ ABC 的面积为( 3 A.3 3 B.2 3 C.4 3 D. 3 )

3. 已知函数 f ( x) ? log 1 x ? 1 ,则下列结论正确的是(
2

A. f (? ) ? f (0) ? f (3) C. f (3) ? f (? ) ? f (0)

1 2

B. f (0) ? f ( ? ) ? f (3) D. f (3) ? f (0) ? f ( ? )

1 2

1 2

4.将函数 y ? f ?( x) sin x 的图象向左平移

?
4

1 2

个单位,得到函数 y ? 1 ? 2 sin x 的图象,则
2

f (x) 是( ) A. 2 cos x B. 2 sin x C. sin x D. cos x
5. sin(? ? ? ) sin ? ? cos(? ? ? ) cos ? ? 若
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4 ? , ? 为第二象限角, tan( ? ? ) ?( 且 则 5 4
C. ?7
n ? 2012



A. 7

B.

1 7

D. ?

1 7

6.若数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式分别是 an ? ( ?1) 意 n ? N ? 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. ? -1, ?

( ?1) n ? 2013 a, bn ? 2 ? , 且 an ? bn 对任 n



? ?

1? 2?

B. ? -2, ? C. ? -2, ?

? ?

1? 2?

? ?

3? 2?

D. ? -1, ?

? ?

3? 2?


7.设函数 f(x)=x -23x+60, g(x)=f(x)+|f(x)|,则 g(1)+g(2)+…+g(20)=( A.0 B.38C. 56 D.112
3

2

8. 设函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? a ? 0 ? a ? 2 ? 有三个零点 x1 , x2 , x3 , x1 ? x2 ? x3 , 则下列结论 且 正确的是(
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A. x1 ? ?1 B. x2 ? 0 C. 0 ? x2 ? 1 D. x3 ? 2

9.已知 f ( x ) ? log a ( x ? 1), g ( x ) ? 2 log a (2 x ? t )( a ? 1) ,若 x ? [0,1), t ? [4,6) 时,

F x ) ? g ( x ) ? f ( x ) 有最小值 4 ,则 a 的最小值为( (
A.1 B. 2 C.1 或 2


D. 2 或 4

?4 ? 8 x ? 12 (1 ? x ? 2) ? [1, ??) 上的函数 f ( x ) ? ? 1 x 10.已知定义在 ,则 ( f ( )( x ? 2) ? ? 2 2
A.在 [1,6) 上,方程 f ( x ) ? B.关于 x 的方程 f ( x ) ? C.当 x ? [2
n ?1

)

1 x ? 0 有 5 个零点 6

1 ? 0 ( n ? N ? )有 2n ? 4 个不同的零点 2n

, 2 n ] ( n ? N ? )时,函数 f ( x ) 的图象与 x 轴围成的面积为 4

D.对于实数 x ? [1, ??) ,不等式 xf ( x ) ? 6 恒成立

二.填空题(本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

4 . , 则 cos 2? 的值是 2 5 ? ? ? ? ? ? 12.平面向量 a与b 的夹角为 600 , a ? (2,0), a ? 2b ? 2 3, 则 b ?
11.已知 cos(

?

??) ?

.

13.函数 f ( x ) ? sin ? x ? 3 cos ? x ( x ? R ), 又f (? ) ? ?2, f ( ? ) ? 0, 且 ? -? 的最小值等于

?
2

则正数 ? 的值为 ,

.

14.已知正实数 a、b 满足 2a ? b ? 1 ,则 4a 2 ? b 2 ? 15.记数列 ?an ? 的前 n 和为 sn ,若 ? 的值为 .

1 的最小值为 ab

.

? sn ? ? 是公差为 d 的等差数列,则 ?an ? 为等差数列时, d ? an ?

? 16.设实数 x1 、 x2 、 ? 、 xn 中的最大值为 max ? x1,x2, ,xn ? ,最小值 min ? x1,x2, ,xn ? , ?ABC 的三边长分别为 a、b、c , a ? b ? c , ?ABC ? 设 且 设

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的倾斜度为 t ? max ? ,, ? ? min ? ,, ? ,设 a ? 2 ,则 t 的取值范围 是 .

?a b c ? ?b c a ?

?a b c ? ?b c a ?

17.已知向量 ?、、 满足 ? ? 1 , ? ? ? ? ? , (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 0 .若对每一确 ?? 定的 ? , ? 的最大值和最小值分别是 m、n ,则对任意 ? , m ? n 的最小值 是 .

? ?? ? ?

? ?

? ?? ?

??

? ?

?

??

?

??

?

??

三.解答题(本大题有 5 小题,共 72 分) 18. (本题满分 14 分)

已知集合 A= x x ? 3x ? 2 ? 0 ,集合 B= y y ? x ? 2 x ? a ,集合
2 2

C= x x 2 ? ax ? 4 ? 0 .命题
p : A ? B ? ? ,命题 q : A ? C (Ⅰ)若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若命题 p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围.
19. (本题满分 14 分) 在数列 ?an ? 中, P ( ai , ai ?1 )(i ? 1, 2,?, n ) 在直线 y ? 2 x ? k 上, 点 数列 ?bn ? 满足条件:

?

?

?

?

?

?

(Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? bn log 2

b1 ? 2, bn ? an ?1 ? an (n ? N ? ).

1 , sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn , 求 2n ?1 ? sn ? 60n ? 2 成立的正整数 n 的最 bn

小值. 20.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 x ? [?

, ] 时,求函数 f (x) 的最小值和最大值 12 12 (Ⅱ)设△ABC 的对边分别为 a, b, c ,且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若 sin B ? 2 sin A ,求 a, b 的
值. 21. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? ln

? 5?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , x ? R . 2 2

x (0 ? x ? 2) . 2? x

(Ⅰ)是否存在点 M (a, b) ,使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数
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y ? f ( x) 的图像上?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)定义 S n ?
&高*考*网】

2 n ?1 i ?1

? f ( n ) ? f ( n ) ? f ( n ) ? ??? ? f (

i

1

2

2n ? 1 ) ,其中 n ? N* ,求 S 2013 ; n

【来.源 : 全, 品 ?中

(Ⅲ) (2) 在 的条件下, S n ? 1 ? 2an , 令 若不等式 2 n ? ( an ) m ? 1 对 ?n ? N* ,且 n ? 2
a

恒成立,求实 数 m 的取值范围. 22. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , y ? 若 阶比增函数” ; 若y?

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数, 则称 f ( x ) 为 “一 x

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比 x2

增函数”组成的 集合记为 ?1 ,所有“二阶比增函数”组成的集合记为 ? 2 .
3 2
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(Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? 2hx ? hx ,若 f ( x) ? ?1 , 且 f ( x) ? ? 2 ,求实数 h 的取值范 围; (Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x ) ? ?1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x
f ( x)
求证: d ? (2d ? t ? 4) ? 0 ; ( Ⅲ

a
d

b
d

c

a?b?c
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t

4

)









? ? ? f ( x ) | f ( x ) ? ? 2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x ) ? k ?,
请问:是否存在常数 M ,使得 ?f ( x) ? ? ,?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立?若存 在,求出 M 的 最小值;若不存在,说明理由.

杭州二中 2013 学年第一学期高三年年级期中考试数学答案
一、选择题
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1 C

2 C

3 C

4 B

5 B

6 C

7 D

8 C

9 B

10 D

二、填空题 7 11. ? 25 15.1 或
1 2

12.1 16. [1,
5 ?1 ) 2

13.1 17.
1 2

14.

17 2

三、解答题
18. 解;

? y ? x 2 ? 2 x ? a ? ( x ? 1) 2 ? a ? 1 ? a ? 1,? B ? ? y y ? a ? 1?

,

A ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ?x 1 ? x ? 2? , C ? x x 2 ? ax ? 4 ? 0

?

?

?

?

(Ⅰ)由命题 p 是假命题,可得 A ? B =? ,即得 a ? 1 ? 2,? a ? 3 . (Ⅱ)? p ? q 为真命题,? p、q 都为真命题, 即 A ? B ? ?, A ? C 且

? a ?1 ? 2 ? ? 有 ? 1 ? a ? 4 ? 0 ,解得 0 ? a ? 3 . ? 4 ? 2a ? 4 ? 0 ?
an ?1 ? 2an ? k ,? bn ? 2an ? k ? an ? an ? k 19.解: (Ⅰ)依题意 ? bn ?1 ? an ?1 ? k ? 2an ? k ? k ? 2(an ? k ) ? 2bn b 又? b1 ? 2, 而 n ?1 ? 2 ,? 数列 ?bn ? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. bn
即得 bn ? 2?2 n ?1 ? 2 n ,为数列 ?bn ? 的通项公式. -------6 分 (Ⅱ)由 cn ? bn log 2

1 1 ? 2 n ? log 2 n ? ? n ? 2 n. bn 2

? sn ? ?( c1 ? c2 ? ? ? cn ) ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n

??2 sn ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n ?1
上两式相减得

sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

2(1 ? 2 n ) ? ? n ? 2 n ?1 1? 2

? 2n ?1 ? n ? 2n ?1 ? 2 n ?1 n ?1 由 2 n ?1 ? sn ? 60n ? 2 ,即得 n ? 2 ? 60n,? 2 ? 60 ,
又当 n ? 4 时, 2 n?1 ? 25 ? 32 ? 60 ,当 n ? 5 时, 2 n?1 ? 26 ? 64 ? 60.
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故使 2
n ?1

? sn ? 60n ? 2 成立的正整数的最小值为 5. -------14 分

20.解: (Ⅰ) f ( x ) ?
由 x ? [?

? 3 1 3 1+ cos 2 x 1 sin 2 x ? cos2 x ? ? sin2 x ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 2 2 2 2 2 6
] ,? 2 x ?

? 5?
12 12 ,

?
6

? [?

? 2?
3 , 3

]

? f ( x ) 的最小值为 ? 1 ? 3 , 最大值0. -------7 分
2

(Ⅱ)由 f (C ) ? 0 即得 f (C ) ? sin(2C ? 则 2C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,而又 C ? (0, ? ) , ?

?
6

? (?

? 11?
6 , 6

),? 2C ?

?

?
2

6

,? C ?

?
3

,则由

b ? 2a b ? 2a ? ? 即? ? 2 2 2 2 2 ?c ? a ? b ? 2ab cos C ?3 ? a ? b ? ab
解得 a ? 1, b ? 2 . ----------14 分

21.(1)假设存在点 M (a, b) ,使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q
也在函数 y ? f ( x) 的图像上,则函数 y ? f ( x) 图像的对称中心为 M (a, b) . 由 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b ,得 1 ? ln 即 2 ? 2b ? ln

x 2a ? x ? 1 ? ln ? 2b , 2? x 2 ? 2a ? x

?2 ? 2b ? 0, ?a ? 1, ? x 2 ? 2ax 解得 ? ? 0 对 ?x ? (0, 2) 恒成立,所以 ? ? x ? 2ax ? 4 ? 4a ?4 ? 4a ? 0, ?b ? 1.
2

所以存在点 M (1,1) , 使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数

y ? f ( x) 的图像上. -------5 分
(Ⅱ)由(1)得 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2(0 ? x ? 2) .

i i i ,则 f ( ) ? f (2 ? ) ? 2 (i ? 1, 2, ???, 2n ? 1) . n n n 1 2 2 1 因为 S n ? f ( ) ? f ( ) ? ??? ? f (2 ? ) ? f (2 ? ) ①, n n n n 1 2 2 1 所以 S n ? f (2 ? ) ? f (2 ? ) ? ??? ? f ( ) ? f ( ) ②, n n n n
令x? 由①+②得 2 S n ? 2(2n ? 1) ,所以 S n ? 2n ? 1(n ? N* ) .

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所以 S 2013 ? 2 ? 2013 ? 1 ? 4025 .-------10 分

Sn ? 1 ? n( n ? N* ) . 2 n m a 因为当 n ? N* 且 n ? 2 时, 2 n ? ( an ) m ? 1 ? 2n ? n m ? 1 ? . ?? ln n ln 2
(Ⅲ)由(2)得 S n ? 2n ? 1(n ? N* ) ,所以 an ? 所以当 n ? N* 且 n ? 2 时,不等式

m n m ? n ? 恒成立 ? ? . ?? ? ?? ln 2 ln n ln 2 ? ln n ?min

设 g ( x) ?

ln x ? 1 x . ( x ? 0) ,则 g ?( x) ? (ln x) 2 ln x

当 0 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, e) 上单调递减; 当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (e, ??) 上单调递增. 因为 g (2) ? g (3) ?

2 3 ln 9 ? ln 8 ? ? ? 0 ,所以 g (2) ? g (3) , ln 2 ln 3 ln 2 ? ln 3

3 . ln 3 m 3 m 3ln 2 由 ? g (n) ?min ? ? ,得 ,解得 m ? ? . ?? ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 3ln 2 所以实数 m 的取值范围是 (? , ??) .-------15 分 ln 3
所以当 n ? N* 且 n ? 2 时, ? g (n) ?min ? g (3) ? 22.解:(Ⅰ)? f ( x ) ? ?1 , 且 f ( x ) ? ? 2 , 即 g ( x ) ? 函数,? h ? 0 ?? 2 分 而 h( x ) ?

f ( x) ? x 2 ? 2hx ? h 在 (0, ??) 上是增 x

h ? 0 ,?

f ( x) h h ? x ? ? 2h 在 (0, ??) 不是增函数,而 h ' ( x ) ? 1 ? 2 , 当 h( x ) 是增函数时 2 x x x
?? 4 分.

h( x ) 不是增函数时, h ? 0 ,综上 h ? 0

(Ⅱ) ? f ( x ) ? ?1 , 且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c ,则

f (a ) f (a ? b ? c) 4 ? ? , a a?b?c a?b?c 4a 4b 4c ,同理 f (b) ? d ? ,则有 ? f (a ) ? d ? , f (c) ? t ? a?b?c a?b?c a?b?c 4( a ? b ? c ) ? 2d ? t ? 4 ? 0 , , 又 f ( a ) ? f ( b) ? f ( c ) ? 2d ? t ? ?4 a?b?c d d d (b ? a ) ? ? ,? ? 0, a b ab
而 b ? a ? 0 ? d ? 0 ,? d ? 0 ,? d (2d ? t ? 4) ? 0 ??8 分.

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(Ⅲ)? ? ? ? f ( x ) f ( x ) ? ? 2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??), f ( x ) ? k ? 使得 f ( x ) ? k , x ? (0, ??) 成立.先证明 f ( x ) ? 0 对 对 ? 对任意 f ( x ) ? ? ,存在常数 k ,

x ? (0, ??) 成立,假设存在 x0 ? (0, ??) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,记

f ( x0 ) ? m ? 0. x0 2

? f ( x) 是 二 阶 比 增 函 数 , 即

f ( x) f ( x ) f ( x0 ) 是 增 函 数 , ? x ? x0 时 , ? ?m , 2 x x2 x0 2

? f ( x ) ? mx 2 ,
? 一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ? mx12 ? k ,这与对 x ? (0, ??) , f ( x ) ? k 矛
盾. ??11 分

? f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立. 即任意 f ( x ) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立.
下面证明 f ( x ) ? 0 在 x ? (0, ??) 上无解:假设存在 x2 ? 0 ,使得 f ( x2 ) ? 0 ,一定存在

x 3 ? x2 ? 0 ,
f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,这与上面证明的结果矛盾,? f ( x ) ? 0 在 x ? (0, ??) 上无解. x3 x2
综上,对任意 f ( x ) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立,存在 M ? 0, 使x ? (0, ??) ,任 意 f ( x) ? ? , 有 f ( x ) ? M 成立,? M min ? 0 . ??15 .

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