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高三数学第二轮专题复习系列(8)--


高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 圆锥曲线
一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中, 如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与 一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条 曲线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 ? f(x0,y )=0 ; 0 点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 ? f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点 若曲线 C1,C2 的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点 P0(x0,y0)是 C1,C2 的交点 ? f2(x0,y0) =0 方程组有 n 个不同的实数解,两条曲线就有 n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲 线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集: {M||OM|=r} ,其中定点 O 为圆心,定长 r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程 圆心在 c(a,b),半径为 r 的圆方程是 2 2 2 (x-a) +(y-b) =r 圆心在坐标原点,半径为 r 的圆方程是 2 2 2 x +y =r (2)一般方程 2 2 当 D +E -4F>0 时,一元二次方程 2 2 x +y +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程,圆心为 (x +y +Dx+Ey+F=0 化为 (x+
2 2

D E D 2 ? E 2 - 4F ,- ,半径是 . 配方,将方程 2 2 2

D 2 E 2 D 2 ? E 2 - 4F ) +(y+ ) = 2 2 4
2 2

当 D +E -4F=0 时,方程表示一个点 (2 2

D E ,- ); 2 2

当 D +E -4F<0 时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0),则 |MC|<r ? 点 M 在圆 C 内, |MC|=r ? 点 M 在圆 C 上,

|MC|>r ? 点 M 在圆 C 内, 其中|MC|= (x 0 - a) ? (y 0 - b) .
2 2

(3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交 ? 有两个公共点 直线与圆相切 ? 有一个公共点 直线与圆相离 ? 没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= 来判定. 3.椭圆、双曲线和抛物线 椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表. 曲 性 质 点集: ({M || MF1+ | MF2 | =2a, | F 1F2 |< 2a= 点集: {M || MF1 | - | MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}. 点集 {M | | MF | = 点 M 到直线 l 的距离}. 线 椭 圆 双曲线 抛物线

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

与半径 r 的大小关系

轨迹条件





标准方程

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2
A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) 对称轴 x=0,y=0 长轴长:2a 短轴长:2b

x2 y2 =1(a > 0,b > a2 b2
0)

y2=2px(p>0)





A1(0,-a),A2(0,a) 对称轴 x=0,y=0 实轴长:2a 虚轴长:2b F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在实轴上 |F1F2|=2c, c= a2 ? b2

O(0,0)



对称轴 y=





F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在长轴上 |F1F2|=2c,

F(

P ,0) 2

焦点对称轴上





c= a2 - b2



线

a2 x=± c
准线垂直于长轴,且在 椭圆外.

a2 x=± c
准线垂直于实轴,且在 两顶点的内侧.

x=-

p 2

准线与焦点位于顶点 两侧, 且到顶点的距离 相等.

5.坐标变换 坐标变换 在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方 向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅 仅只改变点 的坐标与曲线的方程. 坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的 变换叫 做坐标轴的平移,简称移轴. 坐标轴的平移公式 设平面内任意一点 M,它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y),在 新坐标系 x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点 O′在原坐标系 xOy 中的坐 标是(h,k),则 x=x′+h x′=x-h (1) 或(2) y=y′+k y′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表. 方 程 焦 点 焦 线 对称轴 x=h y=k x=h y=k x=h y=k x=h y=k y=k y=k x=h x=h

(x - h)2 (y - k)2 + =1 a2 b2
椭圆

(±c+h,k)

a2 x=± +h c a2 y=± +k c


(x - h)2 (y - k)2 + =1 b2 a2 (x - h)2 (y - k)2 =1 a2 b2
双曲线

(h,±c+k)

(±c+h,k)

a2 +k c a2 +k c

(y - k)2 (x - h)2 =1 a2 b2
(y-k) =2p(x-h) (y-k) =-2p(x-h) 抛物线 (x-h) =2p(y-k) (x-h) =-2p(y-k)
2 2 2 2

(h,±c+h)

y=±

p +h,k) 2 p (- +h,k) 2 p (h, +k) 2 p (h,+k) 2
(

p +h 2 p x= +h 2 p y=- +k 2 p y= +k 2
x=-

二、知识点、能力点提示 (一)曲线和方程,由已知条件列出曲线的方程,曲线的交点 说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系,然后根据条件列出等式进行化简 .特别是 在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形,是否满足已知条件,只有这样求 出的 曲线方程才能准确无误.另外,要求会判断 曲线间有无交点,会求曲线的交点坐标.

三、 考纲中对圆锥曲线的要求: 考试内容: . 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程; . 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质; . 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质; 考试要求: . (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程; . (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质; . (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质; . (4)了解圆锥曲线的初步应用。 四.对考试大纲的理解 高考圆锥曲线试题一般有 3 题(1 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 22 分左右, 考查 的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考 查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下,一般较容易得分,解答题常作为 数学高考中的压轴题,综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面 的能力, 重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着 重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解,在复习应充分重视。 求圆锥曲线的方程 【复习要点】 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查识图、画图、数形结合、等价 转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求熟练掌 握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综 合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定 在哪个坐标轴上时,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0). 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大 小. 【例题】

【例1】 双曲线

x2 y2 ? 2 =1(b∈N)的两个焦点 F1、F2,P 为双曲线上一点, 4 b

|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则 b2=_________. 解:设 F1(-c,0) 、F2(c,0)、P(x,y),则 |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|, 依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2<50+2c2,∴c2< 又∵c2=4+b2< 答案:1 【例2】 已知圆 C1 的方程为 ?x ? 2?2 ? ? y ? 1?2 ?
x2 a
2

17 , 3

5 17 ,∴b2< ,∴b2=1. 3 3
20 ,椭圆 C2 的方程为 3

?

y2 b2

?1

?a ? b ? 0? ,C2 的离心率为

2 ,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 2

恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程。 解:由 e ? 设椭圆方程为
2 c 2 2 ,得 ? , a ? 2c 2 , b 2 ? c 2 . 2 a 2
x2 2b 2 ? y2 b2 ? 1.

设 A( x1 , y1 ).B( x2 , y 2 ).由圆心为(2,1).
? x1 ? x2 ? 4, y1 ? y 2 ? 2.
y



2 x1

2b 2

?

2 y1

b2

? 1,

2 x2

2b 2 2b 2

?

2 y2

b2 ?

? 1, ? 0.
F2 O

A

两式相减,得

2 2 x1 ? x2

2 2 y1 ? y2

b2

C1

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0,

F1 B

x

又 x1 ? x 2 ? 4. y1 ? y 2 ? 2.得

y1 ? y 2 ? ?1. x1 ? x 2

? 直线AB的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 2)..

即 y ? ?x ? 3 将 y ? ? x ? 3代入
x2 2b 2 ? y2 b2 ? 1, 得

3x 2 ? 12x ? 18 ? 2b 2 ? 0.

? 直线AB与椭圆 C2 相交.? ? ? 24b 2 ? 72 ? 0.

由 AB ? 2 x1 ? x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

20 . 3

得 2?

24b 2 ? 72 ? 3
b 2 ? 8.

20 . 3

解得

故所有椭圆方程

x2 y2 ? ? 1. 16 8

【例3】 过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为 C 相交于 A、B 两点,直线 y=

2 的椭圆 2

1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦 2

点关于直线 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程. 解法一:由 e=
a2 ? b2 1 c 2 ? ,从而 a2=2b2,c=b. ,得 ? 2 2 a 2 a

设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得, (x12-x22)+2(y12-y22)=0,
y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 . x1 ? x 2 2( y1 ? y 2 )

设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=-

x0 , 2 y0
B

y y= 1 2 x

又(x0,y0)在直线 y= 于是-

1 1 x 上,y0= x0, 2 2

x0 =-1,kAB=-1, 2 y0

F2

o

F1 A

x

设 l 的方程为 y=-x+1. 右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),
? y? ?1 ? ?x? ? 1 ? x? ? b 则? 解得? ? ? ? y? ? 1 ? b ? y ? ? x ? b ?1 ? 2 ?2

由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆 C 的方程为 解法二:由 e=

9 2 9 ,a ? . 16 8

8 x 2 16 2 ? y =1,l 的方程为 y=-x+1. 9 9

c 2 a2 ? b2 1 ? ,得 ? ,从而 a2=2b2,c=b. a 2 2 a2

设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x-1), 将 l 的方程代入 C 的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0, 则 x1+x2=
4k 2 1 ? 2k
2

,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-

2k 1 ? 2k 2

.

直线 l:y=

x ? x2 y1 ? y2 ?k 1 2k 2 1 ? ? x 过 AB 的中点( 1 ),则 , , 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 2 2

解得 k=0,或 k=-1. 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身, 不能在椭圆 C 上,所以 k=0 舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1),即 y=-x+1,以下同解法一. 解法 3:设椭圆方程为
x2 a
2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) (1)

直线 l 不平行于 y 轴,否则 AB 中点在 x 轴上与直线 y ? 故可设直线 l的方程为y ? k ( x ? 1) (2)

1 x过AB 中点矛盾。 2

(2)代入(1)消y整理得: (k 2 a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2k 2 a 2 x ? a 2 k 2 ? a 2 b 2 ? 0 (3)
设A( x1,y1 ) B( x 2,y 2 ) , 知:x1 ? x 2 ?

2k 2 a 2 k a2 ? b2
2

又y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2k代入上式得:
k 2a2 ? b2 1 b2 1 2k 1 2 ? ? k ? k ? ? , 又e ? , ? , ? k ? 2k ? 2 2 2 2 2 x1 ? x2 2 2 2k a ka

k?

?k ? ?

2b 2 a
2

??

2(a 2 ? c 2 ) a
2

? ?2 ? 2e 2 ? ?1 ,?直线l的方程为y ? 1 ? x ,

此时a 2 ? 2b 2 , 方程(3)化为3x 2 ? 4 x ? 2 ? 2b 2 ? 0 , ? ? 16 ? 24(1 ? b 2 ) ? 8(3b 2 ?1) ? 0

?b ?

3 , 椭圆C的方程可写成: x 2 ? 2 y 2 ? 2b 2 (4) , 又c 2 ? a 2 ? b 2 ? b 2 , 3

? 右焦点 F (b, 0) , 设点F关于直线 l的对称点( x0,y 0 ) ,

? y0 ?x ? b ?1 ? 则? 0 ? x 0 ? 1,y 0 ? 1 ? b , ? y 0 ? 1 ? x0 ? b ? 2 ?2
又点(1, 1 ? b)在椭圆上,代入 (4)得: 1 ? 2(1 ? b) ? 2b 2 ,? b ?
3 3 ? , 4 3

?b 2 ?

9 , 16

a2 ?

9 8

所以所求的椭圆方程为:

x2 y2 ? ?1 9 9 8 16

【例4】 如图,已知△P1OP2 的面积为

27 ,P 为线段 P1P2 的一个三等分点,求 4

以直线 OP1、OP2 为渐近线且过点 P 的离心率为

13 的双曲线方程. 2

解:以 O 为原点,∠P1OP2 的角平分线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为 由 e2=
c
2

x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)

y

P2

b 13 2 b 3 ?1 ? ( )2 ? ( ) ,得 ? . a 2 a 2 a
2

∴两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= 设点 P1(x1,

3 3 x 和 y=- x 2 2
o

P x P1

3 3 x1),P2(x2,- x2)(x1>0,x2>0), 2 2

P1 P 则由点 P 分 P =2, 1P 2 所成的比λ = PP2

得 P 点坐标为(

x1 ? 2 x2 x1 ? 2 x2 ), , 3 2
x2 a2 ? 4y2 9a 2 9a 2

又点 P 在双曲线 所以
( x1 ? 2 x 2 ) 2 9a 2

=1 上, =1, ①
13 x2 2

?

( x1 ? 2 x 2 ) 2

即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2
2 又 | OP 1 |? x1 ?

9 2 13 9 x1 ? x1 , | OP |? x 2 2 ? x 2 2 ? 4 2 4 3 2? 2 tan P1Ox 2 ? 12 sin P1OP2 ? ? 2 9 13 1 ? tan P1Ox 1 ? 4 1 1 13 12 ? S ?P1OP2 ? | OP ? x1 x 2 ? ? 1 | ? | OP 2 | ? sin P 1OP 2 ? 2 2 4 13

27 , 4

即 x1x2=

9 2



由①、②得 a2=4,b2=9 故双曲线方程为
x2 y2 =1. ? 4 9
y2 a2 ? x2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 上一动点 P 引圆 O: x2 +y2 =b2 的两条切

【例5】 过椭圆 C:

线 PA、PB,A、B 为切点,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于 M、N 两点。(1) 已知 P 点 坐标为(x0,y0 )并且 x0y0≠0,试求直线 AB 方程;(2) 若椭圆的短轴长为 8,并且
a2 | OM |
2

?

b2 | ON |
2

?

25 ,求椭圆 C 的方程;(3) 椭圆 C 上是否存在 16

点 P,由 P 向圆 O 所引两条切线互相垂直?若存在,请求出存在 的条件;若不存在,请说明理由。 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2, y2) 切线 PA: x1 x ? y1 y ? b 2 ,PB: x2 x ? y2 y ? b 2 ∵P 点在切线 PA、PB 上,∴ x1 x0 ? y1 y0 ? b 2 ∴直线 AB 的方程为 x0 x ? y0 y ? b 2 ( x0 y0 ? 0) (2)在直线 AB 方程中,令 y=0,则 M(
b2 b2 ,0);令 x=0,则 N(0, ) x0 y0

x 2 x0 ? y 2 y 0 ? b 2



a2 | OM | 2

?

b2 | ON | 2

?

2 2 a 2 y 0 x0 a 2 25 ( ? ) ? ? b 2 a 2 b2 b 2 16



∵2b=8

∴b=4

代入①得 a2 =25, b2 =16 (注:不剔除 xy≠0,可不扣分)

∴椭圆 C 方程:

y2 x2 ? ? 1( xy ? 0) 25 16

(3) 假设存在点 P(x0,y0)满足 PA⊥PB,连接 OA、OB 由|PA|=|PB|知, 四边形 PAOB 为正方形,|OP|= 2 |OA| 又∵P 点在椭圆 C 上
2 ? 由①②知 x 0

2 2 ∴ x0 ? y0 ? 2b 2



2 2 ∴ a 2 x0 ? b 2 y0 ? a 2b 2
2 , y0 ?



b 2 (a 2 ? 2b 2 ) a2 ? b2

a 2b 2 a2 ? b2

∵a>b>0

∴a2 -b2>0

(1)当 a2-2b2>0,即 a> 2 b 时,椭圆 C 上存在点,由 P 点向圆 所引两切线互相垂直; (2)当 a2-2b2<0,即 b<a< 2 b 时,椭圆 C 上不存在满足条件的 P 点 【例6】 已知椭圆 C 的焦点是 F1(- 3 ,0) 、F2( 3 ,0) ,点 F1 到相应的准 线的距离为
3 ,过 F2 点且倾斜角为锐角的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,使得 3

|F2B|=3|F2A|. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求直线 l 的方程. 解: (1)依题意,椭圆中心为 O(0,0) ,c ? 3
2 点 F1 到相应准线的距离为 b ? 3,? b 2 ? 3 ? 3 ? 1 ,

c

3

a =b +c =1+3=4
2 ∴所求椭圆方程为 x ? y 2 ? 1 4

2

2

2

y

l P A M x N

(2) 设椭圆的右准线 l ? 与 l 交于点 P, 作 AM⊥ l ? , AN⊥ l ? , 垂足 分别为 M、N. 由椭圆第二定义, 得 | AF2 | ? e ?| AF2 |? e | AM | | AM | 同理|BF2|=e|BN| 由 Rt△PAM~Rt△PBN,得 | PA |?
? cos ?PAM ? | AM | 1 ? ? | PA | 2e 1 2? 3 2
B F1 O

F2

1 2

| AB |? 2 | F2 A |? 2e | AM | ?9 分
? 3 ? l 的斜率 k ? tan ?PAM ? 2 . 3

∴直线 l 的方程 y ? 2 ( x ? 3)

即 2x ? y ? 6 ? 0

【例7】 已 知 点 B ( - 1 , 0 ) ,C(1,0) ,P 是平面上一动点,且满足
| PC | ? | BC |? PB ? CB.

(1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE,且 AD⊥AE, 判断:直线 DE 是否过定点?试证明你的结论. (3)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD,AE,且 AD,AE 的 斜率 k1、k2 满足 k1·k2=2.求证:直线 DE 过定点,并求出这个定点. 解: (1)设 P( x, y)代入 | PC | ? | BC |? PB ? CB得 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ? x, 化简得y 2 ? 4 x.

(2)将A(m,2)代入y 2 ? 4 x得m ? 1,?点A的坐标为(1,2). 设直线AD的方程为y ? 2 ? k ( x ? 1)代入y 2 ? 4 x, 得y 2 ? 由y1 ? 2可得y 2 ? 4 8 y ? ? 4 ? 0, k k

4 4 4 ? 2,? D( 2 ? 1, ? 2). k k k 1 同理可设直线AE : y ? 2 ? ? ( x ? 1), 代入y 2 ? 4 x得E (4k 2 ? 1,?4k ? 2). k 4 ? 4k 则直线DE方程为 : y ? 4k ? 2 ? k ( x ? 4k 2 ? 1), 化简得 4 k 2 ? 4k k 2 ( y ? 2) ? k ( x ? 5) ? ( y ? 2) ? 0, k 即y ? 2 ? ? 2 ( x ? 5), 过定点(5,?2). k ?1
(3)将A(m,2)代入y 2 ? 4 x得m ? 1, 设直线DE的方程为y ? kx ? b, D( x1, y1 ), E ( x1, y1 )

? ? y ? kx ? b 由? 2 得k 2 x 2 ? 2(kb ? 2) x ? b 2 ? 0, ? y ? 4 x ? y ? 2 y2 ? 2 ? k AD ? k AE ? 2,? 1 ? ? 2( x1, x2 ? 1), x1 ? 1 x2 ? 1

且y1 ? kx1 ? b, y 2 ? kx 2 ? b ? (k 2 ? 2) x1 x 2 ? (kb ? 2k ? 2)( x1 ? x 2 ) ? (b ? 2) 2 ? 2 ? 0, 将x1 ? x 2 ? ? 2(kb ? 2) k
2

, x1 x 2 ?

b2 k
2

代入化简得b 2 ? (k ? 2) 2 ,? b ? ?(k ? 2).

? b ? ?(k ? 2). 将b ? k ? 2代入y ? kx ? b得y ? kx ? k ? 2 ? k ( x ? 1) ? 2, 过定点(?1,?2). 将b ? 2 ? k代入y ? kx ? b得y ? kx ? 2 ? k ? k ( x ? 1) ? 2, 过定点(1,2), 不合, 舍去, ? 定点为(?1,?2)
x2 a
2

【例8】 已知曲线

?

y2 b
2

? 1(a ? 0, b ? 0)的离心率e ?

2 3 ,直线 l 过 A(a,0) 、 3

B(0,-b)两点,原点 O 到 l 的距离是 (Ⅰ)求双曲线的方程;

3 . 2

(Ⅱ)过点 B 作直线 m 交双曲线于 M、N 两点,若 OM ? ON ? ?23 ,求直线 m 的方程.

解: (Ⅰ)依题意, l方程 x ? y ? 1, 即bx ? ay ? ab ? 0, 由原点 O 到 l 的距离 a ?b 为 3 ,得
2

ab a ?b
2 2

?

ab 3 ? c 2

又e ? c ? 2 3
a 3

?b ? 1, a ? 3

故所求双曲线方程为

x2 ? y2 ? 1 3

(Ⅱ)显然直线 m 不与 x 轴垂直,设 m 方程为 y=kx-1,则点 M、N 坐标( x1 , y1 ) 、

( x2 , y2 )是方程组

? y ? kx ? 1 ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?3

的解

消去 y,得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kx ? 6 ? 0


6k 6 , x1 x 2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1

依设, 1 ? 3k 2 ? 0, 由根与系数关系,知 x1 ? x 2 ?

OM ? ON ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1)
2 2 = (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1= 6(1 ? k ) ? 6k ? 1 2 2

3k ? 1

3k ? 1

=

6 3k ? 1
2

?1

? OM ? ON ? ?23



6 3k ? 1
2

? 1 =-23,k=±

1 2

当 k=±

1 时,方程①有两个不等的实数根 2

故直线 l 方程为 y ? 1 x ? 1, 或y ? ? 1 x ? 1 2 2 【例9】 已知动点 P 与双曲线 值,且
cos ?F1 PF2 的最小值为 ?

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点 F 1 、 F2 的距离之和为定 2 3

1 . 9

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若已知 D(0,3) , M 、 N 在动点 P 的轨迹上且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范 围. 解: (1)由已知可得: c ? 5 , ∴ a2 ? 9 ∴
, b2 ? a2 ? c2 ? 4
a 2 ? a 2 ? (2c) 2 2a
2

??

1 9

所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 4

(2)方法一: 由题知点 D、M、N 共线,设为直线 m,当直线 m 的斜率存在时,设为 k,则直线 m 的 方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 ①
5 . 9

由判别式 ? ? (54k ) 2 ? 4 ? (4 ? 9k 2 ) ? 45 ? 0 ,得 k 2 ? 再设 M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2),则一方面有

DM ? ( x1 , y1 ? 3) ? ? DN ? ?( x2 , y2 ? 3) ? (?x2 , ?( y2 ? 3)) ,得
? x1 ? ?x 2 ? ? y1 ? 3 ? ? ( y 2 ? 3)

另一方面有 x1 ? x2 ? ?

54k 4 ? 9k
2

, x1 x2 ?

45 4 ? 9k 2



将 x1 ? ?x2 代入②式并消去 x 2 可得
324? 5(1 ? ? )
2

?

4 k
2

? 9 ,由前面知, 0 ? ? 81 ,解得 5

4 k
2

?

36 5

∴ 9?

324? 5(1 ? ? )
2

1 ?? ?5. 5 1 5

又当直线 m 的斜率不存在时,不难验证: ? ? 或? ? 5 , 所以
1 ? ? ? 5 为所求。 5

方法二:同上得
? x1 ? ?x 2 ? ? y1 ? 3 ? ? ( y 2 ? 3)

设点 M (3cosα ,2sinα ),N (3cosβ ,2sinβ ) 则有 ?
?cos? ? ? cos ? ?2 sin? ? 3 ? ? (2 sin ? ? 3)

由上式消去α 并整理得
sin ? ? 13?2 ? 18? ? 5 12(?2 ? ? )

,

由于 ?1 ? sin ? ? 1

∴ ?1 ?

13?2 ? 18? ? 5 12(? ? ? )
2

? 1 , 解得

1 ? ? ? 5 为所求. 5

方法三:设法求出椭圆上的点到点 D 的距离的最大值为 5,最小值为 1. 进而推得 ? 的取值范围为
1 ?? ?5。 5

【求圆锥曲线的方程练习】 一、选择题 1.已知直线 x+2y-3=0 与圆 x2+y2+x-6y+m=0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP⊥OQ,则 m 等于( A.3 ) B.-3 C.1 D.-1

2.中心在原点,焦点在坐标为(0,±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点 的横坐标为
A.

1 ,则椭圆方程为( 2

)
B. 2x 2 2 y 2 ? ?1 75 25 x2 y2 D. ? ?1 75 25

2x 2 2 y 2 ? ?1 25 75 x2 y2 C. ? ?1 25 75

二、填空题 3.直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x2-4y2=3 的焦 点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________. 4.已知圆过点 P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,则该 圆的方程为_________. 三、解答题 5.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F,M 是椭圆上的 任意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存在着以 y=x 为轴的对称点 M1 和 M2,且|M1M2|=
4 10 ,试求椭圆的方程. 3

6.某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,求 其中最长的支柱的长.

7.已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2= 为
x2 a
2

20 ,椭圆 C2 的方程 3

?

y2 b
2

=1(a>b>0),C2 的离心率为

2 ,如果 C1 与 C2 相 2

交于 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方 程和椭圆 C2 的方程.

参考答案 一、1.解析:将直线方程变为 x=3-2y,代入圆的方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得(3-2y)2+y2+(3-2y)+m=0.

整理得 5y2-20y+12+m=0,设 P(x1,y1)、Q(x2,y2) 则 y1y2=
12 ? m ,y1+y2=4. 5

又∵P、Q 在直线 x=3-2y 上, ∴x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4y1y2-6(y1+y2)+9 故 y1y2+x1x2=5y1y2-6(y1+y2)+9=m-3=0,故 m=3. 答案:A 2.解析:由题意,可设椭圆方程为: 即方程为
y
2

y2 a
2

?

x2 b
2

=1,且 a2=50+b2,

50 ? b 2

?

x

2

b2

=1.

将直线 3x-y-2=0 代入,整理成关于 x 的二次方程. 由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a2=75. 答案:C 二、3.解析:所求椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|. 欲使 2a 最小,只需在直线 l 上找一点 P.使|PF1|+|PF2|最小,利用对称性可解. 答案:
x2 y2 =1 ? 5 4

4.解析:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
?(4 ? a ) 2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ? ? 则有 ?(?1 ? a ) 2 ? (3 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ? ?| a | ?(2 3 ) ? r

?a ? 1 ?a ? 5 ? ? ? ?b ? 0 或?b ? 4 ? 2 ? 2 ?r ? 13 ?r ? 27

由此可写所求圆的方程. 答案:x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0 三、5.解:|MF|max=a+c,|MF|min=a-c,则(a+c)(a-c)=a2-c2=b2, ∴b2=4,设椭圆方程为
x2 a2 ? y2 ?1 4

① ② ③

设过 M1 和 M2 的直线方程为 y=-x+m 将②代入①得:(4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2 的中点为(x0,y0), 则 x0=
a 2m 1 4m (x1+x2)= ,y0=-x0+m= . 2 2 4?a 4 ? a2 a2m 4 ? a2 ? 4m 4 ? a2

代入 y=x,得

,

由于 a2>4,∴m=0,∴由③知 x1+x2=0,x1x2=- 又|M1M2|= 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?
4 10 , 3

4a 2 4 ? a2

,

代入 x1+x2,x1x2 可解 a2=5,故所求椭圆方程为:

x2 y2 =1. ? 5 4

6.解:以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系, 如图,由题意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B 坐标分别为(-10,-4) 、(10,-4) 设抛物线方程为 x2=-2py,将 A 点坐标代入,得 100=-2p×(-4),解得 p=12.5, 于是抛物线方程为 x2=-25y.

由题意知 E 点坐标为(2,-4),E′点横坐标也为 2,将 2 代入得 y=-0.16,从而|EE′ |= (-0.16)-(-4)=3.84.故最长支柱长应为 3.84 米. 7.解:由 e=
y2 x2 2 ,可设椭圆方程为 2 ? 2 =1, 2 2b b

又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2, 又
x1 2 2b 2 ? y1 2 b2 ? 1, x2 2 2b 2 ? y2 2 b2

=1,两式相减,得

x1 2 ? x 2 2 2b 2

?

y1 2 ? y 2 2 b2

=0,

即(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0. 化简得

y1 ? y 2 =-1,故直线 AB 的方程为 y=-x+3, x1 ? x 2

代入椭圆方程得 3x2-12x+18-2b2=0. 有Δ =24b2-72>0,又|AB|= 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 得 2?
24b 2 ? 72 ? 9 20 ,解得 b2=8. 3
20 , 3

故所求椭圆方程为

x2 y2 =1. ? 16 8

直线与圆锥曲线 【复习要点】 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位 置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类 讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计 算能力较高,起到了拉开考生“档次” ,有利于选拔的功能. 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成 的方程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方 法. 2.当直线与圆锥曲线相交时: 涉及弦长问题, 常用 “韦达定理法” 设而不求计算弦长(即 应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关 系灵活转化,往往就能事半功倍.

【例题】 【例1】 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交 于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=
10 ,求椭圆方程. 2

解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)
? ?y ? x ? 1 由? 2 得(m+n)x2+2nx+n-1=0, 2 ? mx ? ny ? 1 ?

Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴
2(n ? 1) 2n +1=0,∴m+n=2 ? m?n m?n



4(m ? n ? mn) 10 2 ?( ) , m?n 2 3 将 m+n=2,代入得 m·n= 4

又2



由①、②式得 m=

3 1 3 1 ,n= 或 m= ,n= 2 2 2 2

故椭圆方程为

3 1 x2 3 2 + y =1 或 x2+ y2=1. 2 2 2 2

【例2】 如图所示, 抛物线 y2=4x 的顶点为 O, 点 A 的坐标为(5, 0), 倾斜角为

?
4

的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面 积最大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积. 解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0.
? ?y ? x ? m 由方程组 ? 2 ,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0?????① ? y ? 4 x ?

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2, ∴|MN|=4 2(1 ? m) . 点 A 到直线 l 的距离为 d=

5? m 2

.

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2 =2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2(
2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 ) =128. 3

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 . 【例3】 已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2)。(1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜 率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点,没有交点。(2)若 Q(1,1),试判 断以 Q 为中点的弦是否存在. 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1, 与曲线 C 有一个交点. 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 代入 C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0??????(*) (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点

(ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ =[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) ①当Δ =0,即 3-2k=0,k= ②当Δ >0,即 k<
3 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点. 2

3 3 ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 时, 2 2

方程(*)有两不等实根,l 与 C 有两个交点. ③当Δ <0,即 k>
3 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点. 2
3 ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 2

综上知:当 k=± 2 ,或 k= 当 2 <k< 当 k>

3 ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 2

3 时,l 与 C 没有交点. 2

(2)假设以 Q 为中点的弦存在, 设为 AB, 且 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=
y1 ? y 2 =2 x1 ? x 2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为 中点的弦不存在. 【例4】 如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B, 且|F1B|+|F2B|=10, 椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2) 满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m, 求 m 的取值范围.
F1 o F2 B' A B C x y

解:(1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4, 所以 b= a 2 ? c 2 =3. 故椭圆方程为
x2 y2 =1. ? 25 9

(2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= 根据椭圆定义,有|F2A|=

9 4 25 .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 , 5 4 5

4 25 4 25 ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得
4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5

设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0=

x1 ? x 2 =4. 2

(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.
2 2 ? ?9 x1 ? 25 y1 ? 9 ? 25 得? 2 2 ? ?9 x 2 ? 25 y 2 ? 9 ? 25

① ②

①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0, 即 9× ( 将 (k≠0) 即 k=
x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 ) ? 25( 1 )?( 1 ) =0(x1≠x2) 2 2 x1 ? x 2

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 1 ? x 0 ? 4, 1 ? y0 , 1 ?? (k≠0)代入上式,得 9×4+25y0(- )=0 2 2 x1 ? x 2 k k

25 y0(当 k=0 时也成立). 36 16 25 y0=- y0. 9 9

由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m, 所以 m=y0-4k=y0-

由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部, 得-
9 9 16 16 <y0< ,所以- <m< . 5 5 5 5

解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 y-y0=- ③ 将③代入椭圆方程
x2 y2 =1,得 ? 25 9
1 (x-4)(k≠0) k

(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0 所以 x1+x2=
50(k 0 ? 4) 9k ? 25
2

=8,解得 k=

25 y0.(当 k=0 时也成立) 36

(以下同解法一). 【例5】 已知双曲线 G 的中心在原点, 它的渐近线与圆 x ? y ?10x ? 20 ? 0 相
2 2

切. 过点 P ? ?4,0? 作斜率为

1 的直线 l , 使得 l 和 G 交于 A, B 两点, 和 y 轴交于点 C , 4
2

并且点 P 在线段 AB 上,又满足 PA ? PB ? PC . (1)求双曲线 G 的渐近线的方程; (2)求双曲线 G 的方程; (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴.如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中 点的轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程. 解: (1)设双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? kx , 则由渐近线与圆 x2 ? y 2 ?10x ? 20 ? 0 相切可得: 所以, k ? ?

5k k2 ?1

? 5.

1 . 2 1 x. 2

双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? ?

(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为: x2 ? 4 y 2 ? m . 把直线 l 的方程 y ? 则 x A ? xB ?

8 , 3

1 ? x ? 4 ? 代入双曲线方程,整理得 3x2 ? 8x ? 16 ? 4m ? 0 . 4 16 ? 4m x A xB ? ? (*) 3
2

∵ PA ? PB ? PC , P, A, B, C 共线且 P 在线段 AB 上, ∴ ? xP ? x A ?? xB ? xP ? ? ? xP ? xC ? ,
2

即: ? xB ? 4?? ?4 ? xA ? ? 16 ,整理得: 4 ? xA ? xB ? ? xA xB ? 32 ? 0 将(*)代入上式可解得: m ? 28 . 所以,双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 28 7 x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 7 .下面我们来求出 S 中垂直 28 a 2

(3)由题可设椭圆 S 的方程为: 于 l 的平行弦中点的轨迹.

?

?

设弦的两个端点分别为 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , MN 的中点为 P ? x0 , y0 ? ,则

? x12 y12 ? ?1 ? ? 28 a 2 . ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? 28 a 2
两式作差得:

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ?
28 ? a2

?0

由于

y1 ? y2 ? ?4 , x1 ? x2 ? 2x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 x1 ? x2
x0 4 y0 ? ? 0, 28 a 2
x 4y ? ? 0 截在椭圆 S 内的部分. 28 a 2

所以,

所以,垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线

又由题,这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,所以,

a2 1 ? .所以, 112 2

x2 y 2 a ? 56 ,椭圆 S 的方程为: ? ? 1. 28 56
2

点评:解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上(也即化线段的关系为 横坐标(或纵坐标)之间的关系)是常用的简化问题的手段;有关弦中点的问题,常常用 到“设而不求”的方法;判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具) .

【例6】 设抛物线过定点 A ? ?1,0? ,且以直线 x ? 1 为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 恰被直线 x ? ? 设弦 MN 的垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,试求 m 的取值范围. 解: (1)设抛物线的顶点为 G ? x, y ? ,则其焦点为 F ? 2 x ? 1, y ? .由抛物线的定义可 知: AF ? 点A到直线x ? 1 的距离=2 .
2 2 所以, 4 x ? y ? 2 .

1 平分, 2

所以,抛物线顶点 G 的轨迹 C 的方程为: x ?
2

y2 ?1 4

? x ? 1? .

(2)因为 m 是弦 MN 的垂直平分线与 y 轴交点的纵坐标,由 MN 所唯一确定.所以, 要求 m 的取值范围,还应该从直线 l 与轨迹 C 相交入手. 显然,直线 l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线 l 的方程为 l : y ? ? 椭圆方程得:

1 x ? b ,代入 k

? 4k 2 ? 1 ? 2 2bx ? b2 ? 4 ? 0 ? ?x ? 2 k ? k ?
由于 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,所以, ? ? 即: 4k ? k b ? 1 ? 0
2 2 2

? 4k 2 ? 1 ? 2 4b2 ? 4 ? ? ?b ? 4? ? 0 , 2 k2 ? k ?

(*) ? k ? 0? .

又线段 MN 恰被直线 x ? ?

1 2bk ? 1? 平分,所以, xM ? xN ? ? 2? ?? ?. 2 2 4k ? 1 ? 2?

4k 2 ? 1 所以, bk ? . ?2
代入(*)可解得: ?

3 3 ?k? 2 2

? k ? 0? .

下面,只需找到 m 与 k 的关系,即可求出 m 的取值范围.由于 y ? kx ? m 为弦 MN 的垂直平分线,故可考虑弦 MN 的中点 P ? ? , y0 ? .

? 1 ? 2

? ?

1 1 1 1 4k 2 ? 1 ?b ? ? ? ?2k . 在 l : y ? ? x ? b 中,令 x ? ? ,可解得: y0 ? k 2 2k 2k 2k
将点 P ? ? , ?2k ? 代入 y ? kx ? m ,可得: m ? ?

? 1 ? 2

? ?

3k . 2

所以, ?

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 . 4 4

从以上解题过程来看,求 m 的取值范围,主要有两个关键步骤:一是寻求 m 与其它 参数之间的关系,二是构造一个有关参量的不等式.从这两点出发,我们可以得到下面的 另一种解法: 解法二.设弦 MN 的中点为 P ? ? , y0 ? ,则由点 M , N 为椭圆上的点,可知:

? 1 ? 2

? ?

?4 xM 2 ? yM 2 ? 4 ? . ? 2 2 ? ? 4 xN ? y N ? 4
两式相减得: 4 ? xM ? xN ?? xM ? xN ? ? ? yM ? yN ?? yM ? yN ? ? 0 又由于 xM ? xN ? 2 ? ? ? ? ? ?1,

? 1? ? 2?

yM ? yN ? 2 y0 ,

yM ? yN 1 = ? ,代入上式 xM ? xN k

得: k ? ?

y0 . 2

B

? 1 ? 又点 P ? ? , y0 ? 在弦 MN 的垂直平分线上, 所以, ? 2 ?
1 y0 ? ? k ? m . 2 1 3 所以, m ? y0 ? k ? y0 . 2 4
由点 P ? ? , y0 ? 在线段 BB’ 上(B’ 、B 为直线 P M



? 1 ? 2

? ?

B'

x??

1 与椭圆的交点, 如图) , 所以,yB ' ? y0 ? yB . 2

也即: ? 3 ? y0 ? 3 . 所以, ?

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 4 4

点评:解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨 论二次项系数和判别式,有时借助图形的几何性质更为方便. 涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时(设而不求) ,必须以直线与圆锥 曲线相交为前提,否则不宜用此法. 从构造不等式的角度来说, “将直线 l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于 0” 与 “弦 MN 的中点 P ? ? , y0 ? 在椭圆内”是等价的. 【例7】 设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F, 经过点 F 的直线与抛物线交于 A、 B 两点.又 M 是其准线上一点.试证:直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 证明 依题意直线 MA、MB、MF 的斜率显然存在,并分别设为 k1 , k2 , k3

? 1 ? 2

? ?

点 A、B、M 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,M( ? 由“AB 过点 F(
p ,0) ”得 2

p ,m) 2

l AB : x ? ty ?

p 2

将上式代入抛物线 y 2 ? 2 px 中得: y 2 ? 2 pty ? p 2 ? 0 可知
y1 ? y 2 ? ? p 2

又依“ y12 ? 2 px1 及 y 2 2 ? 2 px2 ”可知
x1 ?
2 p y1 p 1 ? ? ? ( y1 2 ? p 2 ) 2 2p 2 2p

x2 ?

2 p y2 p p4 p p ? ? ? ? ? ( y1 2 ? p 2 ) 2 2 2 2 p 2 2 py1 2 2 y1

因此

k1 ? k 2 ?

y1 ? m y 2 ? m ? p p x1 ? x2 ? 2 2

?

2 p 2 ( y1 ? m) p( y1 ? p )
2 2

2 y1 2 (? ?
2

p2 ? m) y1
2

p( y1 ? p )

??

2m p

而 k3 ?

0?m m ?? p p p ? (? ) 2 2

故 k1 ? k2 ? 2k3 即直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 【例8】 已知 a =(x,0), b =(1,y) (a ? 3b)?(a ? 3b) (1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l :y=kx+m(km≠0)与曲线 C 交于 A、B 两端,D(0,-1),且有|AD|=|BD|, 试求 m 的取值范围。 解: (1) a ? 3b ? ( x,0) ? 3(1, y) ? ( x ? 3, 3 y)

a ? 3b ? ( x,0) ? 3(1, y) ? ( x ? 3,? 3 y)
∵ (a ? 3b)?(a ? 3b) ∴ (a ? 3b) ? (a ? 3b) =0 得

∴ ( x ? 3)( x ? 3) ? 3 y ? (? 3 y) ? 0 ∴P 点的轨迹方程为

x2 ? y2 ?1 3

x2 ? y2 ?1 3

? y ? kx ? m ? (2)考虑方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3
显然 1-3k2≠0

消去 y,得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0(*)

△=(6km)2-4(-3m2-3)=12(m2+1)-3k2>0 6km 设 x1,x2 为方程*的两根,则 x1 ? x 2 ? 1 ? 3k 2 x ? x2 3km m ? x0 ? 1 ? y 0 ? kx 0 ? m ? 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

3km m , ) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 m 1 3km ? (? )( x ? ) ∴线段 AB 的垂直平分线方程为: y ? 2 k 1 ? 3k 1 ? 3k 2 将 D(0,-1)坐标代入,化简得:4m=3k2-1
故 AB 中点 M 的坐标为(
2 2 ? ?m ? 1 ? 3k ? 0 故 m、k 满足 ? ,消去 k2 得:m2-4m>0 2 ? ?4m ? 3k ? 1

解得:m<0 或 m>4 又∵4m=3k2-1>-1 故 m ? (? ,0) ? (4,??) . ∴m>-

1 4

1 4

【直线与圆锥曲线练习】 一、选择题 1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 A.2 B.
4 5 5 x2 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 4

)

C.

4 10 5

D.

8 10 5

2.抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2, 直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( A.x3=x1+x2 C.x1+x2+x3=0 二、填空题 3.已知两点 M(1, ②x2+y2=3,③ _________.
5 5 )、N(-4,- ),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0, 4 4

) B.x1x2=x1x3+x2x3 D.x1x2+x2x3+x3x1=0

x2 2 x2 +y =1,④ -y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 2 2

4.正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积为_________. 5. 在抛物线 y2=16x 内, 通过点(2, 1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 三、解答题 6. 已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的 两点 A、B,且|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N, 求△NAB 面积的最大值. 7. 已知中心在原点, 顶点 A1、 A2 在 x 轴上, 离心率 e= 的双曲线过点 P(6,6). (1)求双曲线方程. (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问:是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论. 8.已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点,且都以点 A( 2 ,0)为圆心,1 为半径的圆 相切,双曲线的一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直 线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时 B 点的坐标.
21 3
N o F B x y A

直线与圆锥曲线参考答案 一、1.解析:弦长|AB|= 2 ? 答案:C
? k b b ? y ? ax2 2.解析: 解方程组 ? ,得 ax2-kx-b=0,可知 x1+x2= ,x1x2=- ,x3=- ,代入验 a a k ? y ? kx ? b ?
4? 5 ? t2 4 10 ≤ . 5 5

证即可. 答案:B 二、3.解析:点 P 在线段 MN 的垂直平分线上,判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是

否存在交点. 答案:②③④ 4.解析:设 C、D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长,利 用|CD|的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出 b 的值,再代入求出|CD|的长. 答案:18 或 50 5.解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2). 即
y1 ? y 2 16 ? ? kAB=8. x1 ? x 2 y1 ? y 2

故所求直线方程为 y=8x-15. 答案:8x-y-15=0 三、 6. 解: (1) 设直线 l 的方程为: y=x - a, 代入抛物线方程得 (x - a)2=2px, 即 x2 - 2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|= 2 ? 4(a ? p) 2 ? 4a 2 ≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2 又∵p>0,∴a≤-
p . 4

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p, 则有 x=
x1 ? x2 y ? y 2 x1 ? x2 ? 2a =p. ? a ? p, y ? 1 ? 2 2 2

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p),从而 N 点坐标为(a+2p,0 点 N 到 AB 的距离为 从而 S△NAB=
| a ? 2p ? a| 2 ? 2p

1 ? 2 ? 4(a ? p) 2 ? 4a 2 ? 2 p ? 2 p 2ap ? p 2 2

当 a 有最大值-

p 时,S 有最大值为 2 p2. 4

7. 解: (1)如图,设双曲线方程为 解得 a2=9,b2=12.

x2 y2 62 62 a 2 ? b 2 21 2 ? ? 1 , e ? ? ? =1. 由已知得 , 3 a2 b2 a2 a2 b2

所以所求双曲线方程为

x2 y2 =1. ? 9 12

(2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) , ∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2).则有
?12x1 2 ? 9 y1 2 ? 108 ? 4 ?12x 2 2 ? 9 y 2 2 ? 108 y1 ? y 2 12 4 ? ? ? ,∴kl= ? x1 ? x 2 9 3 3 ? x1 ? x 2 ? 4 ?y ? y ? 4 2 ? 1

∴l 的方程为 y=

4 (x-2)+2, 3

?12x 2 ? 9 y 2 ? 108 ? 由? ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0. 4 y ? ( x ? 2 ) ? 3 ?

∵Δ =16-4×28<0,∴所求直线 l 不存在. 8.解:(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d=
| 2k | k 2 ?1

=1,解得 k=±1.

即渐近线为 y=±x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0, 2 ). ∴a= 2 =b,所求双曲线 C 的方程为 x2-y2=2. (2)设直线 l:y=k(x- 2 )(0<k<1 ) ,依题意 B 点在平行的直线 l′上,且 l 与 l′间的 距离为 2 . 设直线 l′:y=kx+m,应有
| 2k ? m | k ?1
2
2 ? 2 ,化简得 m +2 2 km=2.



把 l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0, 由Δ =4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0. 可得 m2+2k2=2 ③

② 、 ③ 两 式 相 减 得 k= x=
?mk k 2 ?1

2 m, 代 入 ③ 得 m2=

2 10 2 5 , 解 设 m= ,k= ,此时 5 5 5

? 2 2 ,y= 10 .故 B(2 2 , 10 ).

直线与圆锥曲线 【复习要点】 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位 置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类 讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计 算能力较高,起到了拉开考生“档次” ,有利于选拔的功能. 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成 的方程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方 法. 2.当直线与圆锥曲线相交时: 涉及弦长问题, 常用 “韦达定理法” 设而不求计算弦长(即 应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关 系灵活转化,往往就能事半功倍.

【例题】 【例9】 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交
10 ,求椭圆方程. 2 解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)

于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=

? ?y ? x ? 1 由? 2 得(m+n)x2+2nx+n-1=0, 2 ? ?mx ? ny ? 1

Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴
2(n ? 1) 2n +1=0,∴m+n=2 ? m?n m?n



4(m ? n ? mn) 10 2 ?( ) , m?n 2 3 将 m+n=2,代入得 m·n= 4

又2



由①、②式得 m= 故椭圆方程为

3 1 3 1 ,n= 或 m= ,n= 2 2 2 2

3 1 x2 3 2 + y =1 或 x2+ y2=1. 2 2 2 2

【例10】 如图所示, 抛物线 y2=4x 的顶点为 O, 点 A 的坐标为(5, 0), 倾斜角为

?
4

的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面 积最大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积. 解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0.
? ?y ? x ? m 由方程组 ? 2 ,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0?????① ? ? y ? 4x

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2, ∴|MN|=4 2(1 ? m) . 点 A 到直线 l 的距离为 d=

5? m 2

.

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2 =2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2(
2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 ) =128. 3

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 . 【例11】 已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2)。(1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜 率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点,没有交点。(2)若 Q(1,1),试判 断以 Q 为中点的弦是否存在. 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1, 与曲线 C 有一个交点. 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 代入 C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0…?????(*) (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个 交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ =[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) ①当Δ =0,即 3-2k=0,k= ②当Δ >0,即 k<
3 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点. 2

3 3 ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 时, 2 2

方程(*)有两不等实根,l 与 C 有两个交点.

③当Δ <0,即 k>

3 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点. 2 3 ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 2

综上知:当 k=± 2 ,或 k= 当 2 <k< 当 k>

3 ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 2

3 时,l 与 C 没有交点. 2

(2)假设以 Q 为中点的弦存在, 设为 AB, 且 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=
y1 ? y 2 =2 x1 ? x 2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为 中点的弦不存在. 【例12】 如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B, 且|F1B|+|F2B|=10, 椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2) 满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m, 求 m 的取值范围. 解: (1)由椭圆定义及条件知, 2a=|F1B|+|F2B|=10, 得 a=5,又 c=4,所以 b= a 2 ? c 2 =3. 故椭圆方程为
x2 y2 =1. ? 25 9
y

A B C F1 o F2 B' x

(2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= 根据椭圆定义,有|F2A|=

9 4 25 .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 , 5 4 5

4 25 4 25 ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得
4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5

设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0=

x1 ? x 2 =4. 2

(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.

? ?9 x1 ? 25 y1 ? 9 ? 25 得? 2 2 ? ?9 x 2 ? 25 y 2 ? 9 ? 25
2 2

① ②

①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0,

即 9× ( 将 (k≠0) 即 k=

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 ) ? 25( 1 )?( 1 ) =0(x1≠x2) 2 2 x1 ? x 2

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 1 ? x 0 ? 4, 1 ? y0 , 1 ?? (k≠0)代入上式,得 9×4+25y0(- )=0 2 2 x1 ? x 2 k k

25 y0(当 k=0 时也成立). 36 16 25 y0=- y0. 9 9

由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m, 所以 m=y0-4k=y0-

由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部, 得-
9 9 16 16 <y0< ,所以- <m< . 5 5 5 5

解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 y-y0=- ③
x2 y2 =1,得 ? 25 9 (9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0
1 (x-4)(k≠0) k

将③代入椭圆方程

所以 x1+x2=

50(k 0 ? 4)
2

9k ? 25 (以下同解法一).

=8,解得 k=

25 y0.(当 k=0 时也成立) 36

【例13】 已知双曲线 G 的中心在原点, 它的渐近线与圆 x ? y ?10x ? 20 ? 0 相
2 2

切. 过点 P ? ?4,0? 作斜率为

1 的直线 l , 使得 l 和 G 交于 A, B 两点, 和 y 轴交于点 C , 4
2

并且点 P 在线段 AB 上,又满足 PA ? PB ? PC . (1)求双曲线 G 的渐近线的方程; (2)求双曲线 G 的方程; (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴.如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中 点的轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程. 解: (1)设双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? kx , 则由渐近线与圆 x ? y ?10x ? 20 ? 0 相切可得:
2 2

5k k ?1
2

? 5.

所以, k ? ?

1 . 2 1 x. 2

双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? ?

(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为: x2 ? 4 y 2 ? m . 把直线 l 的方程 y ? 则 x A ? xB ?

8 , 3

1 ? x ? 4 ? 代入双曲线方程,整理得 3x2 ? 8x ? 16 ? 4m ? 0 . 4 16 ? 4m x A xB ? ? (*) 3
2

∵ PA ? PB ? PC , P, A, B, C 共线且 P 在线段 AB 上, ∴ ? xP ? x A ?? xB ? xP ? ? ? xP ? xC ? ,
2

即: ? xB ? 4?? ?4 ? xA ? ? 16 ,整理得: 4 ? xA ? xB ? ? xA xB ? 32 ? 0 将(*)代入上式可解得: m ? 28 . 所以,双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 28 7 x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 7 .下面我们来求出 S 中垂直 28 a 2

(3)由题可设椭圆 S 的方程为: 于 l 的平行弦中点的轨迹.

?

?

设弦的两个端点分别为 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , MN 的中点为 P ? x0 , y0 ? ,则

? x12 y12 ? ?1 ? ? 28 a 2 . ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? 28 a 2
两式作差得:

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ?
28 ? a2

?0

由于

y1 ? y2 ? ?4 , x1 ? x2 ? 2x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 x1 ? x2
x0 4 y0 ? ? 0, 28 a 2
x 4y ? ? 0 截在椭圆 S 内的部分. 28 a 2

所以,

所以,垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线

a2 1 ? .所以, 又由题,这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,所以, 112 2
a 2 ? 56 ,椭圆 S 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 28 56

点评:解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上(也即化线段的关系为 横坐标(或纵坐标)之间的关系)是常用的简化问题的手段;有关弦中点的问题,常常用 到“设而不求”的方法;判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具) .

【例14】 设抛物线过定点 A ? ?1,0? ,且以直线 x ? 1 为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 恰被直线 x ? ? 设弦 MN 的垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,试求 m 的取值范围. 解: (1)设抛物线的顶点为 G ? x, y ? ,则其焦点为 F ? 2 x ? 1, y ? .由抛物线的定义可 知: AF ? 点A到直线x ? 1 的距离=2 .
2 2 所以, 4 x ? y ? 2 .

1 平分, 2

2 所以,抛物线顶点 G 的轨迹 C 的方程为: x ?

y2 ?1 4

? x ? 1? .

(2)因为 m 是弦 MN 的垂直平分线与 y 轴交点的纵坐标,由 MN 所唯一确定.所以, 要求 m 的取值范围,还应该从直线 l 与轨迹 C 相交入手. 显然,直线 l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线 l 的方程为 l : y ? ? 椭圆方程得:

1 x ? b ,代入 k

? 4k 2 ? 1 ? 2 2bx ? b2 ? 4 ? 0 ? ?x ? 2 k ? k ?
由于 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,所以, ? ? 即: 4k ? k b ? 1 ? 0
2 2 2

? 4k 2 ? 1 ? 2 4b2 ? 4 ? ? ?b ? 4? ? 0 , 2 k2 ? k ?

(*) ? k ? 0? .

又线段 MN 恰被直线 x ? ?

1 2bk ? 1? 平分,所以, xM ? xN ? ? 2? ?? ?. 2 2 4k ? 1 ? 2?

所以, bk ?

4k 2 ? 1 . ?2

代入(*)可解得: ?

3 3 ?k? 2 2

? k ? 0? .

下面,只需找到 m 与 k 的关系,即可求出 m 的取值范围.由于 y ? kx ? m 为弦 MN 的垂直平分线,故可考虑弦 MN 的中点 P ? ? , y0 ? .

? 1 ? 2

? ?

1 1 1 1 4k 2 ? 1 ?b ? ? ? ?2k . 在 l : y ? ? x ? b 中,令 x ? ? ,可解得: y0 ? k 2 2k 2k 2k
将点 P ? ? , ?2k ? 代入 y ? kx ? m ,可得: m ? ?

? 1 ? 2

? ?

3k . 2

所以, ?

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 . 4 4

从以上解题过程来看,求 m 的取值范围,主要有两个关键步骤:一是寻求 m 与其它 参数之间的关系,二是构造一个有关参量的不等式.从这两点出发,我们可以得到下面的 另一种解法: 解法二.设弦 MN 的中点为 P ? ? , y0 ? ,则由点 M , N 为椭圆上的点,可知:
2 2 ? ?4 xM ? yM ? 4 . ? 2 2 ? ? 4 xN ? y N ? 4

? 1 ? 2

? ?

两式相减得: 4 ? xM ? xN ?? xM ? xN ? ? ? yM ? yN ?? yM ? yN ? ? 0 又由于 xM ? xN ? 2 ? ? ? ? ? ?1,

? 1? ? 2?

yM ? yN ? 2 y0 ,

yM ? yN 1 = ? ,代入上式 xM ? xN k

得: k ? ?

y0 . 2

B

? 1 ? 又点 P ? ? , y0 ? 在弦 MN 的垂直平分线上, 所以, ? 2 ?
1 y0 ? ? k ? m . 2
所以, m ? y0 ? P



1 3 k ? y0 . 2 4



B'

由点 P ? ? , y0 ? 在线段 BB’上(B’、B 为直线 x ? ?

? 1 ? 2

? ?

1 与椭圆的交点,如图) ,所以, 2

yB ' ? y0 ? yB .
也即: ? 3 ? y0 ? 3 . 所以, ?

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 4 4

点评:解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨 论二次项系数和判别式,有时借助图形的几何性质更为方便. 涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时(设而不求) ,必须以直线与圆锥曲线 相交为前提,否则不宜用此法. 从构造不等式的角度来说, “将直线 l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于 0” 与 “弦 MN 的中点 P ? ? , y0 ? 在椭圆内”是等价的. 【例15】 设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F, 经过点 F 的直线与抛物线交于 A、 B 两点.又 M 是其准线上一点.试证:直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 证明 依题意直线 MA、MB、MF 的斜率显然存在,并分别设为 k1 , k2 , k3 点 A、B、M 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,M( ? 由“AB 过点 F(
p ,0) ”得 2 p ,m) 2

? 1 ? 2

? ?

l AB : x ? ty ?

p 2

将上式代入抛物线 y 2 ? 2 px 中得: y 2 ? 2 pty ? p 2 ? 0 可知
y1 ? y 2 ? ? p 2

又依“ y12 ? 2 px1 及 y 2 2 ? 2 px2 ”可知
x1 ?
2 p y1 p 1 ? ? ? ( y1 2 ? p 2 ) 2 2p 2 2p

x2 ?

2 p y2 p p4 p p ? ? ? ? ? ( y1 2 ? p 2 ) 2 2 p 2 2 py1 2 2 2 y1 2

因此

k1 ? k 2 ?

y1 ? m y 2 ? m ? p p x1 ? x2 ? 2 2

?

2 p 2 ( y1 ? m) p( y1 ? p )
2 2

2 y1 2 (? ?
2

p2 ? m) y1
2

p( y1 ? p )

??

2m p

而 k3 ?

0?m m ?? p p p ? (? ) 2 2

故 k1 ? k2 ? 2k3 即直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 【例16】 已知 a =(x,0), b =(1,y) (a ? 3b)?(a ? 3b) (1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l :y=kx+m(km≠0)与曲线 C 交于 A、B 两端,D(0,-1),且有|AD|=|BD|, 试求 m 的取值范围。 解: (1) a ? 3b ? ( x,0) ? 3(1, y) ? ( x ? 3, 3 y)

a ? 3b ? ( x,0) ? 3(1, y) ? ( x ? 3,? 3 y)
∵ (a ? 3b)?(a ? 3b) ∴ (a ? 3b) ? (a ? 3b) =0 得

∴ ( x ? 3)( x ? 3) ? 3 y ? (? 3 y) ? 0 ∴P 点的轨迹方程为

x2 ? y2 ?1 3

x2 ? y2 ?1 3
消去 y,得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0(*)

? y ? kx ? m ? (2)考虑方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3
显然 1-3k2≠0

△=(6km)2-4(-3m2-3)=12(m2+1)-3k2>0 6km 设 x1,x2 为方程*的两根,则 x1 ? x 2 ? 1 ? 3k 2 x ? x2 3km m ? x0 ? 1 ? y 0 ? kx 0 ? m ? 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

3km m , ) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 m 1 3km ? (? )( x ? ) ∴线段 AB 的垂直平分线方程为: y ? 2 k 1 ? 3k 1 ? 3k 2 将 D(0,-1)坐标代入,化简得:4m=3k2-1
故 AB 中点 M 的坐标为(
2 2 ? ?m ? 1 ? 3k ? 0 故 m、k 满足 ? ,消去 k2 得:m2-4m>0 2 ? ?4m ? 3k ? 1

解得:m<0 或 m>4

又∵4m=3k2-1>-1 故 m ? (? ,0) ? (4,??) .

∴m>-

1 4

1 4

【直线与圆锥曲线练习】 一、选择题 1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 A.2 B.
x2 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 4

)

4 10 4 5 8 10 C. D. 5 5 5 2 2.抛物线 y=ax 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2,

直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( A.x3=x1+x2 C.x1+x2+x3=0 二、填空题 3.已知两点 M(1, ②x2+y2=3,③

) B.x1x2=x1x3+x2x3 D.x1x2+x2x3+x3x1=0

5 5 )、N(-4,- ),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0, 4 4

x2 2 x2 +y =1,④ -y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 2 2

_________. 4.正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积为_________. 5. 在抛物线 y2=16x 内, 通过点(2, 1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 三、解答题 6. 已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的 两点 A、B,且|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N, y A 求△NAB 面积的最大值. 7.已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e=
21 的 3
N F B x

双曲线过点 P(6,6). (1)求双曲线方程. o (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两 点 M、N,问:是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论. 8.已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点,且都以点 A( 2 ,

0)为圆心,1 为半径的圆相切,双曲线的一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直 线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时 B 点的坐标.

直线与圆锥曲线参考答案 一、1.解析:弦长|AB|= 2 ? 答案:C
? k b b ? y ? ax2 2.解析: 解方程组 ? ,得 ax2-kx-b=0,可知 x1+x2= ,x1x2=- ,x3=- ,代入验 a a k ? ? y ? kx ? b
4? 5 ? t2 4 10 ≤ . 5 5

证即可. 答案:B 二、3.解析:点 P 在线段 MN 的垂直平分线上,判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是 否存在交点. 答案:②③④ 4.解析:设 C、D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长,利 用|CD|的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出 b 的值,再代入求出|CD|的长. 答案:18 或 50 5.解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2). 即
y1 ? y 2 16 ? ? kAB=8. x1 ? x 2 y1 ? y 2

故所求直线方程为 y=8x-15. 答案:8x-y-15=0 三、 6. 解: (1) 设直线 l 的方程为: y=x - a, 代入抛物线方程得 (x - a)2=2px, 即 x2 - 2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|= 2 ? 4(a ? p) 2 ? 4a 2 ≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2 又∵p>0,∴a≤-
p . 4

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p, 则有 x=
x1 ? x2 y ? y 2 x1 ? x2 ? 2a =p. ? a ? p, y ? 1 ? 2 2 2
| a ? 2p ? a| 2 ? 2p

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p),从而 N 点坐标为(a+2p,0 点 N 到 AB 的距离为 从而 S△NAB=

1 ? 2 ? 4(a ? p) 2 ? 4a 2 ? 2 p ? 2 p 2ap ? p 2 2

当 a 有最大值-

p 时,S 有最大值为 2 p2. 4

7. 解: (1)如图,设双曲线方程为 解得 a2=9,b2=12.

x2 y2 62 62 a 2 ? b 2 21 ? ? 2 =1.由已知得 2 ? 2 ? 1, e 2 ? , 2 3 a b a2 a b

x2 y2 =1. ? 9 12 (2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) ,

所以所求双曲线方程为

∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2).则有
?12x1 2 ? 9 y1 2 ? 108 ? 4 ?12x 2 2 ? 9 y 2 2 ? 108 y1 ? y 2 12 4 ? ? ? ,∴kl= ? x1 ? x 2 9 3 3 ? x1 ? x 2 ? 4 ?y ? y ? 4 2 ? 1

∴l 的方程为 y=

4 (x-2)+2, 3

?12x 2 ? 9 y 2 ? 108 ? 由? ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0. 4 y ? ( x ? 2 ) ? 3 ?

∵Δ =16-4×28<0,∴所求直线 l 不存在. 8.解:(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d=
| 2k | k 2 ?1

=1,解得 k=±1.

即渐近线为 y=±x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0, 2 ). ∴a= 2 =b,所求双曲线 C 的方程为 x2-y2=2. (2)设直线 l:y=k(x- 2 )(0<k<1 ) ,依题意 B 点在平行的直线 l′上,且 l 与 l′间的 距离为 2 . 设直线 l′:y=kx+m,应有
| 2k ? m | k ?1
2
2 ? 2 ,化简得 m +2 2 km=2.



把 l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0, 由Δ =4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0. 可得 m2+2k2=2 ③ ② 、 ③ 两 式 相 减 得 k= x=
?mk k 2 ?1

2 m, 代 入 ③ 得 m2=

2 10 2 5 , 解 设 m= ,k= ,此时 5 5 5

? 2 2 ,y= 10 .故 B(2 2 , 10 ).

直线与圆锥曲线 【复习要点】 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位 置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类 讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计 算能力较高,起到了拉开考生“档次” ,有利于选拔的功能. 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成 的方程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方 法. 2.当直线与圆锥曲线相交时: 涉及弦长问题, 常用 “韦达定理法” 设而不求计算弦长(即 应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关 系灵活转化,往往就能事半功倍.

【例题】 【例17】 已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交
10 ,求椭圆方程. 2 解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)

于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=

? ?y ? x ? 1 由? 2 得(m+n)x2+2nx+n-1=0, 2 ? ?mx ? ny ? 1

Δ =4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0, ∴
2(n ? 1) 2n +1=0,∴m+n=2 ? m?n m?n



4(m ? n ? mn) 10 2 ?( ) , m?n 2 3 将 m+n=2,代入得 m·n= 4

又2



由①、②式得 m= 故椭圆方程为

3 1 3 1 ,n= 或 m= ,n= 2 2 2 2

3 1 x2 3 2 + y =1 或 x2+ y2=1. 2 2 2 2

【例18】 如图所示, 抛物线 y2=4x 的顶点为 O, 点 A 的坐标为(5, 0), 倾斜角为

?
4

的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面 积最大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积.

解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0.
? ?y ? x ? m 由方程组 ? 2 ,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0?????① ? y ? 4 x ?

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2, ∴|MN|=4 2(1 ? m) . 点 A 到直线 l 的距离为 d=

5? m 2

.

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2 =2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2(
2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 ) =128. 3

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 . 【例19】 已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2)。(1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜 率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点,没有交点。(2)若 Q(1,1),试判 断以 Q 为中点的弦是否存在. 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1, 与曲线 C 有一个交点. 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 代入 C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0…?????(*) (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个 交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ =[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) ①当Δ =0,即 3-2k=0,k= ②当Δ >0,即 k<
3 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点. 2

3 3 ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 时, 2 2 3 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点. 2 3 ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 2

方程(*)有两不等实根,l 与 C 有两个交点. ③当Δ <0,即 k>

综上知:当 k=± 2 ,或 k=

当 2 <k< 当 k>

3 ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 2

3 时,l 与 C 没有交点. 2

(2)假设以 Q 为中点的弦存在, 设为 AB, 且 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=
y1 ? y 2 =2 x1 ? x 2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为 中点的弦不存在. 【例20】 如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B, 且|F1B|+|F2B|=10, 椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2) 满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m, 求 m 的取值范围. 解: (1)由椭圆定义及条件知, 2a=|F1B|+|F2B|=10, 得 a=5,又 c=4,所以 b= a 2 ? c 2 =3. 故椭圆方程为
x2 y2 =1. ? 25 9
y

A B C F1 o F2 B' x

(2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= 根据椭圆定义,有|F2A|=

9 4 25 .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 , 5 4 5

4 25 4 25 ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得
4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5

设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0=

x1 ? x 2 =4. 2

(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.

? ?9 x1 ? 25 y1 ? 9 ? 25 得? 2 2 ? ?9 x 2 ? 25 y 2 ? 9 ? 25
2 2

① ②

①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0, 即 9× ( 将
x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 ) ? 25( 1 )?( 1 ) =0(x1≠x2) 2 2 x1 ? x 2

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 1 ? x 0 ? 4, 1 ? y0 , 1 ?? (k≠0)代入上式,得 9×4+25y0(- )=0 2 2 x1 ? x 2 k k

(k≠0) 即 k=

25 y0(当 k=0 时也成立). 36 16 25 y0=- y0. 9 9

由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m, 所以 m=y0-4k=y0-

由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部, 得-
9 9 16 16 <y0< ,所以- <m< . 5 5 5 5
1 (x-4)(k≠0) k

解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 y-y0=- ③
x2 y2 =1,得 ? 25 9 (9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0

将③代入椭圆方程

所以 x1+x2=

50(k 0 ? 4)
2

9k ? 25 (以下同解法一).

=8,解得 k=

25 y0.(当 k=0 时也成立) 36

【例21】 已知双曲线 G 的中心在原点, 它的渐近线与圆 x2 ? y 2 ?10x ? 20 ? 0 相 切. 过点 P ? ?4,0? 作斜率为

1 的直线 l , 使得 l 和 G 交于 A, B 两点, 和 y 轴交于点 C , 4
2

并且点 P 在线段 AB 上,又满足 PA ? PB ? PC . (1)求双曲线 G 的渐近线的方程; (2)求双曲线 G 的方程; (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴.如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中 点的轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程. 解: (1)设双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? kx , 则由渐近线与圆 x2 ? y 2 ?10x ? 20 ? 0 相切可得: 所以, k ? ?

5k k2 ?1

? 5.

1 . 2 1 x. 2
2 2

双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? ?

(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为: x ? 4 y ? m . 把直线 l 的方程 y ?

1 ? x ? 4 ? 代入双曲线方程,整理得 3x2 ? 8x ? 16 ? 4m ? 0 . 4

则 x A ? xB ?

8 , 3

x A xB ? ?
2

16 ? 4m 3

(*)

∵ PA ? PB ? PC , P, A, B, C 共线且 P 在线段 AB 上, ∴ ? xP ? x A ?? xB ? xP ? ? ? xP ? xC ? ,
2

即: ? xB ? 4?? ?4 ? xA ? ? 16 ,整理得: 4 ? xA ? xB ? ? xA xB ? 32 ? 0 将(*)代入上式可解得: m ? 28 .

x2 y 2 ? ? 1. 所以,双曲线的方程为 28 7
(3)由题可设椭圆 S 的方程为: 于 l 的平行弦中点的轨迹. 设弦的两个端点分别为 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , MN 的中点为 P ? x0 , y0 ? ,则

x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 7 .下面我们来求出 S 中垂直 28 a 2

?

?

? x12 y12 ? ?1 ? ? 28 a 2 . ? 2 2 x y ? 2 ? 2 ?1 ? ? 28 a 2
两式作差得:

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ?
28 ? a2

?0

由于

y1 ? y2 ? ?4 , x1 ? x2 ? 2x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 x1 ? x2
x0 4 y0 ? ? 0, 28 a 2
x 4y ? ? 0 截在椭圆 S 内的部分. 28 a 2

所以,

所以,垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线

又由题,这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,所以,

a2 1 ? .所以, 112 2

x2 y 2 a ? 56 ,椭圆 S 的方程为: ? ? 1. 28 56
2

点评:解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上(也即化线段的关系为 横坐标(或纵坐标)之间的关系)是常用的简化问题的手段;有关弦中点的问题,常常用

到“设而不求”的方法;判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具) .

【例22】 设抛物线过定点 A ? ?1,0? ,且以直线 x ? 1 为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 恰被直线 x ? ? 设弦 MN 的垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,试求 m 的取值范围. 解: (1)设抛物线的顶点为 G ? x, y ? ,则其焦点为 F ? 2 x ? 1, y ? .由抛物线的定义可 知: AF ? 点A到直线x ? 1 的距离=2 .
2 2 所以, 4 x ? y ? 2 .

1 平分, 2

所以,抛物线顶点 G 的轨迹 C 的方程为: x ?
2

y2 ?1 4

? x ? 1? .

(2)因为 m 是弦 MN 的垂直平分线与 y 轴交点的纵坐标,由 MN 所唯一确定.所以, 要求 m 的取值范围,还应该从直线 l 与轨迹 C 相交入手. 显然,直线 l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线 l 的方程为 l : y ? ? 椭圆方程得:

1 x ? b ,代入 k

? 4k 2 ? 1 ? 2 2bx ? b2 ? 4 ? 0 ? ?x ? 2 k ? k ?
由于 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,所以, ? ? 即: 4k ? k b ? 1 ? 0
2 2 2

? 4k 2 ? 1 ? 2 4b2 ? 4 ? ? ?b ? 4? ? 0 , 2 k2 ? k ?

(*) ? k ? 0? .

又线段 MN 恰被直线 x ? ?

1 2bk ? 1? 平分,所以, xM ? xN ? ? 2? ?? ?. 2 2 4k ? 1 ? 2?

所以, bk ?

4k 2 ? 1 . ?2

代入(*)可解得: ?

3 3 ?k? 2 2

? k ? 0? .

下面,只需找到 m 与 k 的关系,即可求出 m 的取值范围.由于 y ? kx ? m 为弦 MN

的垂直平分线,故可考虑弦 MN 的中点 P ? ? , y0 ? .

? 1 ? 2

? ?

在l : y ? ?

1 1 1 1 4k 2 ? 1 x ? b 中,令 x ? ? ,可解得: y0 ? ?b ? ? ? ?2k . k 2 2k 2k 2k

将点 P ? ? , ?2k ? 代入 y ? kx ? m ,可得: m ? ?

? 1 ? 2

? ?

3k . 2

所以, ?

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 . 4 4

从以上解题过程来看,求 m 的取值范围,主要有两个关键步骤:一是寻求 m 与其它 参数之间的关系,二是构造一个有关参量的不等式.从这两点出发,我们可以得到下面的 另一种解法: 解法二.设弦 MN 的中点为 P ? ? , y0 ? ,则由点 M , N 为椭圆上的点,可知:

? 1 ? 2

? ?

?4 xM 2 ? yM 2 ? 4 ? . ? 2 2 4 x ? y ? 4 ? N N ?
两式相减得: 4 ? xM ? xN ?? xM ? xN ? ? ? yM ? yN ?? yM ? yN ? ? 0 又由于 xM ? xN ? 2 ? ? ? ? ? ?1,

? 1? ? 2?

yM ? yN ? 2 y0 ,

yM ? yN 1 = ? ,代入上式 xM ? xN k

得: k ? ?

y0 . 2

B

? 1 ? 又点 P ? ? , y0 ? 在弦 MN 的垂直平分线上, 所以, ? 2 ?
1 y0 ? ? k ? m . 2 1 3 所以, m ? y0 ? k ? y0 . 2 4
由点 P ? ? , y0 ? 在线段 BB’ 上(B’ 、B 为直线 P M



? 1 ? 2

? ?

B'

x??

1 与椭圆的交点, 如图) , 所以,yB ' ? y0 ? yB . 2

也即: ? 3 ? y0 ? 3 .

所以, ?

3 3 3 3 ?m? 且m ? 0 4 4

点评:解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨 论二次项系数和判别式,有时借助图形的几何性质更为方便. 涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时(设而不求) ,必须以直线与圆锥曲线 相交为前提,否则不宜用此法. 从构造不等式的角度来说, “将直线 l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于 0” 与 “弦 MN 的中点 P ? ? , y0 ? 在椭圆内”是等价的. 【例23】 设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F, 经过点 F 的直线与抛物线交于 A、 B 两点.又 M 是其准线上一点.试证:直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 证明 依题意直线 MA、MB、MF 的斜率显然存在,并分别设为 k1 , k2 , k3 点 A、B、M 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,M( ? 由“AB 过点 F(
p ,0) ”得 2 p ,m) 2

? 1 ? 2

? ?

l AB : x ? ty ?

p 2

将上式代入抛物线 y 2 ? 2 px 中得: y 2 ? 2 pty ? p 2 ? 0 可知
y1 ? y 2 ? ? p 2

又依“ y12 ? 2 px1 及 y 2 2 ? 2 px2 ”可知
x1 ?
2 p y1 p 1 ? ? ? ( y1 2 ? p 2 ) 2 2p 2 2p

x2 ?

2 p y2 p p4 p p ? ? ? ? ? ( y1 2 ? p 2 ) 2 2 2 p 2 2 py1 2 2 y1 2

因此

k1 ? k 2 ?

y1 ? m y 2 ? m ? p p x1 ? x2 ? 2 2

?

2 p ( y1 ? m) p( y1 ? p )
2 2

2

2 y1 2 (? ?
2

p2 ? m) y1
2

p( y1 ? p )

??

2m p

而 k3 ?

0?m m ?? p p p ? (? ) 2 2

故 k1 ? k2 ? 2k3 即直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 【例24】 已知 a =(x,0), b =(1,y) (a ? 3b)?(a ? 3b) (1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l :y=kx+m(km≠0)与曲线 C 交于 A、B 两端,D(0,-1),且有|AD|=|BD|, 试求 m 的取值范围。 解: (1) a ? 3b ? ( x,0) ? 3(1, y) ? ( x ? 3, 3 y)

a ? 3b ? ( x,0) ? 3(1, y) ? ( x ? 3,? 3 y)
∵ (a ? 3b)?(a ? 3b) ∴ (a ? 3b) ? (a ? 3b) =0 得

∴ ( x ? 3)( x ? 3) ? 3 y ? (? 3 y) ? 0 ∴P 点的轨迹方程为

x2 ? y2 ?1 3

x2 ? y2 ?1 3
消去 y,得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0(*)

? y ? kx ? m ? (2)考虑方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3
显然 1-3k2≠0

△=(6km)2-4(-3m2-3)=12(m2+1)-3k2>0 6km 设 x1,x2 为方程*的两根,则 x1 ? x 2 ? 1 ? 3k 2 x ? x2 3km m ? x0 ? 1 ? y 0 ? kx 0 ? m ? 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

3km m , ) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 m 1 3km ? (? )( x ? ) ∴线段 AB 的垂直平分线方程为: y ? 2 k 1 ? 3k 1 ? 3k 2 将 D(0,-1)坐标代入,化简得:4m=3k2-1
故 AB 中点 M 的坐标为(
2 2 ? ?m ? 1 ? 3k ? 0 故 m、k 满足 ? ,消去 k2 得:m2-4m>0 2 ? 4 m ? 3 k ? 1 ?

解得:m<0 或 m>4 又∵4m=3k2-1>-1 故 m ? (? ,0) ? (4,??) . ∴m>-

1 4

1 4

【直线与圆锥曲线练习】 一、选择题

1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 A.2 B.

x2 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 4

)

4 10 4 5 8 10 C. D. 5 5 5 2 2.抛物线 y=ax 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2,

直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( A.x3=x1+x2 C.x1+x2+x3=0 二、填空题 3.已知两点 M(1, ②x2+y2=3,③

) B.x1x2=x1x3+x2x3 D.x1x2+x2x3+x3x1=0

5 5 )、N(-4,- ),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0, 4 4

x2 2 x2 +y =1,④ -y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 2 2

_________. 4.正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积为_________. 5. 在抛物线 y2=16x 内, 通过点(2, 1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 三、解答题 6. 已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的 两点 A、B,且|AB|≤2p. (1)求 a 的取值范围. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N, y A 求△NAB 面积的最大值. 7.已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e=
21 的 3
N F B x

双曲线过点 P(6,6). (1)求双曲线方程. o (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两 点 M、N,问:是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论. 8.已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点,且都以点 A( 2 ,

0)为圆心,1 为半径的圆相切,双曲线的一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A,斜率为 k,当 0<k<1 时,双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直 线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时 B 点的坐标.

直线与圆锥曲线参考答案 一、1.解析:弦长|AB|= 2 ? 答案:C
4? 5 ? t2 4 10 ≤ . 5 5

? k b b ? y ? ax2 2.解析: 解方程组 ? ,得 ax2-kx-b=0,可知 x1+x2= ,x1x2=- ,x3=- ,代入验 a a k ? ? y ? kx ? b

证即可. 答案:B 二、3.解析:点 P 在线段 MN 的垂直平分线上,判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是 否存在交点. 答案:②③④ 4.解析:设 C、D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长,利 用|CD|的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出 b 的值,再代入求出|CD|的长. 答案:18 或 50 5.解析:设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、B,且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2). 即
y1 ? y 2 16 ? ? kAB=8. x1 ? x 2 y1 ? y 2

故所求直线方程为 y=8x-15. 答案:8x-y-15=0 三、 6. 解: (1) 设直线 l 的方程为: y=x - a, 代入抛物线方程得 (x - a)2=2px, 即 x2 - 2(a+p)x+a2=0 ∴|AB|= 2 ? 4(a ? p) 2 ? 4a 2 ≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即 4ap≤-p2 又∵p>0,∴a≤-
p . 4

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 C(x,y), 由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p, 则有 x=
x1 ? x2 y ? y 2 x1 ? x2 ? 2a =p. ? a ? p, y ? 1 ? 2 2 2
| a ? 2p ? a| 2 ? 2p

∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-p=-(x-a-p),从而 N 点坐标为(a+2p,0 点 N 到 AB 的距离为 从而 S△NAB=

1 ? 2 ? 4(a ? p) 2 ? 4a 2 ? 2 p ? 2 p 2ap ? p 2 2

当 a 有最大值-

p 时,S 有最大值为 2 p2. 4

7. 解: (1)如图,设双曲线方程为 解得 a2=9,b2=12.

x2 y2 62 62 a 2 ? b 2 21 2 ? ? 1 , e ? ? ? =1. 由已知得 , 3 a2 b2 a2 a2 b2

x2 y2 =1. ? 9 12 (2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) ,

所以所求双曲线方程为

∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2).则有
?12x1 2 ? 9 y1 2 ? 108 ? 4 ?12x 2 2 ? 9 y 2 2 ? 108 y1 ? y 2 12 4 ? ? ? ,∴kl= ? x ? x 9 3 3 1 2 ? x1 ? x 2 ? 4 ?y ? y ? 4 2 ? 1

∴l 的方程为 y=

4 (x-2)+2, 3

?12x 2 ? 9 y 2 ? 108 ? 由? ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0. 4 ? y ? ( x ? 2) 3 ?

∵Δ =16-4×28<0,∴所求直线 l 不存在. 8.解:(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d=
| 2k | k 2 ?1

=1,解得 k=±1.

即渐近线为 y=±x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0, 2 ). ∴a= 2 =b,所求双曲线 C 的方程为 x2-y2=2. (2)设直线 l:y=k(x- 2 )(0<k<1 ) ,依题意 B 点在平行的直线 l′上,且 l 与 l′间的 距离为 2 . 设直线 l′:y=kx+m,应有
| 2k ? m | k ?1
2
2 ? 2 ,化简得 m +2 2 km=2.



把 l′代入双曲线方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0, 由Δ =4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0. 可得 m2+2k2=2 ③ ② 、 ③ 两 式 相 减 得 k= x=
?mk k 2 ?1

2 m, 代 入 ③ 得 m2=

2 10 2 5 , 解 设 m= ,k= ,此时 5 5 5

? 2 2 ,y= 10 .故 B(2 2 , 10 ).


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